sin 2 x + cos 2 x

" Решение тригонометрических уравнений"
Цели:
учебная цель: отработать навыки решения тригонометрических уравнений различными
способами; способствовать развитию у учащихся самостоятельного применения знаний
при решении тригонометрических уравнений.
развивающая цель: развивать логическое мышление, умение делать выводы,
обобщать.
воспитательная цель: формировать навыки умственного труда - поиски различных
способов решения одного и того же уравнения, воспитывать интерес к предмету,
коллективизм и самоконтроль, чувство ответственности.
Задачи, решаемые на уроке:
1. Проверить как учащиеся усвоили различные приемы решения тригонометрических
уравнений.
2. Развивать творческий потенциал ученика через нахождения различных способов
решения тригонометрических уравнений.
3. Создать комфортную, культуротворческую и здравосозидательную обстановку на
уроке.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3.Устная работа – определить вид уравнения и каким способом его можно решить.
4. Тест.
5. Решение одного уравнения разными способами.
6. Физкультминутка.
7. Самостоятельная работа.
8. Проверка самостоятельной работы.
9. Подведение итогов.
10. Рефлексия.
11. Домашнее задание.
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, мобилизация внимания.
На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний,
заполнение оценочного листа .)
2. Домашняя работа проверяется до урока.
3.Устная работа – определить вид уравнения и каким способом его можно решить.
Каждый правильно отвечающий получает 1 балл.
𝑥 𝜋
sin( + ) = cos 11250
2 3
sin2 𝑥 + sin 𝑥 = 0
𝑡𝑔2 𝑥 − 5 = 4tg 𝑥
cos 6𝑥 + cos 2𝑥 = 0
3cos 2 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 = sin2 𝑥
√3 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 = 1
4. Тест. Для того, чтобы решать тригонометрические уравнения необходимо знать
тригонометрические формулы. Поэтому вы должны сейчас восстановить формулы. За
каждую правильно восстановленную формулу учащийся получает 1 балл. (После
выполнения задания учащиеся меняются карточками и проверяют работу соседа,
выставляют баллы в оценочный лист)
1.) 2 sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 =. ..
1.) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 =. ..
2.) cos (𝛼 … 𝛽) = cos 𝛼 ∙ … −. . .∙ sin 𝛽
1+cos 2𝛼
3.)
=. ..
2
4.) sin 𝛼 … sin 𝛽 =. . . sin
…
5.) cos … =
2α
1+𝑡𝑔
𝛼−𝛽
2
∙…
2.) … (𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ∙ … +. . .∙ sin 𝛽
…
3.) sin2 α =
2
𝛼+𝛽
4.) cos 𝛼 … cos 𝛽 =. . . sin
2
5.) sin … =
2
2.) c
2 tg
α
2
𝛼−𝛽
2
∙…
𝛼+𝛽
2
…
Проверка теста.
1.) 2 sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 = sin 2𝛼
2.) cos (𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 − sin 𝛼 ∙ sin 𝛽
3.)
1+cos 2𝛼
2
= cos 2 α
4.) sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
5.) cos 𝛼 =
α
2
α
1+𝑡𝑔2
2
1−𝑡𝑔2
1.) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = cos 2𝛼
2.) sin (𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 + cos 𝛼 ∙ sin 𝛽
3.) sin2 α =
𝛼−𝛽
2
∙ cos
𝛼+𝛽
2
1−cos 2𝛼
2
4.) cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin
5.) sin 𝛼 =
2.) c
α
2
α
1+𝑡𝑔2
2
𝛼−𝛽
2
∙ sin
2 tg
5. Решить одно уравнение sin 2x + cos 2x = 1 разными способами и найти сумму
𝜋
корней уравнения на промежутке [− 2 ; 𝜋]. Каждый учащийся выбирает свой метод
решения уравнения. 2 учащихся работает за доской. За каждый способ, сделанный
самостоятельно – 2 балла.
1-й способ: Приведение уравнения к однородному
sin 2x + cos 2x = 1
2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x,
2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0,
2 sin x ( cos x – sin x ) = 0,
sin x = 0,
cos x – sin x = 0, (:cosx 0 )
x =  n, n  Z,
tg x = 1,
𝝅
x = 𝟒 +  k, k  Z.
если k = -1, то x =
−𝟑𝝅
𝝅
если n = 0, то x = 0
если k = 0, то x = 𝟒
если n = 1, то x = 𝝅
если k = 1, то x =
𝝅
0+𝝅++𝟒 =
Ответ:
𝟓𝝅
𝟒
𝟓𝝅
𝟒
𝟒
𝟓𝝅
𝟒
𝛼+𝛽
2
2-й способ: Введение вспомогательного угла
sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2,
1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 ,
cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2,
sin (2x + /4 ) = 1/ 2,
2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, k Z,
2x = - /4 + (- 1) k /4 +  k, k Z,
𝒌
x = -  /8 +(- 1)k  /8 + 𝟐 , k Z.
если k = -2, то x = -  /8 +(- 1)-2  /8 +
 (−𝟐)
если k = -1, то x = -  /8 +(- 1)-1  /8 +
 (−𝟏)
𝟐
если k = 0, то x = -  /8 +(- 1)0  /8 +
 ∙𝟎
если k = 1, то x = -  /8 +(- 1)1  /8 +

