ПРАКТИКУМ ПО СТАТИСТИКЕ

БАРЛИАНИ А.Г.
ЗАДАЧНИК ПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ
«Сборник задач по общей теории статистики» составлен в соответствии со
стандартом курса «теории статистики». Содержит краткий обзор основных понятий общей теории статистики. Рассматриваются сводка и группировка статистических данных и их роль в анализе информации, абсолютные, относительные и средние величины, показатели вариации, выборочное наблюдение, анализ взаимосвязей меду социально - экономическими явлениями, динамические
ряди их применение в экономических исследованиях, индексный анализ в экономике. Представлены типовые примеры с решениями задач.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся по экономическим
специальностям.
ВВЕДЕНИЕ
В современном обществе в механизме управления экономикой, важную
роль играет статистика. Она осуществляет сбор, научную обработку, анализ и
обобщение информации, которая характеризует развитие экономики страны,
культуры и уровня жизни населения. В результате предоставляется возможность выявления взаимосвязей в экономике, изучение динамики ее развития,
проведения международных сопоставлении и конечном итоге – принятия эффективных управленческих решений на региональном государственном уровнях. Поэтому главной задачей статистики является исчисление и анализ статистических показателей, благодаря чему органы управления получают всестороннюю характеристику управляемых объектов, будь то вся национальная экономика или отдельные ее отрасли, предприятия и их подразделения.
Общая теория статистики разрабатывает общие принципы и методы статистического исследования общественно – экономических явлений. Она является
базовой учебной дисциплиной, формирующей необходимые профессиональные
знания у экономистов, менеджеров и руководителей предприятий.
Настоящее учебное пособие состоит из восьми тем. Причем каждая тема
состоит из трех параграфов. В первом параграфе даются методические указания
для студентов, излагается теория по изучаемому материалу, приводятся сжатые
теоретические указания о методах расчета и анализа показателей. Затем рассматриваются типовые примеры с решениями, которые позволяют обучаемому
наиболее полно и глубоко изучить материалы. Во втором параграфе представлен набор задач и упражнений для проведения практических занятий и самостоятельных заданий студентов. В третьей представлены методические указания для преподавателя, в частности излагаются содержание аудиторных занятий со студентами, разъяснения о том, что должна представлять собой внеаудиторная работа студентов, содержатся рекомендации относительно контрольных
работ по темам курса.
Учебное пособие завершается приложениями, в которых представлены математико – статистические таблицы.
ТЕМА 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
1.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Статистическое наблюдение. В данной теме должны рассматриваться вопросы, связанные сбору первичной статистической информации, которая в
дальнейшем будет анализироваться, систематизироваться и обобщаться.
Статистическое наблюдение - первая стадия статистического исследования, представляющая собой научно организованный сбор массовых данных
об изучаемых явлениях и процессах общественной жизни. Однако не всякий
сбор сведений является статистическим наблюдением. О статистическом
наблюдении можно говорить лишь тогда, когда изучаются статистические закономерности, т. е. такие, которые проявляются только в массовом процессе, в
большом числе единиц какой – то совокупности.
Поэтому необходимо уяснить, что статистическое наблюдение должно
быть планомерным, массовым и систематическим.
Планомерность статистического наблюдения заключается в том, что оно
готовится и проводится по разработанному плану, который входит в план всего
статистического исследования и включает вопросы методологии, организации,
техники сбора информации, контроля ее достоверности и оформления итоговых
результатов.
В плане статистического наблюдения указываются время и место наблюдения. Выбор времени предусматривает решение двух вопросов - установление
критического момента (даты) или интервала времени и определение срока (периода) наблюдения.
Статистические показатели характеризуют исследуемое явление либо на
определенный момент времени, либо за определенный период времени. Например, показатель численности работающих или запас материалов могут быть
представлены на определенный момент (на начало месяца, начало или конец
года и т. д. ), а данные о количестве произведенной продукции могут быть
представлены только за определенный интервал времени ( день, месяц, квартал,
год ).
Срок ( период ) наблюдения – это время от начало до окончания сбора
сведений, т. е. время, в течение которого производится заполнение статистических формуляров ( бланков определенных форм учета и отчетности ).
Массовый характер статистического наблюдения предполагает, что оно
охватывает большое число случаев проявления исследуемого явления или процесса, достаточное для получения правдивых статистических данных.
Системность статистического наблюдения определяется тем что оно
должно проводиться либо систематически, либо непрерывно, либо регулярно.
Только такой подход позволяет изучить тенденции и закономерности социально-экономических процессов, характеризующихся количественными и качественными изменениями.
Итак, в результате статистического наблюдения должна быть получена
только объективная сопоставимая и достаточно полная информация, позволяющая на последующих этапах исследования обеспечить научно обоснованные
выводы о характере и закономерностях развития изучаемого явления.
Основной практической целью статистического наблюдения является получение достоверной информации для выявления закономерностей развития
явления и процессов.
Задача наблюдения непосредственно вытекает из задачи статистического
исследования и предопределяет его программу и формы организации.
В зависимости от цели выбирается статистического наблюдения.
Объект статистического наблюдения – совокупность социально- экономических явлений и процессов, которые подлежат исследованию, или точные
границы, в пределах которых будут регистрироваться статистические сведения.
Например, при переписи населения необходимо установить, какое именно
население подлежит регистрации ( наличное или постоянное ), при обследовании промышленности необходимо точно установить, какие предприятия будут
отнесены к промышленным и т. д.
Определяя объект наблюдения, необходимо точно указать единицу наблюдения.
Единицей наблюдения называется составная часть объекта наблюдения,
которая служит основой счета и обладает признаками, подлежащими регистрации при наблюдении. Так, например, объектом при переписи населения является совокупность всех жителей страны, а единицей наблюдения – каждый отдельный человек. Однако если ставится также задача определить численность и
состав домохозяйств, то единицей наблюдения наряду с человеком будет являться каждое домохозяйство.
Исходя из содержания объекта, цели и задачи статистического наблюдения
разрабатывается программа наблюдения.
Программа наблюдения представляет собой перечень показателей подлежащих регистрации. Иными словами, программа – это перечень вопросов, на
которые должны быть получены правдивые, достоверные ответы по каждой
единице наблюдения. Программа наблюдения оформляется в виде бланка ( анкеты, формуляра ), в который заносятся первичные сведения. Необходимым
дополнением к бланку является инструкция ( или указания на самих формулярах ), разъясняющая смысл вопроса. Программа должна содержать только те
вопросы, которые, безусловно необходимы для данного статистического
наблюдения. В программу следует включать лишь те вопросы, на которые
можно получить точные ответы. Программу наблюдения целесообразно строить так, чтобы ответами на одни вопросы можно было контролировать ответы
на другие.
В статистической практике используются три организационные формы
наблюдения – отчетность, специально организованное статистическое обследование и регистр. Отчетность – это такая организационная форма, при которой
единицы наблюдения представляют сведения о своей деятельности в виде
Формуляров регламентированного образца. Особенность отчетности состоит в
том, что она обязательна, документально обоснована и юридически подтверждена подписью руководителя.
Специально организованное статистическое наблюдение представляет
собой сбор сведений посредством переписей, единовременных учетов и обследований ( например, перепись населения, социологические исследования, переписи промышленного оборудования, остатков сырья и материалов ).
Регистр – такая организационная форма, которая предполагает динамическое наблюдение о каком-либо процессе или явлении по кругу закрепленных,
мало меняющихся признаков. Например «Единый государственный регистр
предприятий и организаций» ( ЕГРПО ).
Статистическое наблюдение подразделяется на виды по времени регистрации данных и по степени охвата единиц наблюдения.
По времени регистрации фактов различают непрерывное, или текущее,
наблюдение ( отчетность ), периодическое ( регистрация по мере надобности ) и
единовременное. Примерами периодического наблюдения служит перепись
населения, единовременного – перепись жилого фонда.
По степени охвата единиц совокупности различают сплошное и несплошное наблюдение.
Сплошное наблюдение называется такое, при котором регистрации подлежат все без исключения единицы изучаемой совокупности. Оно применяется,
например, при переписи населения, при сборе данных в форме отчетности,
охватывающей крупные и средние предприятия разных форм собственности,
учреждения, организации и т. д.
Несплошным наблюдением называют такое, при котором обследованию
подвергаются не все единицы изучаемой совокупности, а только их часть, на
основе которой можно получить обобщающую характеристику всей совокупности.
1.2.ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Сформулируйте определение объекта наблюдения: а) переписи научных учреждений; б) переписи торговых предприятий; в) переписи коммерческих банков; г) переписи больниц, поликлиник и других учреждений здравоохранения; д) переписи школ.
1.2. Составьте перечень наиболее существенных признаков следующих
единиц статистического наблюдения: а) жилого дома (для жилищной переписи); б) вуза; в) библиотеки; г) театра.
1.3. Сформулируйте вопросы программы наблюдения и составьте макет
статистического формуляра, а также краткую информацию к его заполнению
для изучения зависимости успеваемости от пола, возраста, семейного положения, жилищных условий и общественной активности студентов вуза при проведении специального статистического обследования по состоянию на 1 марта
2011г. Укажите, к какому виду относится данное наблюдение по времени, охвату и способу получения данных.
1.4. Торговая фирма «Л - Этуал» поручает вам разработать бланк анкетного
опроса покупателей с целью изучения контингента, посещающего фирму, удовлетворению их спроса и затрат времени на приобретение необходимой аудиои видеотехники.
1.5. Сформулируйте объект, единицу и цель наблюдения и разработайте
программу: а) обследование фирм, выпускающих детское питание; б) обследование детски садов; в) обследование автозаправочных станций.
1.6. Разработайте программу и формуляр единовременного обследования
жилищных условий студентов вуза своего города по состоянию на 01.01.11., а
также организационный план этого наблюдения.
1.7. Сформулируйте вопросы для включения их в формуляр наблюдения
по следующим признакам объектов наблюдения: а) численный состав семьи; б)
пол и возраст человека; в) количество работников на фирме; г) родственные
связи членов семьи?
1.8.С целью изучения мнения студентов об организации учебного процесса вуза, в котором вы учитесь, необходимо провести специальное обследование.
Требуется определить: а) объект и единицу наблюдения; б) признаки, подлежащие регистрации; в) вид и способ наблюдения; г) разработать формуляр и
написать краткую инструкцию к его заполнению; д) составить организационный
план обследования; е) произвести наблюдение в вашей студенческой группе и
результаты его представить в виде таблиц.
1.9.Определите объект и единицу наблюдения единовременного обследования читателей публичных библиотек. Разработайте программу и формуляр данного обследования.
1.10.Разработайте программу и формуляр единовременного обследования
жилищных условий студентов вузов своего города по состоянию на 01.01.2011
г., а также организационный план этого наблюдения.
1.11.Сделайте макеты формуляров статистических наблюдений в соответствии с программами, разработанными вами в задаче 1.5.
1.12.В 2010 г. Госкомстат России проводил всеобщий перепись населения
Российской Федерации. К какому виду наблюдения относится это обследование?
1.13.В 1994 г. Госкомстат России проводил (через свои органы) единовременное обследование организаций о составе затрат на рабочую силу. К какому
виду статистического наблюдения по признаку времени относится это обследование?
1.14.На оптовую торговую базу поступила партия товара. Для проверки его
качества была отобрана в случайном порядке десятая часть партии и путем тщательного осмотра каждой единицы товара определялось и фиксировалось его качество. К какому виду наблюдения (и по каким признакам) можно отнести это
обследование партии товара?
1.15.Производится статистическое наблюдение. Ответы на вопросы формуляра наблюдения записываются на основании документов, содержащих соответствующие сведения. Как называется такого рода наблюдение?
1.16.Редакция журнала, желая выяснить мнение читателей о журнале и их
пожелания по его улучшению, разослала анкету с просьбой ответить на содержащиеся в ней вопросы и возвратить ее в редакцию. Как называется в статистике такое наблюдение?
1.17.При проведении в 1994 г. микропереписи населения ответы на вопросы переписного листа записывались на основании ответов на них опрашиваемых лиц. Как называется такого рода наблюдение? Как называют работника
переписи, производящего опрос населения и заполнение переписных листов?
1.18.Во время Всесоюзной переписи населения 1989 г. счетчики посетили
каждую семью и записывали в переписные листы каждого в отдельности члена
семьи и его ответы на вопросы переписного листа. Как называется такой способ наблюдения?
1.19.Предполагается провести перепись скота в хозяйствах населения. Какой способ и вид наблюдения (по источнику сведений) вы предпочли бы для
этой переписи? Мотивируйте свой выбор.
Необходимо провести единовременное обследование использования оборудования на текстильных предприятиях. Каким из известных вам способом
следовало бы статистическим органам провести это обследование? Мотивируйте ваш выбор.
1.20.С помощью логического контроля подвергните проверке следующие
ответы на вопросы переписного листа переписи населения:
а) фамилия, имя, отчество - Иванова Ирина Петровна;
б) пол - мужской;
в) возраст — 5 лет;
г) состоит ли в браке в настоящее время - да;
д) национальность - русская;
е) родной язык - русский;
ж) образование - среднее специальное;
з) место работы - детский сад;
и) занятие по этому месту работы - медицинская сестра. В ответах на какие вопросы вероятнее всего произведены ошибочные записи? Можно ли
исправить какие-либо из них?
1.21.В одном из переписных листов переписи населения, имевшей критическим моментом 12 часов ночи с 13 на 14 февраля 1994 г., были произведены следующие записи:
а) фамилия, имя, отчество - Петров Сергей Иванович;
б) пол - мужской;
в) возраст - 50 лет, родился в 4-м месяце 1925 г.;
г) состоит ли в браке в настоящее время - нет;
д) национальность - русский; )
е) образование - среднее;
ж) место работы - ателье верхней одежды;
з) занятие по этому месту работы - бухгалтер;
и) общественная группа - рабочий.
Укажите, какие из ответов не согласуются между собой.
1.22. Проверьте с помощью счетного (арифметического) контроля следующие данные, полученные от детского сада:
а) всего детей в детском саду - 133;
б)
в том числе: в старших группах - 37, в средних группах - 43, в
младших группах - 58;
в) из всего числа детей: мальчиков - 72, девочек - 66.
Если вы установили несоответствие между некоторыми числами, то считаете ли вы достаточными основания для внесения соответствующей поправки?
1..23. Проверьте следующие данные о выручке от обслуживания населения предприятиями связи района города и дайте наиболее вероятное объяснение несоответствия между числами, которые вы обнаружили (тыс. руб.):
Всего выручка
- 255
в том числе выручка от:
продажи конвертов, марок,
открыток и других видов товаров - 150
подписки на периодические издания — 200
продажи газет и журналов
- 45.
1.24. Перепись населения проводилась в период с 15 по 22 января. Критическим моментом было 12 часов ночи с 14 на 15 января.
Счетчик пришел:
1)в семью № 1 - 17 января. В этой семье 16 января умер человек. Как должен поступить счетчик: а) не вносить сведения об умершем в переписной лист;
б) внести с отметкой о смерти;
в) внести без отметки о смерти;
2)в семью № 2 - 20 января и попал на свадьбу. Два часа назад молодожены
возвратились из загса после регистрации брака (до этого в зарегистрированном
браке они не состояли). Что должен записать счетчик в ответ на вопрос “Состоите ли вы в браке в настоящее время” о каждом из супругов: состоит или не
состоит?
3)в семью № 3 - 22 января. В семье 14 января родился ребенок. Как должен
поступить счетчик относительно этого ребенка: а) внести в переписной лист; б)
не вносить в переписной лист;
4) в семью № 4 - также 22 января. Один из членов семьи на вопрос “Состоит ли он в браке в настоящее время”, ответил, что не состоит, и показал счетчику свидетельство о расторжении брака, в котором указано, что брак расторгнут
в первый день переписи — 15 января. Несмотря на возражения опрашиваемого,
счетчик зарегистрировал его состоящим в браке. Правильно ли поступил счет-
чик?
1.25. В городское управление государственной статистики поступил от
предприятия “Отчет промышленного предприятия о выполнении плана по труду” за II квартал текущего года. Все необходимые сведения о выполнении плана
по труду в нем имеются, но нет подписей соответствующих должностных лиц.
Можно направить этот отчет в разработку или нет?
1.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1. Практические занятия - необходимо строит примерно таким образом:
а) избирается какой – либо реальный статистический объект для наблюдения,
для которого формируется цель наблюдения, разрабатываются программа
наблюдения, формуляр и инструкция наблюдения; б) проводится само наблюдение, то есть осуществляется сбор статистических сведений об этом объекте.
При этом в качестве объекта наблюдения можно взять студентов курса или факультета, преподавателей факультета и т. п.
Кроме того по данной теме необходимо провести семинарские занятия,
взяв основные вопросы темы из п. 1.1.
2.Самостоятельная внеаудиторная работа студентов. Такая работа может состоять из проектирования и проведения какого – либо наблюдения
(например, опрос студентов о работе преподавателей; об итогах сессии и т. д.).
Также можно рекомендовать подготовки реферата по данной теме.
3. Аудиторная контрольная работа. Промежуточными средствами для
текущего контроля успеваемости являются контрольная работа и тестирование
по данной теме, а также выполняемые индивидуальные задания.
ТЕМА 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СВОДКА И ГРУППИРОВКА
2.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Одним из основных наиболее распространенных методов обработки данных о социально – экономических процессах является систематизация первичных данных и получение на этой основе сводной характеристики объекта в целом при помощи обобщающих показателей. Это достигается посредством
сводки и группировки первичного статистического материала.
Статистическая сводка – это научно организованная обработка материалов наблюдения, включающая в себя систематизацию, группировку данных, составление таблиц, подсчет групповых и общих итогов, расчет производных показателей ( средних, относительных величин ). Она позволяет перейти к обобщающим показателям совокупности в целом и отдельных ее частей, осуществ-
лять анализ и прогнозирование изучаемых процессов.
По технике или по способу выполнения сводка может быть ручной либо
механизированной ( с помощью ЭВМ ).
Статистическая сводка проводится по определенной программе и плану.
Программа статистической сводки устанавливает следующие этапы:
выбор группировчных признаков;
определение порядка формирования групп;
разработка системы статистических показателей для характеристики групп
и объекта в целом;
разработка макетов статистических таблиц для представления результатов
сводки.
План статистической сводки содержит указания о последовательности и
сроках выполнения отдельных частей сводки, ее исполнителях и порядке изложения и представления результатов.
В сводке статистического материала отдельные единицы статистической
совокупности объединяются в группы при помощи метода группировок.
Статистическая группировка – это процесс образования однородных
групп на основе расчленения статистической совокупности на части или объединения изучаемых единиц в частные совокупности по существенным для них
признакам. Каждая из этих групп характеризуется системой статистических показателей. Например, группировка промышленных предприятии по формам
собственности и т. д.
Особым видом группировок является классификация. Классификация – это
как бы стандарт, в котором каждая единица совокупности может быть отнесена
лишь к одной группе или подгруппе. Классификация основывается на самых
существенных признаках, которые меняются очень мало ( например, классификация отраслей деятельности, классификация основных фондов и т. д. ). Таким
образом, классификация – это узаконенная, общепринятая, нормативная группировка.
Метод группировок применяется для решения трех основных задач. Во –
первых, выделение социально-экономических типов явлений. Во – вторых, изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем. Втретих, выявление взаимосвязей и взаимозависимостей между явлениями и
признаками, характеризующими эти явления. В соответствии с этими задачами
различают следующие виды статистических группировок: типологические,
структурные и аналитические (факторные).
Типологическая группировка решает задачу выявления и характеристики социально-экономических типов (частных подсовокупностей) путем разделения качественно разнородной совокупности на классы, социальноэкономические типы, однородные группы единиц в соответствии с правилами
научной группировки.
Признаки, по которым производится распределение единиц изучаемой совокупности на группы, называются группировочными признаками, или основанием группировки.
При построении типологической группировки в качестве группировчных
признаков могут выступать как атрибутивные, так и количественный признаки.
Примером типологической группировки по атрибутивному признаку – это
группировка предприятии по формам собственности, а по количественному
признаку – группировка студентов по успеваемости ( выделяются группы успевающих и неуспевающих студентов ).
Структурной группировкой называется группировка, в которой происходит разделение выделенных с помощью типологической группировки типов явлений, однородных совокупностей на группы, характеризующие их структуру
по какому-либо варьирующему признаку. В качестве группировчных признаков
могут рассматриваться, атрибутивные и количественные признаки.
При группировке по атрибутивному признаку группы отличаются друг от
друга по характеру признака. Число групп, на которые делится изучаемая совокупность, определяется числом градации атрибутивного признака.
Одной из основных задач статистических группировок состоит в исследовании связей и зависимостей между признаками единиц статистической совокупности, которая решается с помощью построения аналитических группировок. Аналитическая группировка – это группировка, выявляющая взаимосвязи взаимозависимости между изучаемыми социально-экономическими явлениями и признаками их характеризующими. Особенности аналитической группировки состоит в том, что единицы совокупности группируются по факторному
признаку, а расчет групповых средних производится по значениям результативного признака. То есть, каждая выделенная группа характеризуется средними величинами результативного признака. По изменению этих величин и определяется наличие связей и зависимостей между признаками.
Факторными называются признаки, оказывающие влияние на изменение
результативных признаков. Результативными называются признаки, изменяющиеся под влиянием факторных признаков.
В зависимости от степени сложности массового явления и от задач анализа
группировки могут производиться по одному или нескольким признакам.
Если группы образуются по одному признаку, группировка называется
простой ( например, распределение населения по возрастным группам, а семей
– по уровню доходов и т. д. ).
Группировка по двум или нескольким признакам называется сложной.
Если группы, образованные по одному признаку, делятся на подгруппы по
второму, а последние – на подгруппы по третьему и т. д. признакам, т. е. в основании группировки лежит несколько признаков, взятых в комбинации, то такая группировка называется комбинационной (например, дополнив простую
группировку населения по возрастным группам группировкой по полу, получим комбинационную группировку). Комбинационные группировки позволяют
изучить единицы совокупности одновременно по нескольким признакам.
Если группировка строится по атрибутивному признаку, то групп, как правило, будет столько, сколько имеется градаций, видов состояний у этого признака. Например, группировка предприятий по формам собственности учитывает муниципальную, федеральную, собственность субъекта Федерации и частную.
Если группировка проводится по количественному признаку, то тогда
необходимо обратить особое внимание на число исследуемого объекта и степень колеблемости группировочного признака. Если количественный группировочный признак меняется прерывно (дискретно), т. е. может принимать некоторые – чаще целые значения (например, тарифный разряд рабочих), то число групп должно соответствовать количеству значений признака.
При непрерывном изменении признак принимает любые значения (например, стаж работы или возраст рабочих), поэтому группы ограничиваются значениями признака в интервале «от – до». Интервал – количественное значение,
отделяющее одну группу (единицу) от другой, т. е. интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в
каждой группе. Количество групп и величина интервала связаны между собой:
чем больше образовано групп, тем меньше интервал, и наоборот. Количество
групп зависит от числа единиц исследуемого объекта и степени колеблемости
группировочного признака. При небольшом объеме совокупности нельзя образовывать большое число групп, так как группы будут малочисленными или даже пустыми.
При определении количество групп необходимо стремиться к тому, чтобы
были учтены особенности изучаемого явления. Поэтому число групп должно
быть оптимальным, в каждой группе должно входить достаточно большое число единиц совокупности, что отвечает требованию закона больших чисел.
При большом количестве наблюдений количество групп k  определяют по
формуле Стерджесса:
k 1  3,322  lg n
(2.1)
где n  число единиц совокупности, в общем, ее объеме.
Результат при таком расчете округляют до целого числа.
Интервалы могут быть равные и неравные. Последние делятся прогрессивно – возрастающие и прогрессивно – убывающие.
Группировка с равными интервалами целесообразно в тех случаях, когда
вариация проявляется в сравнительно узких границах и распределение является
практически равномерным (например, при группировке рабочих одной профессий по размеру заработной платы, посевов какой – либо культуры по урожайности).
Для группировок с равными интервалами величина интервала определяется по формуле:
x
x
min  R ,
h  max
k
k
(2.2)
где xmax , xmin  наибольшее и наименьшее значения признака.
Если в результате деления в формуле (2) получится нецелое число и возникает необходимость в округлении, то округлять нужно, в большую сторону, а
не в меньшую.
Пусть имеем группировку рабочих по уровню заработной платы (руб.):
6000 – 6300; 6300 – 6600; 6600 – 6900; 6900 – 7200; 7200 – 7500.
В этом распределении имеет место неопределенность: к какой группе,
например, отнести рабочего с заработком в 6300 руб., к первой или второй? Для
устранения неопределенности используется правило. Если величина признака
единицы совпадает с верхней границей группы, то эта единица переходит к
следующей группе, исключая последнюю группу. Значит рабочий, получающий
6300 руб., должен быть отнесен ко второй группе. Если же заработная плата рабочего равна 7500 руб., то этого рабочего следует отнести к последней группе.
Если размах вариации ( R  xmax  xmin ) признака статистической совокупности велик и значения признака варьируются неравномерно, то необходимо
использовать группировку с неравными интервалами.
При этом неравные интервалы могут быть прогрессивно – возрастающими
или прогрессивно – убывающими в арифметической или геометрической прогрессии. Ширина интервалов, изменяющихся в арифметической прогрессии,
определяются следующим образом:
hi 1  hi  a ,
а в геометрической прогрессии:
hi 1  hi  q ,
где a  константа, имеющая прогрессивно – возрастающих интервалов знак
«+», а для прогрессивно – убывающих интервалов знак « - «;
q  константа (для прогрессивно – убывающих интервалов q1; в другом
случае - q 1).
Применение неравных интервалов обусловлено тем, что в первых группах
небольшая разница в показателях имеет большое значение, а в последних группах эта разница незначительна.
Например, при построении группировки малых и крупнейших предприятий отрасли по показателю численности промышленно - производственного
персонала, который варьирует от 200 до 2000 человек. Поэтому необходимо
образовывать неравные интервалы: 200 – 500; 500 – 1100; 1100 – 2000, т. е. величина каждого последующего интервала больше предыдущего на 300 человек
и увеличивается в арифметической прогрессии.
Интервалы группировок могут быть закрытыми и открытыми. Закрытыми
называются интервалы, у которых имеются верхняя и нижняя границы. У открытых интервалов указана только одна граница: верхняя – у первого, нижняяу последнего. Например, группировка рабочих по уровню заработной платы
(руб.): до 10000; 10000 – 10500; 10500 – 11000; 11000 и более.
Пример 1. Произвести анализ 30 самых надежных среди малых и средних
коммерческих банков одного из регионов, применяя метод группировок.
Таблица 2.1 – Основные показатели деятельности коммерческих банков одного
из регионов, млн. руб.
№ банка
Капитал
Работающие активы
Уставный капитал
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
20710
19942
9273
59256
24654
47719
24236
7782
38290
10276
35662
20702
8153
10215
23459
55848
10344
16651
15762
6753
22421
13614
9870
24019
22969
75076
56200
60653
14813
41514
11706
19850
2556
43587
29007
98468
25595
6154
79794
10099
30005
21165
16663
9115
31717
54435
21430
41119
29771
10857
53445
22625
11744
27333
70229
124204
90367
101714
18245
127732
2351
17469
2626
2100
23100
18684
5265
2227
6799
3484
13594
8973
2245
9063
3572
7401
4266
5121
9998
2973
3415
4778
5029
6110
5961
17218
20454
10700
2950
12092
Решение:
В качестве группировочного признака возьмем уставный капитал. Образуем 4 группы банков с равными интервалами. Величины интервала определим
по формуле:
x
x
min  23100  2100 5250 млн. руб.
h  max
k
4
Обозначим границы групп:
2100 – 7350 – 1-я группа;
7350 – 12600 – 2-я группа;
12600 – 17850 – 3-я группа;
17850 – 23100 – 4-я группа.
После того как определен группировочный признак – уставный капитал,
задано число групп – 4 и обозначены сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы и определить их величины по каждой
группе. Показатели, характеризующие банки, разносятся по указанным группам
и подсчитываются итоги по группам. Результаты группировки заносятся в таблицу и определяются общие итоги по совокупности единиц наблюдения по
каждому показателю (таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Группировка малых и средних коммерческих банков одного из
регионов по величине уставного капитала
№
Группы бан- Число Работающие Капитал, Уставный капитал,
группы ков по вели- банков,
активы,
млн. руб.
млн. руб.
чине уставноед.
млн. руб.
го
капитала,
млн.–руб.
1
2100
7350
18
504898
342889
71272
2
7350 – 12600
6
343932
204694
58227
3
12600 – 17850
3
174059
130680
48281
4
17850 – 23100
3
217842
128573
62238
Итого
30
1240731
806836
240018
Теперь эти абсолютные показатели пересчитываем в «проценты к итогу».
Таким образом, получаем таблицу 2.3.
Таблица 2.3 – Структурная группировка малых и средних коммерческих банков
одного из регионов по величине уставного капитала, % к итогу
№
Группы банДоля
Структура
Структура
Структура
группы ков по вели- банков уставного капи- капитала уставного капичине уставнотала
тала
го
капитала,
млн. руб.
1
2
3
4
2100 – 7350
7350 – 12600
12600 – 17850
17850 – 23100
60
20
10
10
40,7
27,7
14,0
17,6
42,5
25,4
16,2
15,9
29,7
24,3
20,1
25,9
Итого
100
100,0
100,0
100,0
Из таблицы 2.3 видно, что в основном преобладают малые банки (их доля
составляет 60%), на долю которых приходится 42,5% всего капитала.
Более конкретный анализ взаимосвязи показателей можно сделать на основе аналитической группировки (таблица 2.4).
Таблица 2.4 – Аналитическая группировка малых и средних коммерческих банков одного из регионов по величине уставного капитала
№
Группы бан- Число Капитал, млн. руб.
Работающие активы,
группы ков по вели- банков,
млн. руб.
всего
в
среднем
всего
в среднем
чине уставноед.
на один
на один
го
банк
банк
капитала,
млн.–руб.
1
2100
7350
18
342889
19049
504898
28050
2
7350 – 12600
6
204694
34116
343932
57322
3
12600 – 17850
3
130680
43560
174059
58020
4
17850 – 23100
3
128573
42858
217842
72614
Итого
В среднем на один
банк
30
—
806836
—
—
26895
1240731
—
—
41358
Из таблицы 2.4 видно, что величины капитала и работающих активов прямо взаимозависимы и чем крупнее банк, тем эффективнее управление работающими активами.
От группировки следует отличать классификацию. Классификацией
называется систематизированное распределение явлений и объектов на определенные группы, классы, разряды на основании их сходства и различия.
Отличительной чертой классификации является то, что в основу ее кладется атрибутивный признак. Классификации стандарты, устойчивы, т. е. остаются
неизменными в течение длительного периода времени, и, как правило, разрабатываются органами государственной и международной статистики.
Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченное
распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному
варьирующему признаку. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления, позволяет судить об однородности совокупности, закономерности рас-
пределения и границах варьирования единиц совокупности. В зависимости от
признака, положенного в основание построения ряда распределения, различают
атрибутивные и вариационные ряды распределения.
Атрибутивный ряд распределения – это ряд распределения, построенный по качественным признакам, не имеющим числового выражения и характеризующим свойство, качество изучаемого социально-экономического явления.
Примером атрибутивных рядов распределения может служить распределение студентов группы ЭМ – 41 по полу (табл.2.5).
Таблица 2.5 – Распределение студентов группы ЭМ – 41 по полу
Группы студентов по полу
Число студентов, чел.
Женщины
Мужчины
Всего
19
12
31
Удельный вес в общей
численности студентов,
%
61,3
38,7
100,0
Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными. Например, распределение населения по возрасту, рабочих – по стажу работы, заработной плате и т. д.
Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и
частот.
Вариантами называются числовые значения количественного признака в
вариационном ряду распределения, они могут быть положительными отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий
по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные (прибыль) и отрицательные (убыток) числа.
Численности в каждой группе называют частотами ряда распределения.
Сумма всех частот определяет численность всей совокупности или ее объем.
Численности группы, выраженные в долях от общей численности единиц,
называются частостями. Они выражаются в долях единиц или в процентах.
Вариационный ряд в зависимости от характера вариации подразделяются
на дискретные и интервальные. Дискретный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся
дискретно и принимающему только целые значения. Например, распределение
семей по числу детей (чел.) (табл. 2.6)
Таблица 2.6
Распределение семей района по числу детей
Число детей в семье, чел.
1
2
3
Всего
Число семей, ед.
700
350
200
1250
Удельный вес, % к итогу
56,0
28,0
16,0
100,0
Интервальный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором
группировочный признак может принимать в определенном интервале любые
значения. Примером такого ряда может служить распределение работников
фирмы по уровню дохода (табл. 2.4).
Таблица 2.7
Распределение работников фирмы по уровню дохода в апреле 2011 г.
Группы работников по
Число работников, чел. Удельный вес, % к итогу
уровню дохода, руб.
До 12000
70
45,2
12000 – 15500
45
29,0
15500 – 19000
25
16,1
19000 и более
15
9,7
Итого
155
100,0
2.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
2.1. Имеются данные о заработной плате за месяц рабочих бригады (таб.
2.8).
Таблица 2.8
Табельный номер рабочего
Процент выполнения
норм выработки
Заработная плата за
месяц, руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
110,8 102,0 111,0 107,8 106,4 109,0 100,0 105,0
5910
5600
6100
6800
5850
5980
5400
5700
Требуется для выявления зависимости заработной платы рабочих от процента выполнения норм выработки произвести аналитическую группировку рабочих бригады по проценту выполнения норм выработки, выделив три группы:
а) рабочие, выполняющие нормы до 105,0%; б) рабочие, выполняющие нормы
от 105 до 110%; в) рабочие, выполняющие норму на 110% и более.
На основе выполненной группировки построить групповую таблицу.
Сформулировать вывод.
2.2. По группе грузовых автотранспортных предприятий года имеется
следующая информация за отчётный год (таб. 2.9).
Таблица 2.9
№ предприятия
Грузооборот, млн. ткм.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
62
40
42
32
22
32
52
26
47
24
19
58
44
23
32
20
Сумма затрат на перевозки, тыс. руб.
29148
22056
21669
14685
9986
17133
25285
30806
26780
14123
11785
27766
22000
13317
17280
12000
Требуется:
1) произвести группировку грузовых автотранспортных предприятий по
размеру грузооборота, выделив следующие группы: до 20 млн. ткм.; 20 –
40; 40 млн. ткм. и более;
2) по каждой группе определить: число предприятий, общий объём грузооборота, общую сумму затрат на перевозки, среднюю величину затрат
на 10 ткм.;
3) представить решение в форме статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
2.3. По годовым отчётам промышленных предприятий района получена
следующая информация (таб. 2.10).
Таблица 2.10
Среднегодовая
Объём продукстоимость ос- Среднесписочное чис№ предприятия
ции, млн. руб. новных фондов,
ло работников, чел.
млн. руб.
1
402
7,2
700
2
792
11,6
1100
3
1116
15,6
1285
4
435
7,6
705
5
1281
16,0
1300
6
1756
22,0
1450
7
510
8,4
800
8
1392
18,8
1380
9
540
9,2
825
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
924
1756
1014
1440
720
1086
1809
1125
648
1716
881
13,2
21,0
14,0
19,0
11,0
14,8
23,0
15,6
10,0
19,8
12,4
1210
1425
1208
1400
900
1300
1480
1295
895
1440
1180
Требуется:
1) выполнить группировку промышленных предприятий по стоимости основных фондов, положив в основании группировки стоимость основных
фондов: до 10 млн. руб.; 10 – 15 млн. руб.; 15 – 20 млн. руб.; 20 млн. руб. и
выше;
2) определить по каждой группе число предприятий, объём продукции,
среднесписочное число работников, объём продукции в расчёте на 1 тыс.
руб. стоимости основных фондов;
3) оформить результаты в виде статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
2.4. По отдельным бригадам строительной организации имеются следующие данные за август (таб. 2.11).
Таблица 2.11
№ бригады
Показатель
1
2
3
4
5
6
7
8
Объём работ, тыс.
819
1296
1340
1008
1468
1772
720
1904
руб.
Численность
рабочих,
16
24
25
21
27
32
15
34
чел.
Требуется:
1) для выявления зависимости объёма работ от числа рабочих, занятых в
строительных бригадах, произвести группировку бригад по численности
рабочих, выделив три группы с равными интервалами;
2) на основе выполненной группировки построить групповую таблицу.
Сформировать вывод.
2.5. Объём инвестиций, поступивших в Россию от иностранных инвесторов в 1999 г., следующий (млн. долл. США): всего инвестиций 9560, в том числе инвестиций в промышленность – 4876, строительство – 97, транспорт – 521,
связь – 386, торговлю и общественное питание – 1622, общую коммерческую
деятельность по обеспечению функционирования рынка – 190, финансы, кредит, страхование, пенсионное обеспечение – 114,прочие отрасли – 1754.
Построить статистическую таблицу, характеризующую структуру иностранных инвестиций, поступивших в Россию за 1999 г.
2.6. По 12 партиям деталей, обрабатываемых рабочими производственного
участка, имеются следующие данные (таб. 2.12).
Таблица 2.12
№ партии
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Число операций,
выполняемых при
обработке одной
детали
2
3
3
4
5
5
6
8
11
12
11
9
Число деталей в
партии
Время на обработку всей партии, ч.
12
16
4
12
20
8
12
4
4
4
3
1
3,86
1,97
1,83
8,10
4,40
4,70
5,90
5,38
3,80
4,40
3,75
1,45
Требуется:
1) выполнить аналитическую группировку, с тем чтобы выявить, наблюдается ли в условиях работы данного участка связь между количеством операций по обработке одной детали и временем её обработки;
2) результаты группировки представить в форме групповой таблицы.
Сформулировать вывод
2.7. имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за
отчётный год (таб. 2.13).
Требуется:
1) выполнить группировку предприятий по объёму продукции, приняв
следующие интервалы: а) до 600 млн. руб.; б) от 600 до 1200 млн. руб.; в)
1200 млн. руб. и более;
2) по каждой группе и в целом по всем предприятиям определить: число
предприятий, объём продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника;
3) представить результаты группировки в виде статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
Таблица 2.13
№ предприятия
Объём продукции, млн.
руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
519
1776
1395
888
1752
1440
1734
612
1398
876
1269
576
1080
624
Среднегодовая
Среднесписочное
стоимость осчисло работниновных фонков, чел.
дов, млн. руб.
10,0
900
22,8
1500
18,4
1412
12,6
1200
22,0
1485
19,0
1420
21,6
1390
9,4
817
19,4
1375
13,6
1200
17,6
1365
8,8
850
14,0
1290
10,2
900
Прибыль,
млн. руб.
27
272
194
88
292
220
276
60
224
100
110
61
128
67
2.8. По данным задачи 2.7 произвести группировку предприятий по стоимости основных фондов, приняв следующие интервалы: стоимость основных
фондов: а) до 12,0 млн. руб.; б) от 12,0 до 18,0 млн. руб.; в) от 18,0 и выше.
По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить: число
предприятий, среднегодовую стоимость основных фондов, объём продукции,
сумму прибыли, а также объём продукции в расчёте на 1 млн. руб. стоимости
основных фондов и размер прибыли в расчёте на 1 млн. руб. стоимости основных фондов. Результаты группировки оформить в виде статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
2.9. По данным задачи таблицы 2.7 произвести группировку предприятий
по численности работников, приняв следующие интервалы: а) до 1000 человек;
б) от 1000 до 1300 человек; в) 1300 человек и более.
По каждой группе и по всем предприятиям определить: число предприятий, объём продукции среднесписочное число работников, среднегодовую стоимость основных фондов в расчёте на одного работника и среднюю выработку
продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде
статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
2.10. По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчётный год (табл. 2.14).
Таблица 2.14
Объём продукции, млн. Фонд заработной платы,
№ предприятия
руб.
млн. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
124,8
256,0
190,7
185,0
403,2
115,0
106,5
350,0
110,0
256,3
187,5
140,8
167,3
208,2
135,4
370,2
19,8
38,4
31,3
31,4
56,4
19,6
17,2
49,7
17,7
40,9
30,7
23,2
27,0
32,2
21,9
51,8
Требуется:
1) сгруппировать предприятия по объёму выработанной продукции, выделив три группы (интервалы группировки разработать самостоятельно);
2) определить по каждой группе число предприятий, объём продукции,
фонд заработной платы, размер заработной платы (тыс. руб.) на 1 млн. руб.
объёма продукции;
3) оформить решение в виде статистической таблицы.
Сформулировать вывод.
2.11. По группе промышленных предприятий, выпускающих одинаковые
виды продукции, имеются следующие данные за отчетный год (таб. 2.15)
Таблица 2.15
Показатель
1
2
3
№ предприятия
4
5
6
7
8
9
Общий объём продукции, млн.
руб.
249,6 391,6 734,4 512,0 369,4 806,4 224,6 213,8 696,0
Среднесписочная численность работников,
чел.
520
680 1020 970
855 1200 585
594 1000
Фондовооружённость
работников,
тыс.
30,8 36,0 41,5 35,5 27,6 40,2 25,5 24,0 40,8
руб./чел.
Для выявления зависимости производительности труда работников,
представляющих объём продукции на одного списочного работника, от фондовооружённости (фондовооружённость – стоимость основных производственных
фондов, приходящаяся на одного работника) произвести аналитическую группировку предприятий по показателю фондовооружённости труда, выделив три
группы предприятий. Интервалы группировки разработать самостоятельно. На
основе группировки построить групповую таблицу.
Сформулировать вывод.
2.12. Заработная плата рабочих бригады за сентябрь следующая (таб. 2.16)
Таблица 2.16
Процент выполТабельный номер Тарифный разряд нения норм выработки
1
6
110,2
2
5
102,0
3
5
111,0
4
6
107,9
5
5
106,4
6
6
109,0
7
6
115,0
8
5
112,2
9
6
105,0
10
5
107,4
11
6
112,5
12
6
108,0
Заработная плата
за месяц, руб.
4820,3
3520,0
2782,4
3800,0
3615,2
4790,3
4830,5
3995,0
3612,3
3570,1
4827,4
3788,4
На основе приведённых данных произвести аналитическую группировку и
построить комбинационную таблицу, характеризующую зависимость размера
заработной платы рабочих от уровня их квалификации и процента выполнения
норм выработки. По проценту выполнения норм выработки принять две подгруппы: а) рабочие, выполняющие норму выработки до 110,0%; б) рабочие, выполняющие норму на 110% и вышке.
Сформулировать вывод.
2.13. Произвести перегруппировку данных об уровне выполнения норм
выработки рабочими двух цехов с целью получения сопоставимых показателей
и их анализа (таб. 2.17)
Таблица 2.17
Цех №1
Группы рабочих по проценту выполнения норм выработки
До 90
90 – 100
100 – 110
110 – 120
120 – 150
150 и выше
Итого
Цех №2
Группы рабочих по проценту выполнения норм выработки
