Дискретная математика - Пермский институт экономики и

Автономная некоммерческая организация высшего образования
«ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
Кафедра прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры прикладной информатики
и естественнонаучных дисциплин
Протокол от «04» сентября 2015 г. № 01
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Дискретная математика»
для студентов заочной формы обучения
Направление: 09.03.03 «Прикладная информатика»
Пояснительная записка
Контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Дискретная математика»
составлены
в
соответствии
с
требованиями
Федерального
государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Целью изучения дисциплины является усвоение студентами теоретических основ
дискретной математики и математической логики, ознакомление студентов с понятиями,
фактами и методами, составляющими теоретические основы информатики, развитие
логического мышления.
В процессе изучения дисциплины студент должен выполнить контрольную работу.
Выполнение контрольной работы является итогом самостоятельного изучения студентом
курса.
Рекомендации по выполнению контрольной работы
Контрольная работа выполняется после изучения курса «Дискретная математика»
высылается на проверку в Институт в срок, указанный преподавателем.
Цель контрольной работы – закрепить теоретические и практические знания,
полученные студентами на занятиях и в процессе самостоятельной работы с литературой;
сформировать практические навыки проведения студентами математических расчетов.
Номер варианта определяется по начальной букве фамилии обучающегося:
Начальная буква фамилии студента
Номер варианта
А, Л, Х
1
Б, М, Ц
2
В, Н, Ч
3
Г, О, Ш
4
Д, П, Щ
5
Е, Р, Э
6
Ж, С, Ю
7
З, Т, Я
8
И, У
9
К, Ф
10
Оценка контрольной работы:
В итоге работа может быть оценена на «зачтено» или «не зачтено». «Зачет» ставится,
если выполнено не менее 70% заданий, в решении не содержится грубых ошибок. «Незачет»
ставится, если студент не справился с заданием (выполнено менее 70% заданий варианта), в
решении имеются грубые ошибки.
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради или на листах формата А4,
с обязательным оформлением титульного листа.
При оформлении контрольной работы необходимо переписать условия каждого
задания, записать решение, используя при этом необходимые формулы, дать краткое
пояснение всех расчетов. Задания, в которых даны только ответы без необходимых
пояснений и расчетов, не засчитываются.
В конце работы необходимо привести список использованной литературы, поставить
свою подпись и дату.
Получив проверенную работу, следует внимательно изучить замечания и рекомендации
преподавателя, проанализировать отмеченные ошибки и недостатки, внести необходимые
дополнения и исправления.
Зачтенная работа предъявляется преподавателю на экзамене.
В случае затруднений в решении задач студенты могут обращаться за консультацией
(письменной или устной) к преподавателю в институт.
Рекомендуемая литература
1. Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика: учебник
для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 368 с.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. - 3 е изд., перераб. - М.: Физматлит, 2006. - 416 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер,
2014. – 432 с.
4. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий: учеб.
пос. для вузов. - СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 400 с.
5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учеб. пос. для вузов. - 5 - е изд.,
стер. - М.: Высшая школа, 2008. - 384 с.
Задание 1. Варианты:
1. Заданы два множества А {1,5,7,11} и В {5,9,11,15}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
2. Заданы два множества А {1,3,5,7,11} и В {3,5,9}. Определить множества АUВ, А∩В,
А/В, В/А, АΔВ.
3. Заданы два множества А {2,4,6,9} и В {1,2,3,6}. Определить множества АUВ, А∩В,
А/В, В/А, АΔВ.
4. Заданы два множества А {4,6,10,16} и В {6,10,12,18}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
5. Заданы два множества А {4,6,10,12} и В {4,8,12,16}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
6. Заданы два множества А {1,3,5,9} и В {3,5,7,11,13}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
7. Заданы два множества А {1,3,9,11} и В {2,3,5,6,7}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
8. Заданы два множества А {2,4,8,12} и В {3,4,5,8,10}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
