турнир 1 деньx
advertisement
Ижевский командный турнир математиков Ижевск, 30 января – 1 февраля 6 класс, высшая лига I тур, 30 января 1. В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка – ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что 22 человека из этого класса ходят в бассейн, а в классе стоит ровно 14 парт. Сколько мальчиков и сколько девочек в этом классе? 2. Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей? 3. Клетки доски 8×8 раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). 4. Дан куб 8×8×8. Какое наибольшее число ладей можно расставить в нем так, чтобы они не били друг друга? 5. Петя подсчитал число 2009! = 1·2·3…·2007·2008·2009, а его сестра Маша делила это результат на 2 до тех пор, пока у нее не получилось нечетное число. Сколько раз пришлось Маше разделить на 2? 6. Аня, Маня и Таня как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Ани есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Мани – джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и, наконец, у Тани есть джинсы-клеш и темные узкие джинсы с карманами? 7. Ваня позвал играть в мяч Ганю, Таню, Валю и Галю. По правилам можно пасовать мяч игроку, имя которого отличается от имени пасующего ровно в одной букве, причем обратно давать пас нельзя. После 2009 пасов мяч снова оказался у Вани, при этом у Тани мяч побывал 403 раза, а у Гали – 300 раз. Сколько раз мяч побывал в руках у Гани? 8. В классе 25 человек, причем если взять любых троих из них, то среди этой троицы есть пара друзей. Докажите, что есть ученик, у которого в классе не менее 12 друзей. Ижевский командный турнир математиков Ижевск, 30 января – 1 февраля 6 класс – первая лига I тур, 30 января 1. Аборигены острова рыцарей всегда говорят правду, а аборигены острова лжецов всегда лгут. Первый, глядя на двух других, сказал: «Вы живёте на разных островах». Второй промолчал, а третий сказал: «Лжецов среди нас троих больше, чем рыцарей». Кто на каком острове живёт? 2. Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей? 3. Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 2009? 4. Дан куб 3×3×3. Можно ли расставить в нем 9 ладей так, чтобы они не били друг друга? 5. Дядя купил всем своим племянникам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, апельсина, пирожного, шоколадки и книги. Если бы он на те же деньги купил одних конфет, их оказалось бы 224. Апельсинов он на те же деньги мог бы купить 112, пирожных -- 56, шоколадок — 32, книг — 16. Сколько племяннико в у дяди? Ответ обоснуйте. 6. Имеются 4 гири с маркировками «1 г», «2 г», «3 г», «4 г». Одна из них дефектная - более легкая или более тяжелая, чем указано. Можно ли за два взвешивания узнать, какая из гирь дефектная и при этом определить, легче ли она или тяжелее, чем указано? 7. У Васи есть несколько конфет не обязательно одинаковой стоимости. Известно, что конфеты можно разложить на две кучи так, что суммарная стоимость конфет в одной кучке будет вдвое больше, чем в другой, а можно разложить на две кучки так, чтобы суммарная стоимость в одной кучке была втрое больше, чем в другой. Какое наименьшее число конфет могло быть у Васи? 8. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между двумя любыми соседними числами была равна 2 или 3. Ижевский командный турнир математиков Ижевск, 30 января – 1 февраля 7 класс – высшая лига, I тур, 30 января 1. 1 января 2009 года котик чихнул один раз. В каждый по- следующий день он чихнул столько раз, сколько чихал до этого и еще n раз, где n – номер этого дня в году. Сколько раз он чихнет в течении 2009 года? 2. В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите, что A < 120. 3. Клетки доски 8×8 раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). 4. Дан куб n×n×n. Какое наибольшее число ладей можно расставить в нем так, чтобы они не били друг друга? 5. Два игрока по очереди берут от 1 до 4 камней из кучи, содержащей в начале 2009 камней. Повторять последний ход, сделанный другим игроком, нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? 6. В выпуклом четырехугольнике ABCD B = C = 120, а BC + CD = AB. Докажите, что AC = AD. 7. Ваня позвал играть в мяч Ганю, Таню, Валю и Галю. По правилам можно пасовать мяч игроку, имя которого отличается от имени пасующего ровно в одной букве, причем обратно давать пас нельзя. После 2009 пасов мяч снова оказался у Вани, при этом у Тани мяч побывал 403 раза, а у Гали – 300 раз. Сколько раз мяч побывал в руках у Гани? 8. В классе 25 человек, причем если взять любых троих из них, то среди этой троицы есть пара друзей. Докажите, что есть ученик, у которого в классе не менее 12 друзей. Ижевский командный турнир математиков Ижевск, 30 января – 1 февраля 7 класс – первая лига, I тур, 30 января 1. В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка – ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что 22 человека из этого класса ходят в бассейн, а в классе стоит ровно 14 парт. Сколько мальчиков и сколько девочек в этом классе? 2. В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите, что A < 120. 3. Номер телефона у Джейн – 395322, а у Ирэн – 435903. Если разделить эти номера на трехзначный код города, где они живут, получатся одинаковые остатки, равные двузначному коду страны, где они живут. В какой стране живут девушки? Найдите хотя бы её код. 4. Дан куб 4×4×4. Можно ли расставить в нем 16 ладей так, чтобы они не били друг друга? 5. Аня, Маня и Таня как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Ани есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Мани – джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и, наконец, у Тани есть джинсы-клеш и темные узкие джинсы с карманами? 6. В полдень из пункта А в пункт Б выехал «Москвич». Одновременно из Б в А по той же дороге выехали «Жигули». Через час «Москвич» находился на полпути от А до «Жигулей». Когда он окажется на полпути от «Жигулей» до Б? (Скорости автомобилей постоянны). Найдите все ответы и докажите, что других нет. 7. У Васи есть несколько конфет не обязательно одинаковой стоимости. Известно, что конфеты можно разложить на две кучи так, что суммарная стоимость конфет в одной кучке будет вдвое больше, чем в другой, а можно разложить на две кучки так, чтобы суммарная стоимость в одной кучке была втрое больше, чем в другой. Какое наименьшее число конфет могло быть у Васи? 8. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между двумя любыми соседними числами была равна 2 или 3.