До 100
100 – 120
120 – 150
150 – 180
180 – 200
200 и выше
Итого
Число рабочих, % к итогу
2,0
8,0
40,0
25,0
20,0
5,0
100,0
Число рабочих, % к итогу
9,0
40,0
25,0
15,0
7,0
4,0
100,0
2.14. По цехам предприятий имеются следующие данные за сентябрь (табл.
2.18).
Таблица 2.18
Среднемесячная зараСреднесписочное число Общий фонд заработботная плата работниработников
ной платы, тыс. руб.
ка, руб.
ПроПроПро№ цеха
цент
цент
цент
План Отчёт выпол- План Отчёт выпол- План Отчёт выполнения
нения
нения
плана
плана
плана
1
1200
105,0
108,0
3800,0
2
1078
98,0
4100,0 105,0
3
106,0
Итого
по
пред- 4100
17412,2
4000,0
приятию
Вычислить и проставить в таблицу все недостающие данные (точность
расчёта: численность работников – до целого числа, остальные показатели – с
точностью до 0,1).
2.15. Построить макет статистической таблицы, отражающей расход различных видов топлива (твёрдое, жидкое, газообразное) в тыс. т. на производство электрической и топливной энергии в регионе за отчётный год.
2.16. Объём инвестиций, поступивших в Россию от иностранных инвесторов в 1999 г., следующий (млн. долл. США): всего инвестиций 9560, в том числе инвестиций в промышленность – 4876, строительство – 97, транспорт – 521,
связь – 386, торговля и общественное питание – 1622, общая коммерческая деятельность по обеспечению функционирования рынка – 190, финансы, кредит,
страхование, пенсионное обеспечение – 114, прочие отрасли – 1754.
Построить статистическую таблицу, характеризующую структуру иностранных инвестиций, поступивших в Россию за 1999 г.
2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1.Практические занятия. Основной частью аудиторной работы со студентами является построение структурной и аналитической группировок. Для
этого преподавателем подбирается данные из статистических сборников или из
задач данной темы.
2.Самостоятельная внеаудиторная работа студентов. При обработке
материала необходим, показать на рассматриваемых примерах различный подход к определению необходимого числа групп и величины интервала. Преподаватель должен рассмотреть случай включения значений признака при их равенстве границ интервалов.
3. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости. Промежуточными средствами для текущего контроля успеваемости являются контрольная работа и тестирование по данной теме, а также выполняемые индивидуальные задания.
Тема 3.
ДАННЫХ
НАГЛЯДНОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СТАТИСТИЧЕСКИХ
3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Понятие статистической таблицы и ее элементов. Статистические таблицы являются средством оформления результатов сводки и группировки, а
также орудием анализа статистических данных и их графического представления. Таблица есть наиболее рациональная форма изложения и изображения результатов сводки и группировки, которая существенно облегчает их чтение и
анализ. Без статистических таблиц пришлось бы сопровождать каждый показатель громоздкими пояснениями. С помощью же таблиц статистические материалы располагаются в определенном порядке, удобном для их сравнения между
собой и для исчисления производных показателей. Чтобы соответствовать своему назначению, статистическая таблица должна быть по возможности небольшой, компактной и удобообозримой.
Наименование таблицы (общий заголовок)
Содержание
строк
Наименование граф (верхние заголовки)
А
1
Наименование строк (боковые заголовки)
2
3
4
5
••••
Сказуемое таблицы
Подлежащее таблицы
Итоговая строка
Итоговая графа
Статистическую таблицу от других табличных форм отличают следующие
особенности. Во-первых, в ней дается сводная характеристика единиц статистической совокупности, подводится один или несколько итогов. Во-вторых,
она содержит результаты подсчета эмпирических данных. В-третьих, характеризуемые в ней объекты и показатели располагаются так, чтобы их наименование приводилось лишь однажды в виде общего заголовка.
В целом статистическая таблица представляет собою компактное и удобочитаемое изложение ряда экономических показателей, отражающих то или
иное социально-экономическое явление или процесс. Составные части и элементы статистической таблицы, составляющие как бы ее остов, показаны на с.
?.
Таблица 3.1
Зависимость успеваемости студентов от посещаемости лекций и
практических занятий
№
п/п
Посещаемость
занятий, в %
Число студентов, Сумма баллов Средний балл
чел.
в зачетную
студента
сессию
А
1
0-20
2
20-40
3
40-60
4
60-80
5
80-100
1
2
3
Итого
Основа (остов) статистической таблицы - это ряд взаимопересекающихся
горизонтальных и вертикальных линий, образующих по горизонтали строки, а
по вертикали - графы.
Остов таблицы, заполненный заголовками граф и строк, образует макет
таблицы (табл. 3.1). Перед статистической сводкой необходимо составить макеты таблиц, которые являются выражением плана сводки. Если на пересечении
граф и строк, образующих клетки, записать соответствующие цифры и показатели, то получится полная статистическая таблица.
Статистическая таблица содержит три вида заголовков: общий, верхние и
боковые. Общий заголовок отражает содержание всей таблицы (к какому месту и времени она относится). Он располагается над ее макетом по центру и является внешним заголовком. Верхние заголовки характеризуют содержание
граф (заголовки сказуемого), а боковые (заголовки подлежащего) - строк. Они
являются внутренними заголовками. Как видим, по своему содержанию статистическая таблица напоминает грамматическое предложение: в ней принято
выделять подлежащее и сказуемое. Содержание таблицы заключается в системе
суждений, выраженных не словами, а цифрами, и оно требует определенного
порядка в расположении материала. Эти суждения касаются обобщенной характеристики групп и совокупностей единиц при помощи их численности и
сводных характеристик их признаков.
Подлежащим в статистической таблице называется объект, который характеризуется цифрами. Это может быть одна или несколько совокупностей,
отдельные единицы совокупностей (фирмы, объединения) в порядке их перечня, территориальные единицы или временные периоды, а также единицы,
сгруппированные по каким-либо признакам. Обычно подлежащее таблицы дается в левой части, в наименовании строк. Сказуемое статистической таблицы
образует система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т.е.
подлежащее таблицы. Сказуемое формирует верхние заголовки и составляет
содержание граф с логически последовательным расположением показателей
слева направо.
Расположение подлежащего и сказуемого может меняться местами. Так,
при большом перечне элементов подлежащего и небольшом сказуемого иногда
целесообразно переставить местами подлежащее и сказуемое, чтобы получить
характеристику групп более компактно. Что помещать в подлежащем, а что в
сказуемом таблицы, зависит от характера материала, задач, поставленных перед
статистической таблицей.
Виды таблиц. В зависимости от построения подлежащего статистические
таблицы подразделяются на три вида: простые, групповые и комбинационные, а
по разработке сказуемого - с простой и сложной разработкой. Простыми называются такие статистические таблицы, в подлежащем которых нет группировки, а дается перечисление территориальных единиц, единиц времени или какойлибо другой перечень. Простые таблицы имеют самое широкое распространение. Статистические данные по стране и отдельным ее зонам с перечислением в
подлежащем всех районов, всех областей или республик, всех предприятий
данного города можно представить в виде простых таблиц. Рассмотрим пример
такой таблицы (табл. 3.2). Она по своему содержанию является простой (территориальной) таблицей, так как ее подлежащее содержит название стран, а не
группировку данных.
Еще один пример простой таблицы - табл. 3.3. Она по своему построению
также принадлежит к числу простых, поскольку в подлежащем ее нет группировки, а дается перечень показателей, характеризующих медицинскую помощь
населению.
Временную характеристику развития явления также можно представить с
помощью простой таблицы. При этом в подлежащем приводится перечень дат
или периодов изменяющихся во времени данных.
Таблица 3.2
Объем инвестиций стран СНГ в экономику России в 1998 г.
Страны
Азербайджан
Армения
Белоруссия
Грузия
Казахстан
Киргизия
Молдавия
Таджикистан
Туркмения
Узбекистан
Украина
Итого
Тыс. долл. США
13
10
675
66
2819
2
126
2
7
3792
1886
9398
В % к итогу
0,1
0,1
7,2
0,7
30,0
0,0
1,4
0,0
0,1
40,3
20,1
100
Статистический анализ простой таблицы ограничивается параллельным
сравнением приведенных показателей сказуемого. Более глубокий анализ простой таблицы невозможен в силу отсутствия причинной связи между показателями подлежащего и сказуемого. Комбинация признаков сказуемого не дает
основания для отнесения простых таблиц к комбинированным, так как такая
комбинация все равно не позволяет исследовать зависимость между признаками.
Таблица 3.3
Обеспеченность населения РФ медицинской помощью (на конец года)
Показатели
1996
1997
1998
Численность врачей: всего, тыс. чел.
669
674
682
Число врачей на 10 тыс. чел. Населения
45,7
46,2
46,9
Число больничных коек на 10 тыс. чел. населения 124
121
119
Групповыми статистическими таблицами называются такие таблицы, в которых изучаемый объект разделен в подлежащем на группы по тому или иному
признаку. Иначе говоря, групповые таблицы возникают в результате применения метода группировок при сводке статистических данных. Рассмотрим табл.
3.4.
Данная таблица является групповой, так как в подлежащем ее дана группировка банков по кредитным вложениям. Анализ табТаблица 3.4
Группировка коммерческих банков по объему кредитных вложений*
№
гр/ п
1
2
3
4
5
6
Кредитные вложе- Число банков
Объем крения банка, млн. руб. единиц в % к дитных
итогу вложений,
млн. руб.
А
1
2
3
ДО 139
5
16,7
338
139 – 185
8
26,7
1088
185 – 231
6
20,0
1432
231 – 277
4
13,3
759
277 – 323
3
10,0
874
323 и более
4
13,3
1499
Итого
30
100,0
5990
Чистые активы, млн.
руб.
4
1245
2099
2576
1588
1931
3175
12614
* Цифры условные.
Данная таблица является групповой, так как в подлежащем ее дана группировка банков по кредитным вложениям. Анализ таблицы говорит о том, что
46,7% коммерческих банков имеют объем кредитных вложений от 139 до 231
млн руб., чистые активы этих банков составляют 4675 млн руб.
Часто в сказуемом групповых таблиц показатели располагаются по перио-
дам, поскольку в изменении соотношения групп во времени и проявляется конкретная закономерность. Так, в различные периоды времени изменялось соотношение городского и сельского населения в общем составе жителей страны
(табл. 3.5).
Табл. 3.5 по построению подлежащего относится к групповым таблицам,
поскольку в ней используется группировка населения на городское и сельское.
Таблица 3.5
Соотношение городского и сельского населения в России за 1996-1999 гг., %
№ Группы насе1996
гр/п ления по типу
проживания
А
1
1
Городское
72,97
2
Сельское
27,03
Итого
1997
1998
1999
2
72,94
27,06
3
73,01
26,99
4
73,00 27,00
100,00 100,00 100,00 100,00
Комбинационной называется такая таблица, в подлежащем которой дана
группировка единиц совокупности по двум или более при знакам, взятым в
комбинации. Следовательно, комбинационная таблица в подлежащем содержит
группы, образованные по одному признаку, и подгруппы (внутри групп), образованные по другому признаку. Познавательная сторона комбинационных таблиц заключается в том, что появляется возможность проследить влияние на
признаки сказуемого не одного, а двух или более факторов, т. е. признаков, которые легли в основание комбинационной группировки (табл. 3.6).
Таблица 3.6
Группировка банков России по объему вложений в ценные бумаги и величине
кредитных вложений (тыс. руб.)*
№ Объем вло-Величина
п/п жений
вкредитных Число Капитал
ценные бу- вложений, банков
маги, тыс. тыс. руб.
руб.
А
1
До 1000
Итого по
Б
1
150-8350
8350-16550 11
16550-24
750 24 750группе
32 950
11
Чистые
активы
Вклады
граждан
2
3
4
10096
31 191
1682
10096
31191
1682
150-8350 2
2 1000-2000 8350-16550 1
16
550-2
Итого по
группе
24750 24 5
750-32950
150-8350
3 2000-3000 8350-16550 3
16550Итого по группе 24750
3
150-8350
247504 3000-4000 8350-16550
2
32950
16
550Итого по группе 24750
2
150-8350
1
247505 4000 и бо-8350-16550
2
32950
лее
16
550-1
24750 24
Итого по
группе
750-32950 4
1439
1328
6088
8 855
2 866
7483
17408
45 939
70830
25 298
699
852
894
2445
4156
2 866
25298
4156
4 522
15350
121
4522
2711
9583
1612
15 350
14038
69713
41886
121
134
2299
9017
13 906
125 637
11450
Итого по под-150-8350 19
группам
8350-16550 1
165504
24750 24 1
Всего
750-32 950 25
21634
1328
15 671
1612
40245
43 360
17408
11562
41886
268306
6092
852
3193
9017
19 854
* Цифры условные.
Табл. 3.6 является по построению подлежащего комбинационной. В подлежащем таблицы дана группировка банков по объему вложений в ценные бумаги (первый признак). Эта группировка разбита на подгруппы по второму
признаку - величине кредитных вложений. Данные таблицы говорят о том, что
большинство банков вкладывает в ценные бумаги менее 1000 тыс. руб., а в общей численности банков они составляют 44%.
Что касается капитальных вложений, то наибольшую долю в общем капитале имеют банки 5-й группы. Она составляет 34,6% от общего объема капитальных вложений. К тому же в банках 5-й группы суммарная величина чистых
активов в 4 раза больше, чем в банках 1-й, и в 8 раз больше, чем в 4-й. В 5-й же
группе наибольшая величина чистых активов у банков 4-й подгруппы (с величиной кредитных вложений от 24750 млн руб. до 32950 млн руб.).
По структурному построению сказуемого различают статистические таблицы с простой и сложной его разработкой. Так, при большом числе признаков,
характеризующих каждую группу подлежащего, можно по-разному составить
таблицу. Положим, что подлежащим простой таблицы является территориальный признак -область и район, а каждая территориальная единица указывает
общую численность населения, количество мужчин и женщин и численность в
возрасте до 17 лет и 18 лет и старше.
Тогда заголовки граф таблицы будут такими:
Области,
районы
Все население
мужчины
………
………
………
………
………
………
В том числе
женщины
в возрасте
до 17 лет
18 лет и
старше
………
………
………
………
………
………
Такая разработка сказуемого в статистике называется простой, поскольку
каждый признак в сказуемом подсчитывается отдельно. В самом деле, по каждой области и району можно получить сведения о распределении населения по
полу и возрасту. Углубленную статистическую характеристику населения может дать сложная (комбинационная) разработка сказуемого. Она предполагает
деление признака на подгруппы, когда оба признака сказуемого связаны между
собой. При этом заголовки граф таблицы будут выглядеть уже по-другому:
Области,
районы
………
………
Все насе- В том числе распределение по полу и возрасту
ление
До 17 лет
18 лет и старше
женщины
мужчины
женщины
мужчины
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
В такой таблице можно проследить не только численность населения в целом, но и оценить число мужчин и женщин указанных возрастных групп.
Если в таблице с простой разработкой сказуемого может быть столько сведений о каждой группе, сколько признаков отмечено при статистическом наблюдении каждой единицы, то при сложной разработке сказуемого каждая группа
может быть охарактеризована различным сочетанием этих признаков.
Число сочетаний должно быть строго ограничено и соответствовать задаче
статистического исследования. При сложной, комбинационной разработке сказуемого разноска данных наблюдения в таблице затруднена. Поэтому построению таблиц предшествует подбор макета для нее, состоящего из строк и граф,
не заполненных цифрами.
При составлении макетов статистических таблиц (проектирования) необходимо тщательно взвесить, какие признаки подвергнуть простой, какие сложной разработке сказуемого. Надо учитывать, что комбинированный под-
счет сложнее и дороже, что при таком подсчете могут появиться таблицы с
большим количеством граф, труднодоступные для обозрения.
С другой стороны, необходимо учитывать и большие возможности статистического анализа, осуществляемого с помощью таблиц со сложной разработкой сказуемого. Подсчет итогов целесообразно начинать по таблицам со сложной разработкой сказуемого, из которых легко получаются таблицы с простой
разработкой сказуемого.
Вид таблицы не зависит от способа разработки его сказуемого. При сложной или простой разработке сказуемого таблица может быть простой, групповой или комбинационной. Следовательно, вид таблицы зависит исключительно
от разработки ее подлежащего.
Основные правила оформления и чтения таблиц. Практикой выработаны рациональные правила составления и оформления статистических
таблиц. Перечислим их.
1. Таблица должна быть по возможности компактной, небольшой по размеру. Иногда целесообразнее построить две-три небольшие таблицы, чем одну
большую. Краткую таблицу легче проанализировать. Цифровой материал необходимо располагать таким образом, чтобы при анализе таблицы сущность явления раскрывалась чтением строк слева направо и сверху вниз.
2. Заголовок таблицы и названия граф и строк должны быть четкими, краткими, лаконичными, представлять собой законченное целое, органично вписываться в содержание текста. Необходимо избегать большого количества точек и
запятых в названиях таблиц и граф. Это облегчит чтение таблиц. В заголовках
граф допускаются точки только при необходимых сокращениях.
В заголовке таблицы должны найти отражение объект, признак, время и
место совершения события. И чем короче и лаконичнее заголовок, тем он доходчивее для чтения и анализа. Естественно, делается это в меру, не в ущерб
точности и познавательности. Заголовки таблицы, граф и строк пишутся полностью, без сокращений.
3. Информация, располагаемая в графах таблицы, как правило, завершается итоговой строкой. В групповых и комбинационных таблицах всегда необходимо давать итоговые графы и строки. Существуют различные способы соединения слагаемых граф с их итогом. Так, строка «Итого» или «Всего» может завершать статистическую таблицу. Но она может располагаться первой, соединяясь с совокупностью ее слагаемых словами «В том числе».
4. Если названия отдельных граф повторяются между собой, содержат повторяющиеся термины или несут единую смысловую нагрузку, то им необходимо присвоить общий объединяющий заголовок. Данный прием используется
как для подлежащего, так и для сказуемого таблиц.
5. Строки и графы в таблице нумеруются для того, чтобы удобнее было
ссылаться на цифры в таблице. При этом графы, содержащие подлежащее, нумеруются заглавными буквами алфавита («А», «Б», «В» и т.д.), графы, содержащие сказуемое,- арабскими цифрами.
6. Взаимосвязанные и взаимозависимые данные, характеризующие одну из
сторон анализируемого явления [например, число предприятий и удельный вес
заводов (в % к итогу), абсолютный прирост и темп роста и т. д.], целесообразно
располагать в соседних друг с другом графах.
7. Графы и строки должны содержать единицы измерения, соответствующие поставленным в подлежащем и сказуемом показателям. При этом используются общепринятые сокращения единиц измерения (чел., руб., кВт/ч и т.д.).
Если все графы имеют единую единицу измерения, то она выносится в заголовок таблицы.
8. Лучше всего располагать в таблицах сопоставляемую в ходе анализа
цифровую информацию в одной и той же графе, одну под другой. Это значительно облегчает процесс их сравнения. Поэтому в групповых таблицах,
например, группы по изучаемому признаку правильнее всего располагать в порядке убывания или возрастания его значений при сохранении логической связи между подлежащим и сказуемым таблицы.
9. Для более удобной работы с цифровым материалом числа в таблицах
следует расставлять в середине граф, одно под другим: единицы под единицами, запятая под запятой и т.д., четко соблюдая при этом их разрядность.
10. Числа по возможности целесообразно округлять. При этом округление
в пределах одной и той же графы или строки следует проводить с одинаковой
степенью точности.
11. Отсутствие данных об анализируемом социально-экономическом явлении может быть обусловлено различными причинами и по-разному фиксируется в таблице. Если данная позиция (на пересечении соответствующих графы и
строки) вообще не подлежит заполнению или не имеет экономического смысла,
то ставится знак «х». Если по какой-либо причине отсутствуют сведения, то
ставится многоточие или пишут «нет сведений». Если сведения имеются, но
числовые значения меньше принятой в таблице точности, то ставится число 0,0.
Если сведения о данном явлении отсутствуют, то клетка заполняется с помощью тире.
12. Таблица может сопровождаться примечаниями, в которых указываются
источники данных, более подробное содержание показателей и другие необходимые пояснения.
Нужно уметь пользоваться статистическими таблицами. Прежде чем приступить к анализу ее данных, необходимо ознакомиться с названием таблицы,
заголовками граф и строк, установить, к какому периоду или на какую дату, к
какой территории относятся данные, обратить внимание на единицы измерения,
уяснить, какие процессы характеризуются средними и относительными величинами.
Анализ статистической таблицы следует начинать с итогов. Ознакомление
с ними дает общее представление о содержании таблицы. Затем необходимо
перейти к изучению данных отдельных строк и граф. Но читать их нужно не
подряд, а выбирать сначала частные итоги и наиболее характерные данные, а
затем анализировать все остальное.
Для получения более полного и наглядного представления об изучаемых
явлениях и процессах по данным статистических таблиц строят графики, диа-
граммы и т. д.
Статистические графики и правила их построения. Современный анализ социально-экономических явлений немыслим без применения графического метода представления данных. Графический метод есть метод условных
изображений статистических данных при помощи геометрических образов линий, точек, плоских фигур и разнообразных символических образов. Графические образы придает наглядность исходным данным, помогают представить
закономерности, которые часто трудно заметить в сложных статистических
таблицах и больших числовых массивах.
Главное достоинство статистических графиков - наглядность. При правильном их построении статистические показатели привлекают к себе внимание, становятся более понятными, выразительными, лаконичными, запоминающимися. Графики прочно вошли в практическую работу экономистов, статистиков и работников учета. В ряде случаев они являются незаменимым средством обобщения статистических данных, подведения итогов сложных исследований и выявления связи между явлениями. Поэтому так необходимо уметь
строить и читать статистические графики.
Для построения графика необходимо точно определить, для каких целей
он составляется, тщательно изучить исходный материал. Но самое главное
условие - овладение методологией графических изображений. В статистическом графике различают следующие основные элементы: поле графика, графический образ, пространственные и масштабные ориентиры, экспликация графика.
Полем графика называют место, на котором он выполняется. Это листы
бумаги, географические карты, план местности и т. п. Поле графика характеризуется его форматом (размерами и пропорциями сторон). Размер поля графика
зависит от его назначения. Стороны поля статистического графика обычно
находятся в определенной пропорции. Принято считать, что наиболее близким
к оптимальному для зрительного восприятия является график, выполненный на
поле прямоугольной формы с соотношением сторон от 1:1,3 до 1:1,5. Этот вариант именуется правилом «золотого сечения». Иногда используется и поле
графика с равными сторонами, т.е. имеющее форму квадрата.
Графический образ - это символические знаки, с помощью которых изображаются статистические данные: линии, точки, плоские геометрические фигуры (прямоугольники, квадраты, круги и т.д.). В качестве графического образа
выступают и объемные фигуры. Иногда в графиках используются и негеометрические фигуры (силуэты, изображения каких-либо предметов и т. п.). В
принципе одни и те же статистические данные можно выразить графически с
помощью самых разных средств. Поэтому-то так важен правильный подбор
графического образа. Он должен в наибольшей мере соответствовать основному предназначению графика и наиболее доходчиво отображать изучаемые показатели.
Размещение графических образов на поле графика определяют пространственные ориентиры. Они задаются координатной сеткой или контурными
линиями и делят поле графика на части, соответствующие значениям изучаемых показателей. В статистических графиках чаще всего применяется система
прямоугольных (декартовых) координат. Для построения статистических графиков используется обычно только первый и изредка первый и четвертый
квадраты.
В практике графического изображения применяются так же полярные координаты. Они необходимы для наглядного изображения циклического движения во времени. В полярной системе координат (рис. 3.1) один из лучей,
обычно правый горизонтальный, принимается за ось координат, относительно
которой определяется угол луча. Второй координатой считается ее расстояние
от центра сетки, называемое радиусом. В радиальных графиках лучи обозначают моменты времени, а окружности - величины изучаемого явления.
На статистических картах пространственные ориентиры задаются контурной сеткой (контуры рек, береговая линия морей и океанов, границы государств) и определяют те территории, к которым относятся статистические величины.
Масштабные ориентиры статистического графика определяются масштабом и системой масштабных шкал. Масштаб статистического графика - это
мера перевода числовой величины в графическую. Масштабной шкалой называется линия, отдельные точки которой могут быть прочитаны как определенные числа. Шкала имеет большое значение в графике и включает три элемента:
линию (или носитель шкалы), определенное число помеченных черточками точек, которые расположены на носителе шкалы в определенном порядке, цифровое обозначение чисел, соответствующих отдельным помеченным точкам. Как
правило, цифровым обозначением снабжаются не все помеченные точки, а
лишь некоторые из них, расположенные в определенном интервале. По правилам числовое значение необходимо помещать строго против соответствующих
точек, а не между ними.
Носитель шкалы может представлять собой как прямую, так и кривую линии. Поэтому различают шкалы прямолинейные (например, миллиметровая линейка) и криволинейные - дуговые и круговые (циферблат часов) (см. рис. 4.1).
Графические и числовые интервалы бывают равными и неравными. Если на
всем протяжении шкалы равным графическим интервалам соответствуют равные числовые, то такая шкала называется равномерной. Когда же равным числовым интервалам соответствуют неравные графические интервалы и наоборот,
то перед нами неравномерная шкала. Масштабом равномерной шкалы называется длина отрезка (графический интервал), принятого за единицу и измеренного в каких-либо мерах. Чем меньше масштаб, тем гуще располагаются на шкале
точки, имеющие одно и то же значение. Построить шкалу - это значит на заданном носителе шкалы разместить точки и обозначить их соответствующими
числами согласно условиям задачи.
Последний элемент графика - экспликация. Каждый график должен иметь
словесное описание. Оно включает его содержание, подписи вдоль масштабных
шкал и пояснения к отдельным частям графика.
Построение графика - всегда творческий процесс. Здесь необходим неко-
торый поиск. Лишь после составления и сравнения нескольких черновых вариантов можно наметить правильную композицию графика, установить масштабы
и расположение знаков на поле графика.
Наконец, о заголовке графика. Он должен кратко и точно раскрыть содержание графического изображения, дать ответ на три вопроса - что, где, когда?
Статистические графики можно классифицировать по назначению (содержанию), способу построения и характеру графического образа.
По назначению можно выделить графики сравнения в пространстве, графики различных относительных величин (структуры, динамики и т. п.), графики вариационных рядов, графики размещения по территории, графики взаимосвязанных показателей.
По способу построения графических образов можно выделить:
- диаграммы, представляющие графическое изображение статистических
данных, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами;
- картограммы, представляющие контурную географическую карту, на которой штриховкой или иным способом показана сравнительная интенсивность
изучаемого явления в пределах отдельной единицы территориального деления.
В настоящее время для графического отображения чаще применяют диаграммы. Это могут быть диаграммы точечные, линейные, плоскостные и объемные. Видами плоскостного графика являются столбиковые, квадратные, круговые, секторные, временные, фигурные диаграммы.
3.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Назовите подлежащее и сказуемое в табл. 3.7 - 3.14. Определите вид
таблицы по характеру разработки ее подлежащего и сказуемого.
3.2. По данным статистических ежегодников и периодической печати
подберите примеры следующих видов таблиц: а) монографической; б) перечневой; в) групповой; г) комбинационной.
3.3. Составьте макеты перечневых статистических таблиц, в которых разработка подлежащего была бы произведена по принципам: а) видовому; б)
территориальному; в) временному.
Таблица 3.7
Внешняя торговля России с некоторыми странами Америки (в фактически
действующих ценах)
(млн долл. США)
Страна
Экспорт
Импорт
Аргентина
Бразилия
Канада
Куба
Мексика
1992
1993
1994
1992
1993
1994
50
44
177
200
16
27
61
248
103
27
27
77
184
248
62
100
103
1080
632
3
67
114
294
436
14
38
193
180
300
7
Панама
США
Итого
159
762
1408
77
1997
2540
124
3422
4144
7
2898
4823
7
2304
3236
9
2052
2779
Таблица 3.8
Распределение женщин России по возрасту и числу рожденных детей (по
данным микропереписи населения 1994 г.)
Группы
На 1000 женщин в возрасте 18 лет и старше
Среднее
женщин
число
Женщин
в том числе
женщин,
России по родивших 1 ребе- 2 детей 3 и борожденных
не ровозрасту,
детей на
детей
дивших
нок
лее делет
ни одного 1000 жентей
щин
ребенка
18 – 19
137
131
6
0
863
144
20 – 24
499
419
73
7
501
586
24 – 29
809
467
292
50
191
1214
30 – 34
897
318
456
123
103
1640
35 – 39
925
262
489
174
75
1839
40 – 44
930
277
479
174
70
1851
45 – 49
923
309
461
153
77
1780
50 – 54
921
288
442
191
79
1878
55 – 59
915
275
420
220
85
1945
60 – 64
898
251
374
273
102
2059
65 и стар866
254
271
341
134
2218
ше
Все жен834
297
354
183
166
1704
щины
Таблица 3.9
Годы
1991
1992
1993
1994
1995
Численность населения России
Все насеВ том числе
В общей численности
ление
населения, %
городское
сельское
городское
сельское
148,5
109,8
38,7
73,9
26,1
148,7
109,7
39,0
73,8
26,2
148,7
108,9
39,8
73,2
26,8
148,4
108,5
39,9
73,1
26,9
148,3
108,3
40,0
73,0
27,0
Таблица 3.10
Котировки межбанковских кредитов крупнейших банков-дилеров на 21.03.98
г. (% годовых)
№
Срок кредита, дней
банка
1
7
14
21
30
90
- ди- по- про по- про по- про
попро по- про по- про
лера куп да- куп да- куп- да- купка да- куп- да- куп- дака жа ка жа
ка
жа
жа
ка
жа
ка
жа
1
2
3
4
5
12
40
40
10
10
76
70
60
20
20
45
30
40
45
40
81
60
55
60
56
40
45
55
45
89
70
65
70
58
35
55
65
-
91
90
75
-
55
60
60
70
45
100
110
80
80
43
60
75
-
105
120
85
-
Таблица 3.11
Ввод в действие жилых домов по формам собственности (млн м2 общей
площади)
Формы собственности предприя2007
2008
тий
всего, удельный всего,
удельный
млн. вес в обмлн.
вес в общем
щем объобъеме ввом2
м2
еме ввода, %
да, %
Всего
56,7
100
48,9
100
В том числе:
государственная собственность
15,0
26,5
10,6
21,7
из нее:
федеральная
11,7
20,6
8,5
17,3
субъектов РФ
3,3
5,8
2,1
4,3
муниципальная
7,0
12,3
4,1
8,4
частная
10,2
18,0
11,0
22,5
смешанная
9,5
16,8
12,6
25,8
Таблица 3.12
Динамика основных социально-экономических показателей (% к предыдущему году)
Показатели
2005
2006
2007
2008
Валовой внутренний продукт
87,2
81,0
88,0
85,0
Произведенный национальный доход
85,7
79,4
86,7
84,0
Основные фонды в экономике
103,4
101,9
100,3 100,0
Капитальные вложения
85,0
60,0
88,0
74,0
Прибыль в экономике, раз
2,3
15,5
7,3
1,8
Денежные доходы населения, раз
2,2
8,5
11,0
4,6
Денежные расходы населения, раз
2,1
8,2
11,6
4,9
Таблица 3.13
Структура безработных в РФ по полу и возрасту
Группы безра2002
2004
ботных
по все в том числе
все в том числе
всевозрасту, лет го
женмуж- го
женмуж го
щины чины
щины чины
19 – 19
15,5 16,4
14,7
13,6 16,3
11,8 11,8
20 – 24
15,8 14,3
17,1
16,8 14,9
18,6 16,2
25 – 29
11,6 11,0
12,1
11,9 11,4
12,4 11,3
30 – 49
39,5 39,7
39,4
43,4 43,7
43,2 48,5
50 – 54
6,5 7,2
5,9
5,6 6,0
5,3
5,2
55 – 59
5,3 5,6
5,1
5,1 5,3
4,9
4,9
60 и старше
5,8 5,8
5,7
3,6 3,4
3,8
2,1
Итого
100 100
100
100 100
100
100
2005
в том числе
жен- мужщины чины
14,2
9,5
15,2
17,2
10,9
11,8
48,1
48,8
5,3
5,0
4,2
5,5
2,1
2,2
100
100
3.4. По данным статистических ежегодников и периодической печати подберите примеры статистических таблиц с перечисленными вариантами разработки
сказуемого: а) с простой разработкой сказуемого; б) со сложной разработкой
сказуемого по двум признакам.
3.5. Составьте макеты статистических таблиц, в которых разработка сказуемого была бы произведена: а) в статике; б) в динамике; в) в территориальном аспекте; г) в пространственно-временном аспекте. По данным статистических ежегодников и периодической печати подтвердите примерами каждый из
перечисленных видов таблиц.
3.6. Разработайте макеты: а) перечневой таблицы по территориальному принципу со сложной комбинированной разработкой сказуемого по двум признакам; б) перечневой таблицы по видовому принципу со сложной разработкой
сказуемого в пространственно-временном разрезе; в) групповой таблицы со
сложной комбинированной разработкой сказуемого в пространственном аспекте; г) групповой таблицы со сложной разработкой сказуемого в динамике; д)
комбинационной таблицы с простой разработкой сказуемого в статике.
Таблица 3.14
Распределение женщин в разводе по возрасту и продолжительности расторгнутых браков в 1997 г.
Группы женщин Всего
В том числе по продолжительности браку, лет
в разводе по
развоДо 1
1–4
5–9
10 – 19
20 и
не
возрасту, лет
дов
более
указано
До 20
16623
4527
12081
3
12
20 – 24
132654 8374
10348
20720
13
64
25 – 29
132000 3440
39756
80150
8594
60
30 – 34
130169 2525
19650
44525
63405
8
56
35 – 39
104979 1839
11981
20901
66787
3422
49
40 – 44
69808 1157
7125
10786
26970
23743
27
45 – 49
34783
693
3856
4727
7832
17664
11
50 – 54
17206
443
2308
2375
2784
9287
9
55 – 59
15567
506
2180
2325
2317
8229
10
60 и старше
11650
586
2091
1720
1571
5676
6
не указано
15055
473
3544
4400
4774
1857
7
Итого
680494 24563 114920 192632 185047 69886
311
3.7. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей распределение численности занятого населения и безработных по семейному положению, и сформулируйте заголовок таблицы. Укажите: а) к какому виду таблицы
относится макет; б) его подлежащее и сказуемое; в) признак группировки подлежащего.
3.8. Разработайте макет перечневой статистической таблицы по временному
принципу, характеризующей уровень забастовочного движения в одной из
стран в 1998 г. Охарактеризуйте каждый выделенный уровень числом предприятий, на которых проходили забастовки, численностью участников и числом
человеко-дней потерь рабочего времени. Сформулируйте заголовок таблицы.
Укажите: а) к какому виду таблицы относится макет; б) его подлежащее и сказуемое; в) вид разработки подлежащего и сказуемого.
3.9. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей зависимость успеваемости студентов вашей группы от посещаемости учебных занятий и занятости внеучебной деятельностью. Сформулируйте заголовок таблицы. Укажите: а) к какому виду таблицы относится макет; б) название и вид разработки подлежащего и сказуемого; в) группированные признаки.
3.10. Спроектируйте макеты групповой и комбинационной таблиц со сложной
разработкой сказуемого для характеристики деловой активности коммерческих
банков РФ. Сформулируйте заголовки таблиц. Определите: а) подлежащее и
сказуемое; б) группировочный признаки, которые целесообразно положить в
основу группировки подлежащего таблиц; в) показатели, которые целесообразно включить в сказуемое с целью более полной характеристики объекта.
3.11. Составьте макет простой перечневой таблицы по видовому принципу с
простой разработкой сказуемого для характеристики итогов торгов на фондовых биржах РФ за период 16.02 - 22.02.98 г. Сформулируйте название макета.
Укажите в таблице: а) подлежащее и сказуемое; б) показатели сказуемого.
3.12. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей капитальные вложения по формам собственности в России и Белоруссии и капитальные
вложения по каждой форме собственности в России в процентах к Белоруссии в
1997 г. Укажите: а) заголовок таблицы; б) подлежащее и сказуемое; в) к какому виду таблицы относится макет.
3.13. Разработайте макеты таблиц для статистической характеристики: а) населения РФ по полу и возрасту; б) наиболее ликвидных акций на внебиржевом
рынке; в) предприятий какой-либо отрасли; г) деятельности коммерческих банков; д) деятельности страховых компаний России; е) рынка государственных
ценных бумаг.
3.14. Оформите в табличном виде следующие данные. Прожиточный минимум
населения (в расчете на душу населения) возрос с 20,6 (1996 г.) до 86,6 тыс.
руб./мес. (1997 г.). За этот же период прожиточный минимум возрос: трудоспособного населения с 23,1 до 97,4 тыс. руб./мес; пенсионеров с 14,4 до 61,0; детей с 20,7 до 87,4 тыс. руб./мес. Соотношение среднедушевого денежного дохода и прожиточного минимума всего населения увеличилось с 213 до 234%.
Сформулируйте название таблицы, укажите ее подлежащее и сказуемое и вид
их разработки.
3.15. Розничный товарооборот во всех каналах реализации составил в 1997 г.
213 430 млрд руб., в том числе в государственной форме собственности 31 597
млрд руб., в негосударственной -181 833 млрд руб., что составило соответственно 15 и 85% общего объема розничного товарооборота. Представьте эти
данные в виде статистической таблицы, сформулируйте заголовок, укажите ее
подлежащее, сказуемое и вид таблицы.
3.16. Имеются следующие данные о распределении безработных по полу и образованию (табл. 3.15) и продолжительности безработицы (табл. 3.16) в 1997 г.
Таблица 3.15 Распределение безработных по полу и образованию в 1997 г.
Группы по образова- Всего безработных
В том числе
нию
женщины
мужчины
Высшее
10,5
11,6
9,4
Среднее специальное и
среднее общее
69,7
73,1
66,7
Не имеющие полного
среднего образования
19,8
15,3
23,9
Итого
100,0
100,0
100,0
Таблица 3.16 Распределение безработных по продолжительности безработицы
Продолжительность Всего безработВ том числе
безработицы, мес.
ных
женщины
мужчины
До 1
1–4
4–8
8 – 12
Более 12
Итого
12,9
35,4
26,2
16,5
9,0
100,0
11,8
35,2
26,7
16,7
9,6
100,0
12,7
36,7
27,0
15,5
8,1
100,0
По каждой из приведенных таблиц укажите: а) подлежащее и сказуемое; б) вид
таблицы по разработке подлежащего и сказуемого.
3.17. Известны следующие данные о распределении численности занятого
населения и безработных по семейному положению на конец 1997 г.:
Категории населения Состоят в Холостые, не Всего Вдовцы, Разведены
браке
замужем
вдовы
Занятое население –
всего
74,0
13,6
100,0
4,0
8,4
В том числе
мужчины
77,9
15,6
100,0
1,3
5,2
женщины
69,9
11,6
100,0
6,8
11,7
Безработные – всего
54,7
30,0
100,0
3,2
12,1
В том числе
мужчины
52,6
34,6
100,0
1,3
11,5
женщины
57,0
25,1
100,0
5,2
12,7
Определите и исправьте ошибки и недостатки, которые допущены в этой таблице.
3.18. Известны следующие данные о воспроизводственной структуре капитальных вложений по объектам производственного назначения в 1997 г. (проценты
к итогу):
Направления Техническое
Расширение Новое
Отдельные Всего
капитальных перевооружение действующих строиобъекты
вложений
и реконструк- предприятий тельство
действуция
ющих
предприятий
Капитальные 66
25
32
21
102
вложения
Определите: а) содержат ли данные таблицы ошибку и в чем она выражается; б)
логическим или арифметическим способом контроля можно установить ошибку.
3.19. Разработан следующий макет таблицы.
Группы населения Группы населения Численность населения
по катего- по полу
всего, тыс. чел.
Проценты к итогу
риям занятости
Занятое население
Итого
Безработные
Итого
Всего население
по подгруппам
Всего
мужчины
женщины
мужчины
женщины
мужчины
женщины
Укажите недостатки данного макета таблицы. Переработайте макет с учетом выявленных недостатков и укажите по нему подлежащее, сказуемое и вид
таблицы по характеру их разработки.
3.20. Разработан следующий макет таблицы.
Группировка некоторых коммерческих банков по величине капитала
Показатели
Группы коммерческих банков по величине капитала, млн. руб.
15,125 – 25,125
25,125 – 35,125
всего
в среднем на
всего
в среднем на
один банк
один банк
Работающие активы, тыс.
руб.
Ликвидные активы, тыс.
руб.
Число банков, ед.
Численность работающих,
чел.
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
Укажите недостатки данной таблицы и постройте правильный макет таблицы с указанием подлежащего, сказуемого и вида таблицы по характеру их
разработки.
3.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1. Практические занятия по теме «Статистические таблицы» могут быть
посвящены анализу различных видов таблиц из различных статистических ежегодников а также рекомендуется рассмотреть материал, представленный в задачнике.
При рассмотрении статистических графиков целесообразно дать задания
по построению различных графиков.
2. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов це-
лесообразно состоять из двух частей: 1 – я часть – по разработке макетов сложных таблиц; 2 – я часть – по самостоятельному подбору студентами заданных
видов таблиц из различных статистических ежегодников и данных периодической печати.
3. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости – это
промежуточное тестирование по данной теме.
ТЕМА 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ И ПОКАЗАТЕЛИ
ВАРИАЦИИ
Теория статистических показателей в экономической науке и практике
имеет важное значение. Отчетность предприятий и организаций, планирование,
моделирование и прогнозирование и т. д. опираются на использование различных статистических показателей. Поэтому при изучении этой темы рекомендуется уделить главное внимание классификации статистических показателей и
принципам выбора конкретной их формы в зависимости от решаемой задачи и
имеющихся исходных данных.
Статистический показатель представляет собой количественную характеристику социально – экономических явлений и процессов в условиях качественной однородности.
Все статистические показатели по форме выражения подразделяются на
абсолютные, относительные и средние.
Абсолютными в статистике называются суммарные обобщающие показатели, характеризующие размеры (уровни, объемы) общественных явлений в
конкретных условиях места и времени. Они характеризуют экономическую
мощь страны и социальную жизнь населения (ВВП, ВНП, ВНД, реальные располагаемые денежные доходы населения, объем промышленного и сельскохозяйственного производства, объем выпуска важнейших видов продукции).
Различают два вида абсолютных величин: индивидуальные и суммарные.
Индивидуальными называют абсолютные величины, характеризующие
размеры признака у отдельных единиц совокупности (например, размер заработной платы отдельного работника, вклад гражданина в определенном банке и
т. д.). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.
В отличие от индивидуальных суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченных статистическим наблюдением. Например, если индивидуальными будут показатели численности работающих на отдельных предприятиях,
то суммарными – численности работающих по группам, объединениям предприятий. С позиции отдельного предприятия численность занятых на нем будет
суммарной абсолютной величиной, а численности работающих в каждом цехе –
величинами индивидуальными.
Абсолютные статистические величины представляют собой именован-
ные числа, т. е. имеют какую – либо единицу измерения.
В зависимости от сущности исследуемого социально – экономического явления абсолютные статистические величины выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения. Абсолютные статистические величины могут быть как положительными (доходы), так и отрицательными (убытки, потери).
Натуральные единицы измерения, в свою очередь, могут быть простыми
(тонны, штуки, метры, литры) и сложными, являющимися комбинацией нескольких разноименных величин (например, грузооборот железнодорожного
транспорта выражается в тонно – километрах, производство электроэнергии – в
киловатт – часах, затраты труда – в человеко – часах, человеко – днях).
Стоимостные единицы измерения используются, например, для выражения объема разнородной продукции денежной форме – рублях. В стоимостных
единицах выражают валовой выпуск продукции, доходы населения и др.
В трудовых единицах измерения учитываются общие затраты труда на
предприятии, трудоемкость отдельных операций технологического цикла.
Относительные показатели получают в результате сравнения двух показателей. Знаменатель отношения, т.е. та величина, с которой сравнивают другую, называется основанием или базой сравнения. Если основание единица, то
относительная величина - коэффициент, если основание 100, то относительная
величина - процент, если основание - 1000, то относительная величина измеряется в промилле.
Различают следующие виды относительных величин: относительные величины планового задания, выполнения плана, структуры, координации, интенсивности, уровня экономического развития, динамики и сравнения.
Относительный показатель динамики (ОПД ) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени и
уровня того же процесса или явления в прошлом:
У
ОПД  i  1 ,
Уi
(4.1)
где Уi  1  текущий уровень; Уi  предшествующий или базисный уровень.
Их вычисляют путем сравнения величины текущего периода к величине
одного из прошлых периодов. Если база сравнения постоянная, то темпы динамики базисные, а если переменная, то цепные. Примером расчета базисных и
цепных относительных величин динамики является табл. 4.1.
Таблица 4.1 - Динамика фонда оплаты труда на строительном предприятии
Фонд оплаты труда
Месяцы
руб.
в % к январю
в % к предыдущему месяцу
(базисные темпы динамики) (цепные темпы динамики)
Январь
17800
—
—
Февраль
26344
148
148,0
Март
26878
151
102,0
Апрель
27590
155
102,6
Май
27590
155
100,0
Июнь
28836
162
104,5
Из таблицы видно, что фонд оплаты труда на предприятии за пять месяцев
увеличился на 62% или в 1,62 раза. Цепные темпы показывают, что в каждом
месяце по сравнению с предыдущим происходило увеличение фонда оплаты
труда. Резкое увеличение фонда заработной платы на 48% произошло в феврале
по сравнению с январем.
Относительные показатели плана и выполнения плана. Все субъекты
финансово – хозяйственной деятельности в той или иной степени осуществляют как текущее, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются
относительные показатели плана (ОПП) и выполнения плана (ОПВП):
ОПП 
Уровень, планируемый на (i  1)  й период

