advertisement
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра гражданского права
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И МАТЕРИАЛЫ ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математика»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры гражданского права,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/В.А. Машкин/
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой гражданского права
__________________ В.А. Машкин
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Контрольные вопросы для экзамена :
Раздел 1 Линейная алгебра
1. Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
3. Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Обратная матрица.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Минор, базисный минор матрицы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Теорема о базисном миноре.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Элементарные преобразования матрицы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
9. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
10.Определители 2-го, 3-го, n-го порядков. Их свойства.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
11.Правило Крамера.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
12.Метод Гаусса.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
13.Теорема Кронекера-Капелли.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
14.Однородная система m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными. Свойства ее решений.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
15.Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных
алгебраических уравнений.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
16.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы
линейных алгебраических уравнений.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
17.Определение
линейного
пространства.
Примеры
линейных
пространств.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
18.Базис и размерность линейного пространства.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
19.Операции над векторами в координатной форме в линейном
пространстве. Преобразование координат вектора при переходе к
новому базису.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
20.Определение линейного оператора.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
21. Матрица линейного оператора в данном базисе.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
22.Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного
оператора.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
23. Матрица и ранг квадратичной формы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
24.Преобразование квадратичных форм при переходе от одного базиса к
другому.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
25.Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому
виду.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
26.Типы квадратичных форм.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
27.Критерий Сильвестра.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 2 Аналитическая геометрия
1. Декартова система координат в пространстве R3. Вывести формулы
деления отрезка в данном отношении.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Общее уравнение плоскости.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Уравнение плоскости в отрезках.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности и
параллельности 2-х плоскостей.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Каноническое уравнение прямой.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Параметрическое уравнение прямой.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Угол между прямыми.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
9. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
10.Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
11.Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1. Функция. Способы задания функций.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Предел функции в бесконечности.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Предел функции в точке x0 Односторонние пределы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Бесконечно малая величина. Свойства бесконечно малых величин.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно малых и
бесконечно больших величин.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Основные теоремы о пределах функций.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
9. 1-ый и 2-ой замечательные пределы.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
10.Непрерывность функции в точке x0 Точки разрыва и их классификация.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
11.Свойства функций непрерывных на отрезке.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
12.Основные формулы и правила дифференцирования.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
13.Производная сложной функции.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
14.Понятие дифференцируемости функции в точке.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
15.Теорема о дифференцируемости функции в точке x0
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
16.Производные высших порядков.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
17.Дифференциал функции в точке x0
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
18.Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа,
Коши).
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
19.Правило Лопиталя.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
20.Формула Тейлора.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
21.Выпуклость функции. Точки перегиба.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
22.Теорема о достаточном условии выпуклости функции.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
23.Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки
перегиба.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
24.Асимптоты графика функции.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
25.Исследование функций и построение графиков.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 4 Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Частные производные.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Понятие дифференцируемости функции 2-х переменных в точке.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Дифференциал функции 2-х переменных.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Производная по направлению.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Градиент функции в точке. Физический смысл градиента.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Экстремумы функции 2-х переменных.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 5 Интегральное исчисление функции одной переменной
1. Неопределенный интеграл и его основные свойства.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Таблица неопределенных интегралов.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Метод интегрирования по частям.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Интегрирование рациональных функций.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Определенный интеграл и его основные свойства.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Формула Ньютона-Лейбница.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Метод замены в определенном интеграле.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
10.Приложения определенного интеграла.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
11.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
12.Интеграл с переменным верхним пределом.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 6 Интегральное исчисление функций многих переменных
1. Определение двойного интеграла
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Геометрический смысл двойного интеграла
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Повторный интеграл
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 7 Дифференциальные уравнения
1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка. Общее и частное
решение. Задача Коши.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Раздел 8 Ряды
1. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2. Необходимый признак сходимости ряда.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
3. Свойства сходящихся рядов.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными
членами.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
7. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
8. Степенной ряд. Область сходимости.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
9. Теорема Абеля.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
10.Свойства степенных рядов.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
11.Разложение функций в степенные ряды.
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
Тесты:
Реализуемые компетенции: ОК-11, ОК-12.
2n  1
равно
n  4n  3
1. Значение lim
а) 0
б) 2
в) ½
г) 1/3
2. Формула второго замечательного предела имеет вид
sin x
а) lim
1
x 0
x
x
 1
б) lim 1    e
x 
 x
в) lim  1  0
n
x
г) lim f ( x)  e
xa
3. Непрерывная функция y  f  x  , график производной которой
изображен на рисунке, возрастает на промежутке
y
-5
1
-3
-2
5
x
а)  5; 3  1;5
б)  5; 2
в)  3;1
г)  2;5
4. Функция y 
3  x2
имеет разрыв в точке
x 9
а) 9
б) -3
в) 3
г) 0
5. Непрерывной на всей числовой прямой является функция
а) y  sin x  x 2
sin x
x2
в) y  ln  x 2  1
б) y 
г) y 
x
x 3
2
6. Производная функции y=xx равна
а) xx-1
б) xxx-1
в) xx(ln x+1)
г) ex
7. dy в точке x=1 для функции y  e x  x равен
а) dx
б) 2dx
в) 1
2
г) e x  x dx
2
8. Вычислив  ln xdx получим следующую функцию
а) x ln x -x + c
б) (ln x)2+c
в) x ln x + c
г) 1+ с
1
9. Несобственный интеграл 
0
dx
равен
x
а) 2
б) 1
в) расходится
г) -1
10. Значение определённого интеграла
равно
а)
б) 1
в)
г) 0
11. Прямая
x  2 y  4 z 1