если k = 2, то x = -  /8 +(- 1)2  /8 +
 ∙𝟐
𝝅
0+𝝅++𝟒 =
Ответ:
𝟓𝝅
𝟐
𝟐
𝟐
=−𝝅
=
−𝟑𝝅
𝟒
=𝟎
𝝅
=𝟒
𝟐
=𝝅
𝟓𝝅
𝟒
𝟒
3-й способ:
sin2 x +cos 2x = 1, универсальная подстановка
𝟏−𝐭𝐠 𝟐 𝛂
𝟐 𝐭𝐠 𝛂
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝛂 = 𝟏+𝐭𝐠𝟐 𝛂 ; 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛂 = 𝟏+𝐭𝐠𝟐 𝛂
𝟐 𝒕𝒈 𝒙
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐 𝒙
+
=𝟏
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝒙
2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0,
1 + tg 2 x/2  0,
2tg 2 x - 2 tg x = 0,
2tg x ( tg x – 1 ) = 0,
или
tg x =0,
x =  n, n Z ,
tg x – 1 = 0,
x =  /4 +  k, n  Z,
если k = -1, то x =
−𝟑𝝅
𝝅
если n = 0, то x = 0
если k = 0, то x = 𝟒
если n = 1, то x = 𝝅
если k = 1, то x =
𝝅
0+𝝅++𝟒 =
Ответ:
𝟓𝝅
𝟓𝝅
𝟒
𝟓𝝅
𝟒
𝟒
𝟒
6. Физкультминутка. Следим глазами за геометрическими фигурами.
Подведение промежуточных итогов.
7. Самостоятельная работа.
Учащиеся, набравшие меньше 4 баллов выполняют вариант 1.
Учащиеся, набравшие от 4 до 7 баллов выполняют вариант 2.
Учащиеся, набравшие больше 7 баллов выполняют вариант 3.
Вариант 1
№ Баллы
1
0,5
2
3
4
5
1
2
2,5
4
Задание
𝝅
𝟑𝝅
Из чисел 0, 𝟐 , 𝝅, 𝟐 выпишите корни уравнения cos x = 0
Решить уравнение: sin2 x =1
Решить уравнение: cos 2 x -- cos x = 0
Решить уравнение: 𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝒕𝒈 𝒙
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
6 sin 2 x -- 3 sin 2x + 4 cos 2 x = 8
Вариант
сборника
экзамен. заданий
В. 50, № 1
В. 29, № 3
В. 10, № 3
В. 38, №7
В. 65, № 9
Вариант 2
№
Баллы
Задание
1
1
2
3
4
5
1,5
2,5
4
5
Найдите острый угол x для которого 2 sin x =1 :
а) 1500;
б) 600;
в) 300;
г) 450.
2
2
Решить уравнение: sin x -- sin x = cos x
Решить уравнение: cos 2 x + 3 = 4 cos x
Решить уравнение: sin 5x -- sin 9x = √𝟑sin 2x
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
sin4 x -- cos 4 x = √𝟑 sin 2x - 2
Вариант
сборника
экзамен. заданий
В. 99, №1
В. 5, №3
В. 38, №7
В. 44, №7
В. 66, №9
Вариант 3
№
Баллы
1
1,5
2
3
4
5
2
3
5
5,5
Задание
Найдите тупой угол x для которого 2 sin x =√𝟑 :
а) 600;
б) 1500;
в) 300;
г) 1200.
Решить уравнение: 2 sin 2 x - 2cos 2 x - √𝟑 = 0
Решить уравнение: 3sin4 x + 2 = 2cos 24 x
Решить уравнение: cos 3x + cos 7x = 1 + cos 10x
Решите уравнение: sin2 x + √𝟐 cos x = 0 и найдите
расстояние между наименьшим положительным и
наибольшим отрицательным корнями уравнения.
Вариант 1 (подсказки)
№2. Частный случай: sin x=1
𝜋
x = + 2𝜋n , nZ
2
Вариант
сборника
экзамен. заданий
В. 100, №1
В. 33, №7
В. 42, №8
В. 43, №7
В. 81, №8
№3. Вынести общий множитель и решить два уравнения.
№4. Перенести слагаемое из правой части в левую и ввести новую
переменную tg x= t. Решить квадратное уравнение. Сделать обратную
замену.
№5. 1. Представить число 8, как 8∙1=8 (sin2 x+ cos2 x) и sin2x= 2sinxcos x
2. Привести подобные слагаемые и получить однородные уравнение.
3. Разделить каждое слагаемое на cos2x0 .
4. Далее как в № 4.
5. Для выбора корня использовать возрастание функции y=tg x.
Вариант-2 (подсказки)
№2. Перенести слагаемое sin2 x из левой части в правую.
№3. Ввести новую переменную cos x= t , ⃓ t⃓ ≤1
№4. 1.В левой части уравнения воспользоваться формулой
sin𝛼 - sin𝛽 = 2 sin
𝛼−𝛽
2
∙ cos
𝛼+𝛽
2
2. Вынести общий множитель за скобки решить 2 уравнения.
№5. 1. Левую часть уравнения разложить на множители по ФСУ.
2. Получить уравнения вида: a sin mx + b cos mx= c
Решить его любым способом:
- универсальной постановки
- методом введения вспомогательного аргумента.
Вариант-3 (подсказки)
№2. Свернуть формулу cos2 x – sin 2x = cos2x.
№3. Выразить cos 24x через основное тригонометрическое тождество.
№4.
1. В левой части уравнения использовать формулу;
𝛼+ 𝛽
сos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
2
𝛼− 𝛽
∙ cos
2
2. В правой части уравнения использовать формулу:
1+ cos2α
2
= cos2α
3. Вынести за скобки общий множитель, решить 2 уравнения;
№5. Решить уравнения, найти наибольший корень уравнения x1 ,
наименьший x2 и найти расстояние между корнями как x1-x2.
8. Проверка самостоятельной работы. Выставление баллов в оценочный лист.
Вариант 1
Задание №1
 3
cos x=0
Ответ: ;
2
2
Задание №2
sin 2x=1

