III. Электричество и магнетизм 1 _____________________________________________________________________________

1
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
Тема 5.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОННОГО ТОКА
1.5. Магнитное взаимодействие проводников с током. Магнитное поле.
Возможное существование тесной связи между электрическими и
магнитными явлениями предполагали уже самые первые исследователи,
пораженные аналогией электрических и магнитных явлений притяжения и
отталкивания. Гильберт даже попытался доказать, что в данном случае мы
имеем дело с совершенно разными явлениями.
Законы Кулона, формально одинаковые для электрических и магнитных
явлений вновь выдвинули эту проблему.
После изобретения гальванического элемента (источника постоянного
тока) попытки обнаружить связь между электрическими и магнитными
явлениями стали более частыми и более интенсивными.
21 июля 1820 года Эрстед издал и разослал специалистам небольшую
статью (всего 4 страницы) в которой он описал фундаментальный опыт по
электромагнетизму – электрический ток, идущий по проводнику, действует на
магнитную стрелку.
Открытие Эрстеда имело для науки чрезвычайно важное значение и не
только потому, что оно доказывало связь электрических и магнитных явлений.
Из опыта Эрстеда вытекало, что в природе существуют силы, направленные не
по прямой соединяющей взаимодействующие тела, а по нормали к этой
прямой.
Исключительность открытия сделанного Эрстедом привлекла к нему
большое внимание, как экспериментаторов, так и теоретиков.
Взаимодействие проводников с током было открыто практически
одновременно с действием
электрического
тока
на
магнитную стрелку в 1820
году
и
было
подробно
исследовано
Ампером
на
опыте.
В
результате
было
установлено, что токи одного
направления притягиваются,
разного
направления
отталкиваются (рис. 37). Если
по одному из проводников ток
протекает
в
двух
Рис. 37. Взаимодействие проводников с током.
направлениях,
то
он
магнитного действия не оказывает и обратно, такой проводник не испытывает
магнитного действия со стороны других проводников с током. Магнитное
взаимодействие не наблюдается и в том случае, если одну часть проводника
обвить (произвольным образом) вокруг другой его части.
В опытах Ампера было, прежде всего, установлено, что сила
взаимодействия двух проводников с током пропорциональна силе тока в
2
Лекция 6. Магнитное поле постоянного тока
_____________________________________________________________________________
каждом из них. Из результатов опыта вытекает, что, элементы проводника
d 1 , d 2 , d 3 совместно производят такое магнитное действие как и один
элемент d 4 , замыкающий эти отрезки.
Следовательно, магнитное действие тока зависит от