У
Уровен, достигнутый в i  м периоде
ОПВП 
Уровень, планируемый на (i  1)  й период
Уровен, достигнутый в i  м периоде

пл(i  1)
;
Уi
У
пл(i  1)
.
Уi
(4.2)
(4.3)
Первый из показателей характеризует напряженность плана, т. е. во сколько раз намечаемый объем производства превысит достигнутый уровень или
сколько процентов от этого уровня составит. Второй показатель отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с
плановым уровнем.
Пример. Предположим, товарооборот фирмы в 2011 г. Составил 3,5 млрд.
руб. Исходя из анализа складывающихся на рынке тенденций руководство
фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 3,9 млрд. руб. В
этом случае относительный показатель плана составит:
ОПП
 УплУ(i 1) 100%  33,,95 100%  111,4%.
i
Предположим теперь, что фактический оборот фирмы 2012 г. Составил 3,7
млрд. руб. В этом случае относительный показатель выполнения плана составить:
ОПВП 
3,7
100 %  94,9.
3,9
Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:
ОПД  ОПП  ОПВП.
Относительные показатели структуры (ОПС) представляют собой отношение структурной части совокупности к итогу по этой совокупности. Они
характеризуют структуру, состав той или иной совокупности социально – экономических явлений. Относительные показатели структуры рассчитывается по
формуле:
У
ОПС  i ,
(4.4)
У i
где У i  показатель, характеризующий i  ю часть совокупности;  У i  показа-
тель по всей совокупности.
Пример расчета относительных величин структуры показан в табл.4.2.
Таблица 4.2 - Структура промышленно-производственного персонала фирмы
Базисный период
Отчетный период
Категории персонала
Чел.
%
Чел.
%
Руководители и специалисты
26
17.4
18
16.4
Служащие
38
25.3
26
23.6
Рабочие
86
57.3
66
60.0
Итого
150
100
110
100
Как показывает табл.4.2, в отчетном периоде в фирме увеличилась доля
рабочих и в два раза снизилась доля руководителей и специалистов. Такого рода изменения называют структурными сдвигами.
Относительный показатель координации (ОПК) представляет собой
отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности и
рассчитывается по выражению:
ОПК 
Уi
,
УБ
(4.5)
где Уi  показатель, характеризующий i  ю часть совокупности; У Б  показатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения.
При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть совокупности,
которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой – либо другой точки зрения. . Относительные
величины координации численности рабочих с руководителями, специалистами
и служащими по данным табл.4.2, показывают, что в базисном периоде на 100
рабочих фирмы приходилось 74 человек руководителей, специалистов и служащих (64:86 х 100), а в отчетном уже 67 человек (44:66 х 100).
Относительные показатели интенсивности (ОПИ) получают путем
сравнения объемов разных совокупностей, находящихся в определенной связи
друг с другом. Например, выпуск товарной продукции и численность, территория и население. Сравнивая эти совокупности, находим такие относительные
величины интенсивности как производительность труда и плотность населения.
Разновидностью показателей интенсивности являются показатели экономического развития, такие как душевой доход, производство и потребление различных видов продукции на душу населения и др.
Относительный показатель сравнения (ОПСР) представляет собой соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т. п.):
Показатель, характеризующий объект А У А

.
(4.6)
Показатель, характеризующий объект В У Б
Например, можно сравнить урожайность зерновых культур, среднюю заработную плату, объем промышленной продукции по странам, отдельным регионам и областям. В качестве примера приведем таблицу 4, которая показывает,
во сколько раз средняя заработная плата промышленно-производственного персонала (ППП) в топливной промышленности превышала среднюю заработную
плату в других отраслях.
Таблица
4.3
–
среднемесячная
заработная
плата
промышленнопроизводственного персонала (ППП) в некоторых отраслях промышленности в
2010г.
Отношение средней ЗП
Средняя заработная
ППП в топливной проОтрасль промышленности
плата ППП, руб.
мышленности к средней
ЗП в других отраслях
Топливная
28962
—
Электроэнергетика
23170
1,25
Пищевая
13046
2,22
Химическая
11968
2,42
Лесная
10418
2,78
Легкая
9283
3,12
ОПК 
Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами.
Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами. Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности
варьируют под влиянием множество факторов, среди которых могут быть как
основные, так и случайные. Сущность средней в том в том и заключается, что в
ней взаимопогашаются те отклонения значений признака, которые обусловлены
действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов.
Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, которая, и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных
может быть простой или взвешенной.
Средняя арифметическая простая. Эта форма применяется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за
месяц (табл. 4.4):
Таблица 4.4
Экономический Торговый центр (i)
показатель
Товарооборот
1
2
3
4
5
(млн. руб.) xi
140
150
130
168
125
Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот (СМТ) в расчете на один торговый центр необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:
СМТ 
Общий объем товарооборота ( млн руб.)
.
Число торговых центров
Исходя из этого получим рабочую формулу данной средней:
x  x  x  ...  xn  x
x 1 2 3

n
n ,
(4.7)
где x1, x2 , x3,..., xn  индивидуальные значения признака, которые называют вариантами, n  число единиц совокупности.
С учетом имеющихся исходных данных получим:
x
140 150 130 168 125
 142,6 млн руб.
5
В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).
Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по
несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппи-
рованным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными
и интервальными.
Рассмотрим следующий условный пример:
Таблица 4.5. Результаты торгов акциями АО
Сделка
Количество проданных
Курс продажи, руб. ( xi )
акций, шт. ( fi )
1
2
3
600
400
2500
1100
1080
1132
Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс
продажи одной акции (СКА), что можно сделать, только используя следующее
исходное соотношение:
Общая объем сумма сделок ( руб.)
.
Количество проданных акций (шт.)
Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс
продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:
СМТ  x 
x
1100  600  1080  400  1132  2500 3922000

 1120,6 руб.
600  400  2500
3500
Таким образом расчет среднего курса продажи произведен по формуле
средней арифметической взвешенной:
x  f  x  f  x  f  ...  xn  f n  x  f
x 1 1 2 2 3 3

f
f
,
(4.8)
где x1, x2 , x3 ,..., xn  варианты; f1, f 2 , f 3 ,..., f n  веса или частоты (т.е. число вариант, имеющих одинаковое значение признака).
При расчета средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример (табл.4.6):
Таблица 4.6. Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли
Прибыль, млн руб.
Число предприятий
10- 20
7
20- 30
13
30- 40
38
40- 60
42
60- 80
16
80- 100
5
Итого
121
Для определения средней прибыли в расчете на одно предприятие найдем
середины интервалов. Середины интервалов будут следующие:
15, 25, 35, 50, 70, 90.
Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю
прибыль предприятий отрасли:
x
15  7  25 13  35  38  50.42  70.16  90.5 5430

 44,9 млн руб
7  13  38  42  16  5
121
В статистических исследованиях используются и другие виды средних.
Рассмотрим их.
Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака. Ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение. Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:
x
n
1

x
,
(4.9)
w
x ,
(4.10)
1

x
где n  число единиц совокупности, x  варианты, w  x  f . Расчет средней гармонической простой поясним на примере.
Таблица 4.7 - Стоимость продукции и ее выработка в рабочих бригадах
Номер
бригады
1
2
3
Итого
Стоимость произведенной продукции, тыс. руб.
( w  x f )
52
68
76
196
Выработка на 1-го рабочего, тыс. руб. ( x )
2,1
2,6
2,9
Варьирующим признаком в данном примере является средняя выработка
рабочих в каждой бригаде. Среднее значение данного варьирующего признака
равно 2,4 тыс. руб. Эта средняя получается как средняя гармоническая, где веса
деленные на варианты показывают численность рабочих в бригадах, т.е.
196
196
x

 2,5тыс. руб.
52 68 76 24,8  26,2  26,2


2,1 2,6 2,9
Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая.
Сначала обратимся к формуле невзвешенной средней геометрической. Она выглядит следующим образом:
k
x  k x  x   x  k  x .
1
2
n
i
(4.11)
i 1
Соответственно средняя геометрическая взвешенная приобретает следующее выражение:
x
f
x
f
1
1
x
f
2
2
 x
f
k
k
k
f
f  x i .
i
(4.12)
i 1
Средняя квадратическая. В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая
(например для вычисления средних диаметров труб, стволов).
Средняя квадратическая простая рассчитывается по выражению
x
x2  x2  x2
1
2
n
n.
(4.13)
Средняя квадратическая взвешенная вычисляется по формуле:
x f
(4.14)
x 
.
f
Средняя квадратическая используется для анализа вариации признака.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая для определения средних темпов изменения в рядах динамики. В экономических исследованиях
наиболее часто применяются средне арифметически и средне гармонически величины.
При расчете средней величины одного и того же показателя может использоваться как средняя арифметическая так и средняя гармоническая величины.
Это обусловлено одной и той же логической формулой для искомого показателя. Но вместе с тем данные, по которым могут быть вычислены эти величины,
должны быть различными.
Логическая формула вытекает из сущности средней, ее социальноэкономического содержания. Поэтому, прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать в виде формулы, называемой логической формулой средней. Далее на основании логической формулы осуществляется выбор рабочей формулы средней в данном кон-
кретном случае. Приведем известный алгоритм выбора рабочей формулы средней:
1. На основании исходной информаций устанавливается логическая формула для искомого показателя средней.
2. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для
одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны
численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя
не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то
средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.
3. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут
быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя
вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.
4. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется
непосредственно по этой формуле.
Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формулы средней величины
Пример
По данным таблицы 4.8 рассчитаем среднюю заработную плату в целом по
трем предприятиям АО.
Таблица 4.8 – Заработная плата предприятий АО
Предприя- Численность про- Месячный фонд зара- Средняя заработная
тие
мышленно-произ- ботной платы, тыс. руб.
плата, руб.
F
xi
водственного перi
сонала (ППП), чел.
Ti
А
1
2
3
1
2
3
Итого
355
648
866
1869
2708,650
5472,360
6479,412
14660,422
7630
8445
7482
—
Решение:
Показатель средней заработной платы в данном случае является вторичным признаком, так как она задана на единицу первичного признака (численности ППП) и может быть представлена как отношение двух первичных признаков, т.е.:
F
xi  i .
T
i
Из этого исходного соотношения вытекает логическая формула для вычисления средней заработной платы (СЗП) по АО:
СЗП  x 
 Fi
 Ti
.
(4.15)
Предположим, что мы располагаем данными граф 1 и 2 таблицы 4.1. Итоги
этих граф содержат необходимые величины для расчета искомой средней. В
этом случае мы воспользуемся логической формулой (4.15).
СЗП  x 
14660422
 7844 руб.
1869
Если мы располагаем только данными о средней заработной плате и численности работников (граф 1 и 3 таблицы 4.1), то нам известен знаменатель логической формулы (4.1), но не известен ее числитель. Однако фонд заработной
платы можно получить умножением средней заработной платы на численность
ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней
арифметической взвешенной:
 xi Ti 7630  355  8445  648  7482  866
x

 784 4 руб.
 Fi
355  648  866
Допустим теперь, что мы располагаем только данными о фонде заработной
платы и средней заработной плате персонала (граф. 2 и 3 таблицы 4.1), то есть
нам известен числитель логической формулы, но не известен ее знаменатель.
Численность ППП по каждому предприятию можно получить делением фонда
заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда расчет средней заработной платы в целом по АО произведем по формуле средней гармонической
взвешенной:
 Fi
2708650  5472360  6479412
x

 7844 руб.
F
2708650
5472360
6479412


 i
7630
8445
7482
x
i
Необходимо заметить, что если бы численность ППП по каждому предприятию была бы одинаковой, то в качестве расчетных формул использовались
соответственно средняя арифметическая простая и средняя гармоническая простая.
Для характеристики структуры совокупности применяют особые показатели, которые называют структурными средними. В отличии от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений
признака, структурные средние характеризуют величину признака, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения
значений признака. К таким показателям относятся медиана и мода.
Модой называется значение варианта, который чаще всего встречается в
совокупности.
Медианой называется варианта, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части — со значением признака
меньше медианы и со значением признака больше медианы.
Определим моду и медиану по несгруппированным.
Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,5; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для
определения медианы необходимо ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3;4,4; 4,5; 4,5; 4,6; 4,6.
Центральной в этом ряду является цена4,4 тыс. руб. Следовательно, данная
цена и будет медианной.
Если ранжированный ряд включает четное число вариант, то медиана
определяется как средняя из двух центральных значений.
Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным
данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид
(табл.4.9):
Таблица 4.9.
Цена, руб.
Число торговых предНакопленные
приятий (частоты)
частоты
356
12
12
360
48
60
365
56
116
367
60
176
369
14
190
Итого
190
Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет
большого труда – наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 367 руб.,
следовательно, она и является модальной.
Для определения медианного значения признака необходимо найти накопленные частоты. В дискретных рядах распределения медиане соответствует
значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые превышает половине объема совокупности. Для цены 365 руб. сумма накопленных частот (116предприятий) впервые превышает половине объема совокупности (95
предприятий), следовательно она и будет медианной ценой.
В интервальном вариационном ряду мода находится внутри модального
интервала, который имеет наибольшую частоту и определяется по формуле:
Mо  xMо  hMo
f
Mо
f
Mо1
( f Mo  f Mo1)  ( f Mo  f Mo1)
,
(4.16)
где Mо  мода, xMо  нижняя граница модального интервала; hMo  величина
модального интервала; f
 частота модального интервала; f Mo1  частота
Mо
интервала, предшествующего модальному; f Mo 1  частота интервала, следующего за модальным.
В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная половине общей
суммы частот или превышающая эту сумму, и определяется по формуле:
1
 f  S Ме1
2
Mе  xМе  h
,
(4.17)
Ме
f Ме
где Mе  медиана; xМе  начальное значение интервала, содержащего медиану;
 величина медианного интервала;  f  сумма частот ряда; SМе1  сумма
накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; f Ме  частота
медианного интервала.
Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного
ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Второй квантиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только для первого квантиля (Q1) берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 суммы накопленных частот, а для
третьего квантиля (Q3) берется интервал, содержащий варианту, отсекающую
3/4 суммы накопленных частот. Формулы расчета первого и третьего квантилей
будут иметь вид:
h
Ме
1
 f  SQ
4
11 ,
Q1  xQ  hQ
fQ
1
1
(4.18)
1
3
 f  SQ
4
31
Q3  xQ  hQ
,
f
3
3
Q
(4.19)
3
где xQ  нижняя граница интервала, содержащего нижний квантиль;
1
xQ  нижняя граница интервала, содержащего верхний квантиль;
3
SQ
11
 накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер-
жащему нижний квантиль;
SQ  то же для верхнего квантиля;
31
fQ  частота интервала, содержащего нижний квантиль;
1
Приведем пример расчета моды, медианы и квантилей по данным
табл.4.10.
Таблица 4.10 - Распределение предприятий района по сумме прибыли
Прибыль, млн.
Количество предприятий, f
Накопленные частоты, S
руб.
До 50
3
3
50-100
6
9
100-150
150 – 200
200 – 250
250 - 300
Свыше 300
Итого
10
21
33
18
9
100
19
40
73
91
100
-
В нашем примере модальный и медианный интервалы совпадают.
33-21
Mo=200 + 50х ———————— = 222,2 млн. руб.
(33-21)+(33-18)
Следовательно, в районе преобладают предприятия, получающие прибыль
в размере 222 млн. руб.
100/2 - 40
Mе=200 + 50х —————— = 215,1 млн. руб.
33
Это значит, что половина всех предприятий района имеет прибыль меньше
215 млн. руб., а другая половина больше 215 млн. руб.
¼ x 100 - 19
Q1=150 + 50х ——————— = 164,3 млн. руб.
21
3/4 x 100 - 73
Q3=250 + 50х ——————— = 255,6 млн. руб.
18
Расчет квантилей показывает, что 25% всех предприятий района получают
прибыль до 164 млн. руб., другая четверть предприятий имеет прибыль свыше
256 млн. руб., а остальные предприятия имеют прибыль в пределах 164 - 256
млн. руб.
Исследование вариации в статистике и социально - экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака статистической совокупности характеризует её однородность.
В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных
перед исследователем задач. К ним относится размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Необходимо заметить, что при изучении вопроса о вариации необходимо
хорошо представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также
сущность и значение вариации признаков. При этом важно научится свободно
вычислять все показатели вариации. Необходимо также усвоить, что изучение
вариации признаков общественно – экономических явлений напрямую связан с
статистическими рядами распределения. явлений напрямую связан с статистическими рядами распределения.
Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные
и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:
размах вариации;
среднее линейное отклонение;
среднее квадратическое отклонение;
дисперсия.
Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации
признака. К абсолютным показателям вариации относятся
R  xmax  xmin ,
(4.20)
где xmax - наибольшее значение варьирующего признака;
xmin - наименьшее значение признака.
Среднее линейное отклонение (d ) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от средней. Его можно рассчитать по
формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или частот в ряду распределения:
d
d
 x x
i

