Лабораторная работа 4. Теория игр. Парные игры, Цель: освоить графический и численный методы решения парных игр. Получить представление о следующих понятиях и методах: Конечные одноходовые игры двух лиц. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса. Исследование платежных матриц. Платежная функция и ее седловая точка. Решение игры в смешанных стратегиях. Теоремы о смешанных и активных стратегиях. Сведение игры к паре двойственных задач линейного программирования. Графический метод нахождения решения игры. Теоретические сведения. Базовые понятия Неопределенность, с которой мы встречаемся в теории игр, является следствием сознательной деятельности (противодействия) другого лица (лиц), отстаивающего свои интересы. Модель конфликтной ситуации, в которой имеется, по крайней мере, две конфликтные стороны, каждая из которых стремиться к достижению собственных целей называют игрой. Конфликтные стороны называются игроками. Каждый случай разыгрывания игры называют партией. Рекомендации, показывающие, как надо поступать игрокам в тех или иных ситуациях, называются стратегиями, а выбор игроком стратегии - ходом. Ограничения, которые накладываются на порядок выполнения ходов, называют правилами игры. Игра как процесс представляет собой многократно повторяющийся выбор игроками своих стратегий. Это означает, что игра это не однократный розыгрыш партии, а многократно повторяемый процесс, в идеале состоящий из бесконечного количества партий. Математическое описание игры сводится: к перечислению всех действующих в ней игроков; указанию для каждого игрока всех его стратегий; численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои стратегии. В результате игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу. Классификация игр Существуют классификации игр по различным признакам. 1). По количеству игроков: игра парная игра множественная (нескольких противников) 2). По возможности игроков вступать в коалиции (множество игроков, действующих совместно). бескоалиционные игры, в которых каждая коалиция состоит лишь из одного игрока; коалиционные игры. В случае коалиционных игр рассматривают так называемую кооперативную теорию бескоалиционных игр. Эта теория допускает временные объединения игроков в коалиции в процессе игры с последующим разделением полученного выигрыша или принятие совместных решений. Другим вариантом коалиционной игры, является тот, в котором принимающие решение игроки согласно правилам игры объединены в фиксированные коалиции. Члены одной коалиции могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения. 3). По выигрышу. игры с нулевой суммой, когда сумма всех платежей равна нулю (в случае парных игр такие игры называются антагонистическими, в них выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого); игры с ненулевой суммой, когда сумма всех платежей не равна нулю. 4). По характеру получения информации игры в нормальной форме (игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры); динамические игры (информация поступает игрокам в процессе развития игры). 5.) По количеству стратегий: игры с конечным количеством стратегий; игры с бесконечным количеством стратегий. 6.) По количеству ходов: игры одноходовые; игры многоходовые игры. Матричные игры Мы будем изучать антагонистические одноходовые игры двух лиц с конечным числом допустимых стратегий, когда игроки одновременно выполняют свой единственный ход, выбирая ту или иную стратегию. Результатом партии является то, что один из игроков проигрывает, а другой выигрывает некоторую сумму, которую будем называть платежом. Такие игры удобно изображать с помощью платежной матрицы: ai , j j 1,... n i 1,..., m, , Игрок А где ai,j - выигрыш игрока А ( проигрыш игрока В) в случае, когда игрок А выбирает стратегию Аi, а игрок В стратегию Вj. В качестве примера рассмотрим известную "пальцевую" игру "камень-ножницы-бумага". Суть игры заключается в следующем: играют двое, сделав ставки, например, по одной условной единице. Одновременно каждый из игроков "выкидывает" (изображает) на пальцах один из указанных предметов, не зная выбора другого. При выпадении одноименных предметов считается, что игра закончена вничью. Когда выпали разноименные предметы, один из игроков забирает выигрыш, при этом "камень" побеждает "ножницы", "ножницы" "бумагу", "бумага" "камень". Все возможные варианты могут быть отображены с помощью платежной матрицы, в которой буквами К, Н, Б отображены соответствующие стратегии (рис.5.1): К К 0 Игрок В Н +1 Б -1 Н -1 0 +1 Б +1 -1 0 Рис.5.1. Платежная матрица для "пальцевой" игры Решение матричной игры в чистых стратегиях Рассмотрим процесс принятия решений обеими сторонами более детально, предполагая, что игроки действуют рационально. При принятии решения в условиях неопределенности разумно исходить из того, что сложится наименее благоприятная ситуация. Рассмотрим величины v max min aij и i j v min max aij , которые j i