Список задач № 1 Тема 1. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в задачах на доказательство Задачи 1. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны (второй признак параллельности плоскостей). 2. Докажите, что если плоскости перпендикулярны, и в одной из них проведен перпендикуляр к линии пересечения, то он служит перпендикуляром к другой плоскости (свойство перпендикулярных плоскостей). 3. Прямая 𝑎 параллельна плоскости 𝛼. Доказать, что если плоскость 𝛽 пересекает прямую 𝑎, то она пересекает и плоскость 𝛼. 4. Плоскости 𝛼 и 𝛽 параллельны, 𝐴 – точка плоскости 𝛼. Доказать, что любая прямая, проходящая через точку 𝐴 и параллельная плоскости 𝛽, лежит в плоскости 𝛼. 5. Две плоскости 𝛼 и 𝛽 параллельны плоскости 𝛾. Докажите, что плоскости 𝛼 и 𝛽 параллельны. 6. Даны две пересекающиеся прямые 𝑎 и 𝑏 и точка 𝐴, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку 𝐴 проходит плоскость, параллельная прямым 𝑎 и 𝑏, и притом только одна. 7.Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. 8.Плоскости 𝛼 и 𝛽 взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости 𝛼 проведена прямая, перпендикулярная к плоскости 𝛽. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости 𝛼. 9.Плоскости 𝛼 и 𝛽 пересекаются по прямой 𝑎 и перпендикулярны к плоскости 𝛾. Докажите, что прямая 𝑎 перпендикулярна к плоскости 𝛾. Тема 2. Воображаемые построения Задачи 1. Постройте прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и параллельную данной плоскости. 2. В данной плоскости проведите прямую, параллельную другой данной плоскости и пересекающую данную прямую. 3. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую и параллельную данной плоскости. 4. Проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости 𝛼 и пересекающую данные скрещивающиеся прямые 𝑎 и 𝑏. 5. Через данную точку постройте прямую, перпендикулярную двум данным скрещивающимся прямым. 6. Постройте плоскость, перпендикулярную одной из двух данных перпендикулярных скрещивающихся прямых и удаленную на расстояние 𝑚 от другой. 7. Через данную точку 𝑀 проведите плоскость, параллельную данной прямой 𝑎 и перпендикулярную данной плоскости 𝛼. Тема 3. Центральное и параллельное проектирования и их свойства. Изображение фигур на плоскости. Построения на изображениях Задачи 1. Постройте изображение правильного пятиугольника (шестиугольника, восьмиугольника). 2. На изображении равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона втрое больше основания, построить изображение высоты, проведенной к боковой стороне. 3. На изображении окружности построить изображение ее перпендикулярных диаметров. 4. На изображении окружности построить изображение описанного около нее правильного треугольника.