9. Заданы два множества А {1,3,6,8} и В {3,6,7,9}. Определить множества АUВ, А∩В,
А/В, В/А, АΔВ.
10. Заданы два множества А {1,2,4,8,10} и В {3,4,5,6}. Определить множества АUВ,
А∩В, А/В, В/А, АΔВ.
Задание 2. Варианты:
1. Экзамен сдавали 40 студентов. Выдержали его — 30 человек, оценку меньше «5»
получили 37 человек. Сколько человек получили оценки «3» и «4»?
2. На курсе 1500 человек. 1050 человек изучают английский язык, 675 — немецкий
язык, а оба языка — 345 студентов. Сколько человек не изучают иностранный язык?
3. В олимпиаде участвовали 40 человек. Нужно было выполнить 2 задания. Первое
задание выполнили 30 , а второе — 25 человек. 5 человек не выполнили ни одного задания.
Сколько человек выполнили оба задания?
4. Курсовую работу защищали 20 студентов. Защитили ее — 15 человек, оценку
меньше «5» получили 18 человек. Сколько человек получили оценки «3» и «4»?
5. На курсе 120 студентов. Математику изучают 60 человек, информатику — 80,
математику и информатику — 40. Сколько человек не изучают математику и информатику?
6. На экзамене присутствовали 28 человек. Нужно было решить 2 задачи. Первую
задачу решили 20, а вторую — 22 человека. 3 студента не выполнили ни одного задания.
Сколько студентов выполнили оба задания?
7. В каникулы в театр собирались сходить 64 школьника. Один спектакль посмотрели
55 человек, другой спектакль — 37, оба спектакли — 35 человек. Сколько школьников не
посмотрели ни одного спектакля?
8. Контрольную работу выполняли 89 студентов. Защитили её — 70 человек, оценку
меньше «5» получили 65 человек. Сколько человек получили оценки «3» и «4»?
9. На курсе 200 студентов. Философию изучают 160 человек, логику — 180,
философию и логику — 140. Сколько человек не изучают философию и логику?
10. На экзамене присутствовали 84 человек. Нужно было ответить на 2 вопроса. На
первый вопрос ответило 75, а второй — 72 человека. 6 студента не смогли ответить совсем.
Сколько студентов ответили на оба вопроса?
Задание 3. Варианты:
1. Составить таблицу истинности для формулы: х1  х 2 .
2. Составить таблицу истинности для формулы: ( х  у )  ( х  у  х  у ) .
3. Составить таблицу истинности для формулы: ( х1  х 2)  х 3 .
4. Составить таблицу истинности для формулы: ( х1  х 2)  ( х1  х 2  х3).
5. Составить таблицу истинности для формулы: х  у  ( у  х  z ) .
6. Если х=1, что можно сказать о значении импликации х  у  z ?
7. Если х=1, что можно сказать о значении импликации х  ( у  z ) ?
8. Пусть х=0, у=1, z=1. Найдите значение высказывания: х  ( у  z ) .
9. Пусть х=0, у=1, z=0. Найдите значение высказывания: ( х  у )  у .
10. Пусть х=0, у=0, z=1. Найдите значение высказывания: х  ( у  z ) .
Задание 4. Варианты:
1. Доказать равносильность: ( х  у ) & ( х  у )  х .
2. Доказать равносильность: х  ( х & у )  х  у .
3. Доказать равносильность: х  у  х  у .
4. Доказать равносильность: ху  х у  х у  х  у .
5. Доказать равносильность: х  у  у  х .
6. Доказать равносильность: х  ( у  z )  х & у  z .
7. Доказать равносильность: х  ( х & y & z )  ( x & y & z )  ( x & y & z )  ( x & y & z ) .
8. Упростить формулу: ( х  х)  х .
9. Упростить формулу: х  ( х  у ) .
10. Упростить формулу: х  у  ( х  у)  х .
Задание 5. Варианты:
1. Студенту на письменном тесте предложено 3 вопроса, требующих ответов «да» и
«нет». Он плохо готов, но он знал логику, и проделав некоторые вычисления на основе
предположений понял, может получить хорошую оценку. Предположения:
а) 1 и 3 вопросы требуют противоположного ответа;
б) 2 и 3 вопросы требуют одинаковых ответов;
в) ответов «нет» больше, чем «да».
2. Студенту на письменном тесте предложено 3 вопроса, требующих ответов «да» и
«нет». Он плохо готов, но он знал логику, и проделав некоторые вычисления на основе
предположений понял, может получить хорошую оценку. Предположения:
а) 1 и 2 вопросы требуют противоположного ответа;
б) 1 и 3 вопросы требуют одинаковых ответов;
в) ответов «нет» больше, чем «да».
3. Студенту на письменном тесте предложено 3 вопроса, требующих ответов «да» и
«нет». Он плохо готов, но он знал логику, и проделав некоторые вычисления на основе
предположений понял, может получить хорошую оценку. Предположения:
а) 2 и 3 вопросы требуют противоположного ответа;
б) 1 и 2 вопросы требуют одинаковых ответов;
в) ответов «нет» больше, чем «да».
4. Студенту на письменном тесте предложено 3 вопроса, требующих ответов «да» и
«нет». Он плохо готов, но он знал логику, и проделав некоторые вычисления на основе
