ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА естественных наук Дисциплина по выбору студента

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА
Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и
естественных наук
Дисциплина по выбору студента
Трудоемкость – 2 кредита, 2 часа лекций и 2 часа лабораторных занятий в
неделю
Цель курса
Целью курса является обучение студентов основам математической теории
телетрафика, а также решению прикладных задач анализа показателей качества
функционирования сетей телекоммуникаций.
В процессе преподавания курса учащиеся осваивают элементы теории массового
обслуживания, теории случайных процессов, применяемые в теории телетрафика, на
примерах простейших моделей учатся составлять системы уравнений равновесия
для марковских процессов, описывающих функционирование
моделей
телекоммуникационных систем массового обслуживания, решать эти уравнения, а
также проводить анализ вероятностно-временных характеристик этих моделей.
Содержание курса
Тема 1. Вероятностный аппарат теории массового обслуживания
Характеристические
преобразования:
характеристическая
функция,
преобразование Лапласа, преобразование Лапласа-Стилтьеса, производящая
функция. Экспоненциальное и пуассоновское распределения.
Тема 2. Элементы теории случайных процессов
Цепи Маркова: определение, общие свойства, свойство эргодичности.
Марковские
процессы:
определение
и
основные
характеристики,
конструктивное описание. Процессы рождения и гибели.
Тема 3. Параметры системы массового обслуживания
Система
массового
обслуживания:
структура,
нагрузка,
алгоритм
обслуживания. Входящий поток требований: рекуррентный поток,
детерминированный, пуассоновский, эрланговский потоки. Показатели
качества обслуживания: длина очереди, время ожидания начала обслуживания,
число заявок в СМО, время пребывания заявки в СМО, вероятность потери
заявки (по времени, по вызовам).
Тема 4. Классические модели теории телетрафика
Понятие глобального, локального и частичного балансов. Система уравнений
равновесия. Первая модель Эрланга: система M | M | c | 0 . Вторая модель
Эрланга: система M | M | v | r . Модель канала передачи данных: система
M | M | 1 |  . Система M | G | 1 |  : анализ методом вложенной цепи Маркова.
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа № 1. Элементы теории случайных процессов и теории
массового обслуживания.
Теоретические вопросы
1
1. Цепи Маркова: общие свойства, эргодичность с дискретным временем.
2. Марковские процессы: инфинитезимальная матрица, конструктивное
описание, система дифференциальных уравнений Колмогорова.
3. Процессы рождения и гибели.
4. Понятие системы массового обслуживания: структура, входящий поток
требований,
длительность
обслуживания,
нагрузка,
алгоритм
обслуживания.
Задачи:
1. Найти преобразование Лапласа для функции заданного вида.
2. Найти связь между преобразованием Лапласа плотности распределения
непрерывной случайной величины и преобразованием Лапласа-Стилтьеса
функции распределения этой случайной величины.
3. Разложить преобразование Лапласа-Стилтьеса в ряд через моменты n-го
порядка.
4. Получить ряд распределения дискретной случайной величины через
производящую функцию этой случайной величины.
5. Найти моменты случайных величин с функциями распределения
заданного вида.
Контрольная работа № 2. Анализ простейших систем массового
обслуживания.
Задачи
1. Для СМО М|М|С|0 при заданных с ,  и  вычислить нагрузку  ,
стационарные вероятности состояний pn , n  0, c , явные потери E   , c 
через рекурсию E   , i  , i  0, c  1 .
2. Для СМО М|М|С|0 получить выражения для среднего числа занятых
приборов и среднего времени w пребывания заявки в СМО.
3. Для СМО М|М|С|0 получить рекуррентную формулу для расчета функции
Эрланга E (  , c) .
4. Для СМО М|М|1|r, r   при заданных r ,  и  вычислить нагрузку  ,
стационарные вероятности состояний pn , n  0, r , среднее время w
пребывания заявки в СМО.
5. Для СМО М|М|1| найти среднюю длину очереди q и среднее время w
ожидания заявки в СМО.
6. Для СМО M | D | 1 |  найти среднюю длину очереди q и среднее время w
ожидания заявки в СМО.
7. Для СМО M | M |  получить выражения для среднего числа занятых
приборов и среднего времени w пребывания заявки в СМО.
8. Известно, что в СМО M | G | 1 |  среднее время ожидания заявок в очереди
вычисляется по формуле  
b(2)
, где b(i ) является i-ым начальным
(1)
2(1  b )
моментом ФР B( x) длительности обслуживания заявок прибором.
Сравнить средние времена ожидания обслуживания в СМО M | M | 1 |  и
2
при условии, что первые начальные моменты времени
обслуживания заявок в обеих системах совпадают.
Итоговый контроль знаний
Контрольная работа № 3. Анализ простейших систем массового
обслуживания.
Теоретические вопросы
1. Показатели качества обслуживания: длина очереди, время ожидания
начала обслуживания, число заявок в СМО, время пребывания заявки в
СМО, вероятность потери заявки.
2. Понятие глобального, локального и частичного балансов. Система
уравнений равновесия.
3. Для СМО M | M | c | 0 выписать диаграмму интенсивностей переходов,
инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения
СУР, вывести стационарное распределение вероятностей.
4. Для СМО M | M | v | r выписать диаграмму интенсивностей переходов,
инфинитезимальную матрицу А, СУР, решение СУР, условия
существования этого решения.
5. Для СМО M | M | 1 | r , r   выписать диаграмму интенсивностей
переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие
существования решения СУР, вывести стационарное распределение
вероятностей.
6. Для СМО M | M | 1 |  выписать диаграмму интенсивностей переходов,
инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения
СУР, получить стационарное распределение вероятностей.
7. Система M | G | 1 |  : суть метода вложенной цепи Маркова.
8. Для СМО M | G | 1 |  выписать матрицу переходных вероятностей
вложенной цепи Маркова, получить производящую функцию для
стационарного распределения вероятностей (формула ПоллачекаХинчина) и выражение для среднего числа заявок в СМО по вложенной
цепи Маркова.
M | D |1| 
Литература
Обязательная
1. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика: Учеб.
Пособие. – М.: Изд-во РУДН, 2004. – 186 с.: ил.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. –
М.: Изд-во РУДН, 1995. – 529 с., ил.
Дополнительная
1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в
вычислительных сетях. Теория и методы расчета. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1989. 336 с.
2. Башарин Г.П. Графы и цепи Маркова: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во РУДН,
1989. – 34 с.
3
Программу составила:
Гайдамака Юлия Васильевна,
кандидат физико-математических наук, доцент,
кафедра систем телекоммуникаций,
факультет физико-математических и естественных наук
4