- невзвешенное среднее линейное отклонение;
n
xi  x  fi
f
- взвешенное среднее линейное отклонение.
i
Символы xi , x , f i и n имеют то же значение, что и в предыдущих параграфах. Рассмотренные выше показатели имеют те же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой бук2
вой  - «сигма квадрат»).
Дисперсия вычисляется по формулам простой и не взвешенной и взвешенной:
а) не взвешенная:
 x  x 

2
s
2
i
n
;
б) взвешенная:
 x  x   f .

f
2
s
2
i
i
i
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй
степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их
средне
а) - не взвешенное:
 x  x  ;
2
s
i
n
б)- взвешенное:
 x  x   f
f
2
s
i
i
.
i
Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.
Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же
совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в
нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или
среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего
они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку
вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%
(для распределений, близких к нормальному).
Различают следующие относительные показатели вариации (V):
Коэффициент осцилляции:,
VR 
R
 100%
x
Линейный коэффициент вариации
V
d

d
 100%
x
Коэффициент вариации:
s
VR  100%
x
Наиболее часто в практических расчётах из этих трёх показателей применяется коэффициент вариации.
Пример 2.
Крестьянские хозяйства подразделяются по размерам земельных угодий
следующим образом (таблица 4.11):
Таблица 4.11 – Распределение крестьянских хозяйств по размерам земельных
угодий
Земельные угодия, га
До 3
4-5
6-10
11-20
21-50
51-70
71-100
101-200
201 и более
Число хозяйств, ед.
30
50
400
800
1800
600
700
700
120
Рассчитайте:
1) средний размер земельных угодий;
2) показатели вариации: размах, среднее линейное, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности;
Решение:
Для расчета требуемых показателей следует перейти от вариационного ряда к дискретному. Для этого находится середина каждого интервала. Расчет показателей легче выполнять в таблице 4.12:
Таблица 4.12 – Расчетная таблица показателей
2
Земельные Число хо- Середина xi f i
x  x f i ( xi  x ) f i Накопx x
i
i
угодья, га
зяйств, интерваленные
ед.
ла
частоты
f
До 3
4-5
6-10
11-20
21-50
51-70
71-100
101-200
201 и более
Итого
i
30
50
400
800
1800
600
700
700
120
5200
x
i
2,5
4,5
8
15,5
35,5
60,5
85,5
150,5
250,5
—
75
225
3200
12400
63900
36300
59850
105350
30060
311360
57,4
1722
55,4
2770
51,9 20760
44,4 35520
24,4 43920
0,6
360
25,6 17920
90,6 63420
190,6 22872
—
209264
98842,8
153458,0
1077444,0
1577088,0
1071648,0
216,0
458752,0
5745852,0
4359403,2
14542704
30
80
480
1280
3080
3680
4380
5080
5200
—
1. Средний размер земельных угодий на 1 крестьянское хозяйство определяется:
x
 xi f i
 fi
,
где x - среднее значение признака;
x - серединное значение интервала, в котором изменяется варианта
(значение) осредняемого признака;
f i - частота, с которой встречается данное значение осредняемого признака.
x
311360
 59,9 га .
5200
2. Рассчитаем указанные показатели вариации:
а) размах вариации:
R  xmax  xmin  250,5  2,5  248 га ;
б) среднее линейное отклонение:
 xi  x  f i 209264

 40,2 га ;
5200
 fi
l
в) среднее квадратическое отклонение:

2
 (x  x)  f
i
 fi
i  14542704  52,9 га ;
5200
г) коэффициент вариации:


x
100% 
52,9
100%  88,3% .
59,9
Следовательно, крестьянские хозяйства количественно неоднородны по
размеру земельных угодий, так как коэффициент вариации больше 33%.
4.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
4.1. В январе отчётного года фирма выпустила 2000 шт. изделий. На изготовление изделия расходуется два вида материала: А и Б, цена за 1 т. которых
составляет соответственно 6,0 и 9,0 тыс. руб. Расход на единицу изделия: материала А – 3 кг., материала Б – 2 кг.
Определить:
1) общий расход каждого материала в январе;
2) общие затраты на материалы в январе и долю каждого вида материала в
общей сумме затрат.
4.2. ПО фирме имеются данные о выпуске продукции за I квартал
(табл.4.13).
Определить:
1) процент выполнения плана по выпуску продукции в целом по фирме;
2) удельный вес предприятий в общем объёме фактического выпуска продукции (расчёт с точностью до 0,1%).
№ предприятия фирмы
Выпуск продукции по
плану, млн. руб.
1
2
3
10,0
24,0
42,5
Таблица 4.13
Процент выполнения
плана по выпуску продукции
103,5
98,0
106,0
4.3. По металлургическому комбинату имеются следующие данные о вы-
пуске продукции (табл. 4.14).
Требуется:
1) поставить в таблице недостающие данные;
2) определить процент выполнения плана выпуска продукции в целом по
комбинату;
3) структуру фактического выпуска продукции представить в виде диаграммы.
Наименование
продукции
Сталь арматурная
Прокат листовой
Гнутые профили
стальные
Стоимость продукции в фиксированных ценах, млн. руб.
По плану
Фактически
440
500
452
Таблица 4.14
Процент выполнения плана по
выпуску продукции
97,0
208
104,0
4.4. В прошлом году себестоимость производства грузового автомобиля
составила 1700,0 тыс. руб. По плану отчётного года предусматривалось снизить
себестоимость на 14000 руб., фактическая себестоимость составила 1680,2 тыс.
руб.
Определить относительные величины планового задания по снижению себестоимости и динамику себестоимости производства автомобиля.
4.5. Планом предусмотрено увеличение объёма продукции предприятия
против прошлого года на 2,1%. Фактически прирост продукции прошлого года
составил 4,8%.
Определить процент выполнения плана по выпуску продукции.
4.6. По плану отчётного года уровень годовой производительности труда
работников должен возрасти против прошлого года на 3,0%. План по уровню
производительности труда перевыполнен на 2,0%.
Определить фактический уровень производительности труда, если известно, что в прошлом году уровень годовой производительности труда составил
680 тыс. руб.
4.7. Предприятие перевыполнило план реализации продукции в отчётном
году на 3,8%. Увеличение реализации продукции в отчётном году по сравнению
с прошлым составило 5,6%.
Определить, каково было плановое задание по росту объёма реализации
продукции.
4.8. За отчётный квартал потребление топлива на производственные нужды по предприятию следующие: уголь – 1200 т., газ – 380 тыс. м3, нефть – 210 т.
Определить, какую долю в общем объёме потреблённого топлива занимает уголь, если коэффициенты пересчёта в условное топливо следующее: уголь –
0,9 т; газ – 1,2 тыс. м3; нефть – 1,3 т.
4.9. Планом предусмотрено снижение затрат на 1 руб. продукции на 4,0%;
фактически по сравнению с прошлым годом затраты возросли на 1,8%.
Определить, на сколько процентов фактические затраты на 1 руб. продукции отличаются от плановых.
4.10. По отделению дороги планом предусмотрено увеличение объёма отправок груза на 10,0%. Фактически объём отправок против прошлого года повысился на 12,2%.
Определить, на сколько процентов перевыполнен план по объёму отправок груза.
4.11. Данные о жилищном фонде и численности населения России представлены в табл. 4.15.
Таблица 4.15
Показатель
1998 г.
1999 г.
2000 г.
Весь жилой фонд
на начало года,
млн. м2
2715
2745
2770
Численность
населения на
начало года, млн.
чел.
146,7
146,3
145,6
Требуется:
охарактеризовать изменение обеспеченности населения жилой площадью;
перечислить, какие виды относительных величин использовались.
4.12. По предприятиям фирмы имеются следующие данные (табл. 4.16).
Определить в целом по фирме:
размер планового задания по росту объёма реализованной продукции в
2000 г.;
процент выполнения плана по объёму реализованной продукции в 2000 г.;
показатель динамики реализованной продукции.
№ предприятия,
входящего в
фирму
1
2
3
Фактический
объём реализованной продукции в 1999 г.,
млн. руб.
30,0
48,5
60,0
Плановое задание
по росту реализованной продукции в 2000 г., %
104,0
106,0
102,5
Таблица 4.16
Фактический
объём реализованной продукции в 2000 г.,
млн. руб.
32,6
52,7
63,0
4.13. Данные о численности экономически активного населения и безработных в России представлены в табл. 4.17.
Таблица 4.17
Показатели
Экономически активное
население – всего
в том числе:
мужчины
женщины
Безработные – всего
в том числе
мужчины
женщины
1997 г.
1998 г.
1999 г.
68079
66736
69701
35925
32154
6732
35273
31463
8058
36767
32934
9070
3662
3070
4371
3687
4757
4313
Требуется:
1) определить удельный вес численности безработных в общей численности экономически активного населения и динамику этого показателя для
каждой группы населения;
2) с помощью относительных величин наглядности дать сравнительную
оценку уровня безработицы среди мужчин и женщин.
4.14. имеются следующие данные о квалификации рабочих двух бригад
(табл. 4.18).
Таблица 4.18
№ бри- Число
Уровень квалификации каждого рабочего бригады (тарифгады
рабочих
ный разряд)
1
12
4
3
2
4
5
6
4
3
4
3
5
4
2
10
3
5
6
5
4
3
2
3
3
4
Определить средний уровень квалификации рабочих каждой бригады.
4.15. Продажа грузовых автомобилей на товарной бирже города характеризуется следующими данными (табл. 4.19).
Таблица 4.19
Общая сумСредняя
ма выручки
Средняя
Реализовано
Дата торцена одного Дата тор- от реализа- цена одного
автомобилей,
га
автомобиля,
га
ции автомо- автомобиля,
шт.
тыс. руб.
билей, тыс.
тыс. руб.
руб.
4.01
18
1200,5
3.02
1830
1220,0
17.01
25
1180,7
9.02
2651
1200,5
28.01
24
1160,0
20.02
4165
1190,0
26.02
1232
1230,2
Определить, на сколько процентов изменилась средняя цена одного грузового автомобиля в феврале по сравнению с январём.
4.16. Распределение автомобилей автотранспортного предприятия по величине суточного пробега за 25 сентября следующие (табл. 4.20).
Таблица 4.20
Суточный пробег автомобиля,
км.
Число автомобилей
До 160
160 – 180
180 – 200
200 и более
12
36
28
25
Определить средний суточный пробег одного автомобиля.
4.17. По двум цехам имеются следующие данные о распределение рабочих
по уровню месячной заработной платы за апрель (табл. 4.21).
Определить, в каком цехе и на сколько процентов была выше средняя заработная плата рабочих.
Таблица 4.21
Месячная заработная
Число рабочих
плата, руб.
Цех №1
Цех №2
4000 – 4200
38
18
4200 – 4400
40
48
4400 – 4600
150
230
4600 – 4800
70
110
4800 – 5000
40
84
4.18. По двум предприятиям фирмы имеются следующие данные о затратах на производство продукции (табл. 4.22)
Таблица 4.22
Прошлый год
Отчётный год
Доля затрат
Доля затрат
№ предприяна оплату
Общие затрана оплату
Затраты на
тия, входящетруда в обты на произтруда в обоплату труда,
го в фирму
щих затратах водство, млн.
щих затратах
млн. руб.
на производруб.
на производство, %
ство, %
1
18,2
204
41,2
19,0
2
19,5
190
37,8
20,4
Определить изменение (в %) доли затрат на оплату труда в общих затратах
на производство в целом по фирме в отчётном году по сравнению с прошлым
годом.
4.19. Автобус на междугородной линии протяжённостью 625 км. прошёл
путь в прямом направлении со скоростью 68 км/ч., в обратном направлении –
со скоростью 52 км/ч.
Определить среднюю скорость сообщения за обратный рейс.
4.20. Имеются следующие данные по предприятиям фирмы (табл. 4.23).
№ предприятия, входящего в фирму
1
2
3
I квартал
Средняя выВыпуск проработка на
дукции, тыс. одного раборуб.
чего в день,
руб.
59390,13
1540,6
34246,10
1421,0
72000,00
1600,0
Таблица 4.23
II квартал
Средняя выОтработано
паботка1 на
рабочими,
одного рабочеловекочего в день,
дней
руб.
79200
1600,4
50400
1500,0
90300
1621,0
Примечание: Средняя выработка на одного рабочего в день определяется
путём деления общей стоимости продукции на количество отработанных человека-дней.
Определить:
1) среднюю выработку на одного рабочего в день в целом по фирме в I и II
кварталах;
2) на сколько процентов изменилась средняя выработка на одного рабочего
в день во II квартале по сравнению с I кварталом;
3) среднюю выработку на одного рабочего в день по форме за первое полугодие.
4.21. Имеются данные о себестоимости транспортной работы по автотранспортным предприятиям объединения (табл. 4.24).
Определить, на сколько процентов изменилась средняя себестоимость 10
ткм. по объединению в сентябре по сравнению с августом.
Таблица 4.24
Август
Сентябрь
Общая
№ предприясумма затия, входяще- Транспортная
трат на
Себестоимость
Себестоимость
го в объедиработа, тыс.
транс10 ткм, руб.
10 ткм, руб.
нение
ткм.
портную
работу,
тыс. руб.
1
20800
5,12
10784,7
5,21
2
8500
5,40
4609,6
5,36
3
30000
4,97
14526,2
4,81
4.22. По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте продукции (табл. 4.25).
Определить средний удельный вес продукции на экспорт.
Таблица 4.25
Вид продукции
Чугун
Прокат листовой
Стоимость всей реализованной продукции,
тыс. руб.
68200
75100
Удельный вес продукции на экспорт, %
35,5
22,8
4.23. Распределение промышленных предприятий региона по показателям
затрат на 1 тыс. руб. продукции за месяц следующие (табл. 4.26).
Талица 4.26
Март
Апрель
Средний
Затраты на 1 тыс.
объём проОбщая стоируб. продукции, Число предЧисло преддукции на
мость продукруб.
приятий
приятий
одно предции, тыс. руб.
приятие,
тыс. руб.
600 – 650
5
48500
16
9800
650 – 700
18
178200
20
10200
700 – 750
7
52500
2
7650
Определить:
изменение (в %) среднего размера затрат на 1 тыс. руб. продукции по
предприятиям региона;
средний объём продукции на одно предприятие региона в марте и апреле.
4.24. Определить средний удельный вес (в %) бракованной продукции за I
квартал по данным табл. 4.27.
Показатель
Выпуск годной
продукции, млн.
руб.
Удельный вес
бракованной продукции,%
Таблица 4.27
Март
Январь
Февраль
80
96
100
5,0
3,2
3,8
4.25. Цехом произведены бракованные детали в трёх партиях: в первой
партии – 90 шт., что составило 3,0% общего числа деталей; во второй партии –
140 шт., или 2,8%; в третьей партии – 160 шт., или 2,0%.
Определить средний процент бракованных деталей.
4.26. По предприятию имеются следующие данные за два месяца (табл.
4.28).
Апрель
Категории
работников
Рабочие
Служащие
Численность
работников
Фонд заработной платы, руб.
1400
300
3710000
540000
Таблица 4.28
Декабрь
Средняя меФонд зарасячная заработной плаботная плата,
ты, руб.
руб.
3800
5358000
2780
750600
Определить изменение (в %) среднего уровня месячной заработной платы
рабочих и служащих, а также средней заработной платы всех работников предприятия в декабре по сравнению с апрелем.
4.27. Определить среднюю долю брака за год по следующим данным
(табл. 4.29).
Таблица 4.29
Наименование продукСтоимость всей продукДоля брака, %
ции
ции, тыс. руб.
А
1,5
900
Б
2,0
1200
В
0,8
4000
Г
3,0
2700
4.28. Предприятие реализует на рынке четыре вида изделий (табл. 4.30).
Наименование изделия
А
В
С
Д
Физический объём продаж, тыс. шт.
24,7
14,3
17,2
4,3
Таблица 4.30
Цена производителя за 1
шт., долл. США
110
125
150
250
Определить долю каждого вида изделий в выручке предприятия от их реализации.
4.29. По предприятиям объединения имеются следующие данные об
удельных расходах топлива на производство теплоэнергии и общем расходе
условного топлива за отчётный год (табл. 4.31).
Таблица 4.31
№ предприятия, входяУдельный расход
Общий расход условнощего в объединение
условного топлива,
го топлива, тыс. т.
кг/Гкал
1
172,3
13,1
2
189,4
33,4
3
187,3
8,4
Определить средний по объединению удельный расход топлива на производство теплоэнергии.
4.30. Выпуск стального проката по сортам характеризуется следующими
данными (табл. 4.32).
Таблица 4.32
Сорт стального
Отпускная цена
Выпуск, т.
проката
за 1 т, тыс. руб.
По плану
Фактически
I
1,3
21000
24050
II
0,97
7260
6800
Определить:
1) удельный вес продукции каждого сорта по плану и фактически;
2) среднюю плановую и фактическую цены за 1 т. продукта.
4.31. Отдел маркетинга фирмы организует реализацию производимого товара А по двум каналам распределения следующим образом (табл. 4.33).
Таблица 4.33
Каналы распределения
Показатель
1
2
Физический объём продаж, тыс. шт.
24,7
11,3
Цена производителя за
единицу, у. е.
110,0
110,0
Себестоимость единицы, у. е.
48,0
48,0
Определить:
1) долю каждого канала распределения в объёме продаж;
2) долю каждого канала распределения в формировании прибыли фирмы.
4.32. Основные показатели здравоохранения в России на начало года представлены в табл. 4.34.
Таблица 4.34
Показатель
1998 г.
1999 г.
2000 г.
Численность врачей – всего,
тыс. чел.
Число больничных коек, тыс.
шт.
Мощность амбулаторнополиклинических учреждений,
число посещений в смену, тыс.
чел.
673
680
686
1761
1717
1668
3475
3483
3490
Численность населения, млн.
чел.
146,7
146,3
145,6
Оценить обеспеченность населения медицинским обслуживанием, используя относительные величины интенсивности и динамики.
Сформулировать вывод.
4.33. Продажа грузовых автомобилей в России характеризуется следующими данными, тыс. шт. (табл. 4.35).
Таблица 4.35
Продажа
1997 г.
1998 г.
1999 г.
Промышленными предприятиями
148,3
151,0
178,0
Организациями оптовой
торговли
3,6
12,1
21,9
Сопоставить среднегодовые темпы роста продаж грузовых автомобилей
промышленными предприятиями и организациями оптовой торговли.
4.34. Данные о выпуске продукции по двум металлургическим предприятиям представлены в табл. 4.36.
Таблица 4.36
Выплавлено, тыс. т.
Вид продукции
Предприятие 1
Предприятие 2
Чугун передельный
250
280
Чугун литейный
110
130
Чугун зеркальный
90
70
Определить, на сколько процентов отличается выпуск чугуна в условных
тоннах на предприятии 2 по сравнению с предприятием 1, используя следующие коэффициенты пересчёта: передельный чугун – 1,0; литейный чугун – 1,15;
зеркальный чугун – 1,5.
4.35. По грузовому автотранспортному предприятию имеются следующие
данные (табл. 4.37).
Таблица 4.37
Объём грузовых перевозок, тыс. т.
№ автоколонны
2001 г.
2000 г.
План
Отчёт
1
520
570
576
2
380
390
385
3
540
600
620
Определить по каждой автоколонне и в целом по предприятию относительные величины:
1) планового задания;
2) выполнение плана за 2001 г.;
3) динамика объёма перевозок в 2001 г. по сравнению с 2000 г.
4.36. Данные о среднегодовой численности работников, занятых в экономике России, представлены в табл. 4.38.
Таблица 4.38
Показатель
2007 г.
2008 г.
2009 г.
Всего занято в экономике, тыс. чел.
64639
63642
64500
В том числе по формам
собственности:
государственная и муниципальная
25897
24256
23865
Собственность общественных организаций
411
445
450
Частная
25752
27464
29250
Смешанная российская
(без иностранного участия)
11840
10473
9675
Смешанная российская с
иностранным участием
739
1004
1260
Определить показатели структуры численности работников, занятых в
экономике, и представить их графически.
Сформулировать вывод.
4.37. Портфель состоит из акций трёх компаний. Их доходность равна соответственно15, 18 и 20%, а доля портфеля – 20, 50 и 30%.
Какова средняя доходность портфеля? Как следует увеличить доходность
портфеля по сравнению с существующей?
4.38. Хронометраж операций пайки радиаторов на ремонтном предприятии
для следующие результаты (табл. 4.39).
Таблица 3.27
Время пай20-30
30-40
40-50
50-60 60-70 Итого
ки, мин.
Количе2
5
10
17
1
35
ство радиаторов
Вычислить:
а) среднее время пайки радиатора; б) медиану и моду; в) относительный
показатель вариации.
Дать графическое изображение ряда в виде гистограммы и полигона частот.
4.39. По предприятию получены данные о расстоянии перевозки партий
груза в междугородном сообщении (км):
560 1060 420 1410 1500 400 3800 700 1780 450
449
452
1800
420
285 1850 2200 800 1200 1540 1150 180 452
2500 300 400 900 1800 452 1850 1225 220
300 920 1400 1400 480 850 200 400 1440
1700 1615 3500 300 320 600 965 450 245
Для анализа работы предприятия требуется:
1) построить интервальный ряд распределения партий груза
по дальности перевозки, определив величину интервала по фор
муле Стерджесса;
2) дать графическое изображение ряда;
3) исчислить показатели центра распределения и показатели
вариации.
Сформулировать вывод.
4.40. Имеются следующие данные о распределении продовольственных
магазинов региона по размеру товарооборота за месяц (табл. 3.28).
Таблица 3.28
Группы мага- 40 – 50 – 60 – 70 – 80 – 90 – 100- 110- 120- 130зинов по това- 50
60
70
80
90
100
110 120 130 140
рообороту,
млн. руб.
Число магази- 5
6
9
12
18
23
28
14
9
6
нов
Требуется вычислить средний месячный размер товарооборота магазинов
региона, дисперсию и коэффициент вариации.
4.41. По автотранспортному предприятию, осуществляющему
перевозку грузов автомобилями грузоподъемностью 16 т, имеются следующие данные о весе партий груза (т):
8 11 14 6 10 13 12 16 15 16
16 10 16 13 14 16 16 4 16 14
5 13 11 2 16 8 16 7 14 16
Требуется:
1)построить интервальный ряд распределения партий груза по весу;
2)вычислить для построенного ряда показатели центра распределения и
вариации.
Сформулировать вывод об использовании автомобилей.
4.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1. Практические занятия. При решении задач на расчет средней величины необходимо использовать алгоритм выбора рабочей формулы средней.
Очень важно показать студентам недопустимость замены взвешенных формул
невзвешенными.
При использовании относительных показателей особое внимание необходимо уделить осознанному выбору базы сравнения, определению размерности
относительных величин и их экономической интерпретации.
При изучений показателей вариации необходимо часть времени выделить
обсуждению со студентами сущности, назначения и использования каждого из
показателей вариации. . Главное внимание , при этом необходимо обратить на
относительные показатели вариации.
Завершением практических занятий по теме должно быть структурных показателей вариационного ряда и выяснением их аналитического смысла. При
этом необходимо обратить внимание на вычисление и экономическую интерпретацию квантилей ряда распределения.
2. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов может заключаться в подборе из данного задачника задач для расчета относительных, средних, структурных и показателей вариации.
3. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости. Промежуточными средствами для текущего контроля успеваемости являются контрольная работа и тестирование по данной теме, а также выполняемые индивидуальные задания.
ТЕМА 5. ВЫБОРОЧНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ
5.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Выборочное наблюдение является одной из центральных в курсе теории
статистики. Это обусловлено, прежде всего, взаимосвязью данной темы с другими темами, в частности, со статистическим наблюдением, статистическими
показателями, таблицами и др. Поэтому освоение теоретического материала,
дает возможность правильно решать практические задачи по данной теме, грамотно интерпретировать полученные результаты, а также служат базовым
условием успешного изучения в целом курса теории статистики.
Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исследуемую совокупность. При этом наблюдение организуется таким образом,
что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (
представляет ) всю совокупность.
Совокупность, из которой производится отбор единиц, называется генеральной, и все ее обобщающие показатели – генеральными.
Совокупность отобранных единиц называют выборочной совокупностью, а
все ее обобщающие показатели – выборочными.
Имеется ряд причин, в силу которых во многих случаях выборочному
наблюдению отдается предпочтение перед сплошным. Наиболее существенные
из них следующие:
1) экономия времени и средств в результате сокращения объема работы;
2) сведение к минимуму порчи или уничтожения исследуемых объектов (
определение прочности пряжи при разрыве, испытание электрических лампочек на продолжительность горения, проверка консервов на доброкачественность );
3) необходимость детального исследования каждой единицы наблюдения
при невозможности охвата всех единиц ( при изучении пассажиропотоков , при
изучении бюджета семей );
4) достижение большой точности результатов обследования благодаря сокращению ошибок, происходящих при регистрации.
Преимущество выборочного наблюдения по сравнению со сплошным
можно реализовать, если оно организовано и проведено в строгом соответствии
с научными принципами теории выборочного метода. Такими принципами являются: обеспечение случайности ( равной возможности попадания в выборку )
отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет
получит объективную гарантию репрезентативности полученной выборочной
совокупности.
Основная задача выборочного наблюдения в экономике состоит в том,
чтобы на основе характеристик выборочной совокупности ( средней и доли )
получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной
совокупности. При этом следует иметь в виду, что при любых статистических
исследованиях ( сплошных и выборочных ) возникают ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности.
Ошибки регистрации могу иметь случайный и систематический характер.
Случайные ошибки обычно уравновешивают друг друга, поскольку не имеют
преимущественного направления в сторону преувеличения или преуменьшения
значения изучаемого показателя. Систематические ошибки направлены в одну
сторону вследствие преднамеренного нарушения правил отбора. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения.
Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению
и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Для каждого конкретного выборочного наблюдения зна-
чение ошибки репрезентативности может быть определено по соответствующим формулам, которые зависят от вида, метода и способа формирования выборочной совокупности.
По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности; при групповом отборе - качественно однородные группы или серии изучаемых единиц; комбинированный
отбор предполагает сочетание первого и второго видов.
По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.
При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единиц, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при
повторном отборе единиц вновь попасть в выборку.
При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в
генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не
участвует. Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования.
Способ отбора определяет конкретный механизм или процедуру выборки
единиц из генеральной совокупности.
В практике выборочных исследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: собственно – случайная, механическая, типическая, комбинированная.
Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупностей обозначаются символами:
N  объем генеральной совокупности ( число входящих в нее единиц );
n  объем выборки ( число обследованных единиц );
X  генеральная средняя ( среднее значение признака в генеральной совокупности );
x  выборочная средняя;
p  генеральная для ( доля единиц, обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности );
w  выборочная доля;
 2  генеральная дисперсия ( дисперсия признака в генеральной совокупности );
S 2  выборочная дисперсия того же признака;
  среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;
S  среднее квадратическое отклонение в выборке.
При выборочном наблюдении должна быть обеспечена случайность отбора
единиц. Каждая единица должна иметь равную с другими возможность быть
отобранной. Именно на этом основывается собственно – случайная выборка.
К собственно – случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или какого-либо иного подобного способа, например с помощью таблицы случайных чисел. Принцип
случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять какой-либо фактор, случая. При этом количество отобранных в выборку единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.
Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности к
числу единиц генеральной совокупности:
n
.
N
Так, при 5% - ной выборке из партии деталей в 1000 ед. объемом выборки
n составляет 50 ед., а при 10% - ной выборке – 100 ед. и т. д. При правильной
научной организации выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимуму.
Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного наблюдения и формулы ошибок для простой случайной выборки.
Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину количественного признака и относительную величину альтернативного признака ( долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех
других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака ).
Выборочная доля w , или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m , к общему числу единиц выборочной совокупности n :
KB 
m
.
n
Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.
Ошибка выборки  или, иначе говоря, ошибка репрезентативности,
представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:
для средней количественного признака
w
x  x  X ;
(5.1)
для доли
w  w  p .
(5.2)
Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюдениям. Чем
больше значение этой ошибки, тем в большей степени выборочные показатели
отличаются соответствующих генеральных показателей.
Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие
единицы совокупности пополи в выборку. Следовательно, ошибки выборки
также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку
выборки.
От чего зависит средняя ошибка выборки? При соблюдении принципа случайности отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом
выборки: чем больше численности при прочих равных условиях, тем меньше
величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все
большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.
Средняя ошибка выборки также зависит от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования изучаемого признака, как известно, характеризуется дисперсией  2 или w(1  w)  для альтернативного признака. Чем
меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя
ошибка выборки, и наоборот.
Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степени варьирования признака отражает в формулах, с помощью которых можно рассчитать
среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики X , p неизвестны, и следовательно, не представляется
возможным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (1). (2).
При случайном повторном отборе средние ошибки выборки рассчитывают по следующим формулам:
для средней количественного признака

 
X
2

;
(5.3)
p1  p 
.
n
(5.4)
n
для доли
p 
Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности
 2 тоже неизвестна, на практике пользуются выборочной дисперсией s2 , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел.
Согласно этому закону выборочная совокупность при достаточно большом
объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной
совокупности.
Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:
для средней количественного признака
S2
;
Sx 
n
(5.5)
для доли
Sw 
w1  w
.
n
(5.6)
При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы
расчета средних ошибок выборки необходимо подкоренное выражение умноn
жить на коэффициент (1  ) , поскольку в процессе бесповторной выборки соN
кращается объем генеральной совокупности. В связи с этим мы получим следующие расчетные формулы:
для средней количественного признака
Sx 
S2
n
(1 
n
);
N
(5.7)
для доли
Sw 
w(1  w)
n
(1  ) .
n
N
(5.8)
Механическая выборка применяется в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц ( табельный номер работников, список избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и
т. п.). Для проведения такой выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотношением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Допустим, из генеральной совокупности в 500000 единиц предполагается получить выборку объемом 10000 единиц. Составляют пропорцию
1
n
10000

 , т. е. необходимо отбирать каждую 50 – ую единицу. Если
N 500000 50
1
пропорция равна
то отбирается каждая 20 – ая единица и т. д.
20
Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все
единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно
однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.
При обследовании предприятий такими группами могут быть, например,
отрасль , формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайно или механической выборкой производится индивидуальный отбор
единиц в выборочную совокупность. При этом, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы определяется следующим образом:
nj  n
N
j
N
,
где N j  объем j  ой типической группы генеральной совокупности;
N  объем генеральной совокупности и она равна:
l
N  N ;
j
j 1
l
n   n  объем суммарной выборки.
j
j 1
Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных совокупностей ( например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих
и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации ).
Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить
влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.
При определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.
Среднюю ошибку выборки количественного признака типологической выборки при типологической выборке находят по формулам:
Sx 
Sx 
S2
( повторный отбор );
n
S
(5.9)
2
n
(1 
n
) ( бесповторный отбор ),
N
где S 2  средняя арифметическая групповых диспепсий:
(5.10)
l
2
 S n
j j
j 1
2
S 
.
l
 n
j
j 1
Здесь S 2  дисперсия j  ой типической группы, и рассчитывается по форj
муле:
n
S 2j 
j
  xij  x j 

i  1
nj
2
;
где xij  результат i  го наблюдения, полученного по выборке из j  ой типологической группы.
Выборочная средняя ошибка доли определяется следующим образом.
При повторном отборе:
Sw 
l
 w (1  w )
j
j
j 1
n
,
(5.11)
где w j  относительная частота ( доля ), полученная из j  ой группы.
При бесповторном отборе подкоренное выражение формулы (6.11) умноn
жается на коэффициент (1  ) .
N
Серийная выборка удобно в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться партии товара, студенческие группы, бригады и
другие объединения. При серийном отборе случайным или механическим способами выбирают не отдельные единицы, а серий, внутри которых проводится
сплошное обследование.
Среднюю ошибку выборки для средней количественного признака при
серийном отборе находят по формулам:
Sx 
 x2
r
( повторный отбор )
(5.12);
Sx 
 x2
r
(1  ) ( бесповторный отбор ),
r
R
(5.13)
где r  число отобранных серий;
R  общее число серий.
Межгрупповую дисперсию серийной выборки вычисляют следующим образом:
r
2
 (x  x)
i
 x2  i  1
,
r
где xi  средняя i  ой серий;
x  общая средняя по всей выборочной совокупности.
Среднюю ошибку выборки для доли при серийном отборе:
Sw 
Sw 
 w2
r
( повторный отбор );
 w2
r
(1  ) ( бесповторный отбор ).
r
R
(5.14)
(5.15)
Межсерийную дисперсию доли серийной выборки определяют по формуле:
r
2
 (w  w )
i
 w2  i  1
,
r
где wi  доля признака в i  ой серии;
w  общая доля признака во всей выборочной совокупности.
В практике статистических наблюдений помимо рассмотренных способов
применяется их комбинация ( комбинированный отбор ).
Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов.
Выборочные средние и доли распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.
В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и
генеральной, т. е.  x может быть меньше средней ошибки выборки S x , равной
ей или больше ее.
Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность. Поэтому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной  x
можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней
ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью.
Предельную ошибку выборки для средней при случайном повторном отборе можно рассчитать по формуле:
S2
,
 x  t Sx  t
n
(5.16)
где t  нормированное отклонение – « коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;
S x  средняя ошибка выборки.
Аналогичным образом может быть записан формула предельной ошибки
выборки для доли при случайном повторном отборе:
Sw  t
w1  w
.
n
(5.17)
При случайном бесповторном отборе в формулах расчета предельных
ошибок выборки (6.16) и (6.17) необходимо умножить подкоренное выражение
n
на коэффициент (1  ) .
N
Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов,
полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик
генеральной совокупности.
Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения
характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:
x   x  X  x   x (для средней );
w   w  p  w   w ( для доли ).
(5.18)
(5.19)
Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от x   x до x   x .
Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли: от w   w до w   w .
При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением
предельной ошибкой выборки очень важно правильно определить численность
( объем ) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью
обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для опреде-
ления необходимой численности выборки n легко получить непосредственно
из формул ошибок выборки.
Так, из формул предельной ошибки выборки для случайного повторного
отбора нетрудно ( предварительно возведя в квадрат обе части равенства ) выразить необходимую численность выборки:
для средней количественного признака
n
t2 S2
2
x
;
(5.20)
для доли
n
t 2 w (1  w)
2
w
.
(5.21)
Точно также из формул предельной ошибки выборки для бесповторного
отбора находим что
n
n
t2 S2 N
( для средней );
2 N  t 2 S 2
x
t 2 w(1  w) N
2 N  t 2 w(1  w)
w
( для доли ).
(5.22)
(5.23)
Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки.
Для расчета объема выборки нужно знать дисперсию. Она может быть заимствована из прошлых обследований данной или аналогичной совокупности.
Пример 1.
При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной
повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен
средний вес изделия
30 гр. при среднем квадратическом отклонении 4 гр. С
вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий генеральной совокупности.
Решение:
Рассчитаем сначала предельную ошибку случайной повторной выборки по
формуле:
S
 t x ,
x
n
S x  среднеквадратическая ошибка выборочной средней;
t - параметр, получаемый по таблицам теории вероятностей на основании
заданной доверительной вероятности ( t  3 );
n - объем выборочной совокупности.
4
Тогда получим:  x  3 
 0,84.
200
Определим пределы генеральной средней по формуле:
x  x  X  x  x .
С учетом имеющихся и полученных данных получим:
29,16  X  30,81 .
Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес
изделий в данной партии импортируемого груза находится в пределах от 29,16
до 30,84 гр.
Пример 2.
В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей
в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По
ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:
Число детей в семье
0
1
2
3
4
5
xi семей f i
1000
2000
1200
400
200
200
Количество
С вероятностью 0,954 найдите пределы, в которых будет находится среднее число детей генеральной совокупности.
Решение:
В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочную среднюю и дисперсию по формулам соответственно:
x
2
 xi f
S 
fi
i  7400  1,5 человек ;
5000
2
 ( xi  x ) f
 fi
i