2x = + 2к , к 

2
x = + к , к 
4

Ответ : x = + к, к 
4
Задание №3
cos2 x –cos x=0
cos x(cos x – 1)=0
cos x=0 ,

х = + к, к ,
2

Ответ : + к, к ,
2
или
или
cos x – 1 = 0
cos x=1
x=2n, n 
x=2n, n 
Задание №4
tg2 x-5=4tgx
tg2 x-4tg x-5=0
Пусть tgx = t , тогда
t2 - 4t - 5=0
Д=42 - 4(-5) = 36, √Д = 6,
4−6
t1=
= -1;
или
2
tg x=-1 ,
или

x=- + к, к ,
или
4

4+6
t1=
=5
2
tg x=5
x=arctg 5 +n, n 
Ответ: − + k, k , arctg 5 + n, n 
4
Задание №5.
6 𝑠𝑖𝑛2 x – 3 𝑠𝑖𝑛 2x + 4 cos2x =8
6 sin2x – 3· 2 sin x·cos x + 4 cos2x = 8 (sin2x + cos2x)
6 sin2x – 6 sin x cos x + 4 cos2x – 8 sin2x - cos2x=0
- 2sin2x – 6 sin x cos x - 4 cos2x = 0 ⃓:(-2)
sin2x + 3 sin x cos x + 2 cos2x = 0 ⃓: cos2 x 0
tg2 x + 3tg x + 2 = 0
Пусть tg x = t, тогда
t2 + 3t+2 = 0;
Д= 9-8=1, √Д = 6,
−3+1
t1=
= -1,
или
t2 = -2
2
tg x = -1,
или
−
x = + k, k  , или
tg x = -2
x= arctg 2 + n, n .
4

