Вариант 1 Вариант 2 , если х равен
advertisement
Вариант 1 1. Вычислить 8 2. 3. 4. 5. 6. 16 2 3 х у 0,02 х 3 у 2 , если х равен 23 наибольшему целому числу, заключенному между числами -9,3 и -15, 1, а у – наименьшему простому числу в третьем десятке натуральных чисел. Если товар сначала подорожает на 10%, а затем подешевеет на 10%, то когда его цена будет ниже: до подорожания или после снижения? Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32°. Найдите угол между основанием этого треугольника и высотой треугольника, проведенной из вершины угла при основании. Игра-лотерея проводится следующим образом. Выбирается случайное число от 1 до 1000. Если оно делится на 2, платят рубль; если делится на 10 – 2 рубля; если на 12 – 4 рубля; на 20 – 8 рублей; если оно делится на несколько этих чисел, то платят сумму. Сколько можно выиграть за один раз в такой игре? Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин. В ряд выписано 12 девяток: 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9. Поставьте между ними знаки действий и скобки так, чтобы получилось число 2000. Вариант 2 1. Дан угол 34°. Постройте угол в 5°. 2. Путник шел в гору со скоростью v км/ч, а со горы 2v км/ч. Какова скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке? 3. Существует ли такое натуральное число n, что n+n 2 +n 3 +…+n 9 =(n+1) 10 ? 4. Докажите, что при любом натуральном числе n число 4 n 5 делится на 3. 5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 ч 20 мин? 6. Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3 тыс. рублей за тугрик, и еще берет 7 тыс. рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять? Вариант 3 1. a, b, c- три различные цифры, отличные от нуля. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, получится 176. Найдите эти цифры (укажите все возможные варианты). 2. Из четырех внешне одинаковых монет две весят по 10 г, а две другие – по 9 г. Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, положенных на чашки. Как за одно взвешивание найти хотя бы одну десятиграммовую монету? 3. Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы сумма трех чисел, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков, равнялись бы одному и тому же числу А, а сумма пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу В. Если да, то как? Если нет, то почему? Вариант 4 1. Поезд из А в В шел со скоростью 60 км/ч, а возвращался со скоростью на 20 км/ч меньше. Какова средняя скорость поезда? 2. 12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщины по ½ хлеба, каждый ребенок по ¼ хлеба. Сколько мужчин, женщин и детей, если в переносе участвовали все 12 человек? 3. Велосипедист проехал 7/15 пути и еще 40 км, и ему осталось 0, 75 пути без 118 км. Как велик этот путь? 4. Какой угол образует часовая и минутная стрелки часов в 8 ч 5 мин? 5. Пол в комнате прямоугольной формы размерами 24×15 м нужно покрыть квадратными плитками со стороной 20 см. Сколько потребуется плиток? 6. Играя в рулетку, Джон удвоил количество своих денег, потом потерял 10 долларов, затем он утроил количество своих денег и потерял 12 долларов. После этого у него осталось 60 долларов. С какой суммой он начинал игру? Вариант 5 1.После семи стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилось вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла? 2.Три брата имеют звания: капитан, старшина и сержант. Из тех утверждений: «Алексей – старшина», «Владимир – не старшина», «Семен – не сержант» лишь верно одно. Какое звание имеет каждый из братьев? 3. Кассир выдал 109 руб. двадцатью купюрами двух достоинств: в А руб. и в 3 руб. Сколько было выдано купюр достоинством в А руб.? 4. Докажите, что 1+2+2 2 ... 21989 21990 не делится на 3. 5. Вычислите наиболее рациональным способом: 3 1 1 116 118 5 4 1 5 117 119 117 119 119 7. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета. Вариант 6 1. Найдите все такие простые числа a и b, для которых сумма a b и разность a b также являются простыми числами. 2. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Через 30 мин велосипедисту осталось проехать 3 км до середины пути. Мотоциклист же через 20 мин после начала движения уже отъехал на 2 км от середины пути. Через какое время после начала движения произошла их встреча? 3. Из 8 карточек с написанными на них цифрами от 1 до 8 выложили квадрат и куб одного и того же числа. Какое это число? 4. Три спортсменки участвуют в испытаниях по прыжкам в высоту, каждая прыгает один раз. Пред началом испытания первая сказала второй: «Держу пари, что мой прыжок окажется удачным в том и только том случае, если твой окажется неудачным». Вторая сказала то же самое третьей, а третья – первой. Возможен ли такой исход испытаний, при котором каждая из трех спортсменок выиграет свое пари? 5. Каждая точка плоскости окрашена либо в белый, либо в черный цвет. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1. Вариант 7 1. Двадцать различных фишек расположены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке? 2. Найдите трехзначное число, куб которого оканчивается на 777. 3. В турнире шахматистов участвуют 11 человек. Может ли быть, чтобы в некоторый момент каждый из них сыграл ровно 5 партий? 4. Разложите на множители многочлен х³-7х+6. 5. морская вода содержит 5% соли (по весу). Сколько кг пресной воды нужно добавить к 60 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученной воде составило 4%? Вариант 8 1. Решите уравнение: 2х 2х х 1 0. 2. В трех пакетах было 136 мандаринов. В первом пакете вдвое больше, чем во втором, а в втором – на 8 мандаринов больше, чем в третьем. Каждый мандарин первого пакета стоит 3 руб., а третьего – 5 руб. Сколько стоит каждый мандарин второго пакета, если, смешав все мандарины и, продавая каждый из них по 4 руб., можно получить 8,8% прибыли по отношению к их стоимости? 3. Сравните числа 1999 19991999 и . 2000 20002000 4. Путешественник в первый день прошел 20% всего пути и 2 км. Во второй день – прошел 50% остатка и еще 1 км. В третий день – 25% оставшегося пути и еще 3 км. Остальные 18 км пути он прошел в четвертый день. Какова длина пути, пройденного путешественником? 5. Выясните, для каких n число 7 n 1 делится на 5. Вариант 9 1. Вычислите: 4 3 7 3 57 . 19 27 22 21 4 2 2. Магазин продал одному покупателю 25% имеющегося в куске полотна, второму покупателю – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось непроданным? 3. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число кратное 72. 4. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После чего у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого в начале? 5. Расстояние между поселками – 9 км. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке – 5 км/ч, а на спуске – 6 км/ч. Сколько км составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного поселка до другого и обратно за 3ч11мин? Вариант 10 1. Какой вес должна иметь каждая из гирь для того, чтобы с их помощью можно было бы взвесить любое число килограммов: от 1 кг до 10 кг на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки)? 2. Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 77 вырезанием четырех угловых клеток 11, на уголки вида и ( уголки состоят из квадратиков размера 11) так, чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках. 3. В клетках квадратной таблицы 1010 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S 1 ,S 2 ,…,S 10 - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S 1 ,S 2 ,…,S 10 любые два соседних числа различаются ровно на 1? Вариант 11 1. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы (Л) и правдолюбы (П). Каждый Л, отвечая на вопрос «Сколько ..?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный ответ, а каждый П отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого сколько Л и П проживает на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько Л и П на острове? Кем оказалось первый и второй жители острова? 2. На доске написано число 123456789. У этого числа выбираются две соседние цифры, если ни одна из них не равна нулю, из каждой вычитается по единице, и выбранные цифры меняются местами ( например, 123456789→123436789→…). Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций? 3. Есть 21 карточка с числами: 4 карточки с единицей, 2 с двойкой, 7 карточек с тройкой и 8 – с четверкой. Коля составил из двадцати карточек прямоугольник 4×5. Суммы чисел во всех вертикальных рядах этого прямоугольника равны между собою. Суммы чисел во всех горизонтальных рядах также равны между собою. Какая карточка осталась у Коли? 4. Найдите все трехзначные числа abc , для к5оторых выполняется равенство abc 2(ab bc ac). Вариант 12 1. По кругу расположены 300 точек, в одной из которых сидит блоха. Она начинает прыгать по кругу против часовой стрелки, причем в результате первого прыжка она попадает в соседнюю точку, потом прыгает через одну точку, потом через две и так далее. Докажите, что существует точка, в которую блоха никогда не попадет. 2. Король хочет построить 6 крепостей и соединить любые две из них прямолинейной дорогой. Нарисуйте такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было три перекрестка и на любом из них пересекались две дороги. 3. Пусть а и в – разные двузначные числа, последние цифры которых совпадают. Известно, что неполное частное от деления а на 9 равняется остатку от деления в на 9, а неполное частное от деления в на 9 равняется остатку от деления а на 9. Найдите все такие пары чисел а и в. Ответ обоснуйте. 