7650
 1,53 .
5000
Вычислим теперь предельную ошибку случайной бесповторной выборки
по следующей формуле:
S2 
n
 t
1   ,
x
N
2 
где N - число жителей города (объем генеральной совокупности).
Тогда получим:  x  2
1,53 
5000 
1 
  0,035 .
5000  250000 
Следовательно, пределы генеральной средней:
X  x   x  1,5  0,035 .
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на
каждые две семьи приходится три ребенка.
Пример 3.
С целью определения средней фактической продолжительности рабочего
дня в государственном учреждении с численностью служащих 480 человек в
июне 2008 года была проведена 25%-ная механическая выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых
находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45
мин. в день.
Решение:
Определим объем выборочной совокупности:
n  480  0,25  120 человек .
Выборочная доля w равна по условию 10%. Учитывая, что показатели
точности механической и собственно-случайной бесповторной выборки определяются одинаково, а также то, что при вероятности 0,683 t  1 , вычислим предельную ошибку выборочной доли:
 t
w
w(1  w) 
n
0,1(1  0,1)  120 
1    1
1 
  0,024 или 2,4% .
n
120  480 
 N
Пределы доли признака в генеральной совокупности:
10  2,4  P  10  2,4 или 7,6  W  12,4 .
Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится
в пределах от 7,6 до 12,4%.
Пример 4.
В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серии (районов). Выборочные средние по
районам составили соответственно 14,5; 16; 15,5; 15 и 14 ц/га. С вероятностью
0,954 найдите пределы урожайности во всей области.
Решение:
Рассчитаем общую среднюю:
x
14,5  16  15,5  15  14
 15 ц / га .
5
Так как серийная выборка была осуществлена бесповторным способом, то
среднюю ошибку выборки рассчитаем по формуле:

 x2 
r
1   ,
r  R
где R - число серий в генеральной совокупности (R = 20);
r - число серий в выборочной совокупности (r = 5);
 x2 - межсерийная дисперсия, рассчитываемая по формуле:
2 
x
2
 ( xi  x )
r
.
Подставляя сюда данные, получим:
2 
x
(14,5  15) 2  (16  15) 2  (15,5  15) 2  (15  15) 2  (14  15) 2
 0,5 .
5
Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки
при t = 2:
2
0,5 
5 
1    1,7 .
5  20 
Следовательно, урожайность в области с вероятностью 0,954 будет находиться в пределах:
15  1,7  X  15  1,7 или 13,3ц / га  X  16,7 ц / га .
Пример 5.
В ста туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью
0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования
дисперсия составляет 225?
Решение:
Рассчитаем необходимый объем выборки по формуле:
t 2S 2 N
12  225 100
n 2

 20 агентств .
 N  t 2 S 2 32 100  12  225
Пример 6.
С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в
возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет
12000 человек, в том числе 7000 мужчин и 5000 женщин.
На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.
Решение:
Рассчитаем общую численность типической выборки по формуле:
t 2S 2R
32  1600  12000
n 2

 550 человек .
 R  t 2 S 2 52 12000  32 1600
Вычислим объем отдельных типических групп:
n1 
550  7000
550  5000
 319 человек ; n2 
 231 человек .
12000
12000
Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 319 мужчин и
231 женщина.
Пример 7.
В АО 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследо-
вания с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования
рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.
Решение:
Рассчитаем необходимое количество бригад на основе формулы объема
серийной бесповторной выборки:
t 2 2 R
22  225  200
r  2 w2 2 
 30 бригад .
 R  t  w 200  225  22  225
5.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Из общего количества рабочих предприятия была проведена 30%-ная
случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборки следующие (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Затраты времени на
проезд к месту работы,
До 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
мин.
Число рабочих
75
85
210
60
50
Определить:
1) средние затраты времени на проезд к месту работы у рабочих данного
предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;
2) долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954.
5.2. Выходной контроль качества поступающих на предприятие комплектующих изделий, осуществляемый в порядке механической выборки, дал следующие результаты (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Число издеОтклонение размера изделия от принятого по ГОСТу, %
лий
От
-2,0
До
-3,0
5
»
-1,0
»
-2,0
15
»
0,0
»
-1,0
20
»
1,0
»
0,0
80
»
2,0
»
1,0
50
»
3,0
»
2,0
20
»
4,0
»
3,0
5
»
5,0
»
4,0
5
Определить:
1) пределы значений среднего отклонения размера изделий от стандарта по
ГОСТу с вероятностью 0,997;
2) пределы доли изделий с отрицательным отклонением в общей совокупности изделий с вероятностью 0,954.
5.3. Произведён 10%-ный пропорциональный типический отбор рабочих со
сдельной и повременной системами оплаты труда для изучения показателей
выполнения сменного задания. Отбор единиц в каждой группе бесповторный.
Выборка дала следующее распределение численности рабочих по проценту выполнения норм выработки (табл. 5.3).
Таблица 5.3
Группы рабочих по проценту выполнения сменГруппы рабоного задания
Итого
чих по оплате
140 и вы- рабочих
труда
До 100
100 – 120
120 – 140
ше
Рабочие20
150
80
30
280
сдельщики
Рабочие40
100
60
20
220
повременщики
Итого
60
250
140
50
500
Определить:
1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,954 заключён
средней процент выполнения сменного задания для всех рабочих предприятий;
2) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное задание не
менее чем на 120% (с вероятностью 0,954);
3) необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120%, чтобы с вероятностью
0,954 предельная ошибка выборки не превышала 3%.
5.4. В АО «Прогресс» работает 3000 человек. Методом случайной бесповторной выборки обследовано 1000 человек, из которых 820 выполняли и перевыполняли дневную норму выработки.
Определить:
1) долю рабочих, не выполняющих норму выработки, по данным выборочного обследования;
2) долю всех рабочих акционерного общества, не невыполняющих норму
(с вероятностью 0,954).
5.5. Из партии изготовленных изделий общим объёмом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30% изделий, из которых бракованными оказались 12 изделий.
Определить:
1) долю бракованных изделий по данным выборки;
2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей
партии (с точностью 0,954).
5.6. По данным выборочного обследования 10000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35,5 км., а среднее квадратическое отклонение – 16,0 км.
Определить:
пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0,954;
как изменится предельная ошибка выборки, если вероятность будет принята равной 0,997?
5.7. хронометраж работы станочника дал следующие результаты (табл.
4.18).
Таблица 5.4
Затраты времени на изготов50 – 60 60 – 70
70 – 80 80 – 90 90 – 100 Итого
ление одной детали, с.
Количество де3
27
35
29
6
100
талей, шт.
Определить:
средние затрат времени на обработку одной детали по данным наблюдения;
предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954, учитывая, что речь
идёт о массовом производстве, т.е. выборка производится из генеральной
совокупности бесконечно большого объёма.
5.8. В механическом цехе завода в порядке малой выборки изучались фотографии рабочего дня 10 рабочих. Время непроизводителной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, для
обследованных рабочих составило: 52, 48, 60, 46, 62, 54, 51, 49, 55, 53 мин.
Определить:
1) доверительные пределы, в которых находится среднее время непроизводительной работы и перерывов для всех рабочих цеха, гарантируя результат с вероятностью 0,99;
2) вероятность того, что среднее время непроизводительной работы и перерывов всех рабочих цеха отличалось от полученного по выборке не более чем на 3 мин.
5.9. Из 200 ящиков по 100 деталей в каждом, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано
5 ящиков, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки следующие (табл. 5.5).
Таблица 5.5
№ ящика
1
2
3
4
5
Средний
50
49
53
53
55
вес 1 дета-
ли, г.
Определить:
1) возможные пределы среднего веса детали для всей партии, поступившей
на склад (с вероятностью 0,954);
2) объём случайной бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки при определении среднего веса
одной детали для всей партии не превышала 0,7 г.
5.10. На предприятии с числом установленных металлорежущих станков
120 единиц необходимо на основе выборочного обследования определить долю
станков возрастом свыше 10 лет. Никаких предварительных данных об удельном весе этого оборудования в общей численности установленного оборудования нет.
Определить, каков должен быть объём выборки с механическим отбором,
чтобы при вероятности 0,954 предельная ошибки выборки не превышала 5%.
5.11. Объём выборки: 1) увеличился в 2 раза; 2) уменьшился в 2 раза.
Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.
5.12. На основе 5%-ной бесповторной выборки получены следующие данные о пробеге автомобильных шин, эксплуатируемых в городских условиях
(табл. 5.6).
Таблица 5.6
Пробег
шин,
40 – 42
42 – 44
44 – 46
46 – 48
48 – 50
50 – 52
тыс. км.
Число
4
8
22
26
40
20
шин
Определить доверительные интервалы среднего пробега шин в городских
условиях, гарантируя результат с вероятностью 0,954.
5.13. По 25 рабочим механического цеха собраны данные о прохождении
этими рабочими технического обучения и проценте выполнения норм выработки. Результаты обследования следующие (табл. 5.7).
Группы рабочих
Число рабочих
Не прошедшие техническое обучение
11
Таблица 5.7
Процент выполнения
норм выработки каждым рабочим
98,0; 102,0; 108,0; 103,2;
97,5; 100,0; 104,0; 100,8;
107,2; 105,4; 99,2
Прошедшие техническое обучение
14
112,8; 118,4; 106,8;
103,1; 108,9; 111,4;
100,8; 114,1; 110,8;
112,0; 107,9;106,9; 118,7;
110,2
Установить, используя метод дисперсионного анализа, существует ли зависимость между процентом выполнения норм выработки и повышением квалификации, гарантируя результат с вероятностью 0,95.
5.14. Для определения средней из совокупности произведена типическая
выборка. Совокупность разделена на три однородные группы численностью
3000, 5000 и 10000 единиц соответственно. Отбор 5%-ный. Результаты, полученные по данным выборки, следующие (табл. 5.8).
Таблица 5.8
Группы
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
1
12
9
2
15
16
3
18
25
Гарантийную вероятность принять равной 0,997.
Определить доверительные интервалы средней.
5.15. Методом собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учёбу, составило, по по данным
выборки , 30%.
Определить вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%.
5.16. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района,
чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплачивающих налоги, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки, доля фирм составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0,954 (0,997).
5.17. Общая численность служащих предприятия составляет 324 человека.
Рассчитайте численность механической выборки для определения доли
служащих, прошедшие повышение квалификации по использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью 0,954 ошибки репрезентативности не
превышала 10%.
5.18. Из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют ГОСТу.
Определить среднюю ошибку повторной выборки и границы, в которых
находится доля продукции, соответствующая ГОСТу, для всей партии с вероятностью 0,997.
5.19. В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1600 счетов вкладчиков. Средний размер остатков вклада
по этим счетам составил 3,2 тыс. руб. при коэффициенте вариации 30%.
Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении
среднего размера остатков вклада не превысит 0,05 тыс. руб.?
5.20. Доля определения средней продолжительности телефонного разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предполагается провести выборочное наблюдение методом случайной выборки. По
данным аналогичных обследований, среднее квадратичное отклонение продолжительности разговора составило 3,5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., составила 0,4.
Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для того, чтобы
с вероятностью 0,954 (0,997) найти среднюю продолжительность телефонного
разговора, с ошибкой, не превышающей 30 с, а также долю телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5%?
5.21. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты
выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в
городских условиях при работе водителей различной квалификации (табл. 5.9).
Таблица 5.9
Число шин
Пробег автомобильных
При работе водителей I При работе водителей II
шин, тыс. км.
класса
класса
50-52
2
10
52-54
6
26
54-56
18
10
56-58
10
8
58-60
4
6
Итого
40
60
Определить на основе приведённых данных существенно ли расхождение
среднего пробега автомобильных шин для двух водителей, гарантируя результат с вероятностью 0,954.
5.22. Обработка детали №318 производит в цехе на трёх станках, имеющих
различную производительность. Для определения доли бракованных деталей
для всей партии продукции организованна типическая выборка. Методом бесповторного отбора от каждого станка взято 10% деталей из числа обработанных
за день и получены следующие результаты (табл. 5.10).
Таблица 5.10
№ станка
№1
№2
№3
Число проверенных де200
120
250
талей, шт.
В том числе брак
4
3
6
Определить:
предельную ошибку выборки и доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,997 будет находиться процент брака для всей партии деталей, обработанных за день;
вероятность того, что процент брака для всей партии деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 0,7%.
5.23. Построить 95%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего размера детали по данным 12 деталей, произведённых на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими (табл. 5.11).
Таблица 5.11
№ детали
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Отклонение
размера в
-1 +2 -2 +4 -3 +2 +6 -1
0
+4 +2
-1
МК
5.24. Для характеристики использования рабочего времени в механическом
цехе проектируется повторное проведение моментного наблюдения. Проведение предыдущего наблюдения дало следующие результаты: 420 отметок состояния «работа» и 60 – состояние «простой».
Определить необходимое число моментных наблюдений и обходов рабочих мест с вероятностью 0,954 (0,997), приняв точность результатов в пределах
1% (2%). Число рабочих мест в цехе – 60.
5.25. При проверке автомобильных шин на сопротивление разрыву была
проведена малая выборка и получены следующие результаты (табл. 5.12).
Таблица 5.12
№ шины
1
2
3
4
5
6
7
8
Сопротивление
164
180
176
168
156
186
190
170
разрыву, кг/см
Определить доверительные интервалы, в которых заключён средний уровень сопротивления материала разрыву, гарантируя результат с вероятностью
0,99.
5.26. Компания, сдающая автомобили в аренду, решила оценить размеры
простоев автомобилей в ремонте в течение года. Выборка по 10 автомобилям
показала, что в прошлом году количество дней, в течении которых автомобили
находились на ремонте, составило: 15; 11; 19; 24; 6; 18; 20; 15; 18; 9.
Определить с вероятностью 95% доверительный интервал для среднего
числа дней в году, когда автомобили не используются в связи с ремонтом, пологая, что распределение времени простоя автомобиля в ремонте подчиняется
нормальному закону. Не производя дополнительных расчётов, указать, будет ли
доверительный интервал шире или уже, если нужно будет его рассчитать с вероятностью 90%.
5.27. По результатам выборки имеются следующие данные: средняя равна
8, среднее квадратическое отклонение 2,6, а объём выборки – 32 единицы.
Какому уровню доверительной вероятности соответствует доверительный
интервал средней 7,195<х<8,805?
5.28. Для изучения важности сторон маркетинговой деятельности была
проведена простая случайная выборка, в процессе которой были изучены мнения 50 руководителей маркетинговых служб предприятий пищевой промышленности. Из 11 вопросов 16% участников выборочного обследования наиболее
важным посчитали ценовую политику.
Определить с вероятностью 99% доверительный интервал доли руководителей маркетинговых служб в генеральной совокупности предприятий пищевой
промышленности, оценивающих ценовую политику, как наиболее важную сторону маркетинга.
Как изменится величина доверительного интервала, если будет обследовано не 50, а 70 руководителей?
5.29. По данным выборочного обследования, средняя арифметическая величина равна 100. При уровне доверительной вероятности 90% верхняя граница
доверительного интервала генеральной средней составила 112.
Какой величине равна нижняя граница доверительного интервала?
5.30. Из партии в 4000 электрических лампочек было отобрано по схеме
собственно случайной бесповторной выборки 200 лампочек. Средняя продолжительность горения лампочек в выборке оказалась равной 1250 ч.
Какова вероятность того, что средний срок службы лампочек во всей партии заключён в пределах от 1220 до 1280 ч? Среднее квадратическое отклонение по предшествующим исследованиям равно 150 ч.
5.31. Для определения процента нестандартных деталей в партии по схеме
повторной выборки было отобрано 500 деталей, среди которых оказалось 12
нестандартных.
Какова вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии
отличается от доли деталей, полученной по выборке не более чем на 0,02 (по
абсолютной величине).
5.32. Из партии в 8000 деталей было подвергнуто контролю 12,5% деталей.
Среди них оказалось 4% нестандартных.
Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей
партии отличается от выборочной доли не более чем на 1,5%, если выборочная
совокупность образована по схеме:
а) повторной выборки;
б) бесповторной выборки.
5.33. Выборочное обследование дальности поездок населения в пригородных электропоездах трёх дорог, организованное по схеме 10%-ной типической
бесповторной выборки, дало следующие результаты (табл. 5.13).
Таблица 5.13
Дальность
поездки, км.
0-10
Число пассажиров
Дорога 1
Дорога 2
Дорога 3
5
5
–
Итого
10
10-20
20-30
30-440-550-60
Итого
15
20
40
30
10
120
20
40
25
10
–
100
10
20
35
70
45
180
45
80
100
110
55
400
Определить:
1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,997 заключена
средняя дальность поездки пассажира по каждой дороге и в целом по пригородному сообщению;
2) вероятность того, что средняя дальность поездок по трём дорогам вместе отличается от полученной по выборке не более чем на 0,8 км.
5.34. Из генеральной совокупности численностью в 400 единиц планируется 10%-ная выборка с механическим отбором единиц.
Определить:
1) объём выборки;
2) интервал отбора;
3) на сколько частей делится генеральная совокупность.
5.35. Предельная ошибка доли признака при случайной повторной выборке
равна 8%.
Определить, как следует изменить объём выборки, если величина ошибки
должна быть уменьшена до 5%.
5.36. Из партии изготовленных изделий в 1800 шт. проверено посредством
механической выборки 25% изделий, из которых бракованными оказались 18.
Определить:
1) долю бракованных изделий по данным выборки;
2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий в партии с
вероятностью 0,954.
5.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДОВАТЕЛЯМ
1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ. Проведение практических занятий по
данной теме предполагает решение типовых задач по каждому способу формированию выборочных совокупностей. Причем задачи должны связаны как
определению ошибок выборки так и определению необходимого объема выборочной совокупности.
2.Задачи для самостоятельной работы студентов. Для этой цели необходимо решить задачи, аналогичные тому, что были разобраны на практических занятиях с преподавателем. Благодаря этому студенты закрепят навыки
решения отдельных вопросов организации выборочного наблюдения, что поз-
волит лучше подготовиться к аудиторной контрольной работе.
3. Аудиторная контрольная работа. Для контрольной работы целесообразно включить 2-3 задачи по выборочным наблюдениям. Для более объективного контроля уровня знаний необходимо провести промежуточное тестирование по данной теме.
ТЕМА 6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ
6.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Социально – экономические явления общественной жизни находятся в непрерывном развитии. Их изменение во времени статистика изучает при помощи
построения и анализа рядов динамики.
Начиная изучение данной темы, необходимо обратить внимание на классификацию рядов динамики, различия между ними, так как отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное значение для их изучения. Выбор
соответствующих приёмов и способов анализа определяется характером исходных данных и зависит от задач исследования.
Данная тема знакомить студентов с задачами, решение которых дает возможность усвоить правила построения и анализа рядов динамики для характеристики изменения социально – экономических явлений во времени, выявления
основной тенденции, закономерностей их развития.
Ряд динамики – числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности. Он состоит из двух граф: в первой указываются периоды (или даты), во второй – показатели, характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).
Показатели второй графы носят название уровней ряда: первый показатель
называется начальным уровнем, последний – конечным. Уровни рядов динамики могут быть выражены абсолютными, средними или относительными величинами. Исходя из этого, ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
Ряды динамики могут быть двух видов: интервальные и моментные.
В интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину
показателя за определенные периоды (сутки, месяц, квартал, год и т. д.). Особенность интервальных рядов из абсолютных величин является то, что их уровни можно суммировать, получая новые значения объема явления, относящиеся
к более длительным периодам.
В моментном ряду динамики приводятся данные, характеризующие размеры явления на определенные моменты (даты) времени. Уровни моментных
рядов динамики суммировать нельзя; сумма не имеет экономического смысла,
так как каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень. Однако разность уровней имеет смысл, характеризуя
увеличение или уменьшение уровня ряда между датами учета.
Важнейшим условием правильного формирования рядов динамики является сопоставимость уровней, образующих ряд. Основным требованием сопоставимости уровней является одинаковая методология их исчисления для всех
периодов или дат. При этом все уровни должны быть даны не только в одинаковых, но и равноценных единицах измерения. Условием сопоставимости данных является также одинаковая полнота охвата различных частей явления,
представленного рядом динамики. Уровни показателей в интервальных дина-
мических рядах должны относиться к периодам с одинаковой продолжительностью. Для моментных рядов должна соблюдаться неизменность даты учета.
Вопрос о том, следует ли считать условием сопоставимости данных динамического ряда одинаковость границ территории, к которой относятся данные,
решается по – разному. Если ставится задача изучения изменения явления в
связи с изменением территории, то в этом случае сопоставляются данные, относящиеся к различной территории. Если же ставится задача изменения темпов
развития явления, то сравниваемые показатели должны относиться к неизменной территории. Поэтому, прежде чем анализировать ряд динамики, необходимо обеспечить сопоставимость уровней ряда. Для этого выполняется дополнительные расчеты, которые называются смыканием уровней динамических
рядов.
Условием же сопоставимости уровней интервального временного ряда является равенство периодов, за которые приводятся данные. Если это условие
нарушено, то исследуемый ряд подвергают дополнительной обработке - рассчитывают уровни ряда в среднем на единицу времени.
Пример 1. Объем инвестиций по фирме характеризуется следующими
данными (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Периоды
1994-1999
2000-2003
2004-2010
2011
Объем капитальных вложений (в
1140,8
1225,5
2960,6
508,8
сопоставимых ценах, млн. руб.
Уровни представленного ряда не сопоставимы между собой, так как показатели относятся к периодам с различной продолжительностью. Для того, чтобы выявить изменение динамики капитальных вложений во времени, необходимо определить величину капитальных вложений на одну и ту же единицу
каждого периода – один год.
Объем капитальных вложений за один год составляет (млн. руб.):
1994 – 1999 гг. – 228,16 (1140,8 : 5);
2000 – 2003 гг. – 408,50 (1225,5 : 3);
2004 – 2010 гг. – 493,43 (2960,6 : 6);
2010 г. – 508,80.
Из анализа полученных данных видно, что объем капитальных вложений
по фирме за период 1994 – 2011 гг. имеет тренд к повышению.
Если несопоставимость в рядах динамики вызвана административно - территориальными изменениями, то для изучения развития явления необходимо
построить ряд сопоставимых уровней в новых территориальных границах.
Пример2. Имеются данные, характеризующие общий объём продукции
промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах),
млрд. руб.:
Таблица 6.2
Годы
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Уровни
продукции
промышленности
В старых границах региона
21,6
22,3 22,5 22,6
В новых границах региона
25,3 26,1 27,0 28,7
Для приведения этой информации к сопоставимому виду для определяется
коэффициент пересчета (коэффициент соотношения двух уровней):
КП 
Уровень явления в новых границах
Уровень явления в старых границах

У
Н
У
 1,12.
с
Умножая на этот коэффициент уровни продукции 2005, 2006 и 2007 гг. и
объединив их с уровнями в новых границах можно построит ряд динамики сопоставимых уровней в новых территориальных условиях региона (табл. 6.3).
Таблица 6.3
Годы
2005 2006 2007
2008
2009
2010 2011
Уровни
продукции 24,2 25,0 25,2
25,3
26,1
27,0 28,7
промышленности
Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени. Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют абсолютные и относительные показатели изменения ряда в динамики: абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темп роста и прироста. Выяснение сущности этих показателей, их взаимосвязей, методов расчёта – необходимое условие усвоения данной темы.
Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбрать базу
сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого
уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении
каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базисные показатели динамики.
Пример 3. Требуется провести анализ динамики реализации продукции
фирмы за 2010-2011 гг. Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные
показатели изложены в табличной форме (таблица 6.4).
Таблица 6.4 – Динамика реализации продукции фирмы за 2007-2011 гг. и расчет
аналитических показателей динамики
Годы
А
РеалиАбсолютные
зация приросты (снипрожение), млн.
дукс руб.
с 2007 г.
ции, предымлн. дущим

б
руб.
годом
yt
ц
1
2
3
Темпы роста, %
Темпы приро- Абсоста, %
лютное
значес
с 2007 г.
с
с 2007 ние 1%
приропредыпредыг.
ста,
TР
дущим
дущим
млн.ру
TПР
годом
годом
б.
TР
TПР
4
5
6
7
8
2007
2008
2009
2010
2011
891
806
1595
1637
1651
—
-85
+789
+42
+14
—
-85
+704
+746
+760
—
90,50
197,90
102,63
100,85
—
90,5
179,0
183,7
185,3
—
-9,50
97,90
2,63
0,85
—
-9,5
79,0
83,7
85,3
—
8,91
8,06
15,95
16,37
Итого
6580
+760
—
—
—
—
—
—
Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель – абсолютный прирост (  ). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле:
(6.1)
ц  yi  yi1 или б  yi  y0 ,
где yi - уровень i-го года;
y0 - уровень базисного года.
Например, абсолютное уменьшение реализации продукции фирмы за 2008
г. по сравнению с
2007 г. составило: 806 – 891 = -85 млн. руб. (таблица 6.1,
гр. 2), а по сравнению с базисным (2007 г.) реализация продукции в 2011 г. возросла на 760 млн. руб. (гр. 3).
Интенсивность изменения уровня ряда динамики оценивается отношением
текущего уровня к предыдущему или базисному, которая всегда представляет
собой положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста
( Т р ). Он выражается в процентах, т.е.:
Тр 
y
i
y
i 1
y
100 или Т р  i 100 .
y
(6.2)
0
Так, для 2011 г. темп роста по сравнению с 2007 г. составил
 1651 

 100  185,3% (таблица 6.1, гр. 2).
 891 
В некоторых случаях интенсивность изменения уровней оценивается коэффициентом роста, который показывает, во сколько раз сравниваемый уро-
вень больше уровня, с которым производится сравнение (если это коэффициент
больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение,
составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Цепной и базисный коэффициенты роста рассчитываются по формулам соответственно:
Кр 
yi
y
, или К р  i .
yi 1
y0
(6.3)
Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровня ряда
динамики в относительных величинах определяется темп прироста ( Т пр ), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или
базисному уровню, т.е.:
Тп 

y
i 1

100 , или Т п  100 .
y
(6.4)
0
Темп прироста может быть вычислен также путем вычитания из темпов
роста 100%, т.е. Т п  Т р  100 .
В нашем примере (таблица 6.1, гр. 6,7) он показывает, например, на сколько процентов реализация продукции в 2011 г. снизилась (возросла) по сравне760 
нию с 2007 г.: 
 100  85,3% или 185,3  100  85,3% .
 891 
Показатель абсолютного значения 1% прироста ( % ) определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста,
выраженный в %, т.е.: % 

или 0,01 yi1 . Расчет этого показателя имеет экоТп
номический смысл только на цепной основе.
Для 2011 г. абсолютное значение 1% прироста (таблица 6.1, гр. 8) равно:
0,01 1637  16,37 или
14
 16,37 млн. руб.
855
Особое внимание следует уделять методам расчета средних показателей
рядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней
ряда динамики. Различают следующие средние показатели:
 средний уровень ряда динамики;
 средний абсолютный прирост;
 средний темп роста;
 средний темп прироста.
Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.
Для интервальных рядов динамики средний уровень за исследуемый период времени определяется по формуле средней арифметической:
при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая:
y
y;
n
(6.4)
при неравных интервалах – средняя арифметическая взвешенная:
y
 y t ;
n
(6.5)
где t1, t2 ,, tn  веса, длительность интервалов времени между смежными датами.
Обобщающий показатель скорости изменения уровней во времени - абсолютный прирост (убыль), представляющий собой обобщающую характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. По цепным данным
об абсолютных приростах за ряда лет можно рассчитать средний годовой абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

 ц yn  y0
,

n 1
n 1
(6.6)
где n  число уровней в динамическом ряду.
Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней
динамического ряда служит средний темп роста (снижения), показывающий
во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики. Поскольку средний темп роста представляет собой средний коэффициент
роста, выраженный в процентах Т  К 100, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к исчислению средних коэффициентов роста из цепных коэффициентов роста (по «цепному способу»):
Т р  m K  K  K  K  K 100% ,
1
2
3
4
m
(6.7)
где m - число цепных коэффициентов роста.
Если известны уровни динамического ряда, то формула для расчета среднего коэффициента роста принимает вид:
y
Т р  n  1 n  100%,
y
(6.8)
0
где n  число уровней в динамическом ряду.
Рассчитаем средний уровень для нашего примера. Так как анализируем интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями во времени, то средний
уровень рассчитаем по формуле (6.4):
y
 y 6580

 1316 .
n
5
Таким образом, среднегодовая продажа мясных консервов за 5 лет составила 1316 млн. руб.
Среднегодовой абсолютный прирост мясных консервов рассчитаем по выражению:

 ц yn  y0 760


 190 млн. руб.
n 1
n 1
4
Среднегодовой темп роста продажи мясных консервов за период 2003-2007
гг. составляет:
Т р  4 0,905 1,979 1,026 1,009 100%  4 1,853 100%  116,7% ;
При статистическом анализе и сопоставлении стохастически взаимосвязанных рядов динамики, характеризующих различные социально - экономические явления, рассчитывают коэффициент опережения. Он показывает, во
сколько раз один ряд динамики растет быстрее другого, и определяется сопоставлением коэффициентов роста или темпо прироста двух рядов динамики.
Коэффициент опережения можно рассчитать по формулам:
K оп 
К р ()
К р ()
;
К оп 
Т п()
Т п()
,
(6.9)
где К р()  максимальный коэффициент роста; К р()  минимальный коэффициент роста; Т п()  максимальный темп прироста; Т п()  минимальный темп прироста.
Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.
В некоторых случаях эта закономерность развития объекта вполне ясно
отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции
развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют
особые приёмы обработки рядов динамики.
Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения
уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от
случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции
развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов
времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.
Другой метод - метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене
абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды.
Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением
из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.
Пример 4. На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15
месяцев 1996-1997 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной скользящей средней.
Таблица 6.5 -Динамика производства стиральных машин и расчёт скользящих средних.
ТрёхчленСтиральные
ные скольМесяцы машины,
зящие
тыс. шт.
средние
1
155
2
163
161,7
3
167
153,7
4
131
152,0
5
158
145,3
6
147
145,0
7
130
140,7
8
145
134,3
9
128
137,7
10
140
142,3
11
159
153,0
12
160
155,3
13
147
152,3
14
150
154,0
15
165
Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трёхчленные суммы, а затем
среднюю:
155  163  167 485

 161,7;
3
3
163  167  131 461
у2 

 153,7;
3
3
и т.д.
у1 
Интервал скольжения можно также брать чётный (четыре, шесть и т.д.).
Нахождение скользящей средней по чётному числу членов осложняется тем,
что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение
средней из средних для отнесения полученного уровня к определённой дате.
При центрировании необходимо также находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних.
После сглаживания основная тенденция стала вполне отчётливой. Кроме
того, можно проследить и её характер, т.е. сначала значения уровней ряда снижаются, а затем возрастают.
Уменьшение числа звеньев скользящей средней по сравнению с числом
исходных уровней ряда несколько сужает, конечно, возможности изучения характера выявленной тенденции в начале и в конце этапа развития. Тем не менее, скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, позволяющей всё же
уловить особенности изменения тенденции. Однако скользящая средняя не даёт
аналитического выражения тренда.
Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики
выражаются в виде функции времени:

у t  f t  .
Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

у t  a0  a1t - линейная функция;

у t  a0  a1t  a2 t 2 - парабола второго порядка;

у t  a0 a1t - показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой у t  f t  ) практически редко сделать
на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора
отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м
этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов,
имеющих эмпирический характер.
Наиболее простой эмпирический приём - визуальный: выбор форм тренда
на основе графического изображения ряда - ломаной линии. В случае очень
сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей
средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая
их сглаживание с помощью скользящей средней).
Если цепные абсолютные приросты относительно стабильны, не имеют
отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (const), то в качестве
формы тренда нужно принять прямую линию (линейную функцию):

у t  a0  a1 t .
(6.10)
Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста,
т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной
скоростью (Тi  const), то в качестве формы тренда следует принять показательную кривую:

у t  a0 a1t .
(6.11)
В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее
равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной
скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно
принять параболу второй степени:

у t  a0  a1 t  a2 t 2 .
(6.12)
После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров
обычно производится методом наименьших квадратов. Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая
обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных)
уровней, лежащих на искомой кривой:
2
(6.13)
F    yt  yˆt   min,
где yt  фактические, ŷt  выровненные (расчетные) уровни.
Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой(6.10). Параметры a0 и a1 искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:
a0 n  a1  t   y


