Евклидовы пространства 2

308819187
1
Евклидовы пространства 2
Теорема. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно
независима.
Пусть в Еп дана система ненулевых векторов а1,а2,…,ап, причём
(аi, аj) = 0 при i  j
(1)
Если
1а1 + 2а2 +…+пап = 0,
то умножив скалярно обе части этого равенства на вектор аi 1 i п, получим
(1а1 + 2а2 +…+пап , аi) = 1(а1, аi) + 2(а2, аi)+…+п(ап , аi) =
= i(аi, аi)= 0
Так как (аi, аi) > 0, то отсюда следует, что i = 0, что и требовалось доказать.
Процесс ортогонализации
Пусть задана линейно независимая система векторов
а1,а2,…,ап
Построим
ортогональную
систему
(2)
из
линейных
комбинаций
векторов
системы (2).
Положим b1 = а1, то есть первый вектор системы (2) войдёт в создаваемую
ортогональную систему. Далее положим
b 2 = 1 b 1 + а 2
Так как b1 = а1, а векторы а1 и а2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от
нуля при любом числе 1. Подберём это число из условия, что вектор b2 должен
быть ортогонален вектору b1:
0 = (b1, b2) = (b1, 1 b1 + а2) = 1(b1, b1) + (b1, а2)
откуда
1 = – (b1, а2) /(b1, b1)
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b1,b2,…,bl,
причём для всякого i, 1 i l, вектор bi, является линейной комбинацией векторов
308819187
2
а1,а2,…,аi. Это условие будет выполняться и для вектора bl+1, если его выбрать в
виде
bl+1 = 1b1 + 2b2 +…+ibi + аl+1
Вектор bl+1 при этом будет отличен от нуля, так как система (2) линейно
независима, а вектор аl+1 не входит в разложение векторов b1,b2,…,bl по векторам
системы а1,а2,…,аl. Коэффициенты i подберём так, чтобы вектор bl+1 был
ортогонален всем векторам bl, i = 1,2,…,l:
0 = (bi,bl+1) = (bi, 1b1 + 2b2 +…+lbl + аl+1) =
=1(bi,b1) + 2(bi, b2) +…+ i(bi, bl) + (bi, аl+1);
отсюда, так как векторы b1,b2,…,bl ортогональны между собой,
i(bi, bi) + (bi, аl+1) = 0.
то есть
b , a 
 i   i l 1 , i  1,2, , l
bi , bi 
Продолжая этот процесс, получим искомую ортогональную систему
b1,b2,…,bk.
Применяя процесс ортогонализации, к произвольному базису пространства
Еп, получим ортогональную систему из п ненулевых линейно независимых
векторов, то есть ортогональный базис.
Теперь можно сделать вывод: всякое евклидово пространство обладает
ортогональными
базисами,
причем
любой
ненулевой
вектор
этого
пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса.
Назовём вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен
единице
(b, b) = 1
Если а  0, то есть (а,а) > 0, то нормированием вектора а называется переход к
вектору
308819187
3
1
b
a , a 
a
Вектор b будет нормированным, так как

b,b  

2
  1 
 a , a   1
a,
a   
a , a  a , a    a , a 
1
1
Базис е,е2,…,еп евклидова пространства Еп называется ортонормированным,
если он ортогонален, а все его векторы нормированы, то есть
ei , e j   0 при i  j,
Всякое
евклидово
ei , ei   1
i = 1,2,…,n
пространство
обладает
(3)
ортонормированными
базисами.
Для доказательства достаточно взять любой ортогональный базис и
нормировать все его векторы. Базис при этом останется ортогональным, так как
при любых  и  из (a,b) = 0 следует
(a, b) = (a,b) = 0
Теорема. Базис е1,е2,…,еп евклидова пространства Еп тогда и только тогда
будет ортонормированным, если скалярное произведение двух любых векторов
пространства равно сумме произведений соответствующих координат этих
векторов в указанном базисе, то есть из
n
n
a    i ai , b    i bi
i 1
(4)
i 1
следует
n
a , b     i  i
(5)
i 1
Действительно, если для базиса выполняются равенства (3), то
 n
n

