L4-2

Рассмотрим, во-первых, точки плоскости
y   b  const
в
K.
Эти же точки принадлежат в
плоскости y = b. Постоянные b и b  определяют расстояние указанных плоскостей от
плоскости XY и, так как эти расстояния определяются с помощью линеек, находящихся в
различных условиях движения, то отношение
K
b b  k
(4.3)
может отличаться от единицы.
Однако с помощью простых рассуждений можно показать, что k = 1. Действительно, это
отношение может зависеть только от скорости u относительного движения ИСО. Если теперь,
оставив неизменными оси
Y и Y  , повернем на 1800 оси X , Z и X  , Z  , то b и b 
K и K  поменяются: K начнет двигаться относительно K 
не
изменятся, но роли ИСО
со
скоростью u по положительному направлению оси X. Следовательно, как и раньше, можем
записать:
b b  k .
Из полученных отношений (4.3) и (4.4) следует, что
направления осей
Y
и
Y
совпадают, то
b
и
b
(4.4)
k2 1
и поскольку положительные
должны иметь одинаковые знаки:
k 1; b  b .
(4.5)
y  y .
(4.6)
z  z .
(4.7)
Отсюда следует, что
Таким же образом получим
Поперечные координаты события не меняются.
Учитывая (4.6) и (4.7) соотношения (4.1) и (4.2) представим в следующем виде:
x2  c2t 2  x2  c2t 2
Где связь между
x , t 
и
x ,t
(4.8)
должна быть линейной. Представим эту связь в виде
x   x   t ,
t  x  t,
где постоянные
 ,  ,  ,
(4.9)
должны определяться так, чтобы условие (4.8) выполнялось при
любых x и t. В правых частях приведенных преобразований мы не добавляли свободные члены,
так как благодаря выбранным нами начальным условиям (в момент времени
t  t  0
начала
K
x  x  0 ) эти свободные члены тождественно равны нулю. Теперь учтем в
(4.9) факт движения K относительно K  со скоростью u. В ИСО K в любой момент времени t
начало координат K  занимает положение x   ut . Подставляя в первое соотношение (4.9)
x  0, x  ut в произвольный момент t, получим связь:
и
K
совпадают:
    u.
(4.10)
Точно так же начало координат
K
движется относительно
K
по закону
x  ut  . Учитывая
данный факт в (4.9) и исключая время t получим: K
    u,
т.е.
  .
(4.11)
С учетом полученных соотношений преобразования (4.9) примут следующий вид:
x   ( x  ut ), t    x   t .
(4.12)
Подставив полученное соотношение в (4.8) и требуя, чтобы оно выполнялось при любых x и
2
t, т.е. приравняв коэффициенты при x , t
уравнения, определим коэффициенты  и  :

2
и xt в правой и левой частях полученного
1
1 u c
2
2
, 
 u c2
1 u c
2
2
.
(4.13)
Итак, получаем преобразования Лоренца
x  ut
  y 
,
y
1 u 2 c 2
 
, K  K ,
2
t  ux c
t 
, z  z 
2
2

1 u c

x  ut 

x
, y  y 
2
2
1 u c

, K  K.
2
t   ux c
t
, z  z 
2
2

1 u c

x 
(4.14)
(4.15)
Заметим, что преобразования (4.14) и (4.15) можно получить один из другого, заменив
штрихованные координаты нештрихованными, поменяв знак перед скоростью u. Это полностью
соответствует принципу относительности, поскольку, если
K
движется относительно
K
со
скоростью u , то K движется относительно K  со скоростью – u. Теми же свойствами
обладают преобразования Галилея.
Подставляя c   в преобразования Лоренца, получим преобразования Галилея
(3.13) и (3.14). Это подчеркивает тот факт, что взаимодействия в классической физике
рассматриваются как процессы, протекающие с бесконечной скоростью.
Возвращаясь к принципу относительности, заметим, что в релятивистской физике он
утверждает инвариантность физических законов и уравнений именно относительно
преобразований Лоренца.
Эффект лоренцева сокращения длин.
Наглядную иллюстрацию относительности пространства и времени можно получить, исследуя
некоторые следствия преобразований Лоренца.
рис. 4.5
Пусть в ИСО
K,
двигающейся с большой скоростью
неподвижная линейка длины
0
K , имеется
(рис. 4.5). Какова будет длина этой же линейки в ИСО K ?
u c
относительно ИСО
Ответ на этот вопрос могут дать преобразования Лоренца, если заранее уточнить, что
следует понимать под словами длина движущейся линейки.
Длина движущейся линейки – это разница координат его концов, измеренных
одновременно.
Заметим, что при измерении длины неподвижной линейки, неважно в какие моменты времени
t1
и
t 2
x1
измерены координаты его концов
x 2 :
и
0
 x2  x1 .
(4.16)
Следовательно, для определения длины линейки необходимо произвести два измерения
(события). В ИСО К координаты этих событий обозначим через
одного конца линейки в момент времени
линейки в момент времени
t1 )
и
x2 , t2
которые связаны с соответствующими координатами ИСО
t1 
x1  ut1
1 u 2 c 2
t1  ux1 / c 2
1 u 2 c 2
; x2 
; t2 
x2
будут иметь координаты
K
x1
другого конца
x1, t1
и
x2 , t2 ,
преобразованиями Лоренца (15.4):
x2  ut2
1 u 2 c 2
t2  ux2 / c 2
1 u 2 c 2
По определению, длина движущейся линейки в системе
концов
(измерение координаты
(измерение координаты
t 2 ). Те же события в ИСО K 
x1 
x1 , t1
K
;
(4.17)
.
(4.17')
– это разность координат его
x1 , x2 , если эти координаты измерены одновременно:
 x2  x1 , если t1  t2
(4.18)
Пользуясь формулами (4.16)-(4.17), получим связь между длинами линейки в ИСО
0
 x2  x1 
x2  x1  u (t2  t1 )
1 u c
2
2

1 u c
2
2
K
и K:
,
откуда

0
1 u 2 c 2 
0
.
(4.19)
Так как подкоренное выражение – величина меньшая единицы, то в
меньше
.
0
Этот
факт
сокращения
линейных
размеров
длина линейки будет
K
получил
название
лоренцева
сокращения. Лоренцево сокращение тем больше, чем быстрее движется тело.
Лоренцеву сокращению подвергаются только продольные размеры предмета. Поперечные
размеры не сокращаются. Это ясно видно из преобразований Лоренца (
y   y, z   z ). Заметим,
что линейные размеры предмета максимальны в той СО, относительно которой данный
предмет покоится. Соответствующий линейный размер называется собственной длиной
предмета. Например, в рассмотренном примере собственная длина линейки это его длина
K  . Для всестороннего
преобразования (4.15):
исследования
 x2  x1 
эффекта
получим
x2  x1  u (t2  t1)
1 u 2 c 2

0
(4.19),
 u (t2  t1)
1 u 2 c 2
используя
.
0
в
формулы
(4.20)
Поскольку измерения проводились одновременно относительно
одновременными для
K  . По этой причине в (4.20)
K , то они не будут


t2  t1  0 , в чем можно убедиться используя
(4.14):
t1  t2 
t1  t2  u ( x1  x2 ) / c 2
1 u 2 c 2

u / c2
1 u 2 c 2
.
(4.21)
Здесь мы воспользовались условиями измерения (4.18) в К. Подставляя (4.21) в (4.20),
получим формулу лоренцева сокращения (4.19).