,
a0  t  a1  t 2   t  yt 

t
(6.14)
где t – время (порядковый номер интервала или момента времени).
Решают эту систему и получают числовые значения параметров линейного
тренда a0 и a1 .
Чтобы найти неизвестные параметры параболы второго порядка переходят
к системе уравнений, которая имеет вид:


a0  t  a1  t 2  a2  t 3   t  yt .

a0  t 2  a1  t 3  a2  t 4   t 2  yt 
a0 n  a1  t  a2  t 2   yt
(6.15)
На основании решении этой системы можно рассчитать числовые значения
параметров.
Аналогичным образом определяют неизвестные параметры и для других
трендовых моделей.
Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых отсутствует информация.
Нахождение по имеющимися данными за определенный период времени
некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется
интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого
периода называется экстраполяцией.
Применение экстраполяции для прогнозирования должно базироваться на
предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохранятся и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы,
сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.
При составлении прогноза уровней социально – экономических явлений
обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так
называемые доверительные интервалы прогноза. При этом границы интервалов
определяются по формуле:
yT 
t  S ŷ
,
n
(6.16)
где yT  точечный прогноз, рассчитанный по отобранной модели;
t  коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости  ;
S yˆ  среднее квадратическое отклонение тренда.
При этом среднее квадратическое отклонение тренда рассчитывается по
формуле:
S 
yˆ
где
y
t
и
  yˆ  y 
t
 t
nm
2
,
ŷ  соответственно
t
(6.17)
фактические и выравненные значения уровней ди-
намического ряда;
n  число уровней ряда;
m  число определяемых параметров трендовой модели.
При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе динамических рядов с использованием трендовых моделей выбираются
несколько конкурирующих моделей. После выполнения необходимых вычислении производится выбор наилучшей модели тренда.
В качестве грубого критерия отбора иногда применяют среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формуле (6.16). Выбирается тот тренд, для
которого меньше среднее квадратическое отклонение.
Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой и по параболе
второго порядка.
Пример 5. В табл.6.6 представлена динамика производства мяса в регионе.
Таблица6.6
Годы
Мясо в убойном веГоды
Мясо в убойном
се, тыс. т., yt
весе, тыс. т., yt
1997
171
2005
196
1998
148
2006
140
1999
170
2007
224
2000
162
2008
196
2001
187
2009
237
2002
181
2010
179
2003
168
2011
189
2004
223
Необходимо рассчитать прогноз производства мяса в регионе на 2012год с
вероятностью 0,99, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть
описана: а) линейной моделью (6.10); б) параболической моделью (6.12).
Решение. Расчета коэффициентов нормальных уравнений линейного тренда (6.14) и параболического тренда (6.15) сведем в таблицу 6.7.
Таблица 6.7. Расчет параметров систем нормальных уравнений трендовых
моделей.
Таблица 6.7
Годы yt
1997
171
1998
148
1999
170
2000
162
2001
187
2002
181
2003
168
2004
223
2005
196
2006
140
2007
224
2008
196
2009
237
2010
179
2011
189
Итого 2771
2
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
120
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
1240
t
3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
14400
t
4
1
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
10000
14641
20736
28561
38416
50625
178312
t  yt
t 2  yt
171
296
510
648
935
1086
1176
1784
1764
1400
2464
2352
3081
2506
2835
23008
171
592
1530
2592
4675
6516
8232
14272
15876
14000
27104
28224
40053
35084
42525
241446
На основании таблицы 6.7 составим нормальные уравнения линейного
тренда (6.13), которые имеют вид:
15a0  120a1  2771

.
120a0  1240a1  23008
После решения этой системы были получены числовые значения неизвестных параметров: a0 =160,73; a1 =3. Следовательно, модель линейного тренда
примет вид:

у t  160,73  3  t .
(6.18)
Теперь необходимо составить систему нормальных уравнений параболического тренда (6.14):
15a0  120a1  1240a2  2771


120a0  1240a1  14400a2  23008
.
1240a0  14400a1  178312a2  241446
Решение этой системы дает результат: a0 =149,05; a1 =7,12; a2 =-0,26.
Далее для уравнений параболы (6.12) составим модель параболического
тренда:

у t  149,05  7,12  t  0,26  t 2 .
(6.19)
Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую
её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр a1  это
абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени t , или средний
абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту (росту в
арифметической прогрессии). Так, в нашем примере, a1 =3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т.
В дальнейшем необходимо рассчитать выравненные значения уровней для
трендовых моделей (6.18) и (6.19). С этой целью в подобранные модели последовательно необходимо подставить текущие номера уровней t. Результаты подсчетов сведем в табл. 6.8.
Таблица 6.8 - Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе
ряда динамики производства мяса в регионе.
Годы Мясо
в Обозна- Выравненные
убойном
чение
уровни по линейвесе, тыс. т., времени t ному тренду,

yt
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Выравненные уровни
по параболическому
тренду,
у t  160,73  3.t
171
148
170
162
187
181
168
223
196
140
224
196
237
179
189
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
163,73
166,73
169,73
172,73
175,73
178,73
181,73
184,73
187,73
190,73
193,73
196,73
199,73
202,73
205,73

у t  149,05  7,12  t  0,26  t 2
155,91
162,25
168,07
173,37
178,15
182,41
186,15
189,37
192,07
194,25
195,91
197,05
197,67
197,77
197,35
После выравнивания уровней динамического ряда посредством двух моделей стало очевидным тенденция к росту производства мясо в регионе.
Для выполнения прогноза производства мясо в регионе необходимо рассчитать средние квадратические отклонения каждой модели. Необходимые вычисления сведем в табл. 6.9.
Таблица 6.9 - Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений
Годы
Линейный тренд
Параболический тренд
2
yˆ t  yt
 yˆt  yt 2
yˆt  yt
 yˆt  yt 
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
7,27
-18,73
0,27
-10,73
11,27
2,27
-13,73
38,27
8,27
-50,73
30,27
-0,73
37,27
-23,73
-16,73
52,85
350,81
0,07
115,13
127,01
5,15
188,51
1464,59
68,39
2573,53
916,27
0,53
1389,05
563,11
279,89
15,09
-14,25
1,93
-11,37
8,85
-1,41
-18,15
33,63
3,93
-54,25
28,09
-1,05
39,33
-18,77
-8,35
227,71
203,06
3,72
129,27
78,32
1,99
329,42
1130,98
15,44
2943,06
789,05
1,10
1546,85
352,31
69,72
Итого
-
8094,89
-
7822,01
На основании этой таблицы рассчитаем средние квадратические отклонения моделей:
линейный тренд:
S 
yˆ
  yˆ  y 
t
 t
nm
2

8094 ,89
 24,95;
13
тренд параболы:
S 
yˆ
  yˆ  y 
t
 t
nm
2

7822 ,01
 25,53.
12
Так как модель линейной функций имеет меньшую среднеквадратическую
ошибку то она и будет использоваться для прогнозирования.
Для этого в подобранный модель (6.18) вместо параметра t подставляется
время упреждения T  n  1. В результате получим точечный прогноз показателя:
yT  160,73  3  T  160,73  3 16  208,73 тыс. т.
Далее по числу степеней свободы k  n  1 14 и заданной вероятности 0,99
из специальных таблиц найдем коэффициент доверия к прогнозу. И он равен
t  2,64 . На основании выражения (6.16) запишем границы прогнозируемого
показателя:
yT 
t  S yˆ
t  S yˆ
.
 yˆ прог  yT 
n
n
Подставляя сюда рассчитанные величины получим:
188,31  yˆ прог  229,15 .
Таким образом с вероятностью 0,99 можно ожидать, что производство мясо в регионе 2012 г. будет не ниже 188,31 тыс. т., но и не выше 229,15 тыс. т.
6.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Укажите, к какому виду относятся ряда, характеризующие размеры
(объёмы) следующие социально-экономических явлений:
а) численность населения (по данным переписи населения);
б) протяжённость автомобильных дорог с усовершенствованным покрытием (по состоянию на конец каждого года);
в) объём реализованной продукции по кварталам;
г) жилищный фонд (общая площадь на конец года);
д) удельный вес объёма перевезённого железнодорожным транспортом
груза в общем объёме перевозок по годам;
е) средний размер дохода населения по годам;
ж) удельный вес городского и сельского населения региона;
з) среднемесячная (списочная) численность работников предприятия;
и) численность студентов (на конец учебного года);
к) объём инвестиций, вложенных в различные отрасли экономики;
л) количество дорожно-транспортных происшествий в регионе;
м) численность врачей на 1000 жителей района;
н) коэффициент текучести кадров на предприятии по месяцам;
о) число вкладов населения в учреждениях Сберегательного банка России;
п) удельный вес затрат на услуги связи в общем объёме затрат предприятий и организаций, отдельных отраслей экономики;
р) удельный вес иностранных инвестиций в предприятия и организации
транспорта и связи;
с) число приватизированных предприятий (объём) транспорта.
6.2. Производство основных товаров длительного пользования для населения России характеризуется следующими данными (тыс. шт.) (табл. 6.10).
Таблица 6.10
Наименование
2005 г.
2006 г.
2007 г.
2008 г.
2009 г.
товара
Телевизоры
1095
393
482
429
370
Холодильники
380
112
263
302
270
Легковые автомобили
996
968
1086
940
1056
Фотоаппараты
396
320
186
289
386
Определите показатели динамики (цепные, базисные) производства каждого вида товара динамики, используя среднегодовые показатели динамики.
Сформулировать вывод.
6.3. Численность населения РФ на начало года характеризуется следующими данными (табл. 6.11).
Год
Численность
населения
млн. чел.
2005
2006
2007
2008
Таблица 6.11
2009
2010
147,9
147,6
147,1
146,7
146,3
145,6
Требуется, используя данные о численности населения и производстве товаров длительного пользования (задача 6.2):
а) построить ряды динамики выпуска каждого вида товаров на душу населения;
б) проанализировать динамику полученных показателей, исчислив коэффициенты опережения среднегодовых темпов прироста;
в) изобразить графически динамику выпуска каждого вида товаров на душу населения.
6.4. Число вкладов населения в учреждениях Сберегательного банка России по региону на начало года представлено в табл. 6.12.
Таблица 6.12
Год
2007
2008
2009
2010
Число вкла141,0
203,7
210,9
234,2
дов, млн.
Определить ежегодные абсолютные приросты, коэффициенты роста и
темпы прироста числа вкладов с постоянной и переменной базой.
6.5. Известны темпы роста инвестиций по двум регионам (в % к 1998 г.)
(табл. 6..13).
Таблица 6.13
Регион
2009 г.
2010 г.
2011 г.
А
120
254
308
Б
108
190
240
Определить темпы роста инвестиций за каждый год по сравнению с предшествующим годом и среднегодовые темпы роста инвестиций для каждого региона.
Сформулировать вывод.
6.6. Имеются следующие данные о мощности электростанций региона (на
конец года, млн. кВт), табл. 6.14.
Таблица 6.14
Год
2005
Цепные показатели динамики
Мощность
Абсолютное
электростанций Абсолютный
Темп
Коэффициент
значение 1%
(на конец года),
прирост,
прироста,
роста
прироста,
млн. кВт.
млн. кВт.
%
млн. кВт.
22,3
2006
1,3
2007
2,12
2008
1,041
2009
1,071
2010
0,24
1,85
6.7. Имеются следующие данные о приёме студентов в высшее учебные
заведения страны, тыс. чел. (табл. 6.15).
Таблица 6.15
Цепные показатели динамики
Абсолютное
Принято
Абсолютный
значение
Год
студентов,
Темп роТемп припророст,
1% приротыс. чел.
ста, %
роста, %
тыс. чел.
ста, тыс.
чел.
2006
2791
146
2007
106,2
2008
9,5
2009
2010
475
35,98
Требуется:
1) исчислить отсутствующие в таблице сведения о приёме студентов за
2006 – 2010 гг.;
2) проанализировать динамику изучаемого явления, опираясь на рассчитанные показатели динамики.
6.8. В табл. 6.16 представлены данные о пассажирообороте автобусного
транспорта региона.
Год
Пассажирооборот,
млрд. пасс.-км.
1996
360,2
Таблица 6.16
Цепные показатели динамики
Абсолютное
Абсолютный
Темп
значение
прирост,
Коэффициент
прироста, 1% приромлрд. пасс.роста
%
ста, млрд.
км.
пасс.-км.
-
1997
14,5
1998
1,037
1999
2000
10,8
4,018
Определить недостающие уровни и цепные показатели динамики.
6.9. В табл. 6.17 представлены данные о перевозке грузов речным пароходством.
Год
Объём перевозок грузов,
млн. т.
1995
1996
1997
520,6
Таблица 6.17
Цепные показатели динамики
Абсолютный
Темп роста,
Темп прироприрост, млн.
%
ста, %
т.
105,4
-0,9
1998
1999
5,8
26,4
2000
101,7
6.10. По группе предприятий имеются следующие данные (табл. 6.18).
№ предприятия
Удельный вес в общем
Таблица 6.18
Прирост объёма произ-
1
объёме продукции в
прошлом году, %
30,5
водства продукции против прошлого года, %
7,3
2
24,3
10,5
3
45,2
18,4
Определить удельные веса предприятий в общем объёме продукции в отчётном году.
6.11. Выработка изделия на предприятии в 2007 г. составила 4 тыс. шт., а в
2010 г. 4,6 тыс. шт.
Определить методом интерполяции выработку изделия в 2008 и 2009 гг.
6.12. Приведены следующие данные (табл. 6.19).
Таблица 6.19
Год
1997
1998
1999
2000
Уровень ряда
10
14
Определить неизвестные уровни, предполагая их линейное изменение.
6.13. Среднее расстояние перевозки грузов в международном сообщении
по годам характеризуется следующими данными (табл. 6.20).
Таблица 6.20
Год
2006
2007
2008
2009
2010
Среднее
расстояние
512
255
223
210
185
перевозки,
км.
Произвести аналитическое выравнивание с последующей экстраполяцией
для 2011 г.
6.14. Удельный вес городского населения региона увеличился с 1 января
2005 г. По 1 января 2010 г. с 36,2 до 42,8%.
Определить показатели динамики численности городского и сельского
населения региона, если общая численность населения данного региона за этот
период возросла на 8,4%.
6.15. Поступление денежных средств от реализации продукции, работ и
услуг за отчётный год по предприятию следующие (табл. 6.21).
Таблица 6.21
Фактически поФактически постуступило на расМесяц
пило на расчётный
Месяц
чётный счёт, млн.
счёт, млн. руб.
руб.
Январь
15,2
Июль
16,1
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
14,8
14,5
16,0
16,7
15,4
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
17,3
16,9
15,8
17,5
18,0
Требуется:
1) определить начальный, конечный и средний уровень ряда динамики;
2) построить ряд динамики с нарастающими итогами по кварталам года;
3) определить среднемесячный уровень поступления денежных средств за
каждый квартал.
6.16. Динамика объёма реализации услуг коммунальных предприятий города в процентах к 2006 г. составила: 2007 г. – 108,0; 2008 г. – 110,5; 2009 г. –
125,0; 2010 г. – 153,2.
Определить:
1) коэффициенты роста для 2009 и 2010 гг. по сравнению с 2008 г.;
2) среднегодовой темп прироста за период 2006-2010 гг.
6.17. На 1 октября в списке предприятий «Акрос» числилось 25 человек; с
10 октября были приняты на работу 6 человек, а с 12 октября были уволены по
собственному желанию 4 человека. С 25 октября на предприятие были приняты
6 человек.
На предприятии «Восход» на 1 октября числилось 32 человека; с 15 октября были приняты на работу 5 человек, а с 28 октября уволилось 6 человек.
Требуется:
1) определить, на каком предприятии и насколько среднесписочная численность в октябре была больше (в абсолютном выражении и в процентах);
2) изобразить динамику численности работников каждого предприятия с
помощью линейной диаграммы.
6.18. Жилищный фонд России характеризуется следующими данными
(табл. 6.22).
Таблица 6.22
На 1 января
На 1 января
На 1 января
На 1 января
1997 г.
1998 г.
1999 г.
2000 г.
Весь жилищный фонд,
млн. кв. м.
2580
2715
2745
2770
Определить, на сколько кв. м. и процентов в среднем ежегодно увеличивался жилищный фонд России.
6.19. Имеются следующие данные о числе пассажиров, перевезённых метрополитеном по городам России (табл. 6.23).
Таблица 6.23
1996 г.
1997 г.
1998 г.
Перевезено пассажиров, млн.
4173
4128
4146
чел.
Определить среднегодовой темп роста и темп прироста перевозок пассажиров метрополитеном.
6.20. Погрузка вагонов по отделению дороги характеризуется следующими
данными за апрель отчётного года (табл. 6.24).
Числа месяца
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Погружено вагонов
218
190
105
185
200
170
175
98
208
164
210
184
200
163
112
Числа месяца
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Таблица 6.24
Погружено вагонов
174
103
170
188
152
203
195
214
177
209
197
169
181
170
210
Требуется:
1) для погашения колебаний и выявления основной тенденции роста числа
погружённых вагонов произвести сглаживание динамического ряда с помощью трёхчленной переменной и скользящей средней;
2) объяснить полученные результаты.
6.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1. Практические занятия. Изучая данную тему необходимо обратить особое внимание на специфику расчета средних по рядам динамики. Необходим
также остановиться на следующих вопросах: сопоставимости уровней рядов
динамики; сглаживание уровней динамических рядов; экстраполяции тренда на
будущее.
2. Задание для самостоятельной работы студентов может включать решение индивидуальных задач по расчету и анализу показателей динамики, по
аналитическому выравниванию динамических рядов и прогнозирование на их
основе экономических показателей.
3. Контрольная аудиторная работа может включать решение типовых
задач из данного сборника, а также промежуточное тестирование по данной теме.
Тема 7. ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ
7.1.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ
ЗАДАЧ
Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно
существующими явлениями и процессами играет в развитии экономики
значительную роль. Оно позволяет глубже понять сложный механизм
причинно-следственных отношений. В настоящее время важно уметь
количественно измерить тесноту причинно-следственных связей и выявить
форму связи между экономическими процессами. Для исследования
интенсивности, вида и формы причинных связей широко применяется
корреляционный и регрессионный анализ. Выявление количественных
соотношений дает возможность лучше понять природу исследуемого
явления. Это, в свою очередь, позволяет воздействовать на изученные
факторы, вмешиваться в соответствующий процесс с целью получения нужных результатов.
Но, чтобы глубоко и основательно проникнуть в суть явления,
необходимо исследовать и раскрыть его причинные связи, его отношения с
другими явлениями. Под причинной связью понимают такую связь, когда
изменение одних процессов есть следствие изменения других. Обычно одно и
то же экономическое явление выступает как результат, следствие, эффект одной
или нескольких причин. Вместе с тем оно служит причиной наступления
других явлений или процессов. Раскрытие объективно существующих причинных зависимостей приводит исследователя к источнику зарождения отдельных
процессов.
Признание факта множественности причин и следствий в реальной
действительности нашло свое отражение и при исследовании закономерностей
в экономике. Так, на величину себестоимости единицы продукции влияют
объем производства, используемая технология и уровень производительности
труда. Производительность труда, которая служит причиной формирования
себестоимости, в свою очередь является следствием таких причин, как уровень
развития техники и подготовки работников, эффективность использования
парка оборудования и т. д. Урожайность сельскохозяйственных культур
зависит от состояния почвы, состава и количества внесенных удобрений,
метеорологических условий и других не менее важных причин.
Один из важных признаков причинной связи - это соблюдение
временной последовательности причины и следствия. Причина всегда
предшествует следствию. Однако не всякое предшествующее событие
служит подлинной причиной появления последующего. Поэтому для
правильного понимания причинно-следственных отношений большую
опасность
представляют
совпадения
явлений
и
одновременно
развивающиеся процессы. Например, увеличение числа онкологических
заболеваний за последние 10 лет ни в коей мере не является причиной спада
промышленного производства за тот же период времени.
Следует также отметить, что статистический анализ требует такого
обязательного условия, как повторяемость явления. Ведь только наличие
достаточно большого числа наблюдений обеспечивает практическую
возможность выявления связи. Это обусловлено тем, что причинному
действию и определяемому им следствию присуща в той или иной степени
случайность. Большинство экономических процессов представляют собой
результат множества одновременно действующих причин. Каждый процесс
при повторении его причинного комплекса за счет случайности реализуется с
отклонением от закона, лежащего в его основе.
Различают два вида зависимости между экономическими явлениями:
функциональную и статистическую. Зависимость между двумя величинами
соответственно
два
явления,
называется
X и Y , отображающими
функциональной, если каждому значению величины X соответствует
единственное значение величины Y и наоборот. Примером функциональной
связи в экономике может служить зависимость производительности труда от
объема произведенной продукции и затрат рабочего времени. При этом
следует отметить, что если Х- детерминированная, не случайная величина, то и
функционально зависящая от нее величина У тоже является детерминированной. Если же Х-величина случайная, то и Y также случайная величина.
Однако гораздо чаще в экономике имеет место не функциональная, а
статистическая зависимость, когда каждому фиксированному значению
независимой переменой X соответствует не одно, а множество значений
зависимой переменной Y, причем заранее нельзя сказать, какое именно
значение примет Y. Это связано с тем, что на Y кроме переменной X влияют и
многочисленные неконтролируемые случайные факторы. В этой ситуации Y
является случайной величиной, а переменная X может быть как детерминированной, так и случайной величиной. Частным случаем статистической
зависимости является корреляционная зависимость, при которой
функциональной зависимостью связаны фактор X и среднее значение
(математическое ожидание) результативного показателя Y. Статистическая
зависимость может быть выявлена лишь по результатам достаточно большого
числа наблюдений. Графически статистическая зависимость двух признаков
может быть представлена с помощью поля корреляции, при построении
которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X, а по
оси ординат - результирующего Y.
В качестве примера на рис. 7.1 представлены данные, иллюстрирующие
прямую зависимость между х и у (рис. 7.1, a) и обратную зависимость (рис. 7.1,
б). В случае «а» это прямая зависимость между, к примеру, среднедушевым
доходом (х) и сбережением (у) в семье. В случае «б» речь идет об обратной
зависимости. Такова, например, зависимость между производительностью
труда (х) и себестоимостью единицы продукции (у).
y
y
x
а
x
б
Рис. 7.1. Поле корреляции
На рис. 7.1 каждая точка характеризует объект наблюдения со своими
значениями х и у.
На рис. 7.1 также представлены прямые линии, линейные уравнения
регрессии типа yˆ  b0  b1 x , характеризующие функциональную зависимость
между независимой переменной x и средним значением результативного
показателя у. Таким образом, по уравнению регрессии, зная х, можно
восстановить лишь среднее значение у.
Ставя задачу статистического исследования зависимостей, важно хорошо
представлять
конечную
прикладную
цель
построения
моделей
статистической зависимости между результативным показателем у с одной
стороны и объясняющими переменными x1, x2 ,..., xk , с другой (до сих пор
рассматривалась только одна объясняющая переменная х). Отметим две
основных цели подобных исследований.
Первая из них состоит в установлении самого факта наличия (или
отсутствия) статистически значимой связи между У и X. При такой
постановке задачи статистический вывод имеет альтернативную природу «связь есть» или «связи нет». Он обычно сопровождается лишь численной
характеристикой - измерителем степени тесноты исследуемой зависимости.
Задача оценки степени тесноты связи между показателями решается методами
корреляционного анализа. При этом выбор формы связи между
результативным показателем у и объясняющими переменными x1, x2 ,...xk ,а
также выбор состава последних играет вспомогательную роль, призванную
максимизировать характеристику степени тесноты связи.
Вторая цель сводится к прогнозу, восстановлению неизвестных
индивидуальных или средних значений результативного показателя «y» по
заданным значениям объясняющих переменных.
Задача восстановления средних значений результативного показателя «у»
по заданным значениям объясняющих переменных решается методами
регрессионного анализа. При этом выбор формы и вида зависимости «у» от
объясняющих переменных x1, x2 ,...xk нацелен на минимизацию суммарной
ошибки, т. е. отклонений наблюдаемых значений у от значений, полученных по
регрессионной модели.
Таким образом, в задачах исследования зависимостей используются
методы корреляционного и регрессионного анализов. При этом методы
корреляционного анализа применяют на этапе предварительной обработки
информации, результаты которого используют в регрессионном анализе при
построении и анализе свойств уравнения регрессии. Выбор тех или иных
методов анализа во многом определяется природой изучаемых переменных,
шкалой в которой они измерены.
Количественные переменные позволяют измерять степень проявления
изучаемого свойства объекта (денежный доход и сбережения семьи, объем
валовой продукции, численность работников на предприятии и т. п.).
Порядковые (или ординальные) переменные позволяют упорядочивать
анализируемые объекты по степени проявления в них изучаемого свойства
(уровень жилищных условий семьи, квалификационный разряд рабочего,
уровень образования работника и т. п.). Наконец, классификационные (или
номинальные) переменные дают возможность разбивать обследованную
совокупность объектов на не поддающиеся упорядочиванию однородные классы
(профессия работника, мотив миграции семьи, отрасль промышленности и т. п.).
Теперь рассмотрим приемы и методы, позволяющие установить наличие
связи между исследуемыми переменными, выявить структуру этих связей и
измерить их тесноту. Поскольку перечисленные задачи решаются с помощью
вычисления и анализа соответствующих корреляционных характеристик,
совокупность используемых для этих целей методов называют
корреляционным анализом.
Корреляционный анализ разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом. Он
призван прежде всего ответить на вопрос, как выбрать с учетом специфики и
природы анализируемых переменных подходящий измеритель статистической
связи (коэффициент корреляции, корреляционное отношение, ранговый
коэффициент корреляции и т. д.) Далее предстоит решить задачу, как оценить его
числовые значения по имеющимся выборочным данным. Корреляционный анализ
позволяет найти методы проверки того, что полученное числовое значение
анализируемого измерителя связи действительно свидетельствует о наличии
статистической связи. Наконец, он помогает определить структуру связей между
исследуемыми k признаками x1, x2 ,...xk , сопоставив каждой паре признаков ответ
(«связь есть» или «связи нет»).
Корреляционный анализ количественных признаков. Одним из основных
показателей взаимозависимости двух случайных величин является парный
коэффициент корреляции, служащий мерой линейной статистической
зависимости между двумя величинами. Этот показатель соответствует своему
прямому назначению, когда статистическая связь между соответствующими
признаками в генеральной совокупности линейна. То же самое относится к
частным и множественным коэффициентам корреляции.
Парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи между
случайными величинами х и у, определяется по формуле:


M  x  M  y  M 
x
y 
 x, y     
,
 
(7.1)
x y
где M x и M y - математические ожидания величин х и у, а  x и  y  их
среднеквадратические отклонения.
Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1, то
есть -1 <  < +1. При этом между величинами х и у связь функциональная (прямая
- при  =+1 и обратная - при  = -1). Если же  = 0, то между величинами х и у
линейная связь отсутствует и они называются некоррелированными.
Содержательная интерпретация коэффициента корреляции приведена в
табл. 7.1.
Таблица 7.1 Содержательная интерпретация коэффициента корреляции
Значение
Связь
Интерпретация связи
ρ=0
Отсутствует
Отсутствует линейная связь между
величинами х и у
0<ρ<1
Прямая
С увеличением х величина у в среднем
увеличивается и наоборот
-1 < ρ < 0
Обратная
С увеличением х величина у в среднем
уменьшается и наоборот
ρ = +1
ρ = -1
Функциональная Каждому значению х соответствует одно
строго определенное значение величины у и
наоборот
 x, y 
Коэффициент корреляции, определяемый (7.1), относится к генеральной
совокупности и как всякий параметр генеральной совокупности нам не известен.
Его можно лишь оценить по результатам выборочных наблюдений.
Выборочный парный коэффициент корреляции, найденный по выборке
объемом п, где ( xi , yi )  результат i-го наблюдения i = 1, 2, ..., п, определяется по
формуле:
1 n
 ( xi  x)  ( yi  y)
n i 1
rxy  r 
Sx  S y
1 n
S 
1 n
где x   xi ; y   yi , a x
n i 1
n i 1
(7.2)
n

1
( xi  x )2 S y 
n i 1
;
n

1
( yi  y )2
n i 1
(7.3)
Формула (7.2) симметрична, т.е. rху= rух =r. Если в ее числителе раскрыть
скобки, то после несложных преобразований получим формулу, которую широко
используют при вычислении коэффициента корреляции.
r
xy  x  y
Sx  S y
где
xy -
xy 
(7.4)
средняя арифметическая произведения двух величин, т. е.
n
1
 xi  yi
n i 1
(7.5)
Выборочный коэффициент корреляции r, как всякая выборочная
характеристика, является случайной величиной, и по отдельным его значениям
нельзя делать окончательные выводы о степени тесноты линейной связи между
двумя величинами. Здесь речь может идти о некоторых практических,
качественных рекомендациях (табл. 7.2) при достаточно больших n (n > 40).
В табл. 7.2 значения r рассматриваются по модулю, так как степень тесноты
связи зависит от близости r к единице без учета знака.
Таблица 7.2. Качественные характеристики связи
Значение r
Связь
От 0 до ±0,3
От ±0,3 до ±0,5
От ±0,5 до ±0,7
От ±0,7 до ±1
Практически отсутствует
Слабая
Умеренная
Сильная
Степень зависимости между х и у существенно выше в случае, когда r = -0,8 по
сравнению со случаем когда r = 0,5.
Оценка существенности линейного коэффициент корреляции при большом
объеме выборки (свыше 500) проводится с использованием отношения
коэффициента корреляции ( r ) к его средней квадратической ошибке (Sr ) :
t расч. 
r
,
S
r
(7.6)
1 r 2
где Sr 
.
n 1
Если это отношение окажется больше значения t – критерия Стьюдента,
определяемого по специальным таблицам теории вероятностей.
При недостаточном большом объеме выборки величину средней
квадратической ошибки коэффициента корреляции определяют по формуле:
1 r 2
.
(7.7)
Sr 
n2
В этом случае:
r n2
.
(7.8)
t расч. 
2
1 r
Полученные значения t расч. сравнивается с табличным значением t –
критерия Стьюдента.
В тех случаях, когда r получен по данным малой выборки, для проверки
его существенности целесообразно использовать метод преобразованной
корреляции, предложенный Р. Фишером.
Средняя квадратическая ошибка Z – распределения зависит только от
объема выборки и определяется по формуле:
1
.
(7,9)
Sz 
n 3
По таблице соотношений между y и Z (приложение 9)находят значение
Z , соответствующее рассчитанному коэффициенту корреляции.
Если соотношения Z к средней квадратической ошибке ( Z : S z ) окажется
больше табличного значения критерия Стьюдента при определенном уровне
значимости, то можно говорить о наличии связи между признаками в
генеральной совокупности.
В практических исследованиях могут быть использованы и другие
показатели для определения степени тесноты связи.
Элементарной характеристикой степени тесноты связи является
коэффициент Фехнера:
n n
Kф  a b ,
(7.10)
n n
a
b
где na  количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин
факторного признака x и результативного признака y от их средней
арифметической величины (например, «плюс» и «плюс», «минус» и «минус»,
«отсутствие отклонения» и «отсутствие отклонения»); nb  количество
несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений изучаемых
признаков от значения их средней арифметической.
Коэффициент Фехнера целесообразно использовать для установления
факта наличия связи при небольшом объеме исходной информации. Он
изменяется в пределах  1,0  Kф  1,0 .
Для определения тесноты связи как между количественными, так и между
качественными признаками, при условии, что значения этих признаков могут
быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется
ранговый коэффициент корреляции Спирмена:
ˆ  1 
6 d 2
i
2
,
(7.11)
n(n 1)
где d i  разность между величинами рангов признака – фактора и
результативного признака; n  число показателей (рангов) изучаемого
ряда.
Он варьирует в пределах от – 1,0 до + 1,0.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена обычно исчисляется на
основе небольшого объема исходной информации, поэтому необходимо
выполнить проверку его существенности. В приложении 7 приводится таблица
предельных значений коэффициента корреляции рангов Спирмена при условии
верности нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при заданном
уровне значимости и определенном объеме выборочных данных.
Если полученное значение ̂ превышает критическую величину при
данном уровне значимости, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т. е.
величина ̂ не является результатом случайных совпадений рангов.
Для исследования степени тесноты связи между качественными
признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков,
может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или
коэффициент контингенции К. Пирсона.
Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек («таблица
четырех полей»), статистическое сказуемое которой схематически может быть
представлено в следующем виде:
Признак
А (да)
Итого
А (нет)
В (да)
a
b
a+b
c
d
c+d
В (нет)
Итого
a+c
b+d
n
В расчетной таблице:
a, b, c, d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных
признаков – A – А и B – B ; n – общая сумма частот.
Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:
ad  bc
.
(7.12)
KА 
ad  bc
Коэффициент контингенции:
ad  bc
,
(7.13)
(a  b)(b  d )(a  c)(c  d )
где a , b , c , d  числа в четырехклеточной таблице.
Коэффициент контингенции также изменяется от – 1,0 до + 1,0, но всегда
его величина для тех же данных меньше коэффициента ассоциации.
Рассмотрим теперь на примере трехмерной генеральной совокупности
( x1, x2 , x3 ) понятия и правила вычисления частных и множественных
KА 
коэффициентов корреляции. Пусть каждый экономический объект, элемент
генеральной совокупности характеризуется тремя показателями x1, x2 и x3 .
Требуется по данным выборки объемом п из генеральной совокупности
исследовать взаимосвязь между этими показателями.
В этом случае выборка объемом п будет представлять собой матрицу
наблюдений х:
 x11

 x21
 ...

x   xi1
 ...

 ...
x
 n1
x12
x22
...
xi 2
...
...
xn 2
x13 

x23 
... 

xi 3 
... 