т.к. -1>-2 и y= tg x возрастающая функция ,то x =− .
4
Вариант 2
Задание
2 sin x = 1
1
sin x =
2
х = 30˚
Ответ: В) 30˚
Задание №2
sin x – sin2 x = cos2 x
sin x = cos2 x + sin2 х
sin x = 1

x = + 2 π k, k ∈ 𝛧
2
Ответ :

x=
2
№1
+ 2 π k, k ∈ 𝛧
Задание №3
cos2 x + 3 = 4 cos x,
cos2 x – 4 cosx + 3 = 0,
Пусть cosx = t , |𝑡| ≤ 1, тогда
t2 - 4 t + 3 = 0
Д = 16 – 4 ∙ 3 = 4;
t1 =
4−2
2
= 1, или t2 =
4+ 2
2
= 3 – не удовлетворяет условию
сos х = 1
х = 2  k, k ∈ 𝛧
Ответ: 2  k, k ∈ 𝛧
Задание №4
sin5х – sin 9х = √3 sin 2х
5𝑥−9𝑥
2 sin
2
cos
5𝑥+9𝑥
2
= √3 sin 2x
2 sin(-2x) cos 7x = √3 sin 2x
-2 sin 2x cos 7x - √3 sin zx=0
-sin 2x (2 cos 7x + √3) = 0
- sin 2x=0
или
2 cos 7x+√3=0
sin 2x = 0
2cos 7x + √3 = 0
2x = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝛧
cos 7x = -
√3
2
х=
𝜋𝑛
𝜋
7x = ± (𝜋 − ) + 2𝜋k, к ∈ 𝛧
,𝑛∈𝛧
2
6
7x = ±
х=±
Ответ:
𝜋𝑛
2
,±
5𝜋
42
+
2𝜋𝑘
7
5𝜋
6
5𝜋
42
+ 2𝜋𝑘, k ∈ 𝛧
+
2𝜋𝑘
7
,k ∈𝛧
, n, k ∈ 𝛧.
Задание №5
sin4 x - cos4 x = √3 sin 2x – 2,
(sin2 x - cos2 x) (sin2 x + cos2 x)= √3 sin 2x – 2,
- (cos2 x -sin2 x) = √3 sin 2x – 2,
-cos2 x - √3 sin 2x = - 2,
cos2 x + √3 sin 2x = 2,
1
2
√3
2
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 +
𝜋
sin 2x = 1,
𝜋
sin ∙ cos2 x + cos ∙sin 2x = 1,
6
6
𝜋
sin ( + 2х) = 1,
6
𝜋

2х + = + 2 πк , к ∈ 𝛧
6
2х = -2х =
𝜋
3
𝜋
2
𝜋 
6
+ + 2 π k, k ∈ 𝛧
2
+ 2 πk, k ∈ 𝛧
х = + πk, k ∈ 𝛧
6
𝜋
Наименьший положительный корень уравнения: при k=0.
Ответ :
6
𝜋
6
Вариант 3
Задание№1
2 sinx = √3,
√3
sinx = ,
2
x= 120°.
Ответ: г)120°
Задание №2
2 si𝑛2 x - 2 co𝑠 2 x - √3 = 0,
-2 (co𝑠 2 x - si𝑛2 x) = √3,
-2cos 2x = √3,
cos 2x = -
√3
,
2
2x = ± arccos (𝜋
√3
)
2
+2πк, кЄZ,
2x=± (𝜋 − )+2 πk, kЄZ,
6
2x=±
5𝜋
+ 2πk, kЄZ,
6
5𝜋
x=±
12
+ πk, kЄZ.
5𝜋
Ответ: ± + πк.
12
Задание №3
sin4 x +2 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 4 x,
3 sin 4 x + 2 = 2(1 - 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 ) ,
3 sin4 x + 2 = 2 - 2𝑠𝑖𝑛2 4𝑥,
2 𝑠𝑖𝑛2 4x + 3sin 4x=0,
sin4x ∙(2sin 4x + 3) = 0,
sin 4x =0,
или 2 sin4x + 3 = 0,
4x = π k, k ∈ 𝛧,
sin 4x = -1,5,
𝜋𝑘
x = , k ∈ 𝛧,
нет решений.
4
Ответ:
𝜋𝑘
4
, k ∈ 𝛧.
Задание№4
cos 3x+cos 7x=1+cos 10x,
3𝑥+7𝑥
3𝑥−7𝑥
2(1+𝑐𝑜𝑠 2∙5𝑥)
2 cos
∙cos
=
,
2
2
2
2 cos 5x∙cos (-2x) = 2 𝑐𝑜𝑠 2 5 𝑥,
2cos 5x(cos 2x –cos 5x)=0,
2cos 5x = 0, или
cos 2x - cos 5x = 0,
2𝑥−5𝑥
2𝑥+5𝑥
cos 5x=0,
-2 sin
∙sin
= 0,
cos 5x=0,
5x =
x=