называются соответственно нижней и верхней ценами игры, а стратегии Аi0 и Вj0, на которых достигается максимин и минимакс - чистыми максиминной и минимаксной стратегиями. Выбор стратегии Аi0 гарантирует игроку А получение выигрыша не меньшего, чем нижняя цена игры, независимо от стратегии, выбранной игроком В. Аналогично и выбор игроком В стратегии Вj0 гарантирует ему проигрыш, не больший v , независимо от стратегии, выбранной игроком А. Если v v v 0 , то v 0 называется ценой игры, тройка (Аi0,Вj0, v 0 ) решением игры в чистых стратегиях, а сами Аi0, Вj0 оптимальными чистыми стратегиями. Стратегии Аi0 и Вj0 являются оптимальными в том смысле, что при их выборе достигается разумный компромисс между игроками А и В, когда гарантированный выигрыш одного равен гарантированному проигрышу другого. Если v 0 = 0, то игра называется справедливой. Элемент ai0 j0 матрицы ai, j j 1,... n i 1,..., m , называется седловой точкой, если aij0 ai0 j0 ai0 j , i = 1,...,m ; j = 1,...,n. В седловой точке элемент матрицы ai0 j0 является одновременно наименьшим в строке и наибольшим в столбце Справедлива следующая ключевая для теории игр теорема. Для того чтобы игра имела решение в чистых стратегиях, необходимо и достаточно, чтобы платежная матрица имела седловую точку. При этом тройка (Аi0, Вj0, a i0 j0) оказывается решением игры. Из этой теоремы и из определения седловой точки следует, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а второй от своей оптимальной стратегии отклоняется, то выигрыш второго игрока уменьшится (или проигрыш увеличится). Указанной свойство подтверждает целесообразность принятого 42 подхода к определению решения игры, поскольку это свойство отвечает интуитивному представлению о взаимовыгодном компромиссе в конфликтной ситуации. Принцип осторожности, который определяет выбор партнерами стратегий, соответствующих максиминному выигрышу или минимаксному проигрышу, часто называют принципом минимакса, а стратегии, вытекающие из этого принципа, — минимаксными стратегиями. Пример. Парная игра задана матрицей, приведенной на рис.5.2 в интервале ячеек A2:D6. Найти решение игры. A B 1 Пример, парной 2 Стратегии 3 игрока А 4 А1 5 А2 6 А3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C D E игры имеющей седловую точку. B1 Стратегии игрока В B2 B3 8 11 9 6 7 10 7 11 6 Решение B1 А1 А2 А3 bi B2 8 6 7 8 Нижняя цена Верхняя цена F max ai min bj ai B3 11 7 11 11 =МИН(B9:D9) 9 10 6 10 8 6 6 =МАКС(E9:E11) 8 8 =МИН(B12:D12) 16 Рис.5.2. Парная игра и ее решение. Решение. Все вычисления удобно провести, используя электронные таблицы MS Excel, возможный вариант решения приведен на рис.2 . Вычислим верхнюю и нижнюю цены игры. Нижняя цена содержится в ячейке С14. Для ее вычисления использованы значения ячеек Е9:Е11, в которых вычисляются минимальные значения по соответствующей строке платежной матрицы. Далее выбираем наибольшее значение из них max8;6;6 = 8. Верхняя цена содержится в ячейке С15. Для ее вычисления использованы значения ячеек B12:D12, в которых вычисляется максимальное значение по соответствующему столбцу платежной матрицы. Далее выбираем наименьшее значение из них min8;11;10 =8. Нижняя и верхняя цены игры равны v v , из этого следует, что существует решение в чистых стратегиях. Таким образом, цена игры v 0 8 . Чистой максиминной стратегией для игрока А является первая стратегия А1, чистой минимаксной стратегией для игрока В является первая стратегия В1. Решением игры является тройка (А1,В1,8). Решение игры в смешанных стратегиях Если игра не имеет решения в чистых стратегиях, то решение ищется в смешанных стратегиях. Под смешанными стратегиями понимают векторы: X = ( p1,...., pm), Y= ( q1,....,qn), где pi и qj вероятности выбора чистых стратегий Аi и Вj игроками А и В, т.е.: m p i 1 i 1, n q j 1 j 1; pi 0, i 1,..., m, q j 0, j 1,..., n. 43 Функция H ( X , Y ) m n a i 1 j 1 ij pi q j называется платежной функцией. Она является средним выигрышем игрока А, если А выбирает стратегию X , а игрок В стратегию Y, при многократном повторении игры. Решением игры в смешанных стратегиях называется тройка (X0, Y0, 0 ), удовлетворяющая условию: H ( X ,Y 0 ) H ( X 0 ,Y 0 ) H ( X 0 ,Y ) , где X и Y любые смешанные стратегии. Величина 0 = H ( X 0 , Y 0 ) называется ценой игры, а стратегии X0 и Y0 оптимальными. Векторы X0 и Y0, удовлетворяющие указанному условию, называются седловой точкой функции H ( X , Y ) . Платежная функция всегда имеет седловую точку, и, следовательно, игра всегда имеет решение в смешанных стратегиях. Цена игры 0 - это значение платежной функции в седловой точке. При этом можно также показать, что: 0 = H(X0, Y0) = max min H(X,Y)= min max H(X, Y). Y X Y X Говорят, что k- я строка матрицы aij доминирует l-ю строку, если akj alj и akj > alj , хотя бы для одного j . Аналогично, k-й столбец доминирует l-й столбец, если aik ail и хотя бы для одного i aik < a il. Доминируемые строки и столбцы можно