4. В парке растет 18 дубов с одинаковым количеством желудей. Подул ветер и с дубов посыпались желуди: с одних дубов – ровно половина, с других – ровно треть, а со всех остальных – ни одного желудя. При этом со всех дубов вместе упало ровно 1/9 всех желудей. С какого количества дубов желуди не упали? 5. Сколько раз надо взять слагаемым число 625, чтобы получить число 52003 ? Вариант 13 1. В Бразилии живет очень много диких обезьян. Ежегодно 2 января проводят перепись всех обезьян. В 1999 г. Количество всех обезьян увеличилось по сравнению с 1998 г. Ровно на 5%. В 2000-2003 гг. прирост обезьян каждый год составлял ровно 5%, причем, по данным переписи 2003 г., в стране проживало не более 5000000 обезьян. Сколько диких обезьян жило в Бразилии 2 января 2003 года? 2. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 407? 3. В каждую клетку таблицы 3×3 записали по одному положительному числу. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце рано 1, а произведение чисел в каждом квадрате 2×2 равно 2. Какое число стоит в центре? 4. По дороге шла группа людей. Более 1/3 из них свернули направо и более 30% - налево, а все остальные, которых было больше 4/11, развернулись и пошли в обратном направлении. Докажите, что в этой группе людей было не меньше 173 человек. 5. Из доски 8×8 по клеточкам вырезали 12 прямоугольников 1×2. Всегда ли из оставшейся части можно «по клеточкам» вырезать прямоугольник 1×3? Вариант 14 1. Сто пиратов переносили из корабля на берег сундуки с драгоценностями. Каждый сундук несли семеро пиратов. Капитан считает, что за время работы все пираты заработали поровну, так как каждый принимал участие в переносе 65 сундуков. Докажите, что капитан ошибся. 2. Решите уравнение: ||4|х|-3|-2|=3. 3. Из поселка А в поселок В выехал велосипедист, а через 15 минут вслед за ним выехал автомобиль ( велосипедист и автомобиль двигаются с постоянной скоростью). На середине пути от А до В автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в В, велосипедисту осталось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист преодолеет путь от А в В? 4. Трое учеников , которые посещали занятие математического кружка, на перерыве решили поиграть в «слова». Каждый из них записал 50 разных слов. Затем слова, которые встречались хотя бы у двух учеников, были вычеркнуты. После этого у первого осталось 23 слова, у второго – 32 слова, а у третьего ученика – 26 слов. Когда учитель математики узнал об этом, он сказал детям, что хотя бы одно слово было записано у всех трех учеников. Как учитель сумел сделать такой вывод? Вариант 15 1. Как в выражении 1 2 3 4 97 98 99 * * * * ... * * * , 2 3 4 5 98 99 100 которое содержит 99 дробей, заменить все звездочки знаками арифметических действий таким образом, чтобы значение полученного арифметического выражения равнялось нулю? 2. Петрик выбрал три различные цифры a, b, c(a b, b c, a c) и записал всевозможные различные трехзначные натуральные числа, десятичная запись каждого из которых содержит все три выбранные цифры, но не может начинаться с нуля. Выяснить, что сумма всех записанных чисел равняется 3 376. Определите, какие именно цифры были выбраны, и докажите, что других вариантов нет. 3. Дана горизонтальная клетчатая полоса размером 1×2004. Пусть в любых из пяти крайних слева клеточек расположено две фишки. Два игрока поочередно берут одну из фишек и передвигают ее на несколько клеточек вправо ( прыгать через фишки и ставить фишки в клеточки, в которых уже находится другая фишка, не разрешается). Побежденным считается тот игрок, который не может сделать очередной ход. Докажите, что тот, кто начинает игру, может играть таким образом, чтобы обеспечить себе победу. 4. Можно ли в квадрат со стороной 1 м разрезать на 7 прямоугольников, не обязательно одинаковых, каждый из которых имел бы периметр 2 м? Вариант 16 1. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней? 2. На доске сначала было написано число 1. Каждую минуту к имеющемуся в этот момент числу прибавляют сумму его цифр. Может ли спустя некоторое время на доске появиться число 200 520 052 005? 3. Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось правильное равенство: 1 1 1 * * 2005. 2 6 6015 4. Дядя Скрудж зашел в магазин спортивных товаров за подарками для племянников. Предложив продавцу 20 долларов, он попросил продать ему один футбольный мяч, три баскетбольных и коробку теннисный мячей. Получит ли дядя Скрудж сдачу, если денег на покупку хватило и известно, что один теннисный мяч стоит 33 цента, а один футбольный мяч – столько, сколько стоят три баскетбольных и пять теннисных мячей вместе взятых? 5. Существует ли такие цифры a и b, b a, при ... ... которых разность aa a bb b - простое число? bцифр aцифр Вариант 17 1. Любые четыре из десяти перевешивают любые три из этих гирек. Правильно ли, что любые три из этих же десяти гирек перевешивают любые две из этих гирек? 