Расчет статически неопределимых систем

Министерство образования и науки Российской Федерации
Балаковский инженерно-технологический институт – филиал
федерального государственного автономного образовательного учреждения
высшего образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Кафедра «Промышленное и гражданское строительство»
Дисциплина: Сопротивление материалов
Расчетно-графическая работа №5
«Расчет статически неопределимых систем»
Выполнил: студент группы СЗС-31
Кутанов М.И.
Проверил: доц., к.т.н. Паницкова Г.В.
Балаково 2017
Задача 5.1. Брус закрепить с обоих концов жесткими заделками, превратив
его в статически неопределимую систему. Сосредоточенные силы, приложенные
в опорных сечениях, во внимание не принимать. Считая жесткость бруса EA постоянной, построить эпюру нормальных сил.
Решение. Степень статической неопределимости:
n  н  у  2  1  1.
Следовательно, количество «лишних» связей л  1.
Заданная система один раз статически неопределима, для превращения ее в
статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь.
Отбрасываем правую опору и, прикладывая к основной системе реакцию в
этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему.
Запишем каноническое уравнение метода сил:
11 X 1  1 p  0.
Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим
эпюры N1 и N p .
Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина
найдем коэффициенты канонического уравнения:
l
11   
0
N1  N1
1
 1  3a   1  3a ,
dx 
EA
EA
EA
2
N p N1
1 1
 3qa
1 p   
dx 
  2qa   qa  a   1 
.
EA
EA  2
 2 EA
0
l
Решая каноническое уравнение, найдем:
1 p
3qa2 EA
qa
X1  


 .
11
2 EA 3a
2
Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к
основной системе и построим окончательную эпюру нормальных сил.
Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры N на N1 :
l
B   
0
N  N1
1  1   3   qa 
  qa

dx 
 2a   1   0
  a   1  
     qa    
EA
EA  2   2   2 

  2
Следовательно, точка B в эквивалентной системе не перемещается т.е. задача решена верно.
Задача 5.1
Лист
2
Задача 5.1
Лист
3
Задача 5.2. К стержневой системе добавить стержень, превратив ее в статически неопределимую систему. Площадь поперечного сечения добавленного
стержня принять 2A, а остальных стержней A. Определить нормальные напряжения в стержнях, выразив их через силу P. Далее, приняв A  5см2 из условия прочности  max  R определить допускаемое значение силы P.
Решение. Степень статической неопределимости:
Дано:
n  н  у  4  3  1.
A  5 см2
Следовательно, количество «лишних» связей л  1.
R  210 МПа
Заданная система один раз статически неопределима, для
Pдоп  ?
превращения ее в статически определимую систему необходимо
отбросить одну лишнюю связь.
Отбрасываем второй стержень и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему.
Запишем каноническое уравнение метода сил: 11 X 1  1 p  0.
Продольные силы в стержнях определены в РГР №1.
Найдём продольные силы в стержнях во вспомогательном состоянии с помощью уравнений статического равновесия:
F
x
M
F
y
 0;
C
 0;
 0;
N 3  0;
a
a 1
1
N 2  a  0  N 2      ;
4
4 a
4
1
3
N1  1  N 2  0  N1  1  N 2  1    .
4
4
 1
Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина
найдем коэффициенты канонического уравнения:
1 l
1  3 
 3   1 
 1  
11  
N

N
dx



a





a

1
1






    

 
EA 0
EA  4 
 4   4 
 4  

1
 1  a   1  1  9a  a   1  a  5a  a  9a ,
2 EA
EA  16 16  2 EA
8EA 2 EA 8 EA
1 l
1  P
 3   P
 1  
N p N 1dx 
  a        a      

EA 0
EA  2
 4   2
 4  
1  3Pa   Pa 
Pa






.




EA 
8   8 
2 EA
1 p  
Задача 5.2
Лист
4
Задача 5.2
Лист
5
Решая каноническое уравнение, найдем:
X1  
1 p
 Pa  8EA 4 P
  

.