исключить, поскольку они соответствуют невыгодным чистым стратегиям. Стратегии, оптимальные для игры с платежной матрицей aij будут оптимальными и для игры с матрицей a ij . Это свойство позволяет сводить платежные матрицы к матрицам с положительными элементами. Активными называются чистые стратегии, которые входят в состав оптимальных смешанных стратегий с ненулевыми вероятностями. Для того, чтобы тройка (X, Y, ) была решением игры, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: m p i 1; (5.1) i 1 pi 0, для i 1,...,m (5.2) m a p , для ij i j 1,..., n . (5.3) i 1 n q 1; (5.4) q j 0, j 1,..., n (5.5) j j 1 n a q ij j , для i 1,..., m. (5.6) j 1 Решая систему неравенств (5.1) (5.6), можно найти решение игры. Решение игры равносильно решению пары задач линейного программирования: Первая задача. p Обозначим xi i ; тогда равенство (5.1) перепишется в виде m x 1 ; (5.7) i i 1 неравенство (5.2) принимает вид xi 0, для i 1,...,m а неравенство (5.3) принимает вид (5.8) m a x 1, для ij i j 1,..., n . (5.9) i 1 Оптимальная стратегия минимизировать значение 1 . для игрока А должна 44 максимизировать значение , следовательно Таким образом, целевая функция имеет вид: x1 x2 x3 xm min (5.10) Окончательно задача ЛП формулируется так: найти минимум (5.10) при условии (5.8) и (5.9) Вторая задача. Обозначим yi qi n y j j 1 qi ; тогда равенство (5.4) перепишется в виде (5.11) ; неравенство (5.5) принимает вид y j 0, для j 1,..., m (5.12) а неравенство (5.3) n a y ij j 1, для i 1,..., m . (5.13) j 1 Оптимальная стратегия максимизировать значение 1 . для игрока B должна минимизировать значение , следовательно, Таким образом, целевая функция имеет вид: y1 y 2 y3 y m max (5.14) Окончательно задача ЛП формулируется так: найти максимум (5.14) при условии (5.12) и (5.13). После того, как игра решена, т.е. получена тройка (p1, p2 ,..., pi,..., pn; q1, q2,..., qj,..., qm ; v), возникает в о п р о с о п р а к т и ч е с к о м п р и м е н е н и и п о л у ч е н н о г о р е ш е н и я . Для игрока А оно состоит в том, что нельзя сообщать противнику, какая полезная стратегия будет применяться в каждой конкретной игре, а ее выбор следует осуществлять с помощью какого-либо г е н е р а т о р а с л у ч а й н ы х ч и с е л (жребий, таблица случайных чисел, каких-либо функций в алгоритмических языках генерирующих значения случайных величин), реализующего распределение (p1, p2 ,..., pi,..., pn). Для игрока В все эти соображения аналогичны с заменой распределения на (q1, q2,..., qj,..., qm). В случае, если игра м н о г о к р а т н о повторяется и игроки придерживаются своих оптимальных стратегий, то с р е д н и й в ы и г р ы ш равен . ПРИМЕР 1 Найти решение парной игры 4х4 в смешанных стратегиях, если платежная матрица имеет вид, приведенный на Рис.5.3. Провести имитационное моделирование розыгрыша этой парной игры при условиях: 1. оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий; 2. игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет неактивную стратегию, т.е. ту чистую стратегию, вероятность которой равна нулю в его оптимальной смешанной стратегии; 3. игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет одну из активных стратегий, т.е. ту чистую стратегию, вероятность которой неравна нулю в его оптимальной смешанной стратегии; 4. игрок В придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок А играет неактивную стратегию, т.е. ту чистую стратегию, вероятность которой равна нулю в его оптимальной смешанной стратегии. игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет неактивную стратегию, т.е. ту чистую стратегию, вероятность которой равна нулю в его оптимальной смешанной стратегии; 5. игрок В придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок А играет одну из активных стратегий, т.е. ту чистую стратегию, вероятность которой неравна нулю в его оптимальной смешанной стратегии;. Для всех вариантов выполнить не менее 300 розыгрышей. Провести анализ моделирования. Стратегии игрока А А1 А2 А3 А4 Стратегии игрока В B1 B2 8 8 8 9 12 7 9 11 Рис.5.3. Платежная матрица. Решение. Все вычисления приведены на рис.5.4 рис. 5.10. Вначале вычислим верхнюю и нижнюю цены игры. 45 B3 11 10 6 12 B4 13 9 11 10 Нижняя цена содержится в ячейке С18. Для ее вычисления использованы значения ячеек F12:F15, в которых вычисляется минимальное значение по соответствующей строке платежной матрицы. Далее выбираем наибольшее значение из них max8;8;6;9 = 9. Верхняя цена содержится в ячейке С19. Для ее вычисления использованы значения ячеек B16:E16, в которых вычисляется максимальное значение по соответствующему столбцу платежной матрицы. Далее выбираем наименьшее значение из них min12;11;12;13 =11 Нижняя и верхняя цены игры не равны, из этого следует, что решения в чистых стратегиях не существует и его необходимо искать в смешанных стратегиях. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B C D E F G Пример №1. Свести данную матричную игру . к паре двойственных задач линейного программирования стратегии стратегии игрока В игрока А B1 B2 B3 B4 А1 8 8 11 13 А2 8 9 10 9 А3 12 7 6 11 А4 9 11 12 10 Решение B1 А1 А2 А3 А4 bi B2 8 8 12 9 12 8 9 7 11 11 B3 11 10 6 12 12 B4 ai 13 9 11 10 13 8 8 6 9 max ai Нижняя цена 9 min bj Верхняя цена 11 Нижняя и верхняя цены игры не равны, из этого следует, что 20 решение необходимо искать в смешанных стратегиях. Рис. 5.4. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (начало) для решения примера 1. A 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Пример №1. А1 А2 А3 А4 bi B B1 8 8 12 9 =МАКС(B12:B15) C B2 8 9 7 11 =МАКС(C12:C15) D E F B3 B4 ai 11 13 =МИН(B12:E12) 10 9 =МИН(B13:E13) 6 11 =МИН(B14:E14) 12 10 =МИН(B15:E15) =МАКС(D12:D15) =МАКС(E12:E15) max ai Нижняя цена =МАКС(F12:F15) min bj Верхняя цена =МИН(B16:E16) Нижняя и верхняя цены игры не равны, из этого следует, что решение необходимо Рис. 5.5. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (начало) для решения примера 1. Сведем данную матричную игру к паре двойственных задач линейного программирования (ЛП). Для определения оптимальной стратегии игрока А составляем задачу ЛП, используя соотношения (5.8)(5.10). В результате получаем следующие соотношения 46 x1 x 2 x 3 x 4 min 8 x 1 8 x 2 12 x 3 9 x 4 1 8 x1 9 x 2 7 y 3 11x 4 1 11x1 10 x 2 6 x 3 12 x 4 1 13 x1 9 x 2 11x 3 10 x 4 1 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0 (5.15) Эта задача ЛП может быть решена с помощью надстройки «Поиск решения» (рис. 5.8). Для этого в ячейки B32:B35, где будут находиться значения искомых величин xi, введем произвольные значения, например, все единицы. В ячейку B36 вводим формулу =СУММ(B32:B35), это будет значение целевой функции. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 A B C D E F 1. Задача лиейного программирования для игрока А: Искомые переменные х1 0 х2 0 х3 0,02899 х4 0,07246 x1+x2+x3+x4= 0,10145 целевая функция Ограничения Левая часть Правая часть 1 >= 1 1 >= 1 1,043478261 >= 1 1,043478261 >= 1 цена игры 9,85714 =1/B36 Значения вероятностей в оптимальной стратегии игрока A Р1 0 Р2 0 Р3 0,28571 Р4 0,71429 Рис. 5.6. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (продолжение) для решения примера 1. 47 A B 21 1. Задача лиейного программирования для игрока А: 22 32 х1 0 33 х2 0 34 х3 0,0289855072463768 35 х4 0,072463768115942 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 x1+x2+x3+x4= Ограничения Левая часть =СУММПРОИЗВ(B12:B15;B32:B35) =СУММПРОИЗВ(C12:C15;B32:B35) =СУММПРОИЗВ(D12:D15;B32:B35) =СУММПРОИЗВ(E12:E15;B32:B35) C =СУММ(B32:B35) целевая функция >= >= >= >= Правая часть 1 1 1 1 цена игры =1/B36 Значения вероятностей в оптимальной стратегии игрока A Р1 =$B$44*B32 Р2 =$B$44*B33 Р3 =$B$44*B34 Р4 =$B$44*B35 =1/B36 Рис. 5.7. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (продолжение) для решения примера 1. В ячейки A39:A42 поместим значения левых частей ограничений (неравенств) в соотношении (5.15). В ячейку A39 запишем формулу =СУММПРОИЗВ(B12:B15;$B$32:$B$35), которая обеспечивает вычисление суммы произведений соответствующих элементов первого столбца платежной матрицы на значения искомых xi. В остальных ячейках (A40:A42) записываем аналогичные формулы (Рис. 5.6). В ячейки диапазона С39:С42 для хранения правых частей ограничений (5.15) введем единицы. На этом подготовительные операции для применения надстройки «Поиск решения» закончены. Далее вызываем надстройку «Сервис» «Поиск решений». В появившемся диалоговом окне заполняем поля, как показано на Рис. 5.8. После этого нажимаем кнопку «Выполнить» и в результате получаем следующее: диалоговое окно с характеристиками полученного результата, показанное на Рис. 5.9. в ячейках B32:B35 находятся значения искомых величин (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) =(0; 0; 0,028985507; 0,072463768); в ячейке B36 значение целевой функции (0,1014). Используя последнее значение, находим цену игры = =1/0,1014=9,857142857 9,86. Далее, учитывая p соотношение xi i , находим искомые вероятности (p1 ;p2 ; p3 ; p4 )=(0; 0; 0,29; 0,71). Например, для p3 = 9,86*0,028985507=0,285714286 0,29 Рис.5.8. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимальной стратегии игрока А 48 Рис.5.9. Диалоговое окно результата работы надстройки « Поиск решения» Для определения оптимальной стратегии игрока В составляем задачу ЛП, используя соотношения (5.12)(5.14). В результате получаем следующие соотношения: y1 y 2 y 3 y 4 max 8 y1 8 y 2 11 y 3 13 y 4 1 8 y1 9 y 2 10 y 3 9 y 4 1 12 y1 7 y 2 6 y 3 11 y 4 1 9 y1 11 y 2 12 y 3 10 y 4 1 y1 , y 2 , y 3 , y 4 0 (5.16) Эта задача ЛП также может быть решена с помощью надстройки «Поиск решения». Порядок решения показан на Рис. 5.10. Рис. 5.11. Значение целевой функции (ЦФ) для этой задачи ЛП полностью совпадает со значением ЦФ задачи ЛП, определяемой соотношениями (5.15) для игрока А, поскольку эти задачи являются двойственными. Используя значение целевой функции, повторно (для самопроверки) находим цену игры =1/0,1014=9,857142857 9,86 A B C D E F G 60 2.