... 
xn 3 
В ней каждая i-я строка (i = 1, 2, ..., n) характеризует i-и экономический
объект, а столбец, например первый, содержит значение для 1-го показателя для
всех п объектов. По данным первого столбца матрицы X можно определить
среднее значение x1 , и выборочную дисперсию S12, первого показателя.
1 n
1 n
x1   xi1 ; S12   ( xi1  x1 )2
n i 1
n i 1
Аналогичным образом определяются выборочные характеристики x2 , x3 и
S 22 , S32 .
Отсюда, согласно (7.4), рассчитаем выборочные парные коэффициенты
корреляции r12 , r13 , r23 .
Частный коэффициент корреляции ρ12/3 характеризует степень линейной
зависимости между двумя величинами, например x1 и x2 при исключенном
влиянии остальных величин, включенных в модель (в нашем случае - это x3 ).
Выборочный частный коэффициент корреляции, как выборочный
аналог определяется по формуле:
r
1,2 / 3
1

3
 r x ,x / x 
2
r r r
12
12 23
,
(7.14)
(1  r 2 )  (1  r 2 )
13
13
где r12 , r13 , r23  выборочные парные коэффициенты корреляции.
В трехмерной модели имеются еще два частных коэффициента корреляции
r12/3 и r23/1 которые рассчитываются аналогично.
Мы имеем два коэффициента корреляции: парный r12 и частный r12/3
которые характеризуют степень линейной зависимости между величинами x1 и
x2 . Однако если парный коэффициент r12 оценивает степень зависимости на
фоне влияния x3 , то частный коэффициент корреляции r12/3 - при исключенном
влиянии x3 .
Таким образом, частный коэффициент корреляции более точно
характеризует степень линейной зависимости.
Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного,
т.е. изменяется в пределах от-1 до+1. Если частный коэффициент корреляции
равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство его
нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.
Множественный коэффициент корреляции, например ρ12/3, характеризует
степень линейной зависимости между величиной x1 , и остальными
переменными ( x2 , x3 ), входящими в модель. Он изменяется в пределах от 0 до
1. Равенство его единице свидетельствует о функциональной зависимости
между, например, x1 , и остальными переменными ( x2 , x3 ), входящими в
модель, а равенство его 0 свидетельствует об отсутствии линейной
зависимости между x1 , и переменными ( x2 , x3 ).
Выборочный множественный коэффициент корреляции, выборочный
аналог генерального коэффициента ρ1/23, можно выразить через парные
коэффициенты:
r1 23 
r122  r132  2  r12  r13  r23
1  r232
(7.15)
В трехмерной модели имеются еще два множественных коэффициента
корреляции r2/13 и r3/12, которые рассчитываются аналогично.
Квадрат коэффициента корреляции называют коэффициентом
детерминации. При этом множественный коэффициент детерминации,
например r1/23, характеризует долю дисперсии x1 объясняемую влиянием
показателей x2 и x3 . Например, если r12/ 23 = 0,85, то это свидетельствует, что
85% дисперсии x1 объясняется влиянием показателей x2 и x3 , а 15%
дисперсии x1 объясняется влиянием факторов, которые не вошли в модель.
Таким образом, коэффициент детерминации
характеризует долю
дисперсии одной величины, например у, объясняемой влиянием фактора x .
Методы регрессионного анализа. После того как с помощью
корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между
переменными и оценена степень их тесноты, обычно переходя к
математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием
регрессионного анализа. С этой целью подбирают класс функций,
связывающий результативный показатель у и аргументы x1, x2 ,..., x3 , отбирают
наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений
параметров уравнения связи и анализируют свойства полученного уравнения.
Функция f ( x1, x2 ,..., x3 ) , описывающая зависимость среднего значения
результативного признака у от заданных значений аргументов, называется
функцией (уравнением) регрессии. Термин «регрессия» (лат. - отступление,
возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф.
Гальтоном и связан исключительно со спецификой одного из первых
конкретных примеров, в котором это понятие было использовано. Так,
обрабатывая статистические данные в связи с анализом наследственности роста,
Ф. Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на
х дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше,
чем на х дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему
состоянию». С тех пор термин «регрессия» широко используется в
статистической литературе, хотя во многих случаях он недостаточно точно
характеризует понятие статистической зависимости.
Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать закон
распределения результативного показателя у. В статистической практике
обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для
неизвестной истинной функции регрессии f (x) , так как исследователь не
располагает точным знанием условного закона распределения вероятностей
анализируемого результирующего показателя у при заданных значениях аргумента х.
Рассмотрим взаимоотношение между истинной f (x) = M ( y / x) , модельной
регрессией ~y и оценкой ŷ регрессии. Пусть результативный показатель у
связан с аргументом х соотношением:
y  2x1,5   ,
где ε - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем
Mε=0 и Dε=σ2. Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид:
f (x) = M ( y / x) = 2x1,5 .
Предположим, что точный вид истинного уравнения регрессии нам не
известен, но мы располагаем девятью наблюдениями над двумерной случайной
величиной, связанной соотношением yi  2 x1i ,5   i и представленной на рис. 7.2.
у
70605040302010О
|2
|4
|6
|8
|10
x
Рис. 7.2. Взаимное расположение истинной f(x) и
теоретической ~y модели регрессии
Расположение точек на рис. 7.2 позволяет ограничиться классом линейных
зависимостей вида: ŷ = b0 + b1 x . С помощью метода наименьших квадратов
найдем оценку уравнения регрессии
ŷ = b0 + b x . Для сравнения на рис. 7.2
1
приводятся графики истинной функции регрессии f (x) = 2x1,5 , теоретической
аппроксимирующей функции регрессии ŷ = b0 + b1 x .
Поскольку мы ошиблись в выборе класса функции регрессии, а это
достаточно часто встречается в практике статистических исследований, то
наши статистические выводы и оценки окажутся ошибочными. И как бы мы ни
увеличивали объем наблюдений, наша выборочная оценка ŷ не будет близка к
истинной функции регрессии f (x) . Если бы мы правильно выбрали класс
функций регрессии, то не точность в описании f (x) с помощью ŷ объяснялась
бы только ограниченностью выборки.
Тип модели выбирается на основе сочетания теоретического анализа и
исследования эмпирических данных посредством построения эмпирической
линии регрессии. Чаще других встречаются следующие виды уравнений
регрессии:
а) линейная функция:
ŷ = b0 + b x ;
(7.16)
1
б) гиперболическая функция:
b
yˆ  b0  1 ;
x
в) параболическая функция:
yˆ  b0  b1x  b2 x 2 ;
г) показательная функция:
yˆ  b b x ;
0 1
д) степенная функция:
(7.17)
(7.18)
(7.19)
b
yˆ  b0 x 1 ;
(7.20)
е) линейная многомерная функция:
yˆ  b  b x  b x ,...,b x .
0
11
2 2
(7.21)
k k
Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии
регрессии) используется метод наименьших квадратов и решается система
нормальных уравнений.
Применение метода наименьших квадратов к линейной функции (7.16)
дает нам систему нормальных уравнении:
b0n  b1 x   y
.
(7.22)
b0  x  b  x 2   xy
1
Применив метод наименьших квадратов к функции гиперболы (7.17)
переходят к системе нормальных уравнений:
1
b0n  b1   y
x
.
(7.23)
1
1
1
b0   b 
y
x 1 x2
x
Для определения параметров параболы второго порядка система
нормальных уравнений такова:
b0 n  b1  x  b2  x 2   y
b0  x  b  x 2  b  x3   xy
1
2
(7.24)
.
b0  x 2 b1  x3 b2  x 2  x 2 y
Прежде чем применить метод наименьших квадратов к показательной и
степенной функциям их приводят к линейному виду путем логарифмирования.
Далее применяют метод наименьших квадратов и переходят к системе
нормальных уравнении.
Пример 7.1. На основании выборочных данных (табл. 7.3) о деятельности
п = 6 коммерческих фирм оценить тесноту связи между прибылью (млн руб.)
(у) и затратами на 1 руб. произведенной продукции (х).
Таблица 7.3. Исходные и расчетные данные для определения r
xi yi
xi2
yi2
Номер наблюдения i
1
xi
yi
96
0,22
21,12
2
78
1,07
83,46 6084 1,145
9216 0,049
3
77
1,00
77,00 5929 1,000
4
89
0,61
54,29
7921 0,372
5
81
0,78
63,18
6561 0,608
6
82
0,79
64,78 6724 0,624
Сумма
503
4,47
363,83 42435 3,798
Средняя
83,833 0,745 60,638 7072,5 0,633
Используем формулу (7.4): r 
xy  x  y
. Прежде всего определим Sx и Sy:
S x .S y
S x  x2  ( x)2  7072,5  (83,833)2  6, 673 ; S y 
Тогда r 
y 2  ( y ) 2  0, 633  (0, 745) 2  0, 279
60,638  83,833  0,745
 0,976
6,673  0, 279
Следовательно, между прибылью ( y ) и затратами на 1 руб. произведенной продукции ( x ) существует достаточно тесная обратная
зависимость, т.е. фирмы, имеющие большую прибыль, имеют, как правило,
меньшие затраты на 1 руб. произведенной продукции.
Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции рассчитаем по
формуле (7.7):
1  (0,976) 2
1 r 2
Sr 

 0,109 .
n2
62
Необходимо получить по формуле (7.8) расчетный коэффициент
Стьюдента:
r n  2 r 0,976
t расч. 


 8,954 .
2
S
0
,
109
1 r
r
По таблице приложения 6 найдем табличное значение критерия Стьюдента
при P=0,95 и k=6-2; tтабл  2,776 .
Так как t расч.  tтабл , то можно утверждать существенность коэффициента
корреляции.
Пример 7.2. По группе однородных предприятий имеются данные об
объеме выпущенной продукции и уровне механизации трудоемких и тяжелых
работ:
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Уровень механизации
трудоемких и тяжелых
работ, %
x
22
85
67
36
21
40
39
39
31
62
36
50
Объем продукции,
млн. руб.
y
117
186
86
112
52
132
141
158
120
197
106
189
Требуется оценить степень тесноты связи между показателями
механизации трудоемких и тяжелых работ и объемом продукции при помощи
коэффициент Фехнера.
Предварительно вычислим среднеарифметические значения признаков:
 y 1596
 x 528
y

 133,0 млн. руб.; x 

 44,0%.
n
12
n
12
Для расчета коэффициента Фехнера составляется вспомогательная
таблица, которая имеет вид:
x x
y y
Уровень
Объем продукции,
механизации
млн. руб.
y
трудоемких и
тяжелых работ, %
x
22
-22
117
-16
85
41
186
53
67
23
86
-47
36
- 8
112
-21
21
-23
52
-81
40
- 4
132
- 1
39
- 5
141
8
39
- 5
158
25
31
-13
120
-13
62
18
197
64
36
- 8
106
-27
50
6
189
56
Коэффициент Фехнера вычислим по формуле (7.10):
n n
93 6
Kф  a b 
  0,5.
n  n 9  3 12
a
b
Полученное значение коэффициента свидетельствует о наличии связи
между уровнем механизации работ и объемом продукции.
Пример 7.3. По группе акционерных коммерческих банков региона
имеются следующие данные:
№ банка
Активы банка,
Прибыль, млн.
млн. руб. x
руб. y
1
866
39,6
2
328
17,8
3
207
12,7
4
185
14,9
5
109
4,0
6
104
15,5
7
327
6,4
8
113
10,1
9
91
3,4
10
849
13,4
Исчислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена для оценки
тесноты связи между суммой прибыли и размером его активов.
Решение
Для расчета коэффициента корреляции рангов предварительно
выполняется ранжирование банков по уровню каждого признака (табл. 7.4).
Таблица 7.4
№
Активы
Ранг по x № банка Прибыль, Ранг по y
банка
банка,
млн. руб.
млн. руб.
9
91
1
9
3,4
1
6
104
2
5
4,0
2
5
109
3
7
6,4
3
8
113
4
8
10,1
4
4
185
5
3
12,7
5
3
207
6
10
13,4
6
7
327
7
4
14,9
7
2
328
8
6
15,5
8
10
849
9
2
17,8
9
1
866
10
1
39,6
10
Дальнейшие расчеты приведем в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Расчет коэффициента корреляции рангов
di
№ п/п Активы
Прибыль, Ранги
di2
банка,
млн. руб. x
y
млн. руб.
x
1
866
2
328
3
207
4
185
5
109
6
104
7
327
8
113
9
91
10
849
Итого -
y
39,6
17,8
12,7
14,9
4,0
15,5
6,4
10,1
3,4
13,4
-
10
8
6
5
3
2
7
4
1
9
-
10
9
5
7
2
8
3
4
1
6
-
(ранг x –
ранг y)
0
-1
1
-2
1
-6
4
0
0
3
0
0
1
1
4
1
36
16
0
0
9
68
На основании данных табл. 7.5 по формуле (7.11) получим коэффициент
корреляции рангов:
6 d 2
i
6  68
 0,588.
2
10

(
100

1
)
n(n 1)
По таблице (приложение 7) определяется при объеме выборки 10 единиц
(n=10) и уровне значимости 5% (   0,05 ) критическая величина для рангового
коэффициента корреляции. Она составляет  0,6364. Поэтому общий вывод по
результатам анализа: есть необходимость увеличивать объем выборки.
Пример 7.4. В результате обследования работников предприятия
получены следующие данные (чел.):
ˆ  1 
1
Образование
Высшее и среднее
Незаконченное
среднее
Итого
Удовлетворены
своей работой
300
200
Не удовлетворены
своей работой
50
250
Итого
500
300
800
350
450
Решение
Коэффициент ассоциации –
ad  bc 300  250  50  200 65000
KА 


 0,765.
ad  bc 300  250  50  200 85000
Коэффициент контингенции –
ad  bc
300  250  50  200
65000
KА 


 0,423.
(a  b)(b  d )(a  c)(c  d )
350  300  500  450 153704
Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи
между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда
бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку
тесноты связи.
Пример 7.5. Деятельность коммерческих фирм (n = 6) характеризуется
тремя показателями: x1  прибыль (млн руб.), x2  затраты на 1 руб.
произведенной продукции (коп./руб.) и x3  стоимость основных фондов (млн
руб.). По данным табл. 7.4 требуется определить частный r12/3 и множественный
r1/23 коэффициенты корреляции.
Таблица 7.4. Исходные и расчетные данные
xi 2
xi3
xi1 (млн
Номер
xi1 . xi 2
xi 2 . xi3
xi23
фирмы (i)
(коп./руб.) (млн руб.)
руб.)
1
2
3
0,22
1,07 1,00
96
78
77
4,3
5,9 5,9
18,49
34,81
34,81
21,12
83,46
77,00
0,946
6,313
5,900
412,8
460,2
454,3
4
5
6
0,61
0,78
0,79
89
81
82
3,9
4,9
4,3
15,21
24,01
18,49
54,29
63,18
64,78
2,379
3,822
3,397
347,1
396,9
352,6
Сумма
4,47
503
29,2
145,82
363,83
22,757
2423,9
Средняя
0,745
83,833
4,867
24,303
60,638
3,793
403,983
Воспользовавшись результатами решения примера 7.1, будем иметь:
S1=0,279; S2=6,673 и r12=-0,976.
2
2
2
Найдем S3  x3  ( x3 )  24,303  (4,867)  0, 784 . С учетом (7.4)
определим: r13 
r23 
x1  x3  x1  x3 3,793  0,745  4,867

 0,764 ,
S1  S3
0, 279  0,784
x2  x3  x2  x3 403,983  83,833  4,867

 0,771
S2  S3
6,673  0,784
Согласно (7.6) частный коэффициент корреляции равен:
r12 3 
r12  r13  r23
(1  r132 )  (1  r232 )

0,976  0, 764  (0, 771)
(1  0, 7642 )  (1  0, 774 2 )
 0,948
Сравнивая значения парного r12 = -0,976 и частного r12/3 = = 0,948 коэффициентов корреляции (они достаточно близки), можно
утверждать, что х3 слабо влияет на степень зависимости между
величинами х1 и х2
Определим теперь с учетом (7.7) множественный коэффициент
корреляции:
r1 23 
r122  r132  2  r12  r13  r23

1  r232
r1 23 
(0,976) 2  0, 7642  2  0,976  0, 764  0, 771
 0,976.
1  (0, 771) 2
Пример 7.6. По данным годовых отчетов десяти (n = 10) машиностроительных
предприятий провести регрессионный анализ зависимости производительности
труда у (тыс. руб. на чел.) от объема производства х (млн руб.). Предполагается,
что уравнение регрессии линейно и имеет вид. Исходные данные для анализа
представлены в табл. 7.5.
Решение.
Таблица 7.5. Исходные данные и результаты расчетов
Номер
предприятия
(i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
Средняя
yi
2,1
2,8
3,2
4,5
4,8
4,9
5,5
6,5
12,1
15,1
61,5
6,15
xi
3
4
5
5
5
5
6
7
15
20
75
7,5
xi2
9
16
25
25
25
25
36
49
225
400
835
83,5
xi  x 2
ŷi
ei  yi  yˆi
i
20,25
12,25
6,25
6,25
6,25
6,25
2,25
0,25
56,25
156,25
272,5
-
2,77
3,52
4,27
4,27
4,27
4,27
5,02
5,77
11,75
15,50
-
-0,67
-0,72
-1,07
0,23
0,53
0,63
0,48
0,73
0,35
-0,4
-
-31,9
-25,7
-33,4
5,1
11,0
12,9
8,7
11,2
2,9
-2,6
-
Таким образом, оценка уравнения регрессии будет иметь вид: y  b0  b1 x . После
подстановки окончательно получим: y  0,502  0,753  x
Из уравнения регрессии следует, что при увеличении объема производства на
единицу его измерения производительность труда в среднем увеличивается на
0,753 тыс. руб.
Для интерпретации модели можно также воспользоваться коэффициентом
x
эластичности, значение которого e1  b1  0,753 
y
7,5
 0,918 показывает, что при
6,15
увеличении объема производства х на 1% производительность труда у в среднем
увеличится на 0,918%.
7.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
7.1. В мартеновском цехе завода произведены испытания для определения
зависимости производительности печи от содержания углерода в металле. Результаты следующие (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Процент углерода в ме- Производительность пе№ анализа
талле
чи, т/ч.
1
0,95
16,3
2
0,98
16,0
3
0,65
17,3
4
0,94
16,5
5
0,99
16,0
6
0,78
17,0
7
0,82
16,7
8
1,12
15,8
9
0,92
16,4
10
1,12
15,7
11
1,00
16,0
12
1,13
15,9
На основе приведённых данных требуется:
1) проверить первичную информацию по признаку-фактору на однородности;
2) установить факт наличия связи с помощью аналитической группировки;
3) с помощью линейного коэффициента корреляции измерить степень тесноты связи; оценить существенность полученного значения коэффициента
корреляции с помощью t-критерия Стьюдента при вероятности 0,95;
4) определить модель линейной зависимости, оценить её достоверность.
7.2. Имеются следующие данные о производительность труда рабочих,
выполняющих одинаковую операцию по обработке детали № 408 (табл. 7.2).
Таблица 7.2
Дневная произвоДисперсия произГруппы рабочих
Число рабочих
дительность труда, водительности трупо стажу работы
шт.
да в группе
До 5 лет
5 – 10 лет
10 лет и более
6
8
2
40
45
60
5,0
2,0
1,0
Определить степень тесноты связи между уровнем производительности
труда рабочих и стажем их работы.
7.3. Для выявления зависимости производительности труда рабочих, выполняющих в цехе одинаковую операцию по обработке деталей № 312, от стажа их работы был найден линейный коэффициент корреляции, равный 0,80.
Кроме того, известны такие данные:
1) средний стаж работы рабочих – х̅=5 лет;
2) среднее квадратическое отклонение по стажу – σх=2 года;
3) среднее квадратическое отклонение по производительности труда –
σу=4,4 шт. (число обработанных деталей);
4) коэффициент вариации по производительности труда – υу=40,0%.
Найти аналитическое уравнение связи, характеризующее зависимость производительности труда рабочих от стажа их работы.
7.4. Для определения степени влияния стоимости основного капитала на
выпуск продукции по 20 предприятиям рассчитаны следующие показатели:
а) линейный коэффициент корреляции, равный 0,8;
б) эмпирическое корреляционное отношение, равное 0,84.
Возможно ли в качестве уравнения связи использовать функцию вида
у=а+bх?
7.5. Для оценки степени тесноты связи между уровнем выработки рабочих
и стажем их непрерывной работы была рассчитана величина корреляционного
отношения, оказавшаяся равной 0,9 (объём выборки был равен 100).
Определить величину средней внутригрупповой дисперсии, если известно, что общая дисперсия выработки рабочих составляет 6,6.
7.6. В табл. 7.3 представлены следующие данные.
Таблица 7.3
Дисперсия меСредняя месячная
Группы рабочих Число рабочих в
сячной заработзаработная плата,
по стажу работы
группе
ной платы в
руб.
группе
До 5 лет
75
3600
14400
5 лет и более
425
4500
15625
Определить степень тесноты связи между стажем работы и размером заработной платы рабочих.
7.7. По 20 однородным предприятиям была получена модель, отражающая
зависимость выпуска продукции (у) за месяц от размера основного капитала
(х): у=12,0+0,5х.
Кроме того, по этой совокупности предприятий известны следующие данные:
а) средняя стоимость основного капитала на одно предприятие - х̅=12,0
млн. руб.;
б) средний размер выпуска продукции на одно предприятие у̅=18,0 млн.
руб.;
в) среднее квадратическое отклонение по стоимости основного капитала
– σх=3,5 млн. руб.;
Г) среднее квадратическое отклонение по размеру выпуска продукции –
σу=2,0 млн. руб.
Определить степень тесноты связи между размером выпуска продукции и
стоимостью основного капитала, учитывая форму связи и используя для этого
необходимые данные, из числа приведённых выше.
7.8. В результате обследования студентов экономического факультета института получены следующие данные (табл. 7.4).
Таблица 7.4
Количество студентов
Посещающих
Не посещающих
Успеваемость
спортивные сек- спортивные секИтого
ции
ции
Удовлетворительная
220
60
280
Неудовлетворительная
10
30
40
Определить коэффициент контингенции между успеваемостью спортивных секций.
7.9. По результатам социологического обследования получены следующие
данные (табл. 7.5).
Таблица 7.5
Удовлетворённость
Мужчины, чел
Женщины, чел.
Итого
работой
Удовлетворены
270
80
350
своей работой
Не удовлетворены
30
120
150
своей работой
Итого
300
200
500
Определить коэффициент ассоциации и контингенции между удовлетворённостью работой и полом.
7.10. Имеются следующие данные по 20 предприятиям городского хозяйства об объёме продукции (услуг) за месяц и уровне механизации труда
(табл. 7.6).
Требуется по приведённым данным для выявления наличия связи между
объёмом продукции и уровнем механизации труда:
1) построить аналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи;
2) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента
корреляции рангов; проверить его достоверность.
Таблица 7.6
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Объём продукции
(услуг) за месяц, млн.
руб.
90
77
80
90
91
100
101
105
110
99
65
95
90
91
100
110
109
107
89
98
Уровень механизации,
%
95
64
77
93
64
98
99
100
100
96
70
90
85
90
99
100
98
89
95
99
7.11. Составить линейное уравнение регрессии, если известно, что а=2,8;
линейный коэффициент корреляции r=0,9; дисперсии признаков х и у соответственно равны 25 и 36.
7.12. По группе однородных предприятий для построения многофакторной
модели, отражающей зависимость уровня годовой производительности труда
работников, получена следующая матрица парных коэффициентов корреляции
(табл. 7.7).
Таблица 7.7
Y
X1
X2
X3
X4
Y
1
0,91
0,90
0,85
0,89
X1
0,91
1
0,75
0,67
0,70
X2
0,90
0,75
1
0,52
0,64
X3
0,85
0,67
0,52
1
0,97
X4
0,89
0,70
0,64
0,97
1
В табл. 7.7:
Y – годовая производительность труда работников;
X1 – вооружённость труда основными средствами;
X2 – удельный вес производительности оборудования в общей стоимости
основных средств;
X3 – энерговооружённость труда;
X4 – коэффициент загрузки оборудования.
Требуется на основе анализа матрицы парных коэффициентов корреляции
указать факторы, которые следуют включить в многофакторную модель производительности труда.
7.13. По предприятиям имеются следующие данные о ёмкости электросталеплавильных печей (т) и расходе электроэнергии на 1 т выплавленной стали
9кВт*ч/т) (табл. 7.8).
Таблица 7.8
Расход электроРасход электроЁмкость
Ёмкость
№ п/п
энергии на 1 т
№ п/п
энергии на 1 т
печи, т
печи, т
стали, кВт*ч/т
стали, кВт*ч/т
1
1,0
924
1
10,0
664
2
1,5
909
2
1,5
850
3
1,0
1010
3
3,0
731
4
10,0
541
4
3,5
719
5
10,0
681
5
1,1
793
6
5,0
657
6
0,5
968
7
2,0
888
7
3,5
696
8
1,5
835
8
2,0
892
9
3,5
602
9
3,5
790
10
2,0
890
10
1,0
900
По приведённым данным требуется:
1) проверить первичную информацию на однородность и нормальность
распределения;
2)построить аналитическую таблицу для выявления зависимости расхода
электроэнергии от ёмкости печи;
3) дать графическое изображение связи;
4) измерить степень тесноты связи с помощью корреляционного отношения;
5) рассчитать параметры линейного уравнения связи и его среднюю квадратическую ошибки.
7.14. По 100 однородным предприятиям было получено уравнение, характеризующее зависимость себестоимости продукции (y) от уровня производительности труда работников (x):
Кроме того, по этой же совокупности предприятий известны следующие
данные:
А)
где y̅ - средняя себестоимость продукции по всем предприятиям;
Б)
где х̅ - средний уровень производительности труда по всем предприятиям;
В)
где
– дисперсия себестоимости по группам предприятий, выделенным по
уровню производительности труда;
– число предприятий в каждой группе.
Определить степень тесноты связи между себестоимостью продукции и
уровнем производительности труда, учитывая форму связи и используя для
этого необходимые данные из числа приведённых выше.
Сформулировать вывод.
7.15. Распределение грузовых автотранспортных предприятий города по
формам собственности и уровню рентабельности следующее (табл. 7.9).
Таблица 7.9
Группы предприЧисло предприятий с уровнем рентабельности
ятий по формам
Ниже среднего
средним
Выше среднего
собственности
Государственная
и муниципальная
15
35
20
Частная
5
42
30
Смешанная (без
иностранного
участия)
10
20
15
Требуется для оценки влияния формы собственности на уровень рентабельности определить коэффициент взаимной сопряжённости К. Пирсона и
А.А. Чупрова.
Сформулировать вывод.
7.16. Ниже приведены экспериментальные данные исследования ковкого
чугуна от его химического состава (табл. 7.10).
На основе приведённых данных требуется:
1) проверить первичную информацию по признаку-фактору на однородность и нормальность распределения;
2) исключить из первичной информации резко выделяющихся анализ, в
котором признак-фактор не попадает в интервал x̅+3σх;
3) построить аналитическую таблицу для установления факта наличия связи;
4) по данным аналитической группировки построить график эмпирической
линии связи;
5) измерить степень тесноты связи при помощи линейного коэффициента
корреляции, оценив его существенность с помощью t-критерия Стьюдента
при вероятности 0,954;
6) определить модель линейной зависимости, оценив её достоверность.
№ анализа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Содержание углерода, %
2,58
2,30
2,55
2,69
2,40
2,57
2,20
2,40
2,53
2,44
2,32
2,64
2,36
2,41
2,64
2,45
2,37
2,63
2,35
2,50
2,42
2,57
2,46
2,42
2,52
2,44
2,43
2,70
2,31
2,25
2,47
2,50
2,42
2,48
2,61
2,43
2,30
2,55
Таблица 7.10
Относительное удлинение, %
13,5
10,8
12,9
14,5
11,8
13,2
9,6
11,8
12,9
12,0з
11,0
14,2
11,3
11,9
14,0
12,3
11,5
10,9
10,9
12,6
11,7
13,0
12,6
11,3
12,8
12,3
11,9
15,0
10,5
10,4
12,5
12,6
11,9
12,2
13,7
11,9
10,6
13,1
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2,69
2,35
2,53
2,48
2,38
2,47
2,58
2,24
2,43
2,46
2,51
2,58
14,9
10,5
12,9
12,4
11,4
12,7
13,0
10,2
11,9
12,3
12,6
12,9
7.17. Имеются следующие данные о колеблемости пробега автобусов одной модели до капитального ремонта (табл. 7.11.).
Определить долю вариации под влиянием условий эксплуатации в общей
вариации пробега до капитального ремонта.
Сформулировать вывод.
Таблица 7.11
Группы автобуВнутригрупповая
Средний пробег в
сов по условиям Число автобусов
дисперсия пробегруппе, тыс. км.
эксплуатации
га
Городские
80
135,7
1225
Загородные
120
114,2
784
7.18. Как повысить точность оценки по уравнению регрессии:
а) увеличить объём исходной информации, используемой для расчёта параметров уравнения регрессии;
б) использовать более высокий уровень доверительной вероятности
(например, P=0,997 вместо P=0,95);
в) уменьшить уровень доверительной вероятности (например, вероятность
0,954 вместо вероятности P=0,997);
г) все утверждения неверны.
Выберите правильный вариант ответа.
7.19. При производстве керамических изделий была выявлена зависимость
уровня брака от влажности используемой массы. Линейный коэффициент корреляции составил 0,69, корреляционное отношение – 0,78, общее число наблюдений – 50. При расчёте корреляционного отношения были выделены 4 группы,
на которые был разделён раздел диапазон факторного признака.
Определить, возможно ли применение линейного уравнения регрессии,
если использовать показатель ω2 при вероятности 0,95.
7.20. Имеются данные о связи между средней взвешенной ценой и объемом продаж облигаций на ММВБ 23.02.2001 г.:
№ серии
Средняя взвешенная це-
Объем продаж, млн.
на, руб. x
22041
22042
22043
22044
22045
22046
22047
22048
22049
22050
84,42
82,46
80,42
63,42
76,17
75,13
74,84
73,03
73,41
71,34
руб.
y
79,5
279,7
71,4
242,8
76,3
74,7
210,7
75,1
75,5
335,3
Составьте линейное уравнение регрессии. Вычислите параметры и рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Сформулируйте выводы.
7.21. Зависимость между объемом произведенной продукции и балансовой
прибылью по 10 предприятиям одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:
№ предприятия
Объем реализованной
продукции, млн. руб. x
Балансовая прибыль,
млн. руб. y
1
491,8
133,8
2
483,0
124,1
3
481,7
62,4
4
478,7
62,9
5
476,9
51,4
6
475,2
72,4
7
474,4
99,3
8
459,5
40,9
9
452,9
104,0
10
446,5
116,1
Определите вид корреляционной зависимости, постройте уравнение ре-
грессии, рассчитайте параметры уравнения, вычислите тесноту связи. Объясните полученные статистические характеристики.
7.22. Имеются следующие данные о посевной площади зерновых культур,
валовом сборе и внесении минеральных удобрений на 1 га посевной площади:
№ фермерского хозяйства
Посевная площадь
зерновых культур,
тыс. га x1
Валовой сбор,
тыс. т y
Внесено минеральных удобрений на 1 га
посевной площади, кг x2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4,0
2,0
3,1
3,2
3,4
3,5
3,7
3,2
3,9
3,5
5,0
3,7
5,0
3,8
5,0
6,0
4,5
4,4
4,5
5,5
4,8
5,1
5,2
7,0
5,3
7,5
7,7
7,3
7,0
6,7
30
33
20
25
29
20
21
20
35
30
35
30
40
42
39
Постройте множественное уравнение регрессии, предварительно сформулировав и обосновав выбор результативного и факторных признаков, рассчитайте параметры уравнения, вычислите множественный и частный коэффициенты корреляции. Проанализируйте полученные результаты.
9.23. В ходе проведенного обследования оценки уровня жизни работающих на предприятиях различной формы собственности было опрошено 100 респондентов. Результаты опроса пред ставлены в следующей таблице:
Форма собственности
предприятия
Государственное
Частное
Удовлетворенность
уровнем жизни
Вполне Не удовлеудовлетворен
творен
30
55
10
5
Итого
85
15
Итого
40
60
100
Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции. Сформулируйте
выводы, вытекающие из анализа полученных коэффициентов.
9.24. Распределение предприятий по источникам средств для их покупки
характеризуется следующими данными:
Источник средств Зарождающийся бизнес
Банковский кре31
дит Собственные
38
средства
Итого
69
Зрелый
бизнес
32
15
47
Итого
63
53
116
Вычислите коэффициенты ассоциации и контингенции. Какие выводы
можно сделать на основании значений этих коэффициентов?
9.25. Зависимость сокращения рабочих от места работы исследовалась в
ходе социологического опроса 200 респондентов, результаты которого представлены в следующей таблице:
Мнения респондентов
Очень вероятно
Практически исключено
Итого
Рабочие
государкооперативы
ственные
предприятия
55
45
100
48
52
100
Итого
103
97
200
Определите коэффициенты ассоциации и контингенции. Проанализируйте
полученные результаты.
7.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1.
Практические занятия. На занятиях целесообразно решение задач с использованием конкретного эмпирического материала по реально существующим социально экономическим явлениям или объектам. Так как тема
объемна по содержанию, а задачи по расчетам параметров уравнений регрессии и коэффициентов корреляции трудоемки, необходимо либо ограничить число
решаемых задач, либо решать их посредством компьютеров
При этом при решении каждой задачи сконцентрировать внимание студентов на сущности показателя и специфике его расчета.
Практические занятия целесообразно подразделить на два блока: методика
анализа взаимосвязей экономических и, отдельно, социальных явлений. При
этом прежде всего необходимо выяснить познавательную цель исследования,
определить вид изучаемых признаков по их классификации, а затем только ставить вопрос о выборе методов решения задачи.
Особое внимание следует уделить экономической интерпретации всех выходных параметров уравнения и коэффициентов.
2. Задания для самостоятельной внеаудиторной работы студентов. Для
этой цели можно обязать студентов подобрать по данным периодической печати
или статистических ежегодников материал в статике из расчета 15-20 единиц
наблюдения, характеризующихся тремя или более признаками. Студентам
можно предложить провести комплексный экономико-статистический анализ
конкретного объекта или явления в статике с изучением характера всех имеющихся взаимосвязей и проверки адекватности полученных моделей и коэффициентов. Для этого обязательно принять во внимание: построение уравнения
регрессии с последующей проверкой его значимости и существенности параметров; расчет парных, частных, множественного коэффициентов корреляции
и отбор факторных признаков на основе совокупного их анализа; расчет и экономическую интерпретацию коэффициентов эластичности и частных коэффициентов детерминации. Завершить задание необходимо рекомендациями студента о путях и резервах повышения деловой активности изучаемого объекта.
3. Контрольная аудиторная работа. Для контрольной работы можно дать
д задачу на построение уравнения парной регрессии, проверка его значимости и
значимости коэффициента регрессии b1 , расчет парного коэффициента корреляции и проверка его значимости, расчет и анализ коэффициентов эластичности и
детерминации. Задача должна включать не более 10 единиц наблюдения.
ТЕМА 8. ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ
АНАЛИЗЕ
8.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней
сложных социально – экономических показателей во времени, в пространстве
или по сравнению с некоторым эталоном (плановым, нормативным уровнем и
т. п.). Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой – либо
предшествующий период, то получают индекс динамики; если же базой
сравнения является уровень того же явления по другой территории, то
получают территориальные индексы.
Индексные показатели вычисляются на высшей ступени
статистического обобщения. Поэтому изучение данной темы должно
базироваться на знании таких предшествующих тем как: «Сводка и
группировка данных»; «Статистические показа тели» и
«Статистическое изучение динамики». С помощью индексного
метода решаются следующие задачи:
1. характеристика общего изменения сложного социально - экономического показателя и отдельных его элементов;
2. измерение влияния факторов на общую динамику сложного показателя,
включая характеристику влияния изменения структуры явления.
Индекс является результатом сравнения двух одноименных показателей,
поэтому при их вычислении различают сравниваемый уровень (числитель индексного отношения), называемый текущим или отчетным, и уровень, с которым производится сравнение знаменатель индексного отношения), называемый
базисным.
Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является
индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в
пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле:
ip 
P1
,
P0
(8.1)
где P1  цена товара в текущем периоде;
P0  цена товара в базисном периоде.
Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 90 руб., а в
90
базисном 75 руб., то индивидуальный индекс цены: iP   1.2 , или 120,0%.
75
В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза, или на 20 %.
Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации:
q
iq  1 ,
(8.2)
q0
где q1  количество товара, реализованное в текущем периоде;
q0  количество товара, реализованное в базисном периоде.
Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает
индивидуальный индекс товарооборота:
iQ 
p1q1
.
p0 q0
(8.3)
Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов
времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.
Агрегатный индекс - это сложный относительный показатель, который
характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.
При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят
такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых
в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если
мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим агрегатный индекс товарооборота:
IQ 
pq
pq
1 1
.
(8.4)
0 0
На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на
товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне.
При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают агрегатный
индекс цен (по методу Пааше):
Ip 
pq .
p q
1 1
(8.5)
0 1
Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего
периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения
цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает
имевшее место изменение цен.
Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с
точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары.
Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.
Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак «-») или перерасхода («+») покупателей от изменения цен.
Третьим индексом в данной индексной системе является агрегатный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:
 q1 p0 .
Iq 
(8.6)
 q0 p0
Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.
Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:
I p  I q  I pq .
(8.7)
Рассмотрим пример.
Задача 1. Имеются следующие данные о реализации плодово-ягодной
продукции в области (табл. 8.1).
Таблица 8.1 - Реализация плодово-ягодной продукции в городе
НаимеИюль
Август
Расчетные графы, руб.
нование цена за прода- Цена за Продаp0q0
p1q1
p0q1
товара
1 кг,
но, т q0
1 кг,
но, т q1
руб. p0
руб. p1
Череш150
24
140
21
3600
2940
3150
ня
Персики 120
28
110
33
3360
3630
3960
Вино100
26
90
25
2600
2250
2500
град
Итого
9560
8820
9610
Определите:
1) общий индекс товарооборота;
2) общий индекс физического объема товарооборота;
3) общий индекс цен;
4) прирост товарооборота - всего, в том числе за счет изменения цен и
объема продажи товаров.
Покажите связь между исчисленными индексами.
Решение:
1. Общий индекс товарооборота исчисляется по формуле:
IQ 
pq
p q
1 1
0 0

