Расстояние между прямыми в пространстве. Определение.

Расстояние между прямыми в пространстве.
Определение.
Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми в пространстве называется
длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться
одним из приведенных ниже способов:
1. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с
концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину.
2. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда
искомое расстояние будет равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой
до построенной плоскости.
3. Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные
скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.
4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на
этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой.
Призмы.
Устно
1.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми AB и CD1
D'
C'
A'
B'
Возможное решение: так как плоскость CDD1 ,
содержащая CD1 , параллельна AB , то расстояние
между прямыми AB и CD1 равно AD  1 .
D
C
A
B
2. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми AB и B1 D1
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны
AB и C1 D1 Ответ: 2
2 , найдите расстояние между прямыми
4. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны
AB и CB1
2 , найдите расстояние между прямыми
D'
Ответ:1
C'
A'
B'
D
C
A
B
Работа в тетради
1. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и CB1
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Решение.
D1
C1
A1
B1
H
P
D
A
C
O
B
Плоскость A1 DB , содержащая A1 B , параллельна B1C . Поэтому из любой точки прямой
B1C опускаем перпендикуляр на плоскость A1 DB , находим расстояние HP .
1. A1 DB - равносторонний треугольник со стороной
2.
6
1
6
 PO  A1O 
3
6
2
2
2. OH 
2
A1O 
3
1 1
2
3
3. PHO - прямоугольный: PH 
. Ответ: 3
 

2 6
6
3
2. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AC
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
Решение.
D'
C'
A'
B'
Плоскость AD1C , содержащая прямую
AC , параллельна A1 B .
Продолжите построение: от любой точки
прямой A1 B построить перпендикуляр на
плоскость AD1C и найти его.
Докажите, что ответ:
D
C
A
3
.
3
B
3. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AD1
Проведите решение самостоятельно и
D'
C'
3
докажите, что ответ:
.
3
A'
B'
D
C
A
B
4.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми CC1 и AB .
C1
B1
A1
C
B
A
Покажите, что ответ:
3
2
5. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми CB1 и AB .
C1
B1
A1
C
B
A
Решение.
C1
B1
M1
A1
H
C
B
M
A
Плоскость CA1 B1 , содержащая прямую CB1 , параллельна прямой AB . Значит, искомое
расстояние между прямыми CB1 и AB равно расстоянию между прямой AB и плоскостью
CA1 B1 . Точка M - середина AB . MH  A1CB1 . MH - искомое расстояние.
21
7
6.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BC и EE1
Вычисления проведите самостоятельно. Ответ:
E1
Ответ:
D1
3
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
A
B
7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BB1 и C1 D1
E1
D1
Ответ:
C1
3
2
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BB1 и C1 D
E1
D1
Ответ:
C1
3
2
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
9. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BB1 и CE1
E1
D1
C1
F1
A1
E
B1
D
C
F
A
Решение.
B
E1
BC  EC
Ответ: 1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
C
F
B
A
10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BB1 и DF1
Ответ: 1,5
E
D
1
1
C1
F1
A1
E
B1
D
C
F
B
A
Домашнее задание.
1.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AC1
D'
C'
A'
Ответ:
6
6
B'
D
C
A
B
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1,
3
2
3.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и B1 D1
найдите расстояние между прямыми BB1 и AD1 .Ответ:
3
3
Пирамиды.
Устно
Ответ:
1. В ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны
DB1
D'
2 , найдите расстояние между прямыми AB и
C'
A'
B'
D
C
A
B
Решение.
D'
C'
A'
Ответ: 1
B'
D
C
A
B
2.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми AB и B1C1
Ответ: 1
C1
B1
A1
C
B
A
3.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
3 , найдите расстояние между прямыми BC и EF
Ответ: 3
S
D
E
C
F
B
A
Работа в тетради
1.В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC
D
E
C
A
H
B
Решение.
Точка H - середина ребра BC . Плоскость ADH  BC  EH  BC .
ADH - равнобедренный с основанием AD . Так как точка E - середина AD , то
HE  AD .
HE - общий перпендикуляр к AD и BC .
3
2
2
1
 HE 
AE  , AH 
.Ответ:
2
2
2
2
2.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми SB и AC .
S
D
C
A
Решение.
B
Объясните, почему OH - искомое
расстояние и найдите его.
Ответ: 0,5
S
D
C
H
O
A
B
3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми SB и AD .
S
D
C
A
B
Решение.
Почему MH - искомое расстояние?
Вычислите его самостоятельно.
6
Ответ:
3
S
D
H
M
C
N
A
B
4.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF .
S
D
E
C
F
A
Решение.
B
Прокомментируйте чертеж и вычислите
расстояние.
3
Ответ:
2
S
D
E
C
O
F
H
A
B
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AC .
S
Решение.
Решите самостоятельно
3
Ответ:
4
D
E
C
F
A
B
Домашнее задание.
1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и DF .
S
3 3
Ответ:
4
D
E
C
F
A
B
2.В пирамиде DABC известны длины ребер: AB  AC  DB  DC  10 , BC  DA  12 .
Найдите расстояние между прямыми DA и BC .Ответ: 2 7
3.В тетраэдре ABCD известно, что AC  BD  14, BC  AD  13, AB  CD  15 . Найдите
расстояние между прямыми AC и BD .Ответ: 3 11
4.Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 8 3 , высота
пирамиды DO  6 . Точки A1 ,C1 - середины ребер AD и CD соответственно. Найдите
расстояние между прямыми BA1 и AC1 Ответ:
Самостоятельная работа
Вариант 1
36 259
259
В правильном тетраэдре PABCD с ребром 1 точки M и K - середины ребер
соответственно BP и CP , точка O - центр основания ABC . Найдите расстояние между
3
прямыми MK и OP .Ответ:
12
Вариант 2
В правильном тетраэдре PABCD с ребром 1 точки M и K - середины ребер
соответственно BP и CP , точка O - центр основания ABC . Найдите расстояние между
2
прямыми MK и AB .Ответ:
2
Вариант 3
Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние
между прямыми QQ1 и M 1 K Ответ:
2 5
5
Вариант 4
Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние
между прямыми NP и MK Ответ:
2
2
Вариант 5
Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние
между прямыми NQ и MK Ответ:
2 17
17
Вариант 6
Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . K - середина ребра B1C1 . Найдите расстояние между
2 5
5
Векторный метод решения.
1.Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . Найти расстояние между диагональю куба BD1 и
диагональю грани AB1 .
прямыми DD1 и A1 K Ответ:
Z
X
D'
C'
A'
B'
M
N
c
D
C
a
A
b
B
Y
Введем прямоугольную систему координат.
Пусть MN - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и AB1 .
Искомое расстояние - MN .
    