Задача лиейного программирования для игрока В. y1+y2+y3 +y4= 70 y1 y2 y3 y4 71 0,05797 0,0435 0 0 0,1014493 72 целевая функция 73 Ограничения 74 Левая часть Правая часть 75 0,811594203 <= 1 76 0,855072464 <= 1 77 1 <= 1 78 1 <= 1 79 80 цена игры 9,85714 =1/F71 81 82 Значения вероятностей в оптимальной стратегии игрока B 83 q1 0,5714 84 q2 0,4286 85 q3 0 86 q4 0 87 88 Ответ: решением игры является вектор 89 (0,0,0.29,0.71; 0.57,0.43,0,0; 9,86). Рис. 5.10. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (продолжение) для решения примера 1. 49 A 2.Задача лиейного программирования 60 для игрока В. 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 B C D E F y1 y2 y3 y4 y1+y2+y3+y4= 0,0579710144927536 0,0434782608695652 0 0 =СУММ(B71:E71) целевая функция Ограничения Левая часть =СУММПРОИЗВ(B12:E12;B71:E71) =СУММПРОИЗВ(B13:E13;B71:E71) =СУММПРОИЗВ(B14:E14;B71:E71) =СУММПРОИЗВ(B15:E15;B71:E71) <= <= <= <= цена игры =1/F71 Значения вероятностей в оптимальной стратегии игрока B q1 q2 q3 q4 =B80*B71 =B80*C71 =B80*D71 =B80*E71 Правая часть 1 1 1 1 =1/F71 Ответ: решением игры является вектор (0,0,0.29,0.71; 0.57,0.43,0,0; 9,86) Рис. 5.11. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (продолжение) для решения примера 1. Далее, учитывая соотношение yi qi , находим искомые вероятности (q1 ;q2 ; q3 ; q4 )=( 0,57; 0,43; 0; 0). Например, для q1 = 9,857142857*0,057971014 =0,5714286 0,57 Зная цену игры и вероятности применения стратегий каждого игрока, записываем результат. Решением игры является вектор (0, 0 ,0.29, 0.71; 0.57, 0.43, 0, 0; 9,86). Проведем имитационное моделирование розыгрыша этой парной игры. Рассмотрим случай, когда оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий. Выбор стратегии игрока A будем осуществлять с помощью генератора случайных чисел, который генерирует значение случайной величины, имеющей следующее распределение: xi 3 4 pi 0.29 0.71 Чтобы обеспечить реализацию этой случайной величины в MS Excel используем функцию СЛЧИС(), которая вычисляет значения равномерно распределенной случайной величины в интервале [0;1]. Пусть число t является значением функции СЛЧИС(), тогда величина z , вычисленная по правилу 3, при t 0.29 z 4, при t 0.29 будет иметь искомое распределение. Аналогично выбор стратегии игрока В будем осуществлять с помощью генератора случайных чисел, который генерирует значение случайной величины, имеющей следующее распределение: yi 1 2 qi 0.57 0.43 Пусть число t является значением функции СЛЧИС(), тогда величина z , вычисленная по правилу 1, при t 0.57 z 2, при t 0.57 будет иметь искомое распределение. Решение приведено на Рис. 5.12-3.16. Каждому розыгрышу игры соответствует одна строчка таблицы. В интервалах С101:С400 и E101:E400 содержатся реализации искомых случайных величин, т.е. номера стратегий, которые будут использовать игроки в данной игре. Величина выигрыша игрока А указана в интервале F101:400. Далее скопируем полученные з н а ч е н и я н а д р у г о й л и с т р а б о ч е й к н и г и . Э т о н е о б х о д и м о с д е л а т ь д л я о б е с п е ч е н и я н е и з м е н н о с т и п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в , поскольку функция СЛЧИС(), возвращает новое значение при каждом изменении на рабочем листе. 410 A B C D E F G Имитационное моделирование 90 91 92 93 94 95 96 97 1 2 B1 1 2 3 4 98 99 № 100 игры 101 102 103 104 А1 А2 А3 А4 B2 8 8 12 9 0.571428571 3 B3 8 9 7 11 0.428571429 4 B4 11 10 6 12 0 13 9 11 10 0 0 0 0.2857 0.7143 Оба игрока играют свои оптимальные стратегии 1 2 3 4 Игрок А Игрок В Выигрыш слчило() №стратегии слчило() №стратегии игрока А 0.822592239 4 0.603947109 2 11 0.519403149 4 0.571529558 2 11 0.251666718 3 0.163699331 1 12 0.157091987 3 0.84567919 2 7 Рис. 5.12. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование игры (оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий)(Начало). A B 298 0.84879 299 0.816537 300 0.065805 C D E 4 0.539407 1 4 0.240167 1 3 0.602214 2 Cредний выигрыш игрока А -> 398 399 400 401 402 Итоги имитации 403 Игрок А ОтносиКол-во тельная повторений Значения Значения 404 частота 405 0.293 88 3 1 406 0.707 212 4 2 F 9 9 7 9.80597 Игрок В Кол-во Относиповтотельная рений частота 186 0.620 114 0.380 Рис. 5.13. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование игры (оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий) )(Окончание). B C D 98 Оба игрока играют свои оптимальные стратегии 99 Игрок А Игрок В 100 слчило() №стратегии слчило() 101 =СЛЧИС() =ЕСЛИ(B101<$G$95;$A$95;$A$96) =СЛЧИС() E F Выигрыш №стратегии игрока А =ЕСЛИ(D101<$C$97;$C$91;$D$91) =ВПР(C101;$A$12:$F$15;2+E101) Рис. 5.14. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул. Имитационное моделирование игры (оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий)(Начало). 