1-1ru (Условия)

Деление отрезка
Часть 1.
Вводка.
Выбрано число , и на отрезке [0,1] отмечаются точки {}, {2}, {3}… {(n-1)}.
Всюду, где прямо не оговорено противное, мы считаем, что  иррационально. Если
же  = p/q, мы считаем, что n < q. Таким образом, каково бы ни было , никакие две точки не
совпадают.
Тем самым отрезок [0,1] разделен на n частей. Далее мы всюду будем считать, что
n>10 и 0,3<{}<0,7. Это ограничение несущественно, мы налагаем его, чтобы исключить
некоторые тривиальные эффекты для малых чисел. Но из него, в частности, следует, что
каждая часть меньше {}.
Заметим еще, что если заменить  на n+ или на n-, то части получаются точно
такие же. Поэтому в задачах, где вопрос ставится о единственности, делается оговорка:
0<<½ .
Содержание задачи – исследовать, какие именно части получаются и как они
расположены.
Задачи.
 Отношение длин самого длинного и самого короткого отрезков мы обозначим
Л = Л(, n).
A1. Пусть  – рациональное число,  = p/q. Докажите, что существует n, для которого
Л (n) = 1.
A2. Для каких еще целых или рациональных k, k>1, можно утверждать, что при
любом рациональном  существует n такое, что Л (n) = k ?
 Далее мы отказываемся от предположения, что  рационально.
B1. Докажите, что каково бы ни было n, среди частей имеется не более трех
различных по длине. (При этом, очевидно, если  иррационально, то разных длин не менее
двух).
 При данном  мы будем называть число n «двойным», если при этом n имеется
только две разных длины отрезков, и «тройным», если их три.
B2. Докажите, что если  иррационально, то существует бесконечно много двойных и
бесконечно много тройных n.
B3. Дано иррациональное число ; n пробегает значения n=1, 2, …, m. Докажите, что
если m  , то доля двойных чисел среди них стремится к нулю.
Пусть φ (m) – количество двойных чисел n среди чисел n=1, 2, …, m. Оцените
скорость, с которой отношение φ (m)/m стремится к нулю при m  .
B4. Каким должно быть , чтобы это отношение стремилось к нулю как можно
медленнее? А – чтобы оно стремилось как можно быстрее?
(Достаточно указать несколько примеров, при условии, что эти примеры будут
убедительными).
B5. Дайте оценку сверху и снизу для количества двойных чисел среди первого
миллиона (желательно, конечно, более или менее точную; оценки «больше трех» не
принимаются).
C1. Существует ли число , для которого Л > 10 для всех n, начиная с n=10?
C2. n = 2.000.000. Может ли случиться так, что на некотором полуотрезке [a, a + ½]
лежит более 1.100.000 точек? (Напомним, что по предположению 0,3 < {} < 0,7).
C3. Существуют ли , для которых Л принимает
(а) бесконечное,
(б) конечное число разных значений, когда n пробегает все значения от 10 до .
Приведите примеры таких  (если они существуют).
C4. Укажите какие-нибудь достаточные условия для того, чтобы Л принимало
конечное (бесконечное) число значений. (Если возможно – найдите необходимое и
достаточное условие; но можно также ограничиться какими-нибудь условиями).
D1. Докажите, что при любом данном иррациональном  существует такое значение,
которое Л принимает более тысячи раз (при различных n).
D2. Логически возможны три альтернативы:
(*) каково бы ни было , существует значение, которое Л принимает бесконечное
число раз,
(**) каково бы ни было , Л принимает любое значение лишь конечное число раз,
(***) для некоторых  верно одно, а для некоторых другое.
Какая из этих альтернатив верна? Если третья, то для каких  верно первое, а для
каких второе?
D3. Допустим, что для некоторого  Л принимает значения А, В хотя бы по одному
разу (при n>10).
Верно ли, что равносильны утверждения: (*) Л принимает значение А конечное число
раз, (**) Л принимает значение В конечное число раз ?
Деление отрезка (часть 2)
В этой части мы в основном рассматриваем задачи, связанные с конкретными
значениями числа .
1 5
 1,618... .
 Обозначим буквой τ золотое сечение:  
2
E1. Предлагается три способа выписать последовательность букв ААВААВАВААВ…
Докажите, что все три способа дают один и тот же результат (более точно утверждение будет
сформулировано ниже).
