9-10 классы . . . Задача 5.

Дистанционная математическая школа
Код курса: М 8
9-10 классы
Модуль 1: Задачи на движение
...
Задача 5. (Кенгуру -2008) Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80
км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил
скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м.
С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге?
(A) 70 км/ч (Б) 65 км/ч
(В) 60 км/ч
(Г) 55 км/ч
(Д) 50 км/ч
Решение. В момент, когда первый грузовик свернет на проселочную дорогу, ситуация
изменится. Первый грузовик пройдет по проселочной дороге 15 м с неизвестной скоростью за
то же время, за которое второй пройдет по асфальтированной дороге 24 м со скоростью 80 км/ч.
Отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей.
15
х
Составим пропорцию
=
. Отсюда х = 50.
24 80
Ответ: (Д) 50 км/ч.
Задача 6. (К-2000) Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для
этого требуется 2 часа. За сколько времени они вымоют трех слонов, работая вдвоем?
(A) за 40 мин
(B) за 45 мин (C) за 1 час
(D) за 1,5 часа
(E) за 1 час 40 мин
Решение.
Учителю. Можно заполнить табличку v, t, S и представить тело слона как путь, который
пройдут щетки в процессе мытья.
v (сл/мин)
t (мин)
S (сл)
40
1
1
40
Сын дрессировщика
120
1
1
120
Вместе
?
3
1
1
1
+
=
40
120 30
1
Скорость мытья слона у дрессировщика
сл./мин.
40
1
1
1
1
Скорость мытья слона у его сына
сл/мин. Их общая скорость
сл/мин (
+
), то есть
120
40 120
30
одного слона они вдвоем моют за 30 мин. Их ожидает путь в 3 слона, значит, им необходимо
1
время 90 минут (3 :
= 3∙30).
30
Ответ: (D) за 1,5 часа.
Дрессировщик
Еще один вид движения – движение с ускорением.
Считается, что движение может быть равноускоренным (ускорение а > 0) или
равнозамедленным (ускорение а < 0). При решении таких задач используются следующие
формулы, связывающие пройденное расстояние S, время t, скорость v, ускорение а, начальное
время t0 и начальную скорость v0 = v(t0):
v  v0
at 2
S = v0 t +
,
а=
t
2
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
4
Дистанционная математическая школа
Код курса: М 8
Задача 7. Винтик и Шпунтик выехали навстречу друг другу из разных гаражей, расстояние
между которыми 390 метров. Винтик проехал в первую секунду 6 м, а в каждую последующую
проезжал на 6 м больше, чем в предыдущую. Шпунтик выехал через 5 секунд после Винтика и
ехал равномерно со скоростью 12 м/с. Сколько времени ехал Винтик до встречи со Шпунтиком?
Решение. Очевидно, что Винтик двигался равноускоренно. Начальная скорость v0 и ускорение a
a
at 2
неизвестны. Из формулы S = v0 t +
при t =1с получаем 6 = v0 +
(за первую секунду
2
2
4a
Винтик проехал 6 метров). При t = 2с получаем 18 = 2v0 +
(6 метров за первую секунду и 12
2
метров за вторую проехал Винтик). Отсюда v0 =3 м/с, а = 6 м/с2. Тогда расстояние, пройденное
Винтиком за время t, определяется по формуле:
6t 2
S=3t+
.
2
Пусть Винтик и Шпунтик встретятся в момент t0. Винтик проедет расстояние, равное
2
6t0
S1 = 3 t0 +
, а Шпунтик S2 = 12 (t0 – 5). По условию S1 + S2 = 390. Получаем квадратное
2
2
6t
уравнение: 3 t0 + 0 + 12 (t0 – 5) = 390. Корни уравнения: -15 и 10. Уравнение имеет один
2
положительный корень