411 A 400 300 =СЛЧИС() 401 402 Итоги имитации 403 Игрок А 404 Частота 405 =B405/$A$400 406 =B406/$A$400 B Кол-во повто-рений =СЧЁТЕСЛИ($C$101:$C$400;C405) =СЧЁТЕСЛИ($C$101:$C$400;C406) C D E F =ЕСЛИ(B400<$G$95;$A$95;$A$96) =СЛЧИС() =ЕСЛИ(D400<$C$97;$C$91;$D$91) =ВПР(C400;$A$12:$F$15;2+E400) Cредний выигрыш игрока А -> =СРЗНАЧ(F301:F367) Зн ач 3 4 Игрок В Зна чен Кол-во повто-рений Частота 1 =СЧЁТЕСЛИ($E$101:$E$400;D405) =E405/$A$400 2 =СЧЁТЕСЛИ($E$101:$E$400;D406) =E406/$A$400 Рис. 5.15. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул. Имитационное моделирование игры (оба игрока придерживаются своих оптимальных стратегий)(окончание) В ячейке F402 получен средний выигрыш игрока А, после проведения 300 розыгрышей, он оказался равным 9,806, что отличается от цены игры приблизительно на (9,86-9,806)/9,86*100%=0,5%. Относительная частота использования игроком А 3 и 4 стратегий равны 0.293 и 0.707, что незначительно отличается от вычисленных вероятностей 0.29 и 0.71. Относительная частота использования игроком В 1 и 2 стратегий равны 0.620 и 0.380, что несколько отличается от вычисленных вероятностей 0.57 и 0.43. Так отличие в реализации 1 стратегии составило (0.6200.57)/0.57*100%=8.8%. Это отличие объясняется случайностью при реализации случайной величины. Результаты имитационного моделирования игры, в которой игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет четвертую стратегию приведен на Рис.5.15. Как и следовало ожидать, величина выигрыша игрока А увеличилась (10.32 против 9.856). H I J K L Cредний выигрыш игрока А -> 401 402 Итоги имитации 403 Игрок А Относи- Кол-во тельная повтоЗначения Значения 404 частота рений 405 0.303 91 3 4 406 0.697 209 4 2 M 10.32836 Игрок В Кол-во Относиповтотельная рений частота 300 1.000 0 0.000 Рис. 5.16. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование игры (игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет неактивную стратегию) Результаты имитационного моделирования игры, в которой игрок В придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок А играет вторую стратегию приведен на Рис.5.17. Вполне ожидаемо, величина выигрыша игрока А уменьшилась(8.43 против 9.856). O P Q R S Cредний выигрыш игрока А -> 401 402 Итоги имитации 403 Игрок А Относи- Кол-во тельная повтоЗначения Значения 404 частота рений 405 1.000 300 2 1 406 0.000 0 4 2 T 8.432836 Игрок В Кол-во Относиповтотельная рений частота 163 0.543 137 0.457 Рис. 5.17. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование игры (игрок В придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок А играет вторую стратегию) Результаты имитационного моделирования игры, в которой игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет первую стратегию приведен на Рис.5.18. Как и следовало ожидать, величина выигрыша игрока А практически не изменилась по сравнению с базисным вариантом (9.851 против 9.856). 412 V W X Y Z Cредний выигрыш игрока А -> 401 402 Итоги имитации 403 Игрок А Относи- Кол-во тельная повтоЗначения Значения 404 частота рений 405 0.26 78 3 1 406 0.74 222 4 AA 9.850746 Игрок В Кол-во Относиповтотельная рений частота 300 1 Рис. 5.18. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование игры (игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В играет первую стратегию) Ответ: решением игры является вектор (0, 0 ,0.29, 0.71; 0.57, 0.43, 0, 0; 9,86). Сводные результаты имитационного моделирования игры (300 партий в каждом случае) приведены на рис.19. A B C № 409 п\п D Выигрыш игрока А Игрок А Оптимальная 410 1 стратегия Игрок В Оптимальная стратегия Оптимальная 411 2 стратегия 2 стратегия (не 412 3 является активной) 4 стратегия (не является активной) Оптимальная стратегия Оптимальная 413 4 стратегия 1 стратегия (является активной) 3 стратегия Оптимальная 414 5 (является активной) стратегия E F Отклонение от цены игры Примечание Несущественно отличается 9.806 0.52% 10.179 3.27% 8.522 13.54% Существенно больше Существенно меньше 9.851 0.06% Несущественно отличается Имитацию провести самостоятельно! Рис. 5.19. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Сводные результаты имитационного моделирования игры (300 партий в каждом случае) Анализ моделирования 1-3 вариантов фактически проведен в ходе решения. Анализ 4 и 5 вариантов проведите самостоятельно после изучения примера 2. ПРИМЕР 2. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПАРНОЙ ИГРЫ Решение парной игры в общем случае можно получить, используя метод, приведенный в примере 1, когда все сводится к решению пары задач линейного программирования. В ряде частных случаев задача может быть решена графически. Это возможно, когда платежная матрица имеет вид 2n или m2. Рассмотрим порядок применения графического метода на конкретном примере. Найти решение игры графически, если она (игра) задана платежной матрицей (Рис. 5.20): B1 A1 A2 bj B2 6 2 6 1 4 4 Рис. 5.20 ai 1 2 Решение Верхняя цена игры 4 , нижняя 2 . Поскольку цена , решение ищем в смешанных стратегиях. Пусть X0=(p1, p2) оптимальная стратегия игрока A, тогда его чистый выигрыш против стратегии B1 равен H(X0,B1)=6p1+2p2, против стратегии B2 равен H(X0,B2)=1p1+4p2 . 