Взаимное расположение векторов ЭМ поля

Лекция 10
Распространение света в анизотропной среде
(кристаллооптика)
Для оптически анизотропных сред величина смещения электрических зарядов (электронов) под
действием поля световой волны зависит от направления, т.е.  и n зависят от направления
распространения.
Изотропная среда:
Анизотропная cреда:


Векторы D и E совпадают по направлению


D  E
x  y  z
Dx  E x , Dy  E y , Dz  E z
Величины
x, y , z
Dx   x E x , Dy   y E y , Dz   z E z


Векторы D и E не совпадают по всем
направлениям, кроме главных направлений.
x, y, z - оси главных направлений
образуют тензор 2-го ранга (тензор диэлектрической проницаемости).
Скаляр преобразует один вектор в другой ему параллельный.
Тензор 2-го ранга преобразует один вектор в другой ему не параллельный.
Распространение плоской ЭМВ в анизотропной среде.
Взаимное расположение векторов ЭМ поля
Пусть в анизотропной среде плоская монохроматическая световая волна
 

 
E  A exp  i t  k r





Будем рассматривать немагнитные кристаллы (=1), т.е. B  H . Выражение для D и H

характеризуются той же периодичной зависимостью, что и E .
Уравнения Максвелла:

 1 D

rotH 
, divH  0
c t 


1 H
rotE  
, divD  0
c t
В случае плоской волны:
 

     n 
N
rotH  i Hk , k  N 
V
c


 H


  D
rotE  i Ek ,
 iD ,
 iH
t
t
 
приобретают вид:
 
 


D  n HN (1)


 H  n EN (2)

  
Найдем взаимное расположение векторов D , H , E и N , к которым добавим вектор Умова-Пойтинга
 c 
S
EH .
4
   
      
S  H , S  E . Из (1)  D  H , D  N , D , H , N - правая тройка
      
Из (2)  H  E , H  N , H , E , N - правая тройка.
   
    

Тогда: H  S , D , E , N , следовательно, S , D , E , N лежат в одной плоскости  H .
 
1
E
D

фронт волны
фаза волны
N
фазовая скорость

эне
гру ргия
луч ппов волн
ева ая
ы
я с ско
кор рос
ост ть
ь
H
S
E x Dx  E y D y  E z Dz  x E x2   y E y2   z E z2

0
 
 
ED
ED
   
 
т.е. 090, т.к. S  E и S  H , то угол между S и N тоже равен .


1. В анизотропной среде вектор потока энергии S и вектор распределения фазы N ( фронту волны) не
cos  
совпадают; не совпадают по величине и направлению и скорости распространения по лучу (лучевая,
групповая скорость) и по нормали (фазовая скорость), имеют место две скорости
Vn и V s .



2. Вектор E , оставаясь  H , не  N . В этом смысле волна в кристалле не является строго поперечной,



имеется отличная от нуля проекция E на направление N и, соответственно, проекция D на

направление S .

3. Поперечность сохраняется, если N направлен вдоль одного из трех главных диэлектрических осей
 
кристалла, т.к. для этих направлений D  E .
E1
D
1
1

E2
2
N
1
  (1)


H   nEN  (2)


D  n HN
2
S1
D2
S2
2
Уравнение волновых нормалей Френеля
        


 
 
 
 
  
D  nHN   n EN N   n N EN   n E N   N NE   n E  N EN 


Исключая из (1), (2) H , получим a b c  b (a c )  c (a b ) :
2
2
2
2
 
 
 
(3)
 

D
 1
N 2 EN
1
и т.д.
Dx  n 2  x  N x EN  (4); Dx  2     N x EN (5); D x N x   x
1
1
x 
 x

n

n2  x

 
T.к. D  N , то DN  Dx N x  D y N y  Dz N z  0
N x2

1
1

2
x
n
N y2
1
1

2
y
n

N z2
1
1

2
z
n
0
Вводя главные скорости - вдоль главных осей x, y, z
Vx 
c
c
c
, Vy 
, Vz 
y
z
x
,
c
, получим:
n
N y2
N x2
N z2


0
Vn2 Vx2 Vn2 V y2 Vn2 Vz2



c2 c2
c2 c2
c2 c2
а также скорость вдоль нормали
Vn 
уравнение нормалей Френеля
2
Ny
N x2
N z2


0
Vn2  Vx2 Vn2  Vy2 Vn2  Vz2
(6)
Vn , т.е. n, от направления нормали, заданного
N z и от свойств кристалла, заданных главными диэлектрическими проницаемостями  x ,
Уравнение нормалей Френеля дает зависимость
Nx, Ny,
y , z
или главными скоростями V x , V y , V z .
Уравнение нормалей Френеля квадратично относительно