2
𝜋
10
-2 sin
+ πk, k ∈ 𝛧
+
𝜋𝑘
5
3𝑥
-sin
3𝑥
,k ∈𝛧
2
−3𝑥
2
2
𝜋
10
+
𝜋𝑘
5
,k ∈𝛧,
2 π𝑛
3
∙ 𝑠𝑖𝑛
2
2
= 0,
или
= 0,
2 π𝑛
3
2
2 π𝑚
7
, 𝑚 ∈ 𝛧.
Задание №5
sin2 x + √2 cos x = 0,
2 sin xcos x + √2 cos x = 0,
cos x(2sinx +√2 ) = 0,
или 2sinx +√2 = 0,
cos x = 0,

х = + n,n
2
,
sinх = −
√2
2
х = (- 1) k+1 /4 +  k, k Z.
если n = 0, то x =

2
если k = -1, то x =
−3𝜋
если k = 0, то x = -
4
7𝑥
2
𝜋
4
= 0,
= 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝛧,
х =
, n ∈ 𝛧,
, n ∈ 𝛧,
𝑠𝑖𝑛
7𝑥
= 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝛧 ,
х =
Ответ:
2
7𝑥
2 π𝑚
7
, 𝑚 ∈ 𝛧.
если n =- 1, то x = -

2
если k = 1, то x =
5𝜋
4
.

Наименьший положительный корень уравнения , наибольший отрицательный
2
𝜋
корень уравнения: - 4 , расстояние между наименьшим положительным и наибольшим

отрицательным корнями уравнения равно
2
3𝜋
− (−
𝜋
4
3𝜋
) = 4.
Ответ: 4 .
9. Подведение итогов. По шкале каждый учащийся определяет свою
отметку.
Количество
баллов,
полученных
учащимся
Отметка по
десятибалльной шкале
оценки результатов
учебной деятельности
учащихся
1
1
2
2
3—5
3
6—8
4
9—11
5
12—14
6
15—18
7
19—23
8
24—28
9
29—30
10
10. Рефлексия. Каждый учащийся выбирает одно из лиц, ставит свою отметку, фамилию и
прикрепляет на свой уровень волны.
Задание
Устная
работа
Тест
Решение Самостоятельная
уравнения
работа.
11. Домашнее задание.
Для учащихся, получивших «3-4»: № 1221(д), 1228(г),1233(а)
Для учащихся, получивших «5-6»: № 1222(з), 1229(и),1223(е)
Для учащихся, получивших «7-8»: № 1222(к), 1230(г),1233(д)
Для учащихся, получивших «9-10»: № 1236(в), 1234(в),1237(а)
Итог
Вариант 1
№ Баллы
1
0,5
2
3
4
5
1
1,5
2,5
3,5
Задание
𝝅
𝟑𝝅
Из чисел 0, , 𝝅, выпишите корни уравнения
𝟐
𝟐
cos x = 0
Решить уравнение: sin2 x =1
Решить уравнение: cos 2 x -- cos x = 0
Решить уравнение: 𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝒕𝒈 𝒙
Найдите наибольший отрицательный корень
уравнения
6 sin 2 x -- 3 sin 2x + 4 cos 2 x = 8
Вариант
сборника
экзамен. заданий
В. 50, № 1
В. 29, № 3
В. 10, № 3
В. 38, №7
В. 65, № 9
Вариант 2
№
Баллы
Задание
Вариант
сборника
экзамен. заданий
1
1
В. 99, №1
2
3
4
5
1,5
2,5
3,5
4,5
Найдите острый угол x для которого 2 sin x =1 :
а) 1500;
б) 600;
в) 300;
г) 450.
Решить уравнение: sin x -- sin 2 x = cos 2 x
Решить уравнение: cos 2 x + 3 = 4 cos x
Решить уравнение: sin 5x -- sin 9x = √𝟑sin 2x
Найдите наименьший положительный корень
уравнения:
sin4 x -- cos 4 x = √𝟑 sin 2x - 2
Задание
Вариант
сборника
экзамен. заданий
В. 5, №3
В. 38, №7
В. 44, №7
В. 66, №9
Вариант 3
№
Баллы
1
1,5
2
3
4
5
2
3
4,5
5
Найдите тупой угол x для которого 2 sin x =√𝟑 :
а) 600;
б) 1500;
в) 300;
г)
0
120 .
Решить уравнение: 2 sin 2 x - 2cos 2 x - √𝟑 = 0
Решить уравнение: 3sin4 x + 2 = 2cos 24 x
Решить уравнение: cos 3x + cos 7x = 1 + cos 10x
Решите уравнение: sin2 x + √𝟐 cos x = 0 и
найдите расстояние между наименьшим
положительным и наибольшим отрицательным
корнями уравнения.
В. 100, №1
В. 33, №7
В. 42, №8
В. 43, №7
В. 81, №8