Проектная работа «
advertisement
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Краснозаводская средняя общеобразовательная школа №7» Проектная работа «График функции, возрастание, убывание функции, нули функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значения. Чтение графиков функций». Учитель Павлинова Марина Вячеславовна МОСКВА 2011 год 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение. 3 2. Основная часть. 2.1. Понятие функции. Способы задания функции 5 а) Словесное описание б) Представление функции формулой и таблицей в) Графическое представление функций 1) Графическое представление функций 2) График функции. 2.2. Свойства функций. Основные понятия: 12 а) Монотонная функция. б) Нули функции в) Промежутки знакопостоянства функции. г) Наибольшее и наименьшее значения функции. д) Задачи и упражнения для отработки свойств функций 2.3. Чтение графиков функций 21 а) График температуры б) График движения в) Задачи с экономическим содержанием и реальной зависимости 3. Заключение 28 4. Список литературы. 29 5. Приложения 30 3 Введение Понятие функции является одним из важных понятий математической науки и представляет большую ценность для школьного курса математики. Русский математик и педагог А. Я. Хинчин указывал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важных понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которых группируется всё математическое представление. В настоящее время появилось много новых школьных учебников по математике. Я в своей практике использую учебный методический комплект по алгебре под редакцией А.Г.Мордковича. Данный УМК предлагает проблемное изучение математики. Проблема- это то, что мы не можем решить ни сегодня ни завтра, это то, что мучает нас продолжительное время, но к решению этого мы постепенно приближаемся и, наконец, это будучи решено, дает эмоциональный заряд, ощущение радости. Такой подход способствует развитию интеллектуальных способностей учащихся; развитию умений различных форм и творческих мыслительной деятельности, а также усиливает подготовку по различным разделам. Из основных содержательно-методических линий данного УМК школьного курса алгебры выбрана функционально-графическая линия. Понятие функции как раз и относится к числу таких проблем, которое не вводится с самого начала, оно постепенно «созревает», и в конце обретает стройную систему понятий и положений. Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, 4 ограниченная и неограниченная функция, прерывная и непрерывная, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции. Естественно, что вопрос методики изучения свойств функций при решении задач различных типов важен для каждого учителя. Многие способы решения таких задач рассматриваются в тематических лекциях, занятиях спецкурсов и факультативов. Расширение типов задач на применение свойств функций, включаемых в ГИА, делает данную тему интересной и актуальной для меня. Школьная математика – это не наука, а предмет, основная цель которого – изучение реальных ситуаций с помощью математических моделей. Математика изучает реальные ситуации, а первичная математическая модель – функция, поэтому функции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме составляют стержень школьного курса математики. Итак, изучение понятия функции – это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией). 5 Основная часть 1. Понятие функции. Способы задания функции Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление. Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии. Понятие функции – это основное понятие и высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся основной и средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе. Для введения понятия функции использую метод проблемного изложения, разбираю несколько задач с подчёркиванием существенных признаков понятия (одна переменная зависит от другой, однозначная зависимость). Примеры подбираются разнообразными по содержанию, несущественные признаки должны варьироваться. Необходимым считаю и подбор контрпримеров для разных способов задания функции, выделение критериев, по которым можно определить, является ли зависимость функциональной (при каждом способе задания). Например: Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел. В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке. 6 Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например, y2 1 x2 . При введении понятия «функция» обращаю внимание учащихся на переход от одной формы задания функции к другой. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель таблица график аналитическая модель. Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы). При введении записи y f x необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия. Рассмотрим все выше сказанное на примерах: 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S. Так, если a = 3, то S = 32 = 9; если a = 15, то S = 152 = 225; если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16. Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой S = a2 Затем даются первые определения зависимой и независимой переменных: “Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, - зависимой переменной”. 2. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры 7 вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени. Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате? В этом примере необходимо использовать все компоненты. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости, выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса. 3. На представленных рисунках найдите функцию. Ответ обоснуйте 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующая стоимость проезда в рублях): По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m. Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят 8 догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем – её надо увидеть на конкретных рисунках, в четвертом - это таблица. Это не случайность, разбирая примеры, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций. Словесное описание Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные. Примеры: Функция f(x)задана на множестве неотрицательных чисел с помощью правила: каждому числу х 0 ставится в соответствие первый знак после запятой в десятичной записи числа х; Функция f(x)задана на множестве действительных чисел с помощью правила: каждому числу ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является конечным множеством. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он 9 дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим, или с помощью формулы. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать уравнение. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек, координаты которых M (x,y) связаны заданной функциональной зависимостью. Например, множество, изображенное на рисунке, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой a, но разными ординатами b1 и b2. Если принять эту линию за график функции, то получилось 10 бы, что одному значению аргумента соответствует сразу два значения функции, что противоречит определению функции. Графический способ задания зачастую удобен по сравнению с аналитическим, так как по графику сразу видно, что из себя представляет функция и можно проанализировать ее поведение. Плюс ко всему для любого x0 из области определения легко найти (с определенной точностью) соответствующее значение y0=f(x0) функции. С помощью графиков функций можно решать различные задания, например: 1. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. 1) 2) 3) 4) Решение: так как область значения функции - это проекция графика на ось ординат, получим промежуток 4; 3 . Ответ: 3) 2. функции. Функция задана графиком. Укажите область определения этой y 1) 2) 1 3) 01 x 4) 2; 4 2; 4 2; 1 1; 4 2; 1 1; 2 3. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции. 11 y 1) 1 0 1 x 2) 3) 4) 4; 1 2; 2 4; 2 3; 2 4. Функция задана графиком. Найдите множество значений этой функции. y 1) 1; 5 2) 1; 3 3; 5 3) 3; 5 1 4) 1; 5 0 1 x 5. Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. y 1) 3; 4 2) 2; 6 1 3) 2; 4 0 1 x 4) 2; 5 При изучении данного материала учащимся дана возможность активно поработать с графиками, так как для них график является опорным образом при усвоении новых понятий. Большая часть упражнений – это задания, в которых по известным графикам нужно ответить на серию вопросов. Также можно предложить упражнения, в которых описана конкретная ситуация и ученикам необходимо выбрать, на каком из графиков описана эта ситуация. 12 2. Свойства функций. Основные понятия Рассмотрим некоторые свойства функций, с помощью которых можно считывать информацию с графиков функций, решать различного рода задачи, представленные в КИМах ГИА по математике за курс основной школы. При изучении свойств функции акцент делается не столько на определение понятия конкретного свойства функции, сколько на введение нового языка, на овладение учащимися новой терминологией и символикой. Необходимо отметить, что новый язык постоянно сопоставляется с уже освоенным, то есть внимание обращается на умение переформулировать задачу или вопрос с языка функций на язык графиков или уравнений и наоборот. При изучении материала много внимания уделяется графикам реальных зависимостей, важное место занимают практические работы, вопросы и задачи прикладного и практического характера. Усвоение свойств функций и, как следствие, выполнение заданий на установление свойств функции по ее графику, традиционно вызывает трудности у учащихся. Наиболее часто ученики путают промежутки возрастания или убывания с промежутками, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Параболу, ветви которой направлены вверх (вниз), многие считают графиком возрастающей (убывающей) функции. Для предупреждения подобных ошибок необходимо, чтобы свойства функций воспринимались учащимися осмысленно, а не формально, дать им возможность активно поработать с графиками, так как для них график является опорным образом при усвоении таких понятий как свойства функций. Этому может помочь и обращение к содержательным графикам, например, к графику температуры. Учащимся стоит разъяснить, что как по графику температуры легко выяснить нужную информацию, так и график любой функции наглядно отражает все её свойства. Тот большой опыт работы с графиками реальных зависимостей, который приобрели учащиеся к данному моменту, поможет им перекинуть мостик от содержательных задач, связанных с графиками, к графикам произвольных функций. Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции. В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты: 13 Область определения функции. Нули (корни) функции. Промежутки знакопостоянства. . Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. . Множество значений функции. Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции. а) Монотонность функции Возрастание (убывание) функции. Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2 , справедливо неравенство f(x1)<f(x2). Чтобы дети лучше запомнили и научились определять промежутки возрастания, можно привести пример из устного народного творчества: «Чем дальше в лес, тем больше дров», - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения вглубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги. График представит количество дров как функцию пути. 14 Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием. Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2). Рассмотрим аналогичный пример из народного творчества: «Дальше кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая. Слова “возрастание” и “убывание” функции заменяют одним словом – “монотонность” функции. Примеры: а) y=1–x, y убывает на всей числовой оси. б) ó õ 2 1 , y убывает на промежутке (–;0] и возрастает на промежутке [0; +). 1 õ в) ó , y убывает на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ). б) Нули функции Нули (корни) функции– точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0. Например: y=x2+x–2, нули: x1=1, x2=–2. y=x2+x+2, нулей нет. в) Промежутки знакопостоянства функции. 15 Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0. Примеры а) ó 1 , y<0 при x<2; õ2 y>0 при x>2, или y<0 при x (– ;2), y> 0 при õ 2; б) ó õ 2 , y<0 при x (0;4), y>0 при x (4;+ ). г) Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее или наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными ó õ2 1. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает. 2. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает. 3. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. ó õ3 Данная функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. д) Задачи и упражнения Здесь предлагаются задачи и упражнения, в которых по графику функции необходимо ответить на вопросы, касающиеся свойств функции, на сопоставление графиков и функциональных зависимостей; упражнения, в которых по известным свойствам функции необходимо задать формулу этой функции; упражнения на нахождение нулей функции (в ходе выполнения которых естественным образом повторяется материал, связанный с решением уравнений – линейных, квадратных, уравнений высших степеней, уравнений, решаемых на основе равенства нулю произведения). Кроме того, есть упражнения на построение эскизов графиков функций на основании свойств функций. 16 1. На рис изображены графики функций у у 1 1 3 , у 2 , у 2 и х 1 х 1 х 1 2 3 . Для каждого графика укажите соответствующую формулу. х 1 2 Чтобы соотнести график с соответствующей ему функцией, нужно использовать разные признаки. Так, график I целиком расположен ниже оси х. Это означает, что при всех значениях аргумента функция принимает отрицательные значения. Значит, этому графику может соответствовать одна из формул у 1 3 или (выражение, стоящие в правых у х2 1 х2 1 частях, принимают отрицательные значения при всех значениях х). Чтобы выбрать из них нужную, вычислим ординату точки пересечения соответствующего формуле графика с осью у. Получим, что график функции у 1 проходит через точку (0;–1). Значит, графику I соответствует х2 1 именно эта формула. Графику II соответствует формула у III — формула у 3 , графику х2 1 3 1 у и графику IV – формула, . х2 1 х2 1 Для работы с такими заданиями можно использовать и различные тренажеры. Например, в виде «Графического лото», приложение [1]. 17 2. На рисунке изображён график функции y f x , областью определения которой является отрезок [–2; 2]. Используя график, ответьте на вопросы: 1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение? 2) Укажите нули функции. 3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения. 4) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает. 3. На рисунке изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика? Учащиеся могут ошибочно подумать, что функция, график которой изображен на рис. а), имеет наибольшее и наименьшее значения. В этом случае можно предложить им найти по графику какое-нибудь значение функции, большее 4 и меньшее –2. В отличие от функции на рис. а), функция, график которой изображен на рис. б), имеет наименьшее значение, оно равно –3. 18 При выполнении этого упражнения можно предложить учащимся посоревноваться: кто из них сможет указать больше свойств. 4. Числа –3; 5; 0,5 являются нулями функции f x 2 x 3 5x 2 28 x 15 . Убедитесь в справедливости этого утверждения. Сформулируйте этот факт другими способами, используя слова «график», «значение функции», «уравнение». Цель упражнения – в обучении переводу с одного языка на другой, умению выразить одно и то же утверждение разными способами. Убедиться в справедливости утверждения можно, подставив данные числа в формулу. 5. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа: а) -3,5; 0; 4 б) -5; -1; 2,5; 4,5 Можно выполнять это задание парами – соседи по парте обменяются своими графиками, и каждый из них проконтролирует, правильно ли ответил на вопрос его напарник. Дополнить упражнение можно заданием: перечислить все свойства функции, которые можно выяснить по предложенному графику. 