Vn и Vn ,
N x , N y , Nz .
Vn2 ( n 2 )
и имеет тем самым два
положительных решения
соответствующих двум различным скоростям для каждого
направления нормали
Это означает, что при распространении света в анизотропной
среде имеет место распространение одновременно двух волн с разными скоростями, которым
соответствуют взаимно перпендикулярные направления колебаний вектора электрической индукции.
Каждому из значений
Vn (или n) будет соответствовать определенное значение D : D и D  .
Покажем, что D и D  взаимно . Воспользуемся соотношением (5):
Dx  
    c N  EN  .
N x EN
1 1

n2  x
2
x
V  Vx2
2
n
Тогда
3
DD  Dx Dx  Dy Dy  Dz Dz 
 
 c 4 EN
2


Ny
Ny
Nx
Nz
Nz 
 Nx





 2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






Vn  Vx Vn  Vx Vn  Vy Vn  Vy Vn  Vz Vn  Vz 






2
2
c EN 
Ny
Ny
N x2
N x2
N z2
N z2 
 2
 2

 2

 2
0
2 
2
2
2
2
2
2
2
2
2









Vn  Vn
Vn  Vx
Vn  Vx
Vn  Vy
Vn  Vy
Vn  Vz
Vn  Vz 
 удовл. ур  ю Френеля

удовл. ур  ю Френеля
удовл. ур  ю Френеля


Итак, D  D  .
4
 
2
D/
N
D//
Т.о. в обеих линейно-поляризованных волнах, соответствующих одной волновой нормали


D  D  . При этом векторы D , D  и N перпендикулярны друг другу, т.к. D  N .
Изотропные

x

N , векторы
  y   z  , одноосные   x   y   z  , двухосные   x   y   z  кристаллы.
Положительные и отрицательные одноосные кристаллы
Перепишем уравнение нормалей Френеля в виде:
V
2
n
 Vy2 Vn2  Vz2  N x2  Vn2  Vx2 Vn2  Vz2  N y2  Vn2  Vx2 Vn2  Vy2  N z2  0
1. Кристаллы с тремя равнозначными взаимно  осями симметрии (кубические кристаллы):
x  y  z  
Vx  Vy  Vz  V1
уравнение нормалей Френеля принимает вид:
V
2
n
откуда
 V12   N x2  N y2  N z2   Vn2  V12   0 ,
2
2
Vn  V1 , т.е. корни уравнения совпадают, имеется только одно значение скорости Vn 
c
n
двойного лучепреломления нет. В этом случае D   E и кристалл оптически изотропен, точно так же,
как аморфное твердое тело.
2. Кристаллы с одним выделяющимся кристаллофизическим направлением (триогональной,
тетрагональной, гексагональной систем). Здесь одна диэлектрическая главная ось должна совпадать с
кристаллофизической выделяющейся осью. Если ось z взять в выделяющемся направлении, то
 x   y   z . Такие кристаллы называются одноосными: Vx  Vy  V0 , Vz  Ve - главные скорости.
Уравнение нормалей Френеля принимает вид:
V
2
n


 
 
 V02 Vn2  Ve2 N x2  N y2  Vn2  V02 N z2  0
4
z

N
x/
y/
x

Ось х возьмем в плоскости z N (главной плоскости)
Найдем

Vn и Vn . Если вектор N составляет угол  с выделенной кристаллографической осью z, то
N z  cos и N x2  N y2  1  N z2  sin2  .
Уравнение нормалей распадается на два уравнения, корни которых равны:
Vn 2  Vo2
Vn 2  Vo2 cos2   Ve2 sin2 
c
c
  no
Vn Vo
c
c
no ne
n  

 ne
2
2
2
2
Vn Vo2 cos2   Ve2 sin2 
no sin   ne cos 
c
c
т.к. Vo 
, Ve 
.
no
ne
Поверхность нормалей имеет две полости: шар радиуса Vn  Vo и поверхность вращения 4-го порядка n 
овалоид. Поэтому каждому направлению нормали
обыкновенная, со скоростью по нормали
скоростью

N одновременно принадлежат две волны:
Vn  Vo , независящей от направления, и необыкновенная, со

Vn , зависящей от направления N
по отношению к оси симметрии z кристалла. Только в
направлении этой оси, при =0, эти скорости совпадают:
Vn  Vn Vo . Такое направление называется
оптической осью. Т.к. в рассматриваемом случае существует только одно такое направление, то
соответствующий кристалл называется одноосным.

