Тест. Иррациональные уравнения и неравенств

Иррациональные уравнения и неравенства
Определение. Иррациональным уравнением (неравенством) называется уравнение (неравенство), в
котором неизвестная стоит под знаком корня или возведения в дробную степень.
При решении иррациональных уравнений используются или равносильные преобразования, или
переход к уравнению–следствию и исследованию области определения уравнения. При переходе к
следствию необходимой частью решения должна быть проверка найденных корней подстановкой в
исходное уравнение. Часто используемым методом является метод введения новой переменной
(замены).
Рассмотрим основные типы уравнений
f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0 или g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x )

 g ( x)  0

2
 f ( x)  g ( x)
g ( x) f ( x)  0
Полезно также помнить, что
 f ( x) 
 f ( x) и
2

 f ( x)  0

  f ( x)  0
  g ( x)  0

f ( x)  g ( x ) 
f ( x) 
g ( x) , если f ( x)  g ( x)  0 .
При решении иррациональных неравенств основным методом является метод равносильных
преобразований. Можно использовать и обобщенный метод интервалов.
Рассмотрим основные типы неравенств

 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)

f ( x)  g ( x )

 g ( x)  0

 f ( x)  0
 g ( x)  0

2
 f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0

 g ( x)  0
 g ( x)  0

 f ( x)  0
f ( x) 
f ( x)
g ( x)
0
g ( x)
Иррациональные уравнения
1. Сумма корней
промежутку
А) 1, 8;


3  4x  3x  2 принадлежит
или корень (если он единственный) уравнения
3
2

B)


3
2
 ; 1
C) 1;


1
2

D)

1
2
 ;  0, 2
2. Найти среднее арифметическое корней уравнения 3x 2  4 x  4  x  2
А) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3. Корень уравнения x  1  10x  5  x  3 принадлежит промежутку

А) 4;  2



B) 2; 1
 



B) 2; 3


C) 3; 4


D) 4; 5

или корень (если он единственный) уравнения
промежутку
А)

9
2
 ; 
7
2

B)
 
9. Найдите произведение корней уравнения
А) –5
 
C)
2; 3
B) –1
D)
4; 5


 
E) 2; 4
3
2
3
x  x  2 x  13  x  4

E) 5; 6

5. Число различных корней уравнения 2 x  6 x2  1  x  1 равно
А) 2
B) 1
C) 4
D) 3
2
6. Найдите сумму корней уравнения ( x  3x  10) x  3  0
А) – 8
B) –1
C) –3
D) –6
2
2
7. Чему равно произведение корней уравнения x  1  x  3 ?
А) – 10
B) –5
C) – 2
D) 10
8. Сумма корней
0


4. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
принадлежит промежутку
А) 1; 2
E) 0, 2;
E) 5
D) 1; 0
C) 0; 3


E) 5
E) 0
E) корней нет

x
1x 
 3   3 
4
84 
6, 5; 7, 5

2
принадлежит
E)

7, 5; 8, 5

x 4  2 x3  x 2  11  2 x 2  2 x  4
C) 1
D)
5
E) 5
3
10. Найдите произведение корней уравнения  x  1  x 2  4 x  8  2( x  1)
11. Решите уравнение 2 x  1 
4
 7  0.
x 1
12. Найдите сумму корней, или корень, если он единственный, уравнения
13. Найдите
корень
(или
произведение
3 x
3 x
6
2 x 2  3x  14 


0
3 x
3 x
9  x2
корней,
если
их
5x  6
x
 6
 1 .
x
5x  6
несколько)
уравнения
4 x0  7
3
3
, где x0 – корень уравнения

 6 .
x0
x  x2  x x  x2  x
16 x x 2  9  4 x  3
14. Найдите значение выражения
15. Решите уравнение
 2 y  x3  y  1  0
16. Решите систему уравнений 
0,5 y 2  1   x
x 2  4 x  4  4 x 2  17 x  15  2  x
17. Решите уравнение
18. Модуль разности корней уравнения  x  3 x  1  3  x  3
А) 4 5
19. Решите уравнение
B) 2 53
3
C) 2 5  53
x  1  3 x  1  6 3x 2  3  6  x  1 .
2
x 1
 28 равен
x 3
D) 2
E) 0
20. Укажите множество всех значений параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение



256 

x a x
0
x 


C) ; 0
D) ; 0  4
E) 4;4


21. Укажите целое значение параметра а (если оно единственное) или сумму целых значений из
А) 0; 

B) 4

промежутка
 1; 9 ,
при которых уравнение


x  2  2   x  a   0 имеет единственное
решение.
22. Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
23. Если x0 – корень уравнения
3
5 x  24  2 x  9  9 .
2 x2  4 x  3  3x2  6 x  7  2  2 x  x2 , то чему равно значение
x0 2  21x0  18
выражения
?
 2005 
sin  

2 

Иррациональные неравенства
1. Множество решений неравенства
1
А)  ;  
2

1 5
C)  ; 
B)  4;  