11
9
 2 EA  9a
Для построения эпюры N используем принцип независимости действия сил
и для этого вычислим ординаты эпюр на каждом участке, используя формулу:
N  N P  N 1  1;
P  3  4P P
  
 ;
2  4 9
6
P  1  4P 7 P
2 
N 2  N P 2   N 1  1      

;
2  4 9
18
4P
3 
N 3  N P3   N 1  1  0  0 
 0;
9
4P 4P
4 
N 4  N P 4   N 1  1  0  1 

;
9
9
1
N1  N P1  N 1  1 
Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры N на N1 :
N  N1
1  P
 3   7 P
 1  
dx 
 a      
  a      
EA
EA  6
 4   18
 4  
0
1  4P
1  Pa   7 Pa 
1
4 Pa


 a   1 



  
 


2 EA  9
 EA  8   72  2 EA 9
2 Pa 2 Pa


 0.
9 EA 9 EA
l
1 p   
Следовательно, продольные силы в стержнях найдены верно.
Определим напряжения в стержнях конструкции по формуле

1 
P 1
P
 
;
6 A 6A
2 
7P 1
7P
 
;
18 A 18 A
N
:
A
 3  0;  4 
4P 1
2P


;
9 2A 9A
Максимальное напряжение возникает во втором стержне.
Из условия прочности, определим допускаемое значение силы P:
 max  R.
 max 
7P
7P

 R;
18 A
18 A
18 AR 18  0,0005 210  106
P

 270000 Н  270 кН .
7
7
Задача 5.2
Лист
6
Задача 5.4. На балке (схема 5) установить дополнительную шарнирно-подвижную опору, превратив ее в статически неопределимую. Выбрав рациональную основную систему, раскрыть статическую неопределимость системы и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Принять жесткость
балки EJ постоянной по всей длине.
Решение. Степень статической неопределимости: n  н  у  4  3  1.
Следовательно, количество «лишних» связей л  1.
Заданная система один раз статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь.
Отбрасываем шарнирно-подвижную опору и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему.
Запишем каноническое уравнение метода сил:
11 X 1  1 p  0.
Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим
эпюры M P и M 1 .
Перемножая соответствующие эпюры, вычислим коэффициенты канонического уравнения. При умножении эпюры M 1 саму на себя и при умножении
эпюры M 1 на M P применяем формулу Симпсона.
1 l
1  4a

11  
M 1  M 1dx 
 4a  4a  4  2a  2a  0  0 

EJ 0
EJ  6

3
1  4a
1  4a
64a
2
2 
2



16
a

16
a


32
a

,


 EJ  6
EJ  6
 3EJ
1 l
1 a 3 2
15 2 7 a

1 p  
M P M 1dx 
 2qa2  3a  
  qa  4a  4  qa 

EJ 0
EJ  6  2
8
2

3a 
3a
105 3
 1  a 

3
2qa2  3a  4  2qa2 
 2qa2  0  
qa  6qa3  
 6qa 

6 
2
4
  EJ  6 

3a
1  51 4
123qa4
 1  a 153 3 3a
3
4
 6qa3  12qa3  

qa


18
qa

qa

9
qa

 EJ  8

6
6
8 EJ
 EJ  6 4

Решая каноническое уравнение, найдем:
1 p
123qa4 3EJ
369
X1  



qa.
3
11
8EJ 64a
512
Задача 5.4
Лист
7
Задача 5.4
Лист
8
Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к
основной системе и построим окончательную эпюру изгибающих моментов.
Сечение 1 – 1 0  x  3a 
M 1  x   2 M  1  x
M 1  x  0   2qa2
M 1  x  a   2qa2 
369 2 655 2
qa 
qa
512
512
369
369 2 143 2
M 1  x  2a   2qa2 
qa  2a  2qa2 
qa 
qa
512
256
256
369
1107 2
83
M 1  x  3a   2qa2 
qa  3a  2qa2 
qa  
qa2
512
512
512
Сечение 2 – 2 0  x  a 
x2
 уравнение параболы
2
369
1107 2
83
M 2  x  0   2qa2 
qa  3a  2qa2 
qa  
qa2
512
512
512
2
369
a
369 2 qa2
177 2
2
2
M 2  x  a   2qa 
qa  3a  a   q   2qa 
qa 

