Вопросы по линейной алгебре.

Вопросы по линейной алгебре.
1. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве.
Косоугольные системы координат.
2. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
4. Полярная система координат. Сферическая система координат.
5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат.
7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.
8. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых.
10. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.
11. Угол между двумя прямыми.
12. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
13. Уравнение прямой в отрезках на осях.
14. Общее уравнение прямой на плоскости.
15. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
16. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
17. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.
18. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.
19. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка.
20. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических
векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.
21. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического
вектора. Радиуса-вектор.
22. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в
пространстве.
23. Действия с геометрическими векторами в координатной форме.
24. Признак коллинеарности векторов.
25. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.
26. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора.
Угол между векторами.
27. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
28. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
29. Общее уравнение плоскости в пространстве.
30. Решение неравенств на плоскости.
31. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
32. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
33. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель
произвольного порядка.
34. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
35. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
36. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с
помощью элементарных преобразований.
37. Транспонирование и его свойства.
38. Система линейных уравнений и её решение.
39. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
40. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная
система. Матричная запись системы линейных уравнений.
41. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
42. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
43. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
44. Формулы Крамера.
45. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
46. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
47. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
48. Базис линейного пространства. Примеры.
49. Теорема о разложении вектора по базису.
50. Линейная оболочка векторов.
51. Векторное представление системы линейных уравнений.
52. Теорема Кронекера-Капелли.
53. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
54. Евклидовое пространство.
55. Нормируемое пространство.
56. Ортогональное дополнение и его свойства.
57. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое
уравнение.
58. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
59. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица
квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий
знакоопределённости квадратичной формы.
60. Линейная балансовая модель.
61. Модель международной торговли.
62. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
63. Взаимно однозначные отображения.
64. Произведение операторов. Обратный оператор.
65. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
66. Произведение линейных отображений.
67. Ранг отображения и его свойства.
1.
2.
3.
Примерные задачи на экзамене в группах ЭВ1305 – 1308:
Исследовать и решить систему при разных параметрах λ:
 x1  2 x2  x3  4

 x1  x2  2 x3  1
2 x  3x   x  7
2
3
 1
 1

2 5 
Найти базис линейной оболочки, образованной векторами системы
S  {a1 , a2 , a3 , a4} , если:
Найти все собственные векторы матрицы A   2

a1  {1,2,3, 2,1}, a2  {2,5, 1, 2,3},
a3  {0,9,5, 6,5}, a4  {3,3, 4,0,2}
Разложить произвольный вектор системы S, не входящий в базис, по найденному базису.
4. Дана квадратичная форма:
a(x,x)=2x12 +3 x1x2-4 x1,x3 +2 x3x2+12 x22 +8 x32
Найти матрицу квадратичной формы. Выяснить, является ли эта квадратичная форма
знакоопределённой.
5. Известна таблица межотраслевых потоков
№
отрасли
1.
2.
Потребление
I
20
30
II
50
10
Конечный
продукт
30
10
Требуется найти валовый вектор продукции, полные затраты труда и
капиталовложений, если задан вектор-план y=(200, 100), вектор затрат труда x3=(5, 10),
и вектор капиталовложений x4=(20,30).