Способы таковы:
(1) На клетчатой бумаге проведен луч. Он начинается в одном из узлов и проведен
под углом arcсtg τ к горизонтальным линиям сетки.
В начальном узле мы пишем букву А, а затем ставим буквы в точках пересечения луча
с линиями сетки: букву А на пересечении с вертикальной линией, букву В – с
горизонтальной (см. рис.).
(2) Сначала пишется буква А, а затем делается несколько шагов; на каждом шагу
буква А заменяется на ААВ, а буква В – на АВ. Например, после трех шагов мы получим:
сначала ААВ,
затем ААВААВАВ,
на третьем шаге ААВААВАВААВААВАВААВАВ.
Докажите, что каждая из получившихся конечных последовательностей является
началом последовательности из п. (1).
(3) Отрезок [0,1] разделен указанным в начале (во введении) способом, причем  = τ.
Последовательность получается так: для каждого n, которое является двойным
числом, выпишем по порядку длины отрезков, начиная с конца (т.е. от точки 1); длинный
обозначается А, короткий – В.
Докажите, что среди получившихся конечных последовательностей есть бесконечно
много таких, которые являются началом последовательности из п. (1). Таковы эти
последовательности при n1 = 3 < n2 = 8 < …
E2. Последовательность построена по приведенному выше правилу. Пусть в ней
выбрано два куска, по n букв в каждом: от (k+1)–й до (k+n)–й и от (m+1)–й до (m+n)–й
буквы. Доказать, что в этих кусках букв А почти поровну, а именно: их количество может
отличаться не более чем на 1.
E3. Найдите еще какую-нибудь последовательность, которую можно аналогично
построить тремя (или хотя бы двумя) способами.
 В следующем цикле задач мы полагаем, что  = τ .
Р1. Найдите все возможные значения Л (при разных n).
Р2. Какие значения может принимать Л, если n – двойное число?
Р3. Найдите все двойные числа.
Р4. Найдите количество двойных чисел среди первого миллиона, если  = τ.
Достаточно указать ответ с точностью до 10 процентов.
 В следующем цикле задач мы полагаем, что   2  1,4142... .
Т1. Найдите все возможные значения Л (при разных n).
Т2. Какие значения может принимать Л, если n – двойное число?
Т3. Найдите все возможные значения Л еще для какого-нибудь числа (кроме  = τ и
  2 ).
К1. Число  неизвестно. Однако известно, что каково бы ни было n, число Л
принимает только одно из двух значений. При каких  это возможно?
К2. Задача для исследования. Число  неизвестно, однако известно, что при сколь
угодно большом n количество точек на любом отрезке длины ½ отличается от n/2 не более
чем на 10. Что можно сказать о числе ? В частности:
(а) приведите несколько примеров таких чисел,
(б) приведите какой-нибудь достаточный признак, когда это не так: «если  есть то-то
и то-то, то утверждение задачи неверно».
(в) приведите какой-нибудь признак, когда можно утверждать, что количество точек
на любом отрезке длины ½ находится в пределах от an до bn для каких-нибудь чисел a, b (a<
½ < b, и желательно, конечно, чтобы они были поближе к ½ ).
К3. Дано рациональное число  = 113/248, n принимает значения n=1, 2, 3… 246.
Сколько среди этих n встречается двойных чисел, и сколько тройных?
К4. Указать способ, позволяющий для данного рационального ,  = p/q,
p<q<1.000.000 , найти количество двойных и тройных чисел, когда n пробегает значения от 1
до q-1, за разумное время (вручную!)
К5. Дано число Л = Л(100, ).
Как определить, имеется ли для всевозможных n и данного  только конечное, или
бесконечное количество различных Л ?
В частности, исследовать этот вопрос в случае:
(1) Если Л – корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами Л^2+nЛ+m=0
(2) Если Л – корень кубического уравнения с целыми коэффициентами
Л^3+nЛ^2+mЛ+q= 0.
К6. Известно, что число  разлагается в цепную дробь с первыми знаменателями 3, 5,
12 (т.е.  = 1/(1+1/(3+1/(5+1/(12+…))). Найдите все двойные числа между 1 и 100.