qa
512
2
128
2
128
M 2  x   2 M  1  3a  x   q 
2
a
 
a
369
a
2583 2 qa2
663 2
2


2
2

M 2  x    2qa 
qa   3a    q 
 2qa 
qa 

qa
2
512
2
2
1024
8
1024


Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры M P на M 1 .
Определим вертикально перемещение точки A, которое должно быть равно
нулю, т.к. перемещение точки по оси ординат ограничено шарнирно-подвижной
опорой:
1 l
A  
M  M 1 dx 
EJ 0

1 a 
7a  663 2 
 177 2 
 83 2 
qa   4    
qa   3a   
qa  
  4a   
EJ  6 
5  1024
 128


 512


3a 
 83 2 
 83 2  
2  3a   
qa   2  0  2qa2  3a  2qa2  0   
qa   

6 
 512

 512
 

1  a  177 3   4641 3   249 3 
qa    
qa    
qa  
 
EJ  6  32
  512
  512


3a  249 3 

3

qa

0

6
qa

0


 
6  256


Задача 5.4
Лист
9

1
EJ
 a  3861 3   3a 1287 3  
1  1287 4  1287 4 
qa    
qa   
qa  
qa   0.
   
 
  6 256
  EJ  512
 512

 6  256
Следовательно, точка A в эквивалентной системе не перемещается т.е. задача решена верно.
Построим эпюру поперечных сил.
Сечение 1 – 1 0  x  3a 
Q1  x    1  
369
qa
512
Сечение 2 – 2 0  x  a 
Q2  x    1  q  x
Q2  x  0   Q1  x    1  
369
qa
512
369
881
Q2  x  a   
qa  qa 
qa
512
512
Задача 5.4
Лист
10
Задача 5.5. Вал постоянного поперечного сечения (схема 3) закрепить с
обоих концов жесткими заделками, превратив его в статически неопределимую
систему. Сосредоточенные моменты, приложенные в торцевых сечениях, во внимание не принимать. Построить эпюру крутящих моментов.
Решение. Степень статической неопределимости:
n  н  у  2  1  1.
Следовательно, количество «лишних» связей л  1.
Заданная система один раз статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь.
Отбрасываем правую опору и, прикладывая к основной системе реакцию в
этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему.
Запишем каноническое уравнение метода сил:
11 X 1  1 p  0.
Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим
эпюры M KP и M K 1 .
Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина
найдем коэффициенты канонического уравнения:
1 l
1
 1  5a   1  5a ,
11  
M K 1  M K 1dx 

GJ K 0
GJ K
GJ K
1 p  
1 l
1 1
4qa3

2




M
M
dx



4
qa

2
a


1


.
K
1
KP

GJ K 0
GJ K  2
GJ K
Решая каноническое уравнение, найдем:
X1  
1 p
 4qa3  GJ K 4qa2
 
  

.
11
GJ
5
a
5

K 
Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к
основной системе и построим окончательную эпюру крутящих моментов.
Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры M K на M K 1 .
Определим угол закручивания сечения A, который должен быть равен нулю,
т.к. сечение находится в жесткой заделке:
Задача 5.5
Лист
11
Задача 5.5
Лист
12

1 l
1  2a 16qa2
6qa 2
 4qa2 




M

M
dx



1

4



1

K
1

   1 

K


GJ K 0
GJ K  6  5
5
5 


 4qa2 

1  2a  16qa2   24qa 2  4qa2  12qa3 
  
  3a   1  

  5     5   5   5  
5 
 


  GJ K  6 


A  
1  2a  36qa2  12qa3 
1





GJ K  6 
5 
5  GJ K
 12qa3  12qa3 
  5   5   0.



Следовательно, сечение A в эквивалентной системе не закручивается т.е. задача решена верно.
Задача 5.5
Лист
13