413 Для графического определения оптимальной стратегии игрока A рассмотрим Рис. 5.21. На нем изображена прямоугольная система координат (p2,0,H) и дополнительная ось проходящая через точку P2 =1. На Рис. 5.21 линия B1 есть геометрическое место точек (ГМТ), расстояние до которых от оси 0p2 равно величине выигрыша полученного при B1 против X0. На том же рисунке (Рис. 5.21) линия B2 есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0P2 равно величине выигрыша, полученного при B2 против X0. Ломанная LMN – есть нижняя граница выигрыша игрока A, точка M определяет наибольший выигрыш. Координаты точки M можно определить, решив систему: 6 p1 2 p 2 1 p1 4 p 2 p1 p2 1 (5.17) решением являются Это позволяет определить цену игры p1 2 / 7 и p2 5 / 7 . 1 2 / 7 4 5 / 7 3 17 . Проведем аналогичные рассуждения для игрока B. Для графического определения оптимальной стратегии игрока В рассмотрим Рис. 5.22. На нем изображена прямоугольная система координат (q2,0,H) и дополнительная ось, проходящая через точку q2 =1. Пусть Y0=(q1,q2) оптимальная стратегия игрока B, тогда его чистый выигрыш: против стратегии A1 равен H(A1,Y0)=6q1+1q2 против стратегии A2 равен H(A2,Y0)=2q1+4q2 На Рис. 5.22 линия А1 есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0q2 равно величине проигрыша, полученного при A1 против Y0, а линия A2 есть ГМТ, расстояние до которых от оси 0q2 равно величине проигрыша, полученного при B2 против X0. Ломанная PQR – есть верхняя граница проигрыша, точка Q определяет наименьший проигрыш B. Координата q2 точки Q определяются системой: Ее 6 q1 1q 2 2 q1 4 q 2 q1 q 2 1 (5.18) Решением этой системы являются величины q1 3 / 7 и q 2 4 / 7 , что позволяет вычислить повторно (для самопроверки) цену игры 6 3 / 7 1 4 / 7 3 1 7 . Таким образом, точное решение игры в смешанных стратегиях: (2/7, 5/7; 4/7, 3/7; 3 1 7 ). Его можно записать приближенно, перейдя к десятичным дробям для сравнения (0,2857, 0,7143; 0,4286, 0,5714; 3,1429). Заметим, что данную игру можно было решить, используя общий подход, сведя задачу к паре задач ЛП, как это показано на Рис. 5.23. Рис. 5.24. Заметим, что решения полностью совпали. Н 6 B1 4 M N 1 0 2 γ L B2 1 P2 P2 P1 Рис.5.21. Графическое определение оптимальной стратегии игрока A 414 Н P 6 R Q 4 A2 2 γ 1 A1 1 0 q2 q2 q1 Рис 3.22 Графическое определение оптимальной стратегии игрока В 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 C B A Решение парной игры Платежная матрица В2 В1 6 А1 2 А2 6 bj max ai min bj Нижняя цена Верхняя цена G F E D ai 1 4 4 1 2 2 4 Нижняя и верхняя цены игры не равны, из этого следует, что решение необходимо искать в смешанных стратегиях. 1. Для игрока А 0,090909 0,227273 0,318182 Целевая функция x1 x2 X1+X2= Ограничения Левая часть 1 1 цена игры P1 P2 >= >= Правая часть 1 1 x 1 x 2 a 1 ,1 x a 1 ,2 x x 1 , x 2 m in 1 a 1 a 2 ,1 x 2 1 2 , 2 x 2 1 0 3,142857 =1/B18 0,285714 0,714286 2. Для игрока В y1+y2= y2 y 1 y 2 m ax 0,136363636 0,181818 0,318182 y 1 a 1,2 y 2 1 a Целевая функция 1 , 1 Ограничения a 2 ,1 y 1 a 2 , 2 y 2 1 1 <= 1 y1 , y 2 0 1 <= 1 y1 цена игры q1 q2 3,142857 0,428571 0,571429 Ответ: решением игры является вектор (0,2857, 0,7143; 0,4286, 0,5714; 3,1429) Рис. 5.23. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (решение парной игры) примера 1. 415 1 2 3 4 5 6 78 9 10 12 13 14 16 17 18 20 21 22 23 24 27 28 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 A Решение парной игры Платежная матрица B C А1 А2 bj В1 6 2 =МАКС(B4:B5) В2 1 4 =МАКС(C4:C5) Нижняя цена Верхняя цена max ai min bj =МАКС(D4:D5) =МИН(B6:C6) Нижняя и верхняя цены игры не равны, из этого следует, что решение необходимо искать в смешанных в смешанных стратегиях. стратегиях 1. Для игрока А x1 0,0909090909090909 x2 0,227272727272727 X1+X2= =СУММ(B16:B17) Ограничения Левая часть =СУММПРОИЗВ(B4:B5;B16:B17) >= =СУММПРОИЗВ(B16:B17;C4:C5) >= ai =МИН(B4:C4) =МИН(B5:C5) Целевая функция Правая часть 1 1 цена игры P1 P2 2. Для игрока В =1/B18 =B27*B16 =B27*B17 =1/B18 y1 0,136363636363636 y2 0,181818181818182 y1+y2= =СУММ(A35:B35) Целевая функция Ограничения =СУММПРОИЗВ(A35:B35;B4:C4) =СУММПРОИЗВ(A35:B35;B5:C5) D <= <= 1 1 цена игры =1/C35 q1 =B41*A35 q2 =B41*B35 Ответ: решением игры является 45 вектор 46 (0,2857, 0,7143; 0,4286, 0,5714; 3,1429) Рис. 5.24. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (решение парной игры) примера 1 ПРИМЕР 3 Упростить игру (Рис. 5.25), решить ее графически и найти точное решение. В1 В2 В3 В4 А1 1 2 4 3 А2 0 2 3 2 А3 1 2 4 3 А4 4 3 1 0 Рис. 5.25 Решение. Упрощаем: 1) A1 совпадает с A3, поэтому одну из них (например, A3) можно вычеркнуть; 2) A1 доминирует A2, поскольку все элементы A2 меньше или равны соответствующим элементам A1, Следовательно, стратегия A2 заведомо не выгодна, поэтому A2 можно вычеркнуть. В результате этих действий платежная матрица примет вид, приведенный на Рис. 5.26. Рассматривая последнюю платежную матрицу, заметим, что можно провести следующее упрощение: B4 доминирует B3, поэтому B3 можно вычеркнуть (именно так, поскольку В3 заведомо не выгодна для игрока В). Таким образом, платежная матрица принимает следующий вид (Рис.5.27), ее размерность 2х3, и для решения такой игры применим графический метод. 416 B2 B3 B4 1 2 4 3 4 3 1 0 B1 A1 A4 Рис. 5.26 B1 1 B2 2 B4 3 ai 1 4 3 0 0 4 3 3 A1 A4 bj Рис. 5.27 Верхняя цена игры 4 , нижняя цена 0 . Поскольку v v , решение ищем в смешанных стратегиях. Пусть X0=(p1,p4) оптимальная стратегия игрока A. Строим линии соответствующие оптимальным стратегиям игрока А (Рис. 5.28) против чистых стратегий игрока В. Ломанная LMN – есть нижняя граница выигрыша, точка M определяет наибольший выигрыш игрока A. Координата p1 точки M определяется системой 1 p1 4 p 4 3 p1 p1 p 4 1 Решение этой системы p1 2 / 3 и p 4 1 / 3 . Цена игры 1 2 / 3 4 1 / 3 2 . Для игрока B решение строится из следующих соображений. Из построения на рисунке (Рис. 5.20) видно, что его активными стратегиями являются B1 и B4, поскольку именно их пересечение определяет точку M. Н 4 B1 3 3 M B2 L 1 0 B4 γ N 1 P4 P1 Рис. 5.28 417 P4 Следовательно, рассматриваемую игру можно свести к игре с платежной матрицей 22 (Рис. 5.29). B4 B1 1 3 4 0 A1 A4 Рис. 5.29 Решение такой игры полностью аналогично решению примера 1. Для того, чтобы найти q1,q4, имеем систему: q1 3q4 4q1 0q4 q1 q4 1 , Откуда q1=0.5 , q4=0.5 . Так как стратегии B2 и B3 не активна, то q2=0 , q3=0 . Окончательное решение выписывается для исходной матрицы (Рис.5.25), поэтому вспоминаем о стратегиях А2 и А3, которые не активны, поэтому p2=0, p3=0. Таким образом, получаем окончательный ответ: ( 2 ,0,0, 1 ; 1 ,0,0, 1 ; 2) . 3 3 2 2 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Каждый вариант состоит из двух задач. ЗАДАЧА 1 Решить парную игру, сведя данную матричную игру к паре двойственных задач линейного программирования, решить эти задачи, используя. Провести имитационное моделирование розыгрыша этой парной игры при условиях 1-5, сформулированных в условиях примера 1. Для всех вариантов выполнить не менее 300 розыгрышей. Провести анализ моделирования. Платежную матрицу игры для заданного варианта построить по данным таблиц 3.1 и 3.2. Таблица 3.1 Стратегии Стратегии игрока В 2-5 3-6 4-7 2 3 4 7 8 9 12 13 14 17 18 19 1-4 1 6 11 16 1-4 3-6 5-8 6-9 5-8 5 10 15 20 Таблица 3.2 Стратеги и игрока А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 11 8 10 11 9 8 9 9 10 12 11 9 8 8 7 8 9 8 Стратегии игрока В 3 4 5 6 10 12 10 9 9 9 8 10 9 12 9 9 10 7 10 7 8 9 7 10 11 8 6 8 9 8 10 7 8 12 9 10 7 8 9 10 7 8 8 10 5 11 9 9 7 7 8 11 10 10 13 8 8 10 8 9 Например, для варианта 4 платежная матрица будет иметь следующий вид (Рис.5.30), для ее составления согласно табл.3.1 взяты 1-4 строки и 4-7 столбец в табл.3.2. стратегии игрока А А1 А2 А3 А4 стратегии игрока В B1 B2 12 7 9 10 9 11 10 8 B3 7 8 12 9 B4 8 10 5 11 Рис.5.30 418 ЗАДАЧА 2 Упростить данную матричную игру, вычеркнув излишние стратегии обоих игроков(Рис.5.31). Полученную после упрощения игру размерности 2n или m2 решить, определив активные стратегии игроков. Решение получить двумя способами: 1) точное (графически) 2) используя надстройку «Поиск решения» MS Excel. Загрузка надстройки для поиска решения. Средство поиска решения является надстройкой Microsoft Office Excel, которая доступна при установке Microsoft Office или Microsoft Excel. Чтобы использовать эту надстройку в Excel, необходимо сначала загрузить ее. Нажмите кнопку Microsoft Office Значок кнопки , а затем щелкните Параметры Excel. Выберите команду Надстройки, а затем в окне Управление выберите пункт Надстройки Excel. Нажмите кнопку Перейти. В окне Доступные надстройки установите флажок Поиск решения и нажмите кнопку ОК. Совет Если Поиск решения отсутствует в списке поля Доступные надстройки, чтобы найти надстройку, нажмите кнопку Обзор. 6. В случае появления сообщения о том, что надстройка для поиска решения не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить ее. После загрузки надстройки для поиска решения в группе Анализ на вкладки Данные становится доступна команда Поиск решения. 1. 2. 3. 4. 5. 1 7 1 6 2 9 3 7 7 6 1 2 1 7 1 Вариант 1 4 6 9 3 3 5 6 1 Вариант 4 1 9 8 4 2 7 6 6 Вариант 7 4 8 4 5 2 3 3 4 Вариант 10 4 6 9 3 3 5 8 2 6 1 5 8 1 7 9 3 7 5 3 2 5 6 2 1 5 7 6 8 3 5 8 2 6 5 8 1 Вариант 2 5 4 6 9 2 3 4 8 7 8 3 4 Вариант 5 7 2 5 5 1 4 1 5 3 1 8 5 Вариант 8 5 7 6 2 9 3 7 4 8 6 6 8 Вариант 11 5 4 6 9 2 3 4 8 7 Рис 3.22 419 1 2 9 7 6 5 7 4 2 1 9 8 1 2 9 Вариант 3 5 3 6 6 4 7 5 6 3 4 3 2 Вариант 6 5 7 6 7 6 8 4 8 5 8 5 9 Вариант 9 6 4 7 5 4 6 5 6 3 4 5 2 Вариант 12 5 3 6 6 4 7 5 6 3