 i 1
j 1
 i , j 1
n
a , b      i ei ,   j e j   


n
 i  j ai , b j    i  i
i 1
Обратно, если базис таков, что для любых векторов a и b, записанных в этом
базисе в виде (4), справедливо равенство (5), то, беря в качестве a и b любые два
308819187
4
вектора из этого базиса еi и еj, различные или одинаковые, из равенства (5)
выведем равенство (3).
Сопоставляя
полученный
сейчас
результат
с
изложенным
ранее
доказательством существования п-мерных евклидовых пространств для любого п,
можно высказать следующее утверждение: если в п-мерном линейном
пространстве Vп выбран произвольный базис, то в Vп можно так задать
скалярное
умножение,
что
в
полученном
евклидовом
пространстве
выбранный базис будет одним из ортонормированных базисов.
Изоморфизм евклидовых пространств.
Евклидовы пространства Е и Е называются изоморфными, если между
векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное
соответствие, что выполняются следующие условия:
1) это соответствие является изоморфным соответствием между Е и Е,
рассматриваемыми как линейные пространства;
2) при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными
словами, если образами векторов a и b из Е являются соответственно векторы
a и b из Е, то
(a,b) = (a,b)
(6)
Из условия (1) сразу следует, что изоморфные евклидовы пространства
имеют одну и ту же размерность. Можно доказать обратное утверждение.
Любые евклидовы пространства Е и Е, имеющие одну и ту же
размерность, изоморфны между собой.
Доказательство. Выберем в пространствах Е и Е ортонормированные
базисы
е1,е2,…,еп
(7)
е1,е2,…,еп
(8)
Ставя в соответствие каждому вектору a 
n
  i ei из Е вектор a  
i 1
n
  i ei 
из Е,
i 1
имеющий в базисе (8) те же координаты, что и вектор а в базисе (7), получим,
308819187
5
очевидно, изоморфное соответствие между линейными пространствами Е и Е.
Покажем, что выполняется равенство (6). Если
n
b    i ei , b 
i 1
n
 i ei ,
i 1
то в силу (5)
n
a ,b     i i  a ,b
i 1
Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными.
Поэтому
для
всякого
п
существует
единственное
п-мерное
евклидово
пространство в том смысле, в каком для всякого п существует единственное пмерное действительное линейное пространство.
Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования.
Пусть дано действительное линейное преобразование п неизвестных:
xi 
n
 qik yik
i  1,2, , n
(1)
k 1
матрицу этого преобразования обозначим через Q. Это преобразование переводит
сумму квадратов переменных х1, х2,…, хп, то есть квадратичную форму
х12 + х22 +…+ хп2, являющуюся нормальным видом положительно определённых
квадратичных форм в некоторую квадратичную форму от переменных у1,у2,…,уп.
Эта новая квадратичная форма может оказаться суммой квадратов переменных
у1,у2,…,уп, то есть может иметь место равенство
х12 + х22 +…+ хп2 = у12 + у22 +…+ уп2
(2)
тождественное после замены переменных х1, х2,…, хп
их выражениями (1).
Линейное преобразование (1), обладающее этим свойством, то есть оставляющее
сумму квадратов инвариантной, называется ортогональным преобразованием
переменных, а его матрица Q – ортогональной матрицей.
Применяя закон, по которому преобразуется матрица квадратичной формы
к
данному
случаю
и
учитывая,
что
матрицей
квадратичной
формы,
308819187
6
представляющей собой сумму квадратов всех переменных, является единичная
матрица Е, получим, что равенство (2) равносильно матричному равенству
QТЕ Q = Е
то есть
QТQ = Е
(3)
QТ = Q–1,
(4)
Отсюда
а поэтому справедливо и равенство
Q QТ = Е
(5)
Таким образом, ортогональную матрицу Q можно определить как такую матрицу,
для которой транспонированная матрица QТ равна обратной матрице Q–1. Каждое
из равенств (3) и(5) также может быть принято в качестве определения
ортогональной матрицы.
Так как столбцы матрицы QТявляются строками матрицы Q, то из (5)
вытекает, утверждение: квадратная матрица Q тогда и только тогда будет
ортогональной, если сумма квадратов всех элементов любой её строки равна
единице, а сумма произведений соответственных элементов любых двух её
различных строк равна нулю. Из (3) следует аналогичное утверждение для
столбцов матрицы Q.
Переходя к определителям в равенстве (3), получим равенство Q2 = 1.
Отсюда следует, что определитель ортогональной матрицы равен 1. Таким
образом,
всякое
ортогональное
преобразование
переменных
является
невырожденным. Очевидно, что обратное утверждать нельзя. Отметим, что не
всякая матрица с определителем, равным 1, будет ортогональной.
Матрица,
обратная
к
ортогональной,
сама
будет
ортогональной.
Действительно, переходя в (4) к транспонированным матрицам, получим:
(Q–1) Т = (QТ)Т = Q = (Q–1)–1
С другой стороны, произведение ортогональных матриц само ортогонально.
Действительно, если матрицы Q и R ортогональные, то, используя (4), а также
308819187
7
свойство произведения транспонированных матриц и аналогичное свойство
произведения обратных матриц, получим:
(QR) Т = RТQТ = R–1Q–1 = (Q R)–1
Матрица
перехода
от
ортонормированного
базиса
евклидова
пространства к любому другому его ортонормированному базису является
ортогональной.
Пусть в пространстве Еп заданы два ортонормированных базиса е1,е2,…,еп и
е1,е2,…,еп с матрицей перехода Q = (qij)
е= Qe
Так как базис е ортонормированный, то скалярное произведение любых двух
векторов, в частности, любых двух векторов из базиса е, равно сумме
произведений соответственных координат этих векторов в базисе е. Так как и
базис е ортонормированный, то скалярный квадрат каждого вектора из е равен
единице, а скалярное произведение любых двух разных векторов из е равно
нулю. Отсюда для строк координат векторов базиса е в базисе e, то есть для строк
матрицы Q, вытекают те утверждения, которые, как выведено выше из равенства
(5), характерны для ортогональной матрицы.
Ортогональные преобразования евклидова пространства.
Линейное преобразование  евклидова пространства Еп называется
ортогональным преобразованием этого евклидова пространства, если оно
сохраняет скалярный квадрат каждого вектора, то есть для любого вектора а
(а, а) = (а,а)
Теорема.
Ортогональное
преобразование
(6)