Vn Ve , т.е. Vn изменяется при различных углах, образуемых нормалью N
оптической осью z в пределах от Vn Vo для =0 до Vn Ve для =90.
При =90
с
Поэтому все кристаллы (одноосные) можно классифицировать по знаку разности скоростей
Vo  Ve . Кристаллы, в которых Vo  Ve , называются положительными (например, кварц), а у которых
Vo  Ve , называются отрицательными (например, исландский шпат).
5
z
z
N
//
Vo Vn
Ve
Vn /
Vo
N
Vn /
x
Vn
//
Ve
3. Кристаллы, не имеющие выделяющегося направления - это наиболее общий случай:
Из уравнения нормалей Френеля можно получить, что
Vn
и
Vn
распространения волны. Однако существует два направления, по которым
x
x  y  z .
зависят от направления
Vn  Vn , т.е. существуют
две оптические оси - двухосные кристаллы. Кристаллов, имеющих более двух оптических осей, не
существует. В двухосных кристаллах обе волны имеют взаимно-перпендикулярные поляризации.
Искусственная анизотропия
Многие оптически изотропные тела состоят из анизотропных молекул или других структурных
элементов, хаотически ориентированных в пространстве, поэтому объект в целом не обладает
анизотропными свойствами. В результате какого-либо внешнего воздействия (механические
деформации, электрические или магнитные поля), создающего физически выделенное направление в
пространстве, такая среда может стать макроскопически анизотропной.
Двойное лучепреломление при механической деформации - фотоупругость - было открыто
Брюстером в 1815 г.
При одностороннем растяжении или сжатии направление деформации становится выделенным и
играет роль оптической оси. Опыт показывает, что возникающая разность показателей преломления
no  ne ,
которая является мерой возникающей анизотропии, пропорциональна механическому
напряжению. Метод используется для исследования напряжения в деталях сложных конфигураций, для
анализа остаточного напряжения в стеклах, для изучения свойств полимеров в растворах, глаукома роговица.
Эффект Керра
Возникновение оптической анизотропии во внешнем электрическом поле - было обнаружено в
1875 г. Его наблюдают в жидкостях и газах. Эффект широко используется при построении
быстродействующих оптических затворов 10-12 с.
6
1. Скрещенные поляроиды - без поля Е свет не проходит.
2. При наложении поля Е, направление которого составляет угол 45 с направлением пропускания
поляризаторов, среда становится оптически анизотропной, выходящий из конденсатора свет
эллиптически поляризован. Вводя компенсатор k, можно измерить разность фаз между о и е лучами ~
( ne
3.
 no ).
ne  no  kE 2
где
B
k


 
2l
ne  no   2Bl E 2 ,

- постоянная Керра - определяется веществом.
Большими значениями В обладает нитробензол. Для l  5 см, d=1 мм, U=1500 B  =/2, т.е.
разность хода /4.
У газов В значительно меньше. Обычно В>0, реже В<0 (этил, эфир, спирт).
Причина оптической анизотропии вещества в электрическом поле заключается в анизотропии самих
молекул, которые под действием внешнего электрического поля ориентируются своими осями
наибольшей поляризуемости вдоль поля и Среда становится оптически анизотропной.
7
Эффект Керра в поле лазерного излучения
Двойное лучепреломление в анизотропной среде может возникать не только в постоянном
внешнем электрическом поле, но и в переменном вплоть до оптических частот. С появлением лазеров
оказалось возможным создать необходимые напряженности электрического поля, чтобы наблюдать
эффект.
K
S
ИК-лазер
З
P
-E
=500 нм
затвор
A
Р и А - скрещенные
поляроиды
ФЭУ
Для многих типов молекул (неидеальные жидкости) значения постоянной Керра В для постоянных полей
и оптических частот совпадают.
Для дипольных молекул В уменьшается на оптических частотах. Например, для нитробензола в
100 раз. Это связано с тем, что дипольная молекула не успевает переориентироваться в такт с
колебаниями поля.
Эффект Керра применяется в качестве быстродействующего оптического затвора: 10 9
переключений в секунду с управлением от электрического поля высокой частоты и до 10 12 с
управлением от лазера. Такие затворы используются для получения "гигантских" импульсов в лазерах,
которые в частности используются в биомедицине: хирургия, импульсная томография.
Эффект Коттона-Мутона (1905 г.)
Для анизотропных молекул среды, обладающей постоянным
преимущественная ориентация создается постоянным магнитным полем.
магнитным
моментом,
ne  no  DH 2
2l
 
ne  no 

l
=8 см, Н=20 кЭ  3
Электрооптический эффект Поккельса
Заключается в изменении оптических характеристик кристалла под действием внешнего
электрического поля. В отличие от эффекта Керра он линеен по полю. Вырезанная  оптической оси
пластинка кристалла KDP (дигидрофосфата калия) помещается между скрещенными поляризаторами.
+
P
U
A
_
8
без поля
no  ne ;
в поле
no  ne
I ~ sin 2
U 2
U
2U  2
- полуволновое напряжение, когда  волн ортогональных поляризаций равна ;
U  2 =8 кВ.
АDР, банан и др. - низкие напряжения.
9