9. 10. 11. 13. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е . 2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2. Рейтинг задания 1 (5 4e 1. Вычислить интеграл x )e x dx . 0 2. Найти производную функции z = e1 4 / xy 2 xy в точке М (2,2) по направлению вектора, соединяющего точку M с точкой N (-1,-2). 3. Исследовать на локальный экстремум функцию 4. z 3x 2 2 xy 5 y 2 14 x 6 y 5 Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле f x, y dxdy , где D – треугольник с вершинами в точках D А(1; 1), В(2; 3), С(4; -2). x3 1 dx . 5. Вычислить интеграл: 3 1 4x x 2 8 x arctg (2 x) на отрезке [0, 1/ 2]. 1 4x 2 2 2 7. Вычислить массу пластинки , ограниченной линиями x y 2 x, y x, y x , если поверхностная плотность равна x . 6. Найти среднее значение функции f ( x) 8 . Дать определение частных производных и первого дифференциала функции двух переменных. Сформулировать необходимое условие дифференцируемости функции многих переменных. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+3y2–2y–1 в области, определяемой неравенствами : -1 x 1, –1 y 1. 9. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской кривой. Вычислить длину дуги кривой: { x 4 cos 3 t , y 4 sin 3 t} , /6 t /4 10. Дать определение определенного интеграла , сформулировать его свойства. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: e ln 2 x x5 . Вывести уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, исходя из свойств градиента. Показать, что касательная плоскость к поверхности xyz=8 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем. Найт 12. Сформулировать свойства и приложения двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. Двойной интеграл в полярной системе координат. Вычислить объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: 11. x 2 у 2 4 x , z 10 y 2 , z 0 . Заведующий кафедрой математики Б.Г. Разумейко Поле ответа Шифр: ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е . 2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2. Код: Рейтинг задания 1. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности z 3 2. Вычислить интеграл: dx ( x 1)( x 1) 2 6 x 2 y 2 в точке М (1, 1, 2). . 2 3. Найти дифференциал первого порядка для функции. u = (x 2 y 2 )2z в точке М (1, -1, 1). 1 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле dy 0 2 x 1 1 y 2 f ( x, y)dx 2 y x cos x dx . 2 2 sin x 5. Вычислить интеграл: 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 4 y x 2 0, y 2 8 y x 2 0, y x, x 0 . 1 7. Вычислить интеграл: x 2 1 x 2 dx. 0 8. Дать определение точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое и достаточные условия существовния локального экстремума функции двух переменных в точке. Исследовать на локальный экстремум функцию z= e x 9. 2 xy y 2 (7 x 5 y 25) . Определенный интеграл как функция верхнего предела. Cформулировать и доказать теорему о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: dx x ln 6 2 x 10. Дать определение градиента и производной по направлению. Записать формулу для вычисления производной по направлению через градиент функции. Написать уравнения касательных плоскостей к поверхности x 2 2 y 2 3 y 2 21 перпендикулярных вектору а (1, 4, 6). 11. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Вывести формулу для нахождения обема тела вращения криволинейной трапеции вокруг оси OY. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 2 2 x 1, x 2 y 0 вокруг оси OY. 12. Дать определение тройного интеграла. Сформулировать свойства и приложения тройного интеграла. Вычислить массу тела, заданного .ограничивающими его поверхностями: z=xy, y=x, x=1, z=0 (z 0), если объемная плотность равна Заведующий кафедрой математики xy2 z 3 . Б.Г. Разумейко Поле ответа 17. 18. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е . 2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2. Рейтинг задания /4 1. Вычислить интеграл: 0 tgx cos 2 x dx . (1 x) 3 y в точке М (-1, 2) . 3. Исследовать на локальный экстремум функцию z = xy(6 – 3x – 2y). 2. Найти градиент функции z 4e x 2 1 2 4. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле f x, y dxdy , где D – область, ограниченная линиями D x 4 y 2 , x y 2 2 y. 5. Вычислить интеграл: 3x 2 4 x 9 ( x 1)( x 2 2 x 5) dx 6. Найти среднее значение функции f(x)= 3 x ln x на отрезке [1, 4]. 7. Вычислить массу пластинки , ограниченной линиями y 6 36 x 2 , y x , если поверхностная плотность равна x2 y2 . 8 . Дать определение частных производных второго порядка и второго дифференциала функции двух переменных. Сформулировать необходимое и достаточное условия существования условного экстремума функции двух переменных. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 2 y 2 12 x 6 y 2 в области , определяемой неравенствами: х2 + у2 25, x y 5 . 9. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской кривой. Вычислить длину дуги кривой: кривой y e 2 x 3, ln 4 2 x ln 4 6 . 19. 10. Дать определение определенного интеграла , сформулировать его свойства. Вычислить несобственный интеграл или установить его dx расходимость: 1/ 2 x x 2 2x 1 10. Вывести уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, исходя из свойств градиента. Найти производную функции u ln( e x 2e y 3e z ) в точке М (0, 0, 0) по направлению, составляющему с осью OX угол 60 0 , с осью OY угол 45 0 , с осью OZ -острый угол. Найт 12. Дать определение тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат. Вычислить объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: x 2 y 2 z 2 81 , x 2 y 2 45 (внутри цилиндра). Заведующий кафедрой математики Б.Г. Разумейко Поле ответа Шифр: ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е . 2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2. Код: Рейтинг задания 1. Вычислить производную функции u 1 x y2 z2 2 по направлению вектора l ( -2, 2, 1 ) в точке М (1, -2, 2). ( x 1) dx 2 1 x 3x 2 2. Вычислить интеграл: 3. Найти дифференциал первого порядка для функции. z = 4. Вычислить двойной интеграл ex 2 y 2 x y в точке (1,1). dxdy , где D – область, ограниченная линиями x 2 y 2 4 x, y 3 x, y x . D /4 xdx . 2 / 6 cos x 5. Вычислить интеграл: 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 2 y 3x 1 0, 3x 3 y 7 . 2 7. Вычислить интеграл: 4 x 2 dx. 0 8. Дать определение точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое и достаточные условия существовния локального экстремума функции двух переменных в точке. Исследовать на локальный экстремум функцию z= e x 9. 2 y (5 2 x y) . Определенный интеграл как функция верхнего предела. Cформулировать и доказать теорему о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: x2 2 x 4 1 dx 10. Дать определение градиента и производной по направлению. Записать формулу для вычисления производной по направлению через градиент функции. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности xy z xz 1 , параллельной плоскости x 2 z y . 11. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Вывести формулу для нахождения обема тела вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2 y x , y 2 x , x 4 вокруг оси OX. 12. Дать определение тройного интеграла. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферической системе координат. Вычислить массу тела, заданного ограничивающими его поверхностями: Заведующий кафедрой математики z x 2 y 2 , z 6 x 2 y 2 , если объемная плотность равна z. Б.Г. Разумейко Поле ответа