евклидова
пространства
сохраняет скалярное произведение любых двух векторов a,b:
(а, b) = (а, b)
(7)
Доказательство. Ввиду (6)
((а + b) ,(а + b) ) = ((а + b), (а + b)) = (а,а) + (а,b) + (b,а) + (b,b)
С другой стороны,
((а + b),(а + b)) = (а + b,а + b) = (а,а) + (а,b) + (b ,а) + (b ,b),
308819187
8
Отсюда, используя (6) как для а, так и для b, и учитывая коммутативность
скалярного умножения, получаем 2(а,b) = 2(а,b), а поэтому, верно (7).
Теорема.При ортогональном преобразовании евклидова пространства
образы всех векторов любого ортонормированного базиса сами составляют
ортонормированный
базис.
Обратно,
если
линейное
преобразование
евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис
снова в ортонормированный базис, то это преобразование ортогонально.
Доказательство. Пусть  – ортогональное преобразование пространства Еп,
а е1,е2,…,еп – произвольный ортонормированный базис этого пространства. Ввиду


(7) из равенств ei , e j  0 при i  j, ei , ei   1 i = 1,2,…,n вытекают равенства
ei ,ei   1,
то
есть
система


i  1,2, , n; ei , e j   0, i  j ,
векторов
е1,е2,…,еп
оказывается
ортогональной
и
нормированной, а поэтому она будет ортонормированным базисом пространства
Еп.
Обратно, пусть линейное преобразование  линейного пространства Еп
переводит ортонормированный базис е1,е2,…,еп снова в ортонормированный
базис, то есть система векторов е1,е2,…,еп является ортонормированным
базисом пространства Еп. Если a 
n
  i ei –
произвольный вектор пространства
i 1
Еп, то a 
n
  i a, то есть вектор а имеет в базисе е те же координаты, что и
i 1
вектор а в базисе е. Оба эти базиса являются ортонормированными, а поэтому
скалярный квадрат любого вектора равен сумме квадратов его координат в любом
из этих базисов. Таким образом,
n
a , a   a, a    i2 ,
i 1
то есть равенство (6) действительно выполняется.