6. Графиком какой из функций у 3х , у х 3 , у является гипербола? 3 х Постройте эту гиперболу. Учащиеся должны объяснить свой ответ, например, так: функции у 3х и у х являются линейными (можно попросить обосновать это 3 утверждение), их графики – прямые. Функция у у 3 – это функция вида х k при k=3, графиком такой функции является гипербола. х 7. Постройте график функции: у 6 х ; 19 Эта задача является достаточно трудной для учащихся. За образец можно принять рассуждение, проведенное при построении графика у х Приведем эти рассуждения: При х=0 функция не определена. Проанализируем формулу отдельно для положительных и отрицательных чисел. Модуль положительного числа равен самому числу. Значит, при х>0 6 . Модуль отрицательного числа равен х противоположному ему числу. Значит, при х<0 формула принимает вид выполняется у у равенство 6 6 6 можно записать следующим образом: . Поэтому условие у х х х 6 х , если х 0 у 6 , если х 0. х Таким образом, требуется построить график кусочно-заданной функции. 8. В одной системе координат постройте графики функций: а) у х и у х ; б) у х и у х ; в) y x 3 и у х 3 ; г) у 2 2 и у х х Идея упражнения состоит в том, чтобы учащиеся самостоятельно обобщили знания о симметрии графиков таких функций например, у=2х2 и у=–2х2, как, и применили их в новой ситуации. В каждом случае следует строить график первой функции и с помощью 20 симметрии относительно оси х получать график второй функции. 9. Задания для работы с карточками. 1. Определите область определения функции. 2. Определите область значений функции 3. При каких значениях х, функция положительна? 4. При каких значениях х, функция отрицательна? 5. Укажите промежутки возрастания функции. 6. Укажите промежутки убывания функции. 7. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции, если это возможно.(см приложение[2]) 10. (Задача-исследование.) Исследуйте, как влияет на график изменение одного из коэффициентов a, b и с в уравнении параболы. Для этого: 1) в одной системе координат начертите параболы y x 2 4 x c для с=0; 1; 2; 4 и с =–1; –2; –4; 2) в одной системе координат начертите параболы y x 2 bx 4 для b=0; 1; 4; 5 и b=–1; –4; –5; 3) в одной системе координат начертите параболы y ax 2 4 x 5 для 1 а = ; 1; 2; 3. 2 Задача интересна, но достаточно трудоёмка. Её можно разбить на три самостоятельные задачи и предложить их разным учащимся. Результаты можно будет обсудить в группах, в которые войдут ученики, выполнявшие одно и то же задание, а затем, после уточнения выводов, познакомить с ними остальных. При формировании и отработке понятий свойства функций в 9 классе использую презентацию «Свойства функций» (см. приложение [3]) Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Образ каждой функции можно представить сложенным 21 из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. 3. Чтение графиков функций Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения. Такие свойства графиков, как выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, смысловая однозначность, а также обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской и практической работе и в сопоставлениях как в технических вопросах, так и в вопросах социально-экономических явлений, в популяризации научных и практических достижений. Построение и чтение графиков должно опираться на множество практических навыков. Приведем некоторые из рекомендованных правил при графической обработке данных и чтении графиков: график должен быть достаточно четким, но наиболее важные его элементы должны выделяться на общем фоне в соответствии с их значением; при необходимости желательно включать в график цифровые данные или формулы; характер координатной сетки должен быть разный в зависимости от назначения графического образа. Если внимание должно сосредоточиться на графическом образе как целом, а не на отдельных его частях, сетка должна быть возможно менее заметной: редкой. Если имеет значение не только графическое изображение в 22 целом, но и его отдельные точки, сетка должна быть достаточно частой; общая структура графиков должна предполагать чтение слева направо; чтение графика следует начинать с заголовка, сообщающего, какие сведения можно из него получить. а) График температуры Изучение понятия графика функции в школе начинается с изучения графика температуры воздуха еще на уроках математики. Рассмотрим примеры: 1. На рисунке изображен график температуры воздуха в течение суток. С помощью графика для этого каждого момента времени t (в часах), где 0 t 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например, если t = 6, то p = 2; если t = 12, то p = 2; если t = 17, то p = 3; Можно задать по данному графику следующие вопросы: В какие часы температура воздуха была выше нуля; ниже нуля, равна нулю; Сколько часов температура была отрицательной, положительной; Сколько часов температура повышалась, понижалась; Назовите максимальную (минимальную) температуру в течение суток. 2. Используя температуры определите, график воздуха в какой изменения в декабре, промежуток 23 месяца температура воздуха не превышала 0º. 3. На рисунке изображен график осадков в г. Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм. Определите по графику, сколько дней из данного периода осадков выпало между 2 и 8 мм. 4. На графике показано изменение температуры воздуха в некотором населённом пункте на протяжении трех суток, начиная с 0 часов субботы. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наименьшую температуру воздуха в ночь с субботы на воскресенье. Ответ дайте в градусах Цельсия. 5. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Пскове каждый день с 15 по 28 марта 1959 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия. 24 6. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали температура - в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 1988 году. Ответ дайте в градусах Цельсия. 7. На диаграмме запросов со показано словом количество СНЕГ, сделанных во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — запросов за Определите количество данный по месяц. диаграмме наибольшее месячное количество запросов со словом СНЕГ в период с марта по сентябрь 2009 года. 8. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за данный период не выпадало осадков. 25 Работа с такими заданиями начинается уже в 6 классе, что способствует формированию у учащихся умению читать графики, правильно описывать их свойства. б) График движения Теперь рассмотрим различные примеры графиков движения. 1. На рисунке дан график движения велосипедиста, который выехал из деревни на железнодорожную станцию. Пользуясь графиком, вычислите: а) Сколько времени затратил велосипедист на весь путь? б) Какова средняя скорость велосипедиста? в) Сколько времени затратил велосипедист на остановки? г) Какое расстояние проехал велосипедист? 2. По графику движения автомобиля определите: а) На каком из данных промежутков времени скорость была наибольшей. б) Сколько времени в пути был автомобиль. в) Сколько времени длилась остановка 3. Мяч подбросили вертикально вверх, и он упал на землю. На рисунке изображен график зависимости высоты мяча над землей (h, м) от времени полета (t, с). Используя график, ответьте на вопросы: а) С какой высоты был подброшен мяч? б) Сколько метров пролетел мяч за первые 3 секунды? в) Через сколько секунд после броска мяч оказался на максимальной высоте? 26 г) Когда мяч был на высоте, равной 6м? 4. На рисунке изображен график движения туристов во время похода. а) Через сколько часов после выхода туристы вернулись на базу? б) На каком расстоянии от турбазы был сделан первый привал? в) Сколько времени длился второй привал? г) На какое расстояние туристы удалились от турбазы? д) Сколько времени шли туристы от первого привала до второго? 5. Туристы отправились с турбазы на озеро, провели там час и вернулись обратно. Какой из графиков описывает зависимость пройденного туристами расстояния от времени, которое они провели в походе? 6. На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200-метровую дистанцию. На рисунке изображен график зависимости расстояния S (в метрах) между пловцом и точкой старта от времени движения t (в секундах) пловца. Определите, какое расстояние преодолел пловец за 1 минуту 40 секунд в) Задачи с экономическим содержанием и реальной зависимости 27 1. В оптовом магазине сахарный песок продается на следующих условиях: первые 30кг - по цене 20 рублей за килограмм, а далее - по цене 10 рублей за килограмм. Какой график соответствует этим условиям? 2. На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего телезрителей проголосовало к 40-й минуте дебатов? 1) 20 тыс. чел. 2) 30 тыс. чел. 3) 50 тыс. чел. 4) 45 тыс. чел.» Заметим, что формирование такого общекультурного умения, как «чтение» реальных графиков (в элементарных, бытовых ситуациях), не требует больших затрат времени, и может быть достигнуто лишь путем некоторого акцента на соответствующий вид деятельности в ходе преподавания. В то же время другие важнейшие умения, связанные с функциями и их графиками, требуют более серьезного внимания и методической работы. Заключение 28 Рассмотренные подходы к изучению функций и их свойств в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций и их свойств, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе. Естественно, что вопрос методики изучения свойств функций при решении задач различных типов важен для каждого участника образовательного процесса. Расширение типов задач на применение свойств функций, включаемых в ГИА, оставляет данную тему интересной и актуальной, так как . рассматриваются типы задач функциональной линии, встречающиеся в КИМах ГИА, а так же методика решения этих задач; приводятся примеры задач, которые можно использовать и при подготовке учащихся к ЕГЭ. Список литературы 1. Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2010. 29 2. Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009 3. Алгебра. 7 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008. 4. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998. 5. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск, 1970 г. 6. Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. – М.Просвещение,1980. 7. Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г. 8. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987 г. 9. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995 10.Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982. Приложения 1. Графическое лото 2. Функция. Задания для работы с карточками. 30 3. Презентация «Свойства функций» 4. Связь между свойствами функции и её графиком 5. Презентация «Повторяем графики функций» 6. Презентация «Чтение графиков»