2. Найдите наименьшую возможную сторону квадрата, в центре которого можно разместить пять одинаковых квадратов со стороной 1 так, чтобы они не имели общих внутренних точек и стороны этих квадратов были параллельны сторонам большего квадрата. 3. Число х таково, что 15% и 35% от него – целые положительные числа. Каково наименьшее число х ( необязательно целое) с таким свойством? 4. За столом сидят несколько мальчиков и пять девочек, а на столе в тарелке лежат 30 булочек. Каждая девочка подала по булочке (с тарелки) каждому знакомому ей мальчику, а затем каждый мальчик подал по булочке (с тарелки) каждой незнакомой ему девочке. После чего оказалось, что все булочки розданы. Сколько было за столом мальчиков? 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы BAC и ABC равны. Известно также, что BC=1, AD=3. Докажите, что длина стороны CD больше 2. 6. Существует ли такие пять различных натуральных чисел, что произведение двух наибольших из них равно сумме всех пяти чисел? Вариант 18 1. В прямоугольной таблице 20×10 (20 строк, 10 столбцов) записаны некоторые числа. В каждой строке выбирается наименьшее число и среди этих чисел (наименьших в каждой строке) выбирается наибольшее. В каждом столбике выбирается наибольшее число и среди этих чисел (наибольших в каждой столбике) выбирается наименьшее. Какое из двух чисел больше? (Если это разные числа.) 2. Решите уравнение в целых числах: х²+у²=74. 3. Мастер один выполняет работу за 7 дней, а с учеником – за 5 дней. За сколько дней выполняет работу ученик самостоятельно? 4. 2004 радиуса разделили окружность на 2004 одинаковых сектора: 1002 синих и 1002 красных. В синие секторы, начиная с некоторого, подряд против движения часовой стрелки записывают числа от 1 до 1002. В красные секторы, начиная с некоторого, записывают эти же числа также подряд, но по часовой стрелке. Доказать, что существует полуокружность, в которой записаны все числа от 1 до 1002. 5. Существует ли такое десятизначное составное число, в записи которого любая из цифр 0, 1, 2…9 встречается ровно один раз и которое остается составным после вычеркивания любой его цифры? Объясните, почему. Вариант 19 1. На конференции используются 5 языков. Каждый участник владеет ровно одним из них, и каждым из этих языков владеет хотя бы один из участников конференции. Какое наименьшее количество переводчиков, каждый из которых владеет ровно тремя языками, надо пригласить, чтобы любые два участника могли найти переводчика, который владеет языками обоих этих участников? Ответ обоснуйте. 2. Внутри квадрата отмечена произвольная точка. Докажите, что этот квадрат можно разрезать на три прямоугольника ( линии разреза не должны содержать отмеченную точку) и из полученных частей составить квадрат ( того же самого размера) таким образом, чтобы отмеченная точка оказалась точно в центре полученного квадрата. 3. Двадцать спортсменов ( назовем из 1-м, 2-м, 3-м …20-м участниками) разыграли в один круг турнир настольного тенниса (друг с другом они сыграли ровно одну партию; ничьих в настольном теннисе, как известно, быть не может). Выяснилось, что 1-й участник победил 2-го, 2-й победил 3-го…, а 20-й победил1-го участника. Докажите, что найдутся хотя бы две разные (по составу) тройки участников, такие что в любой из них все игры участники сыграли «по кругу» (участники А, В и С сыграли «по кругу», если А победил В, В победил С, а С победил А). Вариант 20 1. Можно ли покрасить клетчатый квадрат 2005×2005 в два цвета – черный и белый (каждая единичная клетка красится одним из этих цветов) – таким образом, чтобы каждая черная клетка имела двух белых соседей, а каждая белая клетка – двух черных соседей( соседями считаем клеточки, которые имеют общую сторону)? 2. На телеграфном проводе на расстоянии 1 м один от другого сидели 2к воробья. Потом они взлетели и снова расселись на проводе на расстоянии 1 м друг от друга, но уже в другом порядке. Можно ли разбить воробьев на пары таким образом, чтобы расстояние между воробьями каждой пары после перелета не увеличивалось? 3. Собачка Гав может съесть батон докторской колбасы за 2 минуты, а батон любительской колбасы за 3 минуты. Киска Мяу может съесть батон докторской колбасы за 5 минут, а батон любительской колбасы за 4 минуты. Любой батон колбасы они могут есть одновременно с разных сторон. За какое наименьшее время они вместе могут съесть 2 батона колбасы, одна из которых докторская, а другая – любительская? 4. Пять профессоров присутствуют на лекции. Каждый из них на протяжении лекции дважды засыпает. Для каждых двух профессоров существует момент времени, когда они оба спят. Докажите, что существует момент времени, когда спят по крайней мере трое профессоров.