проходит через точку
3
2
4
а) (1,1,1)
б) (2,4,1)
в) (3,2,4)
г) (0,0,0)
12. Значение определителя  
а) 0
б) 2 sinα cosα
в) 1
г) cos2α-sin2α
cos 
sin 
 sin 
равно
cos 
  
  
13. Матрица перехода от базиса Б  (i , j , k ) к базису Б   (e1 , e2 , e3 ) , где
 
  

e1  i  j e2  j  k и e3  i  k имеет вид
1

а) T   0
1

1

б) T   0
0

1 0

1 1
0 1 
2 1

1 1
1 1
1 0 1


в) T   1 1 0 
0 1 1


1 1 0 


г) T  1 1 0 
1 1 0 





14. Ранг системы векторов a1  (1,2,0,0) , a2  (1,2,3,4) , a3  (3,6,0,0) равен
а) 1
б) 2
в) 3
г) 0
 x1  3x2  2 x3  3x4  1
2 x1  5 x2  4 x3  6 x4  0
15. Число базисных решений системы уравнений 
равно
а)
2
б)
3
в)
4
г)
1
16. Аргумент комплексного числа z  1  i равен
а) 

3

в)
4
б)
г) 0
17. Модуль градиента функции
а) 0
б) 2
в) 2
г) -1
в точке М (1;2) равен
Тема: Интеграл и его применение
1.Функция F называется первообразной для функции f на некотором
промежутке, если для всех x из этого промежутка существует производная
F/(х), равная f(х), т.е. F/(х)=f(х) это…
а) формула Ньютона-Лейбница
б) дифференциал функции
в) первообразная для функции f
г) производная в точке
2. Множество первообразных для данной функции f(х) называется…
а) функцией
б) неопределенным интегралом
в) постоянным множителем
г) частной производной
3. Операция нахождения неопределенного интеграла называется…
а) дифференцированием функции
б) преобразованием функции
в) интегрированием функции
г) нет верного ответа
4. Непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по
частям это…
а) методы нахождения производной
б) методы интегрирования
в) методы решения задачи Коши
г) все ответы верны
5. Производная от неопределенного интеграла равна…
а) подынтегральной функции
б) постоянной интегрирования
в) переменной интегрирования
г) любой функции
6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких
функций равен…
а) произведению интегралов этих функций
б) разности этих функций
в) алгебраической сумме их интегралов
г) интегралу частного этих функций
7. Определенный интеграл вычисляют по формуле…


а)
f(х)dx=F(a)-F(b)



б)
f(х)dx=F(b)-F(a)



в)
f(х)dx=F(a)+F(b)



г)
f(х)dx=F(a)

8. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен…
а) единице
б) бесконечности
в) нулю
г) указанному пределу
9. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования
определенный интеграл…
а) остается прежним
б) меняет знак
в) увеличивается в два раза
г) равен нулю
10. Определенный интеграл используется при вычислении…
а) площадей плоских фигур
б) объемов тел вращения
в) пройденного пути
г) всех перечисленных элементов
11. Формула Ньютона-Лейбница
b
а)
 f (t )dt  F (b)  F (a)
a
b
б)
 f (t )dt  F (a)  F (b)
a
b
в)
 f (t )dt  F (a)  F (b)  ñ
a
b
г)
 f (t )dt  F (b)  F (a)  ñ
a
12. Вычисление пути, пройденного материальной точкой производится по
формуле:
t2
а) S   f (t )dt
t1
б) S   f (t )dt
t1
в) S   f (t )dt
t2
t2
г) S  dt  f (t )
t1
13. Если криволинейная трапеция, ограниченная линией y  f ( x)  0 и
прямыми y=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси х, то объем вращения
вычисляется по формуле
b
а) V    y 2 dx
a
b
б) V    x 2 dx
a
a
в) V    y 2 dx
b
a
г) V    x 2 dx
b
14. Если y  f ( x)( f ( x)  0), то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой линией, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси
абсцисс a ≤ x ≤ b, вычисляется по формуле
b
а) S   f ( x)dx
a
a
б) S   f ( x)dx
b
в) S   f ( x)dx
b
г) S  f ( x)  dx
a
15. Укажите первообразную функции f ( x)  3x 2  sin x
а) F ( x)  x 3  cos x
x2
б) F ( x)   sin x
2
в) F ( x)  x 2  cos x
г) F ( x)  2  cos x
2
16.Определенный интеграл  4 x 3 dx равен
1
а) 36; б)17; в)16; г)15
17.Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=4 – x2, y=0
определяется интегралом
0
2
4
2
2
2
0
0
а)  (4  x 2 )dx ; б)  (4  x 2 )dx ; в)  (4  x 2 )dx ; г)  (4  x 2 )dx
18. В результате подстановки t = 3x + 2 интеграл
а)

dx
t
; б)
1 dt
dt
; в) 3 ; г)