предположений понял, может получить хорошую оценку. Предположения:
а) 1 и 2 вопросы требуют противоположного ответа;
б) 1 и 3 вопросы требуют одинаковых ответов;
в) ответов «да» больше, чем «нет».
5. Студенту на письменном тесте предложено 3 вопроса, требующих ответов «да» и
«нет». Он плохо готов, но он знал логику, и проделав некоторые вычисления на основе
предположений понял, может получить хорошую оценку. Предположения:
а) 1 и 3 вопросы требуют противоположного ответа;
б) 2 и 3 вопросы требуют одинаковых ответов;
в) ответов «да» больше, чем «нет».
6. Следователь допрашивал 3 свидетелей А, Б и В. Их показания противоречили друг
другу, но в ходе дальнейшего расследования оказалось, что один из них говорил правду. Кто
это был если:
а) А сказал, что показания Б — ложь;
б) Б сказал, что показания В — ложь;
в) В сказал, что лгут А и Б.
7. Следователь допрашивал 3 свидетелей А, Б и В. Их показания противоречили друг
другу, но в ходе дальнейшего расследования оказалось, что один из них говорил правду. Кто
это был если:
а) А сказал, что показания В — ложь;
б) Б сказал, что лгут А и В;
в) В сказал, что показания А — ложь.
8. Следователь допрашивал 3 свидетелей А, Б и В. Их показания противоречили друг
другу, но в ходе дальнейшего расследования оказалось, что один из них говорил правду. Кто
это был если:
а) А сказал, что лгут Б и В;
б) Б сказал, что показания В — ложь;
в) В сказал, что лгут Б и В.
9. Следователь допрашивал 4 свидетелей А, Б, В и Г. Их показания противоречили
друг другу, но в ходе дальнейшего расследования оказалось, что один из них говорил правду.
Кто это был если:
а) А сказал, что показания Б — ложь;
б) Б сказал, что показания Г — ложь;
в) В сказал, что лгут А и Б;
г) Г сказал, что показания А — ложь.
10. Следователь допрашивал 4 свидетелей А, Б, В и Г. Их показания противоречили
друг другу, но в ходе дальнейшего расследования оказалось, что один из них говорил правду.
Кто это был если:
а) А сказал, что показания Б — ложь;
б) Б сказал, что показания Г — ложь;
в) В сказал, что лгут Б и Г;
г) Г сказал, что показания А — ложь.
Задание 6. Варианты:
1. Герман из повести А. С. Пушкина «Пиковая дама» вынимает 3 карты из колоды в 52
листа. Найдите вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.
2. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь.
Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих
и 3 красных шара.
3. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров.
Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?
4. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди
наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?
5. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара.
Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?
6. Коллектив, включающий четырех женщин и троих мужчин, разыгрывает 4 билета в
театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины
и 2 мужчины?
7. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов.
Определите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.
8. В урне 6 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают 5 шаров.
Найдите вероятность того, что среди них окажутся 2 белых и 1 черный шар.
9. Юноша забыл две последние цифры телефонного номера своей знакомой и, помня
лишь, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер
будет набран правильно?
10. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами
могут быть распределены уроки в один день?
Задание 7.
Изобразить графы, заданные матрицами А(G) или В(G). Найти матрицу В(G) или А(G).
Варианты:
1

0
1-2. A(G )   1

1

0
0
0
0
1
0
1

0
3-4. А(G )  
1

0

0 1 1

1 0 1
1 0 1

0 1 0 
0

0
5-6. А(G )  
0

1

0 0 0

0 0 1
0 0 1

0 1 0 
 1

 0
7-8. B(G )   0

1

 0
0

0
9-10. а) А(G )   1

1

0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0

1
0

0

0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1

1 
0

0

0
1
1
0
0
0
1

1
0

0

0
0
1
1
0
0
Задание 8 (для всех вариантов)
1. Постройте покрывающее дерево и окончательный вариант простого цикла
перемещения по городу при поиске нужного Вам объекта (например, товара по магазинам
города), исходя из минимизации времени проезда. Задайте самостоятельно вид объекта,
вершины графа (например, магазины), веса ребер графа, начальный пункт.
2. Найдите кратчайший путь от дома до Вашей работы (института или другой конечной
точки), построив граф движения общественного транспорта до выбранного объекта. Задайте
самостоятельно веса ребер графа.