2. Решением неравенства
А) 10;
3x  5  x  4 имеет вид
13
x  16  x  2
B) 6;


10

1
E)  ; 
D) 5;
E) 4;
3 
 2 3
2
5
D)  ; 4

2
является множество
C) 4;

3. Сколько целых решений имеет неравенство x
А) 0
B) 1
C) 2
2
5


6


6

 2x  3  1
D) 3
E) 4
 x  2   1
1  x  2  x 
2
4. Найдите сумму всех целых чисел, являющихся решениями неравенства
А) 1
B) –1
C) 2
D) 
E) 
5. Найдите длину промежутка, составляющего множество всех решений неравенства x  4  x  6
А) 4
B) 3
C) 5
D) 6
E) 2
6. Найдите сумму всех целых чисел из промежутка 6;

6 ,
 являющихся решениями неравенства
14  x  2  x
А) 12
B) 15
C) 16
D) 17
2
7. Найдите сумму всех целых решений неравенства  6  x  x   x  1  0
А) 2
B) 0
8. Множество решений неравенства
А)

;  2

 
B) 0; 1
C) –1
E) –2
D) 3
3
 3  x  2 имеет вид
3 x
C)
E) 18
 
1; 
D)

2; 

9. Найдите сумму целых решений неравенства x  4  2  3  x
А) –2
B) 0
C) –1
D) 3
10. Найдите наименьшее целое решение неравенства x  3  x  1  x  2
А) 2
B) 3
C) 1
D) 5

E) 3; 0
E) 1
E) 4
11. Длина интервала решений неравенства 5 x  x  6  3  2 x равна
А) 2
B) 3
C) 5
D) 4
E) 1
12. Произведение целых решений неравенства  x  6 x  5  8  2 x равно
А) –4
B) 0
C) –9
D) 9
E) 4
4
13. Наименьшее решение неравенства
2
2
x  x  2  x  x  14  6 принадлежит промежутку


А) 2; 0



 
B) 1; 1
 
 
C) 1; 3
D) 3; 5
E) 5; 7
x 2  16
 6
x
15. Найдите сумму всех целых решений неравенства 8  2 x  5  2 x   0 , удовлетворяющих условию
x 1
14. Найдите число целых решений неравенства
16. Найдите число целых решений неравенства
5
x2  8x  7  9  x  0
17. Найдите сумму всех целых решений неравенства
8

2
x  2 x  15  x 2  4 x 12

3
0
x  2  x  5 1
 2, 5  x  10

19. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств 
2
  x  8   3
18. Найдите число целых решений неравенства
20. Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
3 x
 1.
15  x
21. Найдите все значения х, для которых точки графика функции y 
соответствующих точек графика функции y 
4 x
5x  9
13  4 x
5x  9
лежат не ниже
.
2  x  4x  3
2.
x
23. Найдите длину отрезка, который образуют решения неравенства x  2  3  x  x  1  6  x .
22. Найдите число натуральных решений неравенства
24. Найдите количество целых решений неравенства
25. Найдите сумму всех решений неравенства
7  x2  x  x2  1 .
x2  x  1 
1
 x3.
x2
26. При каком наименьшем положительном х выполняется неравенство x( x  1)  x 
В ответ записать ближайшее к нему целое число.
Ответы «Иррациональные уравнения»
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E B C D A B B E А –12
19
2
20
D
21
7
22
8
11
–¾
12
6
13
–2
14
–10
15
1,75
16
 2;  7 
17
18
1,25 С
23
–3
Ответы «Иррациональные неравенства»
1
B
20
14
2
C
3
C
4
В
5
A
6
E
21

 

 ; 1  1,8; 3

 

7
D
22
2
8
D
23
1
9
А
10 11 12 13 14 15 16
Е С А D 8 7 8
24
5
25
–1
26
3
17
–8
18 19
2 – 19
x 1
 3.
x
Комментарии к задачам
9. Сразу возводить в квадрат и решать уравнение четвертой степени нецелесообразно. Т. к.
4
3
2

x  2 x  x  x2  x

2
, то исходное уравнение можно переписать в виде
замену t  x 2  x и решим уравнение
2
x

2


 11  2 x  x  4 .
2
Сделаем
t 2  11  2t  4 . Возведем в квадрат обе части равенства при
дополнительном условии 2t  4  0 : t 2  11   2t  4  ,
2
t2 
x
t 2  11  4t 2  16t  16 ,
3t 2  16t  5  0 , t1  5 ,
1
1
. t2 
не удовлетворяет дополнительному условию t  2 , следовательно t  5 . x 2  x  5 ,
3
3
x 2  x  5  0 . Т.к. дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня, произведение которых
по теореме Виета равно –5.
14.
По
определению
модуля
получаем
 x  2
 x  2
 
.