8820
 0,922 , или 92,2%.
9560
Товарооборот в августе снизился на 7,8%, по сравнению с июлем.
2. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) исчисляется по формуле:
Iq 
q p
q p
1
0
0
0

9610
 1,005 .
9560
Это значит, что количество проданного товара в августе было больше на
0,5%, чем в июле.
3. Общий индекс цен равен:
Ip 
pq
p q
1 1
0 1

8820
 0,918 , или 91,8%.
9610
т.е. цены на все товары в среднем снизились на 8.8%.
4. Прирост или снижение товарооборота исчисляется как разница между
числителем и знаменателем индекса товарооборота:
EQ   p1q1   p0 q0  8820  9560  740 тыс. руб.
Это снижение обусловлено изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров.
Снижение за счет изменения цен составил:
E p   p q   p q  8820  9610  790 тыс. руб.,
1 1
0 1
снижение за счет изменения количества проданных товаров:
E   q p   q p  9610  9560  50 тыс. руб.
q
1 0
0 0
Следовательно, снижение товарооборота на 740 тыс. руб. произошло за
счет повышения количества проданных товаров на 50 тыс. руб. и за счет снижения цен на 790 тыс. руб.
[(-790) + (+50) = -740 тыс. руб.].
Между исчисленными индексами существует связь:
I  I  I  1,005  0,918  0,922 .
Q
q p
Числитель и знаменатель агрегатного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег,
фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде
товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за
те же товары, если бы цены не изменились.
Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак «-») или перерасхода («+») покупателей от изменения цен:
E pq   p1q1   p0 q1  8820  9610  790 тыс. руб.
Индекс физического объема реализации составит:
qp
9610
Iq   1 0 
 1,005 , или 100,5%.
 q0 p0 9560
Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на 8,6%.
Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:
I pq  I p  I q  0,9181 1,005  0,922 , или 92,2%.
Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе товарооборота и цен. При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно
называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом
физического объема продукции.
Рассмотрим применение индексного метода в анализе изменения затрат на
производство и себестоимости продукции.
Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение себестоимости отдельного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:
iz 
z1
,
z0
(8.8)
Для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс
себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объему производства
отдельных видов продукции текущего периода:
Iz 
z q
z q
1 1
,
(8.9)
0 1
Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму
экономии предприятия от снижения себестоимости:
Ezq   z1q1   z0q1.
(8.10)
Агрегатный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости, имеет следующий вид:
 q1z0 .
Iq 
(8.11)
 q0 z0
Третьим показателем в данной индексной системе является агрегатный
индекс затрат на производство:
 z1q1 .
I zq 
(8.12)
 z0q0
Все три индекса взаимосвязаны между собой:
I z  I q  I zq .
(8.13)
Еще одна область применения индексного метода -это анализ изменений в
производительности труда. При этом возможны два подхода к расчету индексов. Первый подход основан на учете количества продукции, вырабатываемого
в единицу времени (w). При таких расчетах необходимо решить ряд методоло-
гических проблем - какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продукцию работников сферы услуг и пр.
При втором подходе производительность труда определяется затратами
рабочего времени на единицу продукции (t). На практике эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного работника в производство того или иного изделия.
Количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции взаимосвязаны
между собой:
1
w .
t
(8.14)
Например, если работник на каждое изделие затрачивает 15 мин. (t = 0,25
ч), то за час его в выработка составит 4 изделия. Отметим, что выработка может
измеряться не только в натуральном, но и в стоимостном выражении (pq).
Индивидуальные индексы производительности труда, основанные на
этих показателях, имеют следующий вид:
i 
w
w
q q
 1: 0;
w 0 T1 T0
1
t
T T
i  1  0 : 1,
w t
q 0 q1
0
где T  суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях, или человеко-месяцах (в последнем случае соответствует общей численности работников).
Трудоемкость является обратным показателем, поэтому снижение трудоемкости в текущем периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте
производительности труда.
Располагая данными о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства. Можно рассчитать агрегатный индекс производительности труда (по трудоемкости:
Iw
t q

0 1.

 t1q1
(8.15)
Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде ( T1 ).Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими были бы затраты
времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.
Обратимся к примеру.
Задача 2. По данным табл. 8.2. измерим рост производительности труда на
предприятии.
Таблица 8.2.
Вид
Затраты времени на 1 Произведено, штук. Расчетные
продукции
изделие, чел.-ч
графы, чел.-ч.
Январь t0 Февраль t1 Январь q0 Февраль q1 t0q1
t1q1
Изделие А
1,1
0,8
468
451
496,1 360,8
Изделие Б
1,3
1,1
321
364
473,2 400,4
Изделие В
0,9
0,8
760
772
694,8 617,6
Итого
1664,1 1378,8
Рассчитать агрегатный индекс производительности труда по трудоемкости.
Решение.
Iw 
 t0q1  1664,1  1,207 ,
 t1q1 1378,8
или 120,7%.
Это значит, что прирост производительности труда в целом по предприятию составил 20,7%.
Индекс производительности труда по трудоемкости связана с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости:
Iq 
 t q  T  q t .
 t q T q t
0 1
1
1 0
1
0
0 0
1
(8.16)
При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке)необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким -либо ценам принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего, базисного
или какого-либо другого периода или средние цены.
Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле:
 q1p   q0p .
Iw 
(8.17)
 T1  T0
Первая часть этой формулы представляет собой среднюю выработку в отчетном периоде, вторая часть - в базисном.
Приведем пример.
Задача 3. Предположим, имеются следующие данные о производстве продукции и отпускных ценах предприятия (табл. 8.3).
Таблица 8.3.
От- Расчетные граСентябрь
Октябрь
фы, руб.
пускВид про- Произве- Трудовые
произве- трудовые ная цедукции дено, шт. затраты,
q p
дено, шт. затраты, на, руб. q0 p
1
q
T
T
чел.-ч
чел.-ч
p
q1
0
1
0
Изделие А
475
1024
490
1032
220
104500 107800
Изделие Б
310
960
208
960
200
62000
Изделие В
620
1320
435
1310
190
117800 82650
Итого
-
3304
-
3302
-
284300 232050
41600
Вычислить индекс производительности труда.
Решение.
Iw 
 q p   q p  232050  284300  70,3  0,817
3302
3304
86,0
T T
1
0
1
или 81,7%.
0
Это значит, что в текущем периоде за 1 чел.-ч вырабатывалось 70,3 руб.
продукции, а в базисном – 86,0 руб. Снижение производительности труда составил 8,3%.
Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции,
взвешенному по отпускной цене:
I w  IT  I q
или
(8.18)
  q1 p  q0 p   T1  q1 p




 T
T
 0  T0  q0 p
1

Агрегатные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах. Агрегатный способ исчисления общих индексов в статистике является основным, наиболее распространенным, вместе с тем применяется
и другой способ расчета общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов. К исчислению таких средневзвешенных индексов
прибегают тогда, когда исходная информация не позволяет рассчитать общий
агрегатный индекс. Так, если неизвестны количества произведенных отдельных
видов продукции в натуральных измерителях, но известны индивидуальные



q0 
 
q
индексы  iq  1  и стоимость продукции базисного периода p0q0 , можно
определить средний арифметический индекс физического объема продукции.
Исходной базой построения средневзвешенного индекса физического объема продукции служит его агрегатная форма (8.6):
Iq 
q p
q p
1
0
0
0
.
Из имеющихся данных непосредственно можно только получить знаменатель этой формулы. Для нахождения числителя используем формулу ин-
дивидуального индекса объема продукции iq 
q1
, из которого следует, что
q0
q  i  q . Подставляя данное выражение в числитель агрегатной формы, полу1
q
0
чим общий индекс физического объема в форме среднего арифметического
индекса физического объема продукции, где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде p0q0 :
 
Iq 
 iq q p
q p
1
0
0
(8.19)
.
0
При выборе весов необходимо помнить о том, что средний индекс должен
быть тождествен агрегатному, который является основной формой индекса.
Предположим, мы располагаем данными о стоимости произведенной про-
 

p 
дукции в текущем периоде p1q1 и индивидуальными индексами цен  i p  1  .
p0 

pq
Тогда в знаменателе агрегатного индекса цен  I p   1 1  можно использовать



p q
0 1

следующую замену:
p0 
p1
.
ip
Таким образом, агрегатный индекс цен будет выражен в форме средней
гармонической взвешенной из индивидуальных индексов:
Ip 
pq
1
i p q
1 1
.
(8.20)
1 1
p
Обратимся к примерам.
Задача 4. По данным табл. 8.4. получите сводную оценку изменения цен.
Таблица 8.4 -Реализация овощной продукции
Товар
Реализация в те- Изменение цен в текуРасчетные графы
кущем периоде, щем периоде по сравp1 q1
руб.
нению с базисным, %
ip
ip
i p  100%-100%
Морковь
Свекла
Лук
Итого
23000
21000
29000
73000
+4,0
+2,3
-0,8
-
Решение. Вычислим средний гармонический индекс:
Ip 
pq
1
i p q
1 1
1 1
p

73000
 1,016 , или 101,6%
71877
1,040
1,023
0,992
-
22115
20528
29234
71877
Задача 5. Предположим, в нашем распоряжении имеются следующие данные (табл. 8.5.).
Таблица 8.5 - Реализация товаров в натуральном и стоимостном выражениях
Товар
Реализация в Изменение физического
Расчетные графы
базисном пе- объема реализации в териоде, руб. кущем периоде по сравнению с базисным, %
p q
iq
iq  100% - 100%
iq . q p
0 0
0 0
Мандарины
Грейпфруты
Апельсины
Итого
46000
27000
51 000
124000
-6,4
-8,2
+1,3
-
0,936
0,918
1,013
-
43056
24786
51 663
119505
Определите индекс физического объема товарооборота.
Рассчитать средний арифметический индекс по формуле (8.19):
Iq 
i q p
q p
q 0
0
0
0

119505
 0,964 , или 96,4%.
124000
Физический объем реализации данных товаров в среднем снизился на
3,6%.
Индексы средних величин. На динамику качественных показателей,
уровни которых выражены средними величинами, оказывает влияние изменение
структуры изучаемого явления. Под изменением структуры явления здесь понимают изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние, в общей их численности. Так, например, на среднюю себестоимость какого – либо изделия А может влиять не только изменение себестоимости этого изделия на предприятиях отрасли, но и изменение удельного веса
(доли) предприятий с разной себестоимостью в общем выпуске этого изделия.
Динамика среднего душевого дохода населения зависит от изменения среднего
дохода каждого человека и от изменения количества людей с более высокими
(низкими) доходами в общей численности населения.
Следовательно, на изменение среднего значения показателя могут оказывать воздействие одновременно два фактора: изменение значений осредняемого
показателя и изменение структуры явления.
Так, например, средняя производительность труда на предприятии может
возрасти за счет ее повышения у отдельных рабочих и увеличения доли рабочих с более высокой производительностью труда в общей численности рабочих, вырабатывающих одноименную продукцию. При этом могут наблюдаться
случаи повышения средней производительности труда при снижении производительности труда у отдельных рабочих. Такое повышение будет обеспечено
увеличением доли рабочих с более высокой производительностью труда. При
изучение динамики средней урожайности сталкиваются с фактом изменения
урожайности отдельных культур и изменением доли посевных площадей этих
культур во всем посевном клине, т. е. структурных сдвигов.
Структурные сдвиги в экономике – это важные процессы совершенствования производства и большой дополнительный источник развития производственных сил общества. В связи с этим при анализе развития экономики страны
важно определить, в какой мере это развитие зависит от структурных сдвигов,
т. е. какой экономический эффект дает то или иное улучшение структуры производства.
Таким образом, при изучении динамики средней величины задача состоит
в определении степени влияния двух факторов – изменений значений осредняемого показателя и изменении структуры явления. Эта задача решается с помощью индексного метода, т. е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются индексы: переменного состава, постоянного состава и структурных изменении (сдвигов).
Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних с изменяющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой средней величины.
Для любых качественных показателей x  индекс переменного состава можно записать следующим образом:
I
пер. сост.
I
x

x1  x1 f1  x0 f 0
,


x0
 f1  f 0
(8.21)
где x1, x2  уровни осредняемого показателя в отчетном и базисном периодах
соответственно; f1, f 2  веса (частоты) осредняемого показателя ( уровни количественного показателя) в отчетном и базисном периодах соответственно.
Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средней величины, берут отношение средних взвешенных с одними и теми
же весами (как правило, на уровне отчетного периода). Индекс, характеризующий динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре
совокупности, носит название индекса постоянного (фиксированного) состава и исчисляется по формуле:
x f  x f .
f f
После сокращения на  f формула
I
x
I  1 
пост. сост.
x x
0
1 1
0 1
1
1
(8.22)
( ) примет вид уже известной нам
формулы агрегатного индекса качественного показателя:
1
I
x

x f
x f
1 1
.
0 1
Индекс постоянного состава показывает, как в отчетном периоде по сравнению с базисным изменилась средняя величина показателя по какой – либо
однородной совокупности з счет изменения только самой индексируемой величины, т. е. когда влияние структурного фактора устранено.
Для измерения влияния только структурных изменений на исследуемый
средний показатель исчисляют индекс структурных сдвигов, как отношение
среднего уровня индексируемого показателя базисного периода, рассчитанного
на отчетною структуру, к фактической средней этого показателя в базисном пе-
риоде:
I
стр.
I
d

x f  x f
f f
0 1
0 0
1
0
(8.23)
.
В качестве весов (частот) индексов средних величин наряду с абсолютными показателями f могут использоваться и относительные показатели (доли)
d
f
f
. В этом случае рассмотренные индексы для любых качественных пока-
зателей x можно выразить следующими формулами:
x d ;
x
пер. сост.
x d
x d ;
I I

x
пост. сост.
x d
d x ,
I I

x
стр.
d x
I
I
1 1

0
0
1 1
0 1
1 0
0 0
где d1, d 0  доли единиц с определенным значением признака в общей совокупности в отчетном и базисном периодах соответственно.
Приведем демонстративный пример.
Задача 6. Пуст мы располагаем данными о заработной плате работников
предприятии по трем отраслям экономики региона (табл. 8.6).
№
Отрасль экономи- Заработная плата, руб. Число работников, чел.
п/п
ки
Январь
Декабрь
Январь Декабрь
З
Здравоохранение
Образование
Культура
1
2
3
0
6700
6150
5700
З
Т
7810
6920
6585
2600
2300
1700
1
0
Т
1
1733
2190
1587
Определите индексы заработной платы:
1) переменного состава;
2) фиксированного состава;
3) влияния структурных сдвигов.
Решение:
1. Определим индекс заработной платы переменного состава, который равен соотношению средней заработной платы по трем отраслям экономики:
I
пер. сост.

З1  З1Т1  З0Т 0
.


З0
 Т1  Т 0
Предварительно рассчитаем среднюю заработную плату в январе и декабре. Обозначим заработную плату  З , число работников  Т .
Январь:
З0 
З Т
Т
0
0
0

6700  2600  6150  2300  5700 1700 41255000

 6250,8 руб.
2600  2300  1700
6600
Декабрь:
З1 
З Т
Т
1 1

1
7810 1733  6920  2190  6585 1587 39139925

 7103,4 руб.
1733  2190  1587
5510
Тогда индекс заработной платы переменного состава составит:
I
пер. сост.

З1  З1Т1  З0Т 0 7103,4



 1,136 , или 113,6%.
З0
Т1 Т 0 6250,8
Следовательно, средняя заработная плата работников по отраслям экономики выросло в декабре по сравнению сентябрем на 13,6%.
Абсолютное снижение средней заработной платы составил:
7103,4-6250,8=852,6 руб.
Изменение средней заработной платы происходило под влиянием изменений заработной платы в каждой отрасли экономики и структуры численности
работников.
2. Вычислим индекс заработной платы постоянного состава:
I
пост. сост.

З Т  З Т
Т Т
1 1
0 1
1
1

7103,4
 1,147 , или 114,7%.
6193,4
Таким образом, средняя заработная плата работников по указанным отраслям экономики выросло в декабре по сравнению январем на 14,7% под воздействие изменения только одного фактора – самой заработной платы по каждой
отрасли экономики.
При этом абсолютный прирост средней заработной платы составил:
7103,4-6193,4=910,0 руб.
3. Вычислим индекс структурных изменении численности работников:
I
стр

З Т  З Т
Т
Т
0 1
1
0
0
0

6193,4
 0,991 , или 99,1%.
6250,8
Следовательно, увеличение доли работников с меньшей заработной платой
в общей их численности привело к снижению средней заработной платы по
трем отраслям вместе на 0,9%, хотя в каждой отрасли по отдельности она возросла.
Территориальные индексы. Территориальные индексы служат для сравнения показателей в пространстве, т.е. по предприятиям, округам, городам,
районам, и пр.
Построение территориальных индексов определяется выбором базы сравнения и весов или уровня, на котором фиксируются веса. При двусторонних
сравнениях каждая территория может быть и сравниваемой (числитель индекса), и базой сравнения (знаменатель). Веса как первой, так и второй территории
в принципе также имеют равные основания использоваться при расчете индекса. Однако это может привести к различным или даже противоречивым результатам. Избежать подобной неопределенности можно несколькими способами.
Один из них заключается в том, что в качестве весов принимаются объемы
проданных товаров по двум регионам, вместе взятым:
Qq q .
A
(8.24)
B
Территориальный индекс цен в этом случае рассчитывается по следующей формуле:
I P( B| A) 
 PBQ .
 PAQ
(8.25)
Рассмотрим демонстративный пример.
Задача 7. Известны цены и объем реализации товаров по двум регионам
(табл. 8.7)
Таблица 8.7
Товар
Регион А
Регион В
Расчетные графы
Q

q
q
цена, руб. Реализация, Цена руб. Реализаpb Q
A
B
т. qa
pb
ция, т qb
1
11,8
30
12,8
38
68
802,4
870,4
2
18,5
45
19,0
58
103 1905,5 1957,0
3
17,8
15
16,9
95
100 1780,0 1690,0
Итого
4487,9 4517,4
Рассчитать территориальный индекс цен. Решение.
I P( B|A) 
 PBQ  4517,4  1,007 ,
 PAQ 4487,9
или 100,7%.
Цены в регионе В на 0,7 % превышают цены в регионе А.
Этому выводу не противоречит и обратный индекс:
 PBQ  4487,9  0,993, или 99,3%.
I P( A|B) 
 P Q 4517,4
A
В формуле данного территориального индекса вместо суммарных иногда
используются стандартизованные веса (стандартизованная структура). В качестве таких весов может выступать структура продажи данных видов продукции
по более крупному территориальному образованию, например, республике. В
этом случае индекс имеет вид:
Ip 
p q
p q
a
респ
b
респ
.
(8.26)
Второй способ расчета территориальных индексов учитывает соотношение
весов сравниваемых территорий. При этом способе первый шаг заключается в
расчете средней цены каждого товара по двум территориям, вместе взятым:
 pi qi .
pi 
(8.27)
 qi
После этого непосредственно рассчитывается территориальный индекс:
I P( B|A) 
p q p q
 pq  pq
b b
b
a a
a
.
(8.28)
По данным нашего примера получим:
p1 
11,8  30  12,8  38
= 12,36;
68
18,5  45  19,0  58
= 18,78;
103
17,8 15  16,9  95
p3 
= 17,02.
110
С учетом рассчитанных средних цен вычислим индекс:
p2 
I P ( B| A) 
12,8  38  19,0  58  16,9  95
11,8  30  18,5  45  17,8 15

=
12,36  38  18,78  58  17,02  95 12,36  30  18,78  45  17,02 15
1,018, или 101,8%.
Данный подход к расчету территориального индекса обеспечивает известную взаимосвязь:
I p  I q  I pq .
(8.29)
Индекс физического объема реализации при этом строится следующим образом:
I q( B|A) 
q
q
b
p
a
p
.
(8.30)
Аналогично строятся индексы для сравнения цен территории А с ценами
территории Б.
I P( B|A) 
 PBQ .
 PAQ
8.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
8.1.Имеются данные о продаже товаров на рынке города:
Товар
Яблоки
Морковь
Говядина
Продано, тыс. кг
Июнь
Июль
90
100
60
40
120
140
Цена за 1 кг, руб.
Июнь
Июль
50,50
52,00
35,00
30,00
210
220
Определите:
1) индивидуальные индексы цен и объема проданного товара;
2) общий индекс товарооборота;
3) общий индекс физического объема товарооборота;
4) общий индекс цен;
5) прирост товарооборота - всего, в том числе за счет изменения цен и объема продажи товаров.
Покажите связь между исчисленными индексами.
8.2. Имеются следующие данные о себестоимости и объемах производства
продукции промышленного предприятия:
Изделие
А
Б
В
2007
2008
себестоимость произведено, себестоимость произведено,
единицы протыс. шт.
единицы протыс. шт.
дукции, тыс.
дукции, тыс.
руб.
руб.
225
65,1
252
55,8
194
44,8
225
42,1
75
92,3
91
95,1
Определите: а) индивидуальные и общие индексы себестоимости; б) общий индекс физического объема продукции; в) ; б) общий индекс затрат на
производство. Покажите взаимосвязь общих индексов.
8.3. Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов на городском рынке:
Продукт
Сентябрь
Октябрь
цена за 1 кг, продано, ц.
цена за 1 кг, продано, ц.
руб.
руб.
Говядина
220
36,8
230
34,2
Баранина
235
10,4
240
12,8
Свинина
215
31,2
230
28,5
Рассчитайте общие индексы цен, физического объема реализации и товарооборота, а также величину перерасхода покупателей от роста цен.
8.4. Имеются следующие данные о выработке продукции, нормах затрат
сырья и ценах на сырье:
Изделие
Выработано Расходы сырья на едиЦена 1 кг сырья, руб.
продукции ницу продукции по норв отчетном
ме, кг
периоде,
базисный
отчетный
базисный
отчетный
шт.
период
период
период
период
1
2050
15
12
15,2
14,0
2
450
20
17
20,3
21,
Определите:
1) индивидуальные индексы норм и цен;
2) агрегатные индексы цен, норм и затрат на сырье;
3) размер уменьшения (увеличения) затрат на сырье в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом на производство всей продукции.
8.5. Имеются следующие данные о трудоемкости продукции предприятия
и объемах ее производства:
Вид продук- 2010
2011
ции
произведено, затраты
на произведено, затраты
на
тыс. шт.
100 изделий, тыс. шт.
100 изделий,
чел. – ч.
чел. – ч.
А
285
81
301
76
Б
174
121
185
114
Рассчитайте общие индексы:
1) производительности труда;
2) физического объема продукции;
3) индекс затрат труда.
8.6. Известны следующие данные по промышленному предприятию за два
периода:
Вид
про- Произведено, тыс. шт.
Среднесписочное
чис- Оптовая
дукции
ленность рабочих, чел.
цена базисного перибазисный
отчетный
базисный
отчетный
ода,
тыс.
период
период
период
период
руб.
1
19,3
21,0
52
58
81
2
26,4
23,9
49
52
61
Определите общие индексы:
1) физического объема продукции;
2) производительности труда;
3) затрат труда.
8.7. Трудовые затраты и производительность труда на предприятии характеризуются следующими данными:
Вид продукции
Общие затраты времени, тыс. чел.-ч. Индивидуальные
индексы произвоиюнь
июль
дительности труда
А
21,2
20,1
1,021
Б
11,3
11,3
1,013
В
16,7
15,4
1,046
Рассчитайте индексы производительности труда и физического объема
продукции.
8.8. Как изменились общие затраты труда на предприятии, если стоимость
продукции в сопоставимых ценах возросла на 13,8%, а производительность
труда повысилась на 4, 2%?
8.9. Производительность труда на предприятии в текущем периоде по
сравнению с базисным выросла на 3,6%, при этом численность рабочих увеличилась на 18 человек и составила 246 человек. Как изменился физический объем продукции?
8.10. Себестоимость и объем продукции компании характеризуется следующим данным:
Изделие
Себестоимость единицы изде- Выработано продукции, тыс.
лия, тыс. руб.
шт.
сентябрь
октябрь
сентябрь
октябрь
1
35
30
85
95
2
20
16
145
195
Определите:
1. Общий индекс затрат на все изделия.
2. Общий индекс себестоимости единицы изделия.
3. Общий индекс физического объема продукции.
Сделайте выводы и покажите взаимосвязь индексов.
8.11. Как изменилась производительность труда на предприятии, если при
том же объеме производимой продукции общие затраты труда снизились на
10%?
8.12. По двум ТЭЦ за два месяца имеются следующие данные о себестоимости выработанной электроэнергии:
№ ТЭЦ
Базисный период
Отчетный период
выработано
себестоимость выработано
себестоимость
электроэнергии, 1 кВт. ч, руб. электроэнергии, 1 кВт. ч, руб.
млн кВт. ч
млн кВт. ч
1
5000
0,18
6000
0,20
2
700
0,19
800
0,22
Определить в целом по двум ТЭЦ:
1) изменение средней себестоимости выработанной электроэнергии в процентах и в абсолютном выражении;
2) абсолютное изменение средней себестоимости за счет отдельных факторов: а) изменения себестоимости на отдельных ТЭЦ; б) структурных сдвигов в общем объеме выработанной электроэнергии.
8.13. Имеются следующие данные о реализации молочных продуктов на
городском рынке:
Продукт
Товарооборот, тыс. руб.
Изменение цены в декабре по сравнению с
ноябрь
декабрь
ноябрем, %
Молоко
19,8
16,5
+3,1
Сметана
14,3
14,0
+3,6
Творог
23,7
21,6
+5,8
Рассчитайте общие индексы цен, товарооборота и физического объема реализации.
8.14. По промышленному предприятию имеются следующие данные:
Изделие
Общие затраты на про- Изменение себестоимости
изводство в 2009г., млн. изделия в 2009 по сравнеруб.
нию с 2010г., %
1
2234
+6,0
2
6877
+8,6
3
1980
+2,5
Определите общее изменение себестоимости продукции в 2010 г. по сравнению с 2009 г. и обусловленный этим изменением размер экономии или дополнительных затрат предприятия.
8.15. Известны следующие данные по заводу строительных пластмасс:
Вид продукции
Общие затраты на проИзменение объема
изводство в предшепроизводства в
ствующем году, млн.
натуральном выраруб.
жении, %
Линолеум
3427
+5,2
Винилискожа
1985
+6,6
Пеноплен
2365
-3,9
Пленка
1771
-12,8
Сделайте сводную оценку увеличения производства продукции (в натуральном выражении).
8.16. Известны следующие данные по торговой фирме:
Вид товара
Продано, тыс. руб.
сентябрь
октябрь
Изменение
цен в
Октябре по
сравнению с
сентябрем,
%
+4,2
-2,8
+11,9
на проданные товары и
Обувь
134
100
Пальто
180
210
Плащи
260
430
Определите. Как в среднем увеличились цены
сколько население переплатила за счет этого.
Рассчитайте общие индексы товарооборота и физического объема проданных товаров.
8.17. По обувной имеются следующие данные о затратах на производство
и об изменении себестоимости изделий:
Наименование
Общие затраты на
Изменение себестоимости
изделия
производство изделий единицы изделия во II квар-
во II квартале, тыс.
руб.
350
тале по сравнению с I, %
Обувь жен-4,8
ская
Обувь муж480
-1,1
ская
Обувь детская
232
+3,9
Определите:
1. Среднее изменение себестоимости изделий по фирме во II квартале по
сравнению с I кварталом.
2. Абсолютную сумму экономии (перерасхода), полученную от изменения
себестоимости.
8.18. Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках города:
Рынок
Цена за 1 кг, руб.
Продано картофеля, т.
I квартал
II квартал
I квартал
II квартал
1
22,0
24,3
120
130
2
25,0
26,0
150
170
3
21,5
22,8
160
165
Рассчитайте: а) индекс цен переменного состава; б) индекс цен постоянного (фиксированного) состава; в) индекс структурных сдвигов.
Сделайте аналитические выводы.
8.19. Имеются следующие данные о выпуске продукции А по двум заводам
района:
Завод
Предыдущий период
Отчетный период
Произ- Себестои- Удель- Произве- Себестои- Удельведено мость еди- ный вес дено про- мость еди- ный вес
продук- ницы про- продук- дукции, ницы про- продукции,
дукции, ции заво- тыс. шт.
дукции,
ции
q
тыс. шт. тыс. руб.
да
тыс. руб.
Завода
1
q
z
120
120
240
48
40
-
0
1
2
Итого
0
d
0
0,50
0,50
1,00
z
d
40
44
-
0,40
0,60
1,00
1
160
240
400
1
Определите индексы себестоимости продукции:
4) переменного состава;
5) фиксированного состава;
6) влияния структурных сдвигов.
8.20. Имеются следующие данные по отдельным предприятиям отрасли:
Предприятие
1
2
3
Средняя стоимость производственных фондов, тыс. руб.
базисный пе- отчетный период
риод
9800
11600
7200
7600
7800
8500
Прибыль, тыс. руб.
базисный
период
2600
2320
2380
отчетный
период
2800
2440
2690
Определите:
1. Индивидуальные индексы уровня рентабельности.
2. Удельные веса стоимости произведенных фондов каждого предприятия
за предыдущий и отчетные периоды.
3. Индексы рентабельности:
а) переменного состава;
б) фиксированного состава;
в) влияния структурных изменении.
Покажите взаимосвязь между вычисленными индексами. Сделайте выводы.
8.21. Имеются следующие данные об урожайности и посевных площадях
района:
Культура
Урожайность, ц/га
Посевная площадь, га
базисный год отчетный год базисный год отчетный
год
Пшеница
24
27
20000
22000
Просо
12
14
10000
9500
Определите:
1. Индивидуальные индексы урожайности по каждой культуре;
2. Удельные веса посевных площадей по каждой культуре.
3. Индексы средней урожайности:
а) переменного состава;
б) фиксированного состава;
в) влияния структурных изменении.
Покажите взаимосвязь между вычисленными индексами. Сделайте выводы.
4. Прирост валового сбора зерна всего и в том числе за счет факторов.
2.22. Уровень рыночных цен на молочные продукты и объем их реализации в двух городах характеризуются следующим образом:
Продукт
Город А
Город Б
цена за 1 кг,
продано, т
цена за 1 кг,
продано, т
руб.
руб.
Молоко
18
176
18
168
Масло
74
145
77
139
Творог
30
160
33
155
Сыр
100
132
95
124
Рассчитайте территориальные индексы товарооборота, цен и физического
объема товарооборота.
8.23. Себестоимость сравниваемой продукции, выпускаемой на двух предприятиях отрасли, и объем ее производства характеризуется следующим образом:
Вид проПредприятие А
Предприятие Б
дукции
себестоимость, произведено, себестоимость, произветыс. руб.
шт.
тыс. руб.
дено, шт.
1
385
1528
394
752
2
226
899
228
930
3
518
492
524
2450
Определив суммарные объемы производства, рассчитайте индекс себестоимости продукции предприятия А по сравнению с предприятием Б.
8.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
1. Практические занятия. Для проработки данной темы можно рекомендовать следующие практические занятия:
а) индивидуальные и общие индексы в агрегатной форме;
б) общие индексы как средние из одноименных индивидуальных индексов;
в) индексы качественных показателей: переменного, постоянного составов
и структурных сдвигов.
2. Задание для самостоятельной работы студентов может включать решение индивидуальных задач по расчету индексов для различных экономических показателей.
3. Контрольная аудиторная работа может включать решение типовых
задач из данного сборника а также промежуточное тестирование по данной теме.
Библиографический список
1. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.:
ИНФРА-М, 1998.
2. В.М. Гусаров, Е.И. Кузнецова. Статистика. Учебное пособие. – М.:
ЮНИТИ, 2007.
3. Курс социально-экономической статистики: Учеб. Пособие / Под ред.
Проф. М.Г. Назарова. – М.: Омега, 2007.
4. Л.П. Чижова. Практикум по социально-экономической статистике:
Учебное пособие. – М.: «Дашков и К», 2003.
5. Сборник задач по общей теории статистики: Учебное пособие / Под ред.
Л.К. Серга. - М.: Филинъ, 2000.
6. Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие / Под ред. Проф. Р.А.
Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1999.
7. И.Г. Переяслова. Е.Б. Колбачев, О.Г. Переяслова. Статистика. Ростов-наДону: «Феникс», 2003
8. И.И Елисеева, М.М Юзбашев. Общая теория статистики: Учебник / Под
ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2000.