Задачи и вопросы по теории вероятностей для закрепления

Задачи и вопросы по теории вероятностей для
закрепления пройденного материала. Уровень 1.
Предлагаем задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны
ответы.
1. Вычислить:
а) 5!; ,б)
6!
; в) 3! 4!; г) C42 ; д) C74
4!
Отв. а) 120; ,б) 30; в) 30; г) 6; д) 35.
2. Вычислить:
а)
6!
7
10
A
  С 57  С 37  ; б)
P k 1
 k  n ! Ank11
Отв. а) 1/15; б) k(k+1), если k не меньше n.
3. Найти n, если:
а) C nn14  C nn3  15   n  2 ; б)
1
C
n
4

1
C
n
5

1
C
n
6
; в) 5C 3n  C n42 ;
4
143
n
n 1
г)  n  2!  132 Akn P nk ; д) C nn13  5C 32n  19n 2  6 ; е) C n 4 
; ж) 8C105
 3C105
 n  2 !
4P n
Отв. а) 27; б) 2; в) 3; 14; г) 10, если k не больше 10; д) 3; е) 0; 1; 2; ж) 0; 1; 2; …;
27.
4. Сколькими способами можно рассадить 6 человек относительно друг друга
за круглым столом?
Отв. Р5 = 5! = 120, один сел где угодно.
5. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг, чтобы
определенные 2 книги стояли: а) рядом? б) не рядом?
Отв. а) Есть 4 позиции для пары книг в одном порядке относительно друг друга
и 4 – в другом, а для остальных книг 3! способов размещения. Всего 4∙2∙3! = 48.
б) Число всех возможных перестановок равно Р5 = 5! = 120, значит искомое
число 120 – 48 = 72.
6. Сколько различных перестановок можно образовать из букв следующих
слов: а) кобра, б) ворон, в) колобок?
Отв. а) все буквы разные, значит 5! = 120; б) для трех разных букв А53 = 5∙4∙3 =
60, а две буквы О становятся на оставшиеся места; в) буквы Л и Б ставим А72 =
7∙6 = 42 способами, три буквы О С53 = 10 способами, значит всего 42∙10 =420.
7. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4 при
условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
Отв. А42 = 4∙3 =12.
8. В восьмом классе изучается 16 предметов. Сколькими способами можно
составить расписание в субботу, если в этот день должно быть 6 уроков?
Отв. А166 =16∙15∙14∙13∙12∙11.
9. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10
участниками соревнования?
Отв. А103 = 720.
10. Сколькими способами можно составить расписание занятий на среду, если в
этот день должно быть 5 уроков: по алгебре, геометрии, истории, географии и
литературе, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно
друг за другом?
Отв. Если алгебра стоит 1-м или 5-м уроком, то для геометрии возможны 3
варианта, а для остальных предметов 3! вариантов. Если алгебра стоит 2-м, 3-м
или 4-м уроком, то для геометрии возможны 2 варианта, а для остальных
предметов 3! вариантов. Всего 2*3*3! + 3∙2∙3! = 72.
11. На конференции должны выступить докладчики А,В,С и Д, причем В не
может выступать раньше А. Сколькими способами можно установить
очередность выступлений?
Отв. А42 = 4∙3 = 12 способов расположить 2 элемента на 4-х позициях в
определенном порядке.
12. На семь сотрудников выделены три путевки. Сколькими способами их
можно распределить, если: а) все путевки различны, б) все путевки одинаковы?
Отв. а) поскольку путевки разные, то рассматриваются упорядоченные
подмножества А73 = 7∙ 6∙ 5 = 210.
б) все путевки одинаковые, значит порядок выдачи не важен: С73= 35.
13. Сколькими способами 12 одинаковых монет можно разложить по 5
различным кошелькам так, чтобы ни один кошелек не остался пустым?
Отв. Задача о размещении 7 монет в 5 кошельков. С7+5-17 = С117 = 330.
14. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить
одного сержанта и трех солдат для патрулирования?
Отв. С31∙С303 = 4060∙3 = 12180.
15. В чемпионате страны по хоккею ( высшая лига ) участвуют 12 команд,
причем каждые 2 команды встречаются между собой 4 раза. Сколько матчей
играется в течение сезона?
Отв. В каждом круге С122 = 66, значит всего 284 матча.
16. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 6 членов, можно
образовать из 12 преподавателей?
Отв. С126 = 924.
17. Сколькими способами можно распределить 15 видов товаров по трем
магазинам, если в один магазин надо доставить 8, в другой – 4, а в третий – 3
вида товаров?
Отв. С158∙С74∙С33.
18. Сколькими способами можно распределить 17 выпускников по трем
районам, если в одном из них имеется 9, в другом- 6 и в третьем- 2 вакантных
места?
Отв. С179∙С86∙С22.
19. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между
четырьмя детьми?
Отв. 46 = 4096.
20. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется
4 сорта пирожных?
Отв. С6+4-16 = С96 = 84.
21. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4?
Отв. 42 = 16.
22.Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 3, 4, 6, 9;
б) 0, 2, 8?
Отв. а) 45=1024, б) 35-34=162
23. Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 8 ламп.
Сколько существует различных способов освещения зала?
Отв. 28.