 16 x( x  2)  9  4 x  3
 16 x(2  x)  9  4 x  3
 x  2, 4 x  3  0
Решим первую систему:  2
, отсюда получаем
2
16
x

32
x

9

16
x

24
x

9

Решим
вторую
систему:
Следовательно, x 
15.
ОДЗ
3
7
.
4
данной
2y  x  y 1 
 x  2, 4 x  3  0
,
 2
2
16 x  32 x  9  16 x  24 x  9
отсюда
x  0
. Нет решений.

x  2
получаем
7

 x  0 или x  4
.

 x  2, x  3

4
 2 y  x 3  y  1  0

0, 5 y 2  1   x
системы:
x  0, 2 y  x3  0 .
Первое
уравнение
запишем
в
виде
 y  1  0
 y  1
. Домножим второе уравнение системы на 2 и
 2

3
2
3
2 y  x  y  2 y  1  y  1   x
возведем в квадрат:
y  1  4 x .
2
Приравнивая левые и правые чисти равенств, найдем, что  x3  4 x ,
откуда x  0, x  2, x  2 . Последний корень не подходит по ОДЗ. При х=0 y 2  1  0 . Значит x  2 и
 y  1
 y 7 .
 2
 y 1  8
16. x  2  4 x2  17 x  15  2  x . 1) Если x  2  0 , тогда 4 x 2  17 x  15  0 , значит x1 
5
, x2  3 . Число
4
4 x2  17 x  15  2  2  x  и уравнение
3 не удовлетворяет условию x  2  0 . 2) Пусть x  2  0 , тогда
корней не имеет, т.к. его правая часть принимает отрицательные значения.
17. Решая неравенство
x 1
3
x 3
3( x  3)
x 1
 0 , находим ОДЗ уравнения:
x3
 x  1 x  3
при x  3 и 3( x  3)
x 1
 3
x 3
x  1 и x  3 . На ОДЗ имеем
 x  1 x  3
  x  3

  x  3 x  1  3
исходное уравнение равносильно совокупности систем 
  x  1

  x  3 x  1  3
 x  3 x  1 , найдем решения
Используя подстановку t 
при x  1. В результате
 x  3 x  1  28  0
.
 x  3 x  1  28  0
x1  1  53 , x2  1  2 5 .
18. ОДЗ данного уравнения x  1 x  1 . Заметим, что при замене х на –х уравнение не изменяется,
следовательно, достаточно решить уравнение на первом интервале, и
x 1
оставшиеся корни. При
6
 x  1
2
имеем
3
 6  x  1  6 3  x  1 x  1  6  x  1 ;
2
2
x  1  6  x  1 ,
2
6
 x  1
2
3
x 1 
6
в силу симметрии найти
 x  1
 6 3  x  1 x  1  0 ,
2
 x 1
2

6
 x  1
2
,
6
6
 x  1  6 3  x 1  0 ,
;
x  2 . Значит, уравнение имеет корни 2 .
19. ОДЗ данного уравнения x  0 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
 x a
 x a


. С учетом ОДЗ уравнение имеет корень x  16 . Исходное уравнение имеет
256
x 
x


16
0


x
единственное решение, если первое уравнение совокупности не имеет корней на ОДЗ, или он совпадает

с полученным, т.е. при a  ; 0  4 .

20. ОДЗ данного уравнения x  2 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
 x2 20
x  6

. Исходное уравнение имеет единственное решение, если второе уравнение

x

a
x

a

0


совокупности имеет корни, не принадлежащие ОДЗ, или корень совпадает с полученным, т.е. при




a  ; 2  6 . Пересекая с промежутком a  1; 9 , находим такие a  0;1;6 . Их сумма равна 7.
23.
При
всех
действительных
х
справедливы
неравенства
2 x2  4 x  3  2  x  1  1  1 ,
2
3x2  6 x  7  3  x  1  4  2 , 2  2 x  x 2  3   x  1  3 . С учетом этих оценок исходное уравнение
2
2
 2 x2  4 x  3  1


равносильно системе  3x 2  6 x  7  2  x  1 .
2  2 x  x 2  3

23. ОДЗ неравенства 2  x  3 . Оценим на этой области левую и правую часть неравенства. Очевидно,
что
x  2  3  x  0 . А т.к. 1  x 1  2 и 3  6  x  4 , то
x  1  6  x , или
x 1  6  x  0 .
Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2  x  3 заданное неравенство выполняется.
правая часть неравенства отрицательна, неравенство равносильно 7  x 2  0 .
24. Решение. Т. к.
Неравенство имеет 5 целых решений.
25.
Возводя
в
квадрат,
получим
x2  x  1 
1
2
x2
x
2
1

 x  1  2   x  3 ,
 x 
т.е.
 1
 x  x  0
1
1


2
, т.е. для x  1 .
 x    2  x  x  1  2   0 , что возможно лишь когда 
1
x



 x 
2
 x  x  1    0
2
 x 

2
26. Следует учесть, что при x  0 исходное неравенство принимает вид x  x  1  x  x  1  3  0 , а при
x  1 оно записывается в виде x  x  1  x  x  1  3  0 . Далее используем замену t  x  x  1 .
Искомое наименьшее положительное число равно
3.
1  15  2 13
. Ближайшее к нему целое число равно
2