  
     
Пусть AD  a , AB  b , AA1  c , тогда a  b  c  1, a  b  a  c  b  c  0
 

   
AB1  b  c , D1 B  a  c  b




 
 
 
c  a  D1 M  MN  NA  0  MN  yAB1  a  xD1 B  c
  


   


MN  y b  c  a  x a  c  b  c   1  x a  x  y b   y  x  1c






 MN  AB1  0

Вектор MN  AB1 и MN  D1 B , поэтому имеем  
MN  D1 B  0


  
Первое условие системы:  1  x a  x  y b   y  x  1c b  c  0

x  y b 2   y  x  1c 2  0
1
x  y  y  x 1  0 y 
2


   
Второе условие системы:  1  x a  x  y b   y  x  1c a  c  b  0

 1  x a 2   y  x  1c 2  x  y b 2  0
2
1 x  y  x 1 x  y  0 x  
3

2 1 2 1 2 
MN  1  ;  ;   1
3 2 3 2 3 

  1 1 1
MN  ; ; 
 3 6 6

1 1
1
1
6
MN 




9 36 36
6
6
2.
Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . K - середина ребра B1C1 . Найти расстояние
между прямыми AK и BD .








D'


C'
K
A'
B'
K
M
D
c
C
a
A
b
N
B
Решение.
MN - искомое расстояние
     1 


 
DB  a  b AK  b  a  c ; xAK  MN  yDB  b  0
2

    1  
   1


MN  b  x b  a  c   y a  b    x  y a  1  x  y b   x c
2


 2






  1
  

    x  y a  1  x  y b   x c  a  b  0
  2





   1 x  y a  1  x  y b   x c  b  1 a  c   0

  2
2



2

 1
2
1




x

y
a

1

x

y
b
0


 x  y 1 x  y  0



2


2
; 

2 1  1
1
1



1  x  y b    x  y a 2  xc 2  0 1  x  y  x  y  x  0

4
2

2 2




 MN  DB  0

 
M
N

A
K
0

 1
 2 x  2y 1  0
 9
1
 x  y  1  0
2
 4
7

 4 4
x  4y  2
 x  4y  2

 x  4 y  2  y   17
6
; MN  ; ; 




17 17 17 
 9 x  2 y  4  0  94 y  2  2 y  4  0  34 y  14  0  x  6
17

2
2
2

68
2 17
 4  4 6
MN          

.
289
17
 17   17   17 
3.
Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найти расстояние
между прямыми QK и MP1 .Ответ:0