3 t
t


dx
3x  2
приводится к виду
dt
t
3
19.Определенный интеграл  3 x 2 dx равен
2
а)19; б)18 ; в)35; г) 27
20. Множество всех первообразных функции y=5 x 4 имеет вид
а) x 5 ;б) 5 x 5  C ; в) x 5  C ; г) 5 x 3  C
Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Уравнение, связывающее переменную, искомую функцию, ее производную
(или дифференциал аргумента и дифференциал функции) называется
а) Дифференциальным
б) Интегральным
в) Логарифмическим
г) Показательным
2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется функция:
а) y   ( x, C )
б) y   (x)
в) y  Ñ (x)
г) y  C 2 ( x)
3. Частным решением уравнения F ( x, y, y )  0 называется решение:
а) y   ( x, C 0 )
б) y   (x)
в) y  C0 ( x)
г) y  C0 ( x 2 )
4. Если дифференциальное уравнение содержит производную или
дифференциал не выше второго порядка, то оно называется:
а) Дифференциальным уравнением второго порядка
б) Дифференциальным уравнением первого порядка
в) Дифференциальным уравнением третьего порядка
г) Нет верного ответа
5. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка
называется функция:
а)
б)
в)
г)
y   ( x, C1 , C2 ) от х
y   ( x, C1 ) от х
y   ( x, C2 ) от х
y   2 ( x, C1 ) от х
6 . Характеристическое уравнение дифференциального y   5 y   6 y  0 имеет
вид
а) -5k+6=0
б) k2-5k+6=0
в) k+6=0
г) k2-5k=0
7. Метод решения данного уравнения g(y)dy+f(x)dx=0…
а) метод разделения переменных
б) метод с постоянными коэффициентами;
в) метод параметров;
г) метод составления характеристического уравнения
8. Дифференциальное уравнение cos ydx  x 2 dy  0 в результате разделения
переменных сводиться к уравнению
а) cos ydx  x 2 dy б)
dx
dy

2
x
cos 2 y
в)
dx
dy

x cos 2 y
г)
cos ydx
 dy
x2
9.Общим решением дифференциального уравнения называется …
а) интеграл, содержащий произвольную постоянную С
б) интеграл ,содержащий конкретное значение С
в) значение определенного интеграла
г)интегральная линия дифференциального уравнения
10. Степенью дифференциального уравнения называется
а) показатель степени производной искомой функции, с которым эта
производная входит в данное уравнение;
б) наибольшая степень выражения;
в) сумма показателей производных;
г) сумма показателей выражения
11. Частным решением дифференциального уравнения называется …
а) интеграл, содержащий конкретное значение С
б) интеграл, содержащий произвольную постоянную С
в) значение определенного интеграла
г)интегральная линия дифференциального уравнения
12. Для нахождения частного решения дифференциального уравнения,
необходимо …
а) знание начальных условий;
б) знание пределов интегрирования
в) знание методов решения дифференциальных уравнений
г)знание методов интегрирования
13. Дифференциальное уравнение вида Y/+P(x)=Q(X) называется …
а) линейным
б) квадратным
в) параметрическим
г) уравнением с одной переменной
14. Уравнение вида Y//+PY/+QY=F(x) называется …
а) линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
б) параметрическим уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
в) однородным уравнением второго порядка
г) биквадратным уравнением
15. Общий вид решения уравнения Y//+PY/+QY=0 при условии к1, к2 –
действительные корни характеристического уравнения…
а) y=C1ek1x + C2ek2x
б) y=C1ek1x
в) y= C2ek2x
г) y=C1+C2
16. Дифференциальное уравнение
dy
 2dx в результате разделения
y 3
переменных сводиться к уравнению
а) ydx  x 2 dy
б)
dx dy

y
x2
в)
dy
 2dx
y 3
г)
dy
2
dx
17. Характеристическое уравнение дифференциального y   6 y   13 y  0 имеет
вид
а) k2-6k+13=0
б) k2-6k=0
в) k2+13=0
г) 6k+13=0
18. Уравнение вида y   py   qy  0 является …
а) неоднородным
б) однородным
в) параметрическим
г) уравнением с одной переменной
19. Дифференциальные уравнения второго порядка решаются методом
а) однократного интегрирования
б) двукратным интегрированием
в) однократным дифференцированием
г) двукратным дифференцированием
1
4
20. Характеристическое уравнение дифференциального y   y   y  0 имеет
вид
1
4
1
б) k 2   0
4
1
в) k 2  k   0
4
2
г) k  k  0
а)  k   0
Скачать