d1
произведения I  d , где d вектор, имеющий длину d и

направленный вдоль тока. Это произведение называют
d4

элементом тока.
d2
Понятие элемента тока играет в учение о

магнетизме ту же роль, что и точечный заряд в
d3
электростатике. Закон взаимодействия элементов тока
(по аналогии с законом Кулона) можно записать в виде
Рис. 38. Элемент тока.
I d I d
Fk 1 1 22 2 ,
5.1
r
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы
единиц. В международной системе этот коэффициент принимается равным
1
.
k
4
Для объяснения взаимодействия проводников с током было введено
понятие магнитного поля (по аналогии с электрическим полем). Основное
свойство магнитного поля – возникает вокруг проводника с током и
обнаруживается по действию на проводник с током или магнитную стрелку.
2.5. Напряженность и индукция магнитного поля.
Для количественной характеристики магнитного поля служит величина,
получившая название напряженности магнитного поля H, которую мы
определим по аналогии с напряженностью
электрического поля. Если выражение 5.1
I
разделить на I 2d 2 , то получим
dH
I1d 1
.
r2
Эта величина
элемента тока I1d
dH  k
r
5.2
1
зависит лишь от
и положения той
точки, где находится элемент тока I 2d 2 и
поэтому характеризует магнитное поле
тока I1 в данной точке. Направление
Рис. 39. К определению напряженности
вектора dH перпендикулярно плоскости
магнитного поля тока.
d иr
содержащей
вектора
и
определяется с помощью правила правого винта.
Если направление поступательного перемещения правого винта
совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения
головки винта дает направление вектора напряженности магнитного поля
в данной точке (рис. 40).
d
3
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
Магнитное поле, так же как и электрическое можно изображать с
помощью линий напряженности магнитного поля.
Непрерывная линия, касательная к
которой в каждой точке совпадает с
вектором напряженности магнитного
поля, называется линией напряженности
магнитного поля.
В отличие от силовых линий
электрического поля линии напряженности
магнитного поля не имеют ни начала, ни
конца.
Они
либо
замкнуты,
либо
Рис. 40. Правило правого винта.
начинаются в бесконечности и уходят в
бесконечность. Замкнутость линий напряженности говорит о том, что
магнитных зарядов (подобных электрическим зарядам) в природе не
существует.
Напряженность магнитного поля H характеризует магнитное поле
создаваемое макроскопическими токами и поэтому определяется их
величинами, конфигурацией в пространстве и не зависит от свойств среды
(аналог электрического смещения D в электростатике). Рассматривая
электрическое поле мы вводили напряженность электрического поля E ,
которая зависит от свойств среды и связана с электрическим смещением
выражением D  0 E . По аналогии для магнитного поля можно ввести
величину B - вектор индукции магнитного поля, который связан с
напряженностью магнитного поля H соотношением
B  0H ,
5.3
Гн
где 0  4  107
- магнитная постоянная,  - магнитная проницаемость
м
среды.
3.5. Закон Био – Савара - Лапласа для элемента тока. Расчет
магнитных полей.
В том же 1820 году магнитное поле постоянных токов изучалось на опыте
Био и Саваром. Результаты опытов были математически обработаны Лапласом
и поэтому, закон получил название закона Био-Савара-Лапласа.
Для элемента тока они получили формулу
Id
dH 
sin  ,
5.4
4r 2
где r – расстояние от элемента тока до рассматриваемой точки,  - угол между
направлением тока и направлением на рассматриваемую точку. Чтобы найти
результирующий вектор напряженности, создаваемый проводником с током
конечной длины, надо на основании принципа суперпозиции полей,
просуммировать все элементарные напряженности, т.е.
4
Лекция 6. Магнитное поле постоянного тока
_____________________________________________________________________________
N
H   dH i .
i 1
В общем случае этот расчет довольно сложен, но если проводник имеет
симметрию, то расчет значительно упрощается. Рассмотрим некоторые
примеры.
1) Магнитное поле прямого тока. Определим напряженность магнитного
поля создаваемого прямолинейным проводником с током в точке А. Из рисунка
41 видно, что d  sin   r  d и R  r  sin  .
Подставляя эти значения в закон Био-СавараI
Лапласа 5.4, получим:
dH
I
dH 
sin   d .
4R
R
Интегрируя полученное выражение, для
напряженности магнитного поля прямого

d
проводника
конечной
длины
получим
r
выражение:
I
d
5.5
H
 cos 1  cos 2  .
4R
Для бесконечно длинного проводника
Рис. 41. К расчету напряженности
1  0,  2  180 и тогда
магнитного поля прямого тока.
I
.
5.6
H
2R
2) Магнитное поле кругового тока. Определим напряженность
магнитного поля в центре кругового тока. В этом случае все элементы
проводника перпендикулярны к радиус-вектору и поэтому sin   1 , тогда
1 d
. Все элементы тока создают напряженность поля одного
dH 
4 r 2
направления и поэтому, полная напряженность в центре кругового тока будет
определяться по формуле:
I d
I
,
5.7
H  2 
4 r
2R
где R – радиус кругового тока.
Определим напряженность магнитного поля в точке С, лежащей на оси
кругового тока, на расстоянии b от его
центра
(рис.
42).
Вектор
dH
Y
перпендикулярен плоскости, проходящей
dH
dH Y
через векторы r и d . Следовательно,
r
они образуют симметричный конический
R

X
dH на
веер.
Разложив
вектор
С dH
b
составляющие dH X и dH Y , получим, что
Х
 dHY  0 , а H  dHX . Учитывая,
Рис. 42. Магнитное поле кругового тока.
dH X  dH  sin  будем иметь
5
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
I Rd
I 2R 2 I  R 2
.
H   dH  sin    3 

4 r
4 r 3
2r 3
Заменив r  R 2  b 2 , окончательно получим
I
R2
H
.
3
2 2
2 2
R  b 
5.8
4.5. Циркуляция вектора H . Магнитное поле соленоида и тороида.
Для магнитного поля, по аналогии с электрическим, можно ввести
величину называемую циркуляцией вектора напряженности H по
произвольному контуру. Ранее мы
показали,
что для электрического поля
 
R d
 Е  d   0 . Найдем значение интеграла


I
 
H
 d
Н
  d  для магнитного поля созданного

бесконечным проводником с током I.
Выберем контур в виде окружности
Рис. 43. К расчету циркуляции вектора радиуса R, центр которой совпадает с
напряженности магнитного поля.
проводником. В этом случае по 5.6
I
, а d  R  d и тогда
H
2R
 
I
I
5.9
 H  d    2  d  2  d  I .



N
Если воспользоваться принципом суперпозиции полей H   Hi , то можно
i 1
показать, что в случае, когда контур охватывает не один, а несколько токов, то
N
  N 
5.10
Н

d


H

d


Ii .



 i

i1 
i1
Циркуляция вектора H по произвольному
контуру равна алгебраической сумме токов,
охватываемых этим контуром.
Знак тока определяется правилом правого винта,
вращающегося в направлении обхода контура. Если
направление тока совпадает с направлением
поступательного перемещения правого винта, то ток
I3
считается положительным, в противном случае –
Рис. 44. К определению
отрицательным. Для системы токов изображенных на
знака тока.
рисунке (обход по часовой стрелке)  Ii  I3  I1  I 2 .
 
Если контур токов не охватывает, то  Н  d   0 , так как в этом случае
I1
I2

верхний и нижний предел интегрирования в выражении 5.9 совпадают.
Лекция 6. Магнитное поле постоянного тока
_____________________________________________________________________________
6
H
а
d
b
I
       

c
Рис. 45. К расчету напряженности
магнитного поля соленоида.
Воспользуемся
полученным
результатом
для
определения
напряженности магнитного поля соленоида.
В этом случае, как показывает опыт, поле
сосредоточено внутри катушки, а за ее
пределами поля практически нет. Выберем
прямоугольный контур abcd, со стороной ,
который охватывает N витков
  катушки.
Тогда, по 5.10 будем иметь  Н  d   N  I , но

 
с другой стороны  Н  d   H   , и, следовательно,

H
где n 
N
NI
 nI ,
5.11
- число витков на единицу длины катушки.
Важное значение для практики имеет
магнитное поле тороида – кольцевой катушки,
витки которой намотаны на сердечник имеющий
форму тора (рис. 46). Магнитное поле
сосредоточено внутри тороида, вне его - поле
практически
отсутствует.
Для
расчета
напряженности
магнитного
поля
тороида
используется выражение 5.11, только берется
длина средней линии.
5.3. Поток вектора магнитной индукции.
Рис. 46. Тороид.
Теорема Гаусса для вектора B .
Пусть площадку dS пронизывает магнитное
поле с индукцией В, так что направление вектора B образует угол  с
направлением нормали к площадке.
Потоком
вектора
магнитной
индукции (магнитным потоком) через
площадку dS называется величина
d  B  dS  cos  .
5.12
Поток
вектора
величина
B
скалярная, знак потока определяется
направлением положительной нормали к
контуру. Как правило, поток вектора B
связывают с контуром, по которому течет
Рис. 47. К введению понятия
ток. В этом случае направление
магнитного потока.
положительной нормали к контуру
связывают с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток,
7
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________
создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим,
всегда положителен (рис. 47). Поток вектора магнитной индукции через
произвольную поверхность S определяется по формуле
   Bn  dS .
5.13
S
Теорема Гаусса для поля вектора B - поток вектора магнитной
индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю, т.е.
   B  dS  0 .
5.14
S
Это связано с тем, что линии магнитной индукции замкнуты и поэтому число
линий входящих в поверхность с одной стороны, равно числу линий
выходящих с другой стороны.
6.5. Силы Ампера и Лоренца.
Ампер на опыте установил, что на проводник с током в магнитном поле
действует сила
F  I  B ,
5.15
Рис. 48. Правило «левой руки».
а ее модуль
ее модуль определяется по формуле:
F  I  B   sin  ,
а направление, по правилу правого винта или
правилу «левой руки» (рис. 48).
Возникновение этой силы связано с тем, что
магнитное поле действует на заряженные
частицы, движущиеся в проводнике с некоторой
скоростью v . Сила, действующая на заряд в этом
случае,
называется
силой
Лоренца
и
определяется по формуле:
F  q  vB  ,
5.16
F  q  v  B  sin  ,
где  - угол между направлениями скорости
частицы и вектора магнитной индукции (рис. 49).
Отметим, что магнитное поле не действует на
покоящийся заряд и в этом состоит существенное
отличие магнитного поля от электрического поля.
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости
частицы (ее перемещению) и поэтому работы не
совершает,
а,
следовательно,
не
изменяет
Рис. 49. Сила Лоренца.
кинетической энергии частицы.
Выражение для силы Лоренца 5.16 позволяет определить характер
движения заряженной частицы в магнитном поле. При   90 частица
mv
движется по окружности радиуса R 
(рис. 50). Если угол  удовлетворяет
qB
8
Лекция 6. Магнитное поле постоянного тока
_____________________________________________________________________________
условию 0    90 , то частица движется по
спирали с радиусом R и шагом h (рис. 51).
Если скорость частицы v составляет угол
 с вектором магнитной индукции B
неоднородного магнитного поля, индукция
которого возрастает в направлении движения
частицы, то R и h уменьшаются. На этом
основано явление фокусировки заряженных
частиц в магнитном поле.
Рис. 50. Движение заряженной
Аналогичное явление происходит в
частицы по окружности.
магнитном поле Земли, которое является
защитой всего живого от потоков заряженных частиц из космического
простраства. Быстрые заряженные частицы
из космоса (так называемый солнечный
ветер) захватываются магнитным полем
Земли и образуют так называемые
радиационные пояса.
В них частицы
перемещаются
туда
и
обратно
по
спиралеобразным
траекториям
между
северным и южным магнитными полюсами.
Лишь в полярных областях некоторая часть
Рис. 51. Движение частицы по спирали. частиц попадает в верхние слои атмосферы,
вызывая поляные сияния (рис.52).
Рис. 52. Радиационные пояса Земли.
7.5. Контур с током в магнитном поле.
Рассмотрим контур с током, находящийся в однородном магнитном поле.
Выделим элемент контура d . На
него в магнитном поле будет
p
B

действовать сила, согласно 5.15,
F
dF  I d  B .
равная
a
d
I
b
Рис. 53.

F
Контур с током в магнитном поле
.
Результирующая сила, действующая
на
контур,
будет
равна
геометрической
сумме
сил,
действующих
на
отдельные
элементы контура, т.е.
9
III. Электричество и магнетизм
_____________________________________________________________________________


 


F   I  d   B I  B d   0 .

5.17

Следовательно, в однородном магнитном поле результирующая сила,
действующая на контур с током, будет равна нулю, и контур перемещаться не
будет.
Для простоты рассуждений возьмем прямоугольный контур со сторонами
«а» и «b». В магнитном поле на него будет действовать вращающий момент
пары сил F и поэтому, контур будет вращаться. Вращающий момент пары сил
M  F  b , но F  I  B  a  sin  , и, следовательно, M  a  b  I  B  sin  . Так как
a  b  S - площадь контура, то M  I  B  S  sin  . Введем вектор p  I  S
называемый вектором магнитного момента контура. Его направление
совпадает с направлением положительной нормали к контуру, которая
определяется с помощью правила правого винта. Тогда для вращающего
момента, действующего на контур с током в магнитном поле, получим
выражение:
M  pBsin    pB .
5.18
Очевидно, что M  0 при sin   0 , т.е. контур с током в магнитном поле
ориентируется так, чтобы его вектор магнитного момента был параллелен
вектору магнитной индукции.
Рассмотрим контур, находящийся в неоднородном поле. Работа,
совершаемая при повороте контура на угол d , определяется по формуле
dA  M  d . С учетом 5.18 получим:
dA  p  B  sin   d .
Полная работа
A   dA   p  B  sin   d   pBcos  .
5.19
Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле будет
определяться этим же выражением.
dW
Ранее мы показали, что FX  
и, следовательно, на контур с током в
dx
неоднородном магнитном поле будет действовать сила
dB
5.20
FX  p 
 cos  .
dx
При   90 , FX  0 , контур втягивается в поле, при   90, FX  0 , контур
выталкивается из поля.
8.5. Работа по перемещению проводника и контура с током в
магнитном поле.
На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Если при
этом проводник не закреплен, то он будет перемещаться в магнитном поле.
Следовательно, магнитное поле будет совершать работу.
10
Лекция 6. Магнитное поле постоянного тока
_____________________________________________________________________________
Рассмотрим проводник длиной , с
током I, способный свободно перемещаться
B

F
в магнитном поле с индукцией B ,
I
направленной
перпендикулярно


проводнику. В этом случае на проводник
будет действовать сила Ампера F  B  I  и
dx
при
перемещении
проводника
на
Рис. 54. К определению работы по расстояние dx , будет совершена работа
но
перемещению проводника с током dA  I  B   dx ,
в магнитном поле
и
тогда
 dx  dS, a B  dS  d
dA  I  d . Интегрируя данное выражение, получим, что работа по
перемещению проводника с током в магнитном поле будет определяться
выражением
5.21
A  I   ,
где  - магнитный поток, пересеченный проводником.
Найдем работу по перемещению
dx
замкнутого контура с током в
a

магнитном поле. Пусть контур,
B
двигаясь
в
плоскости
чертежа,
совершает
бесконечно
малое
c
d
перемещение dx из состояния I в
1
2
I
состояние II. Разобьем контур на два
проводника, соединенных своими
0
концами (adb, bca). Полная работа dA

по перемещению контура будет равна
II
I b
dA1 и dA 2
сумме
работ
по
Рис. 55. Расчету работы по перемещению
контура с током в магнитном поле.
перемещению
каждого
из
проводников. По формуле 5.21
dA1  I1   0   0 , а dA 2  I 0   2   0 и тогда
dA  I 2  1   I   ,
5.22
т.е. работа по перемещению контура с током в магнитном поле равна
произведению силы тока на изменение магнитного потока, пронизывающего
этот контур. Формула 5.22 остается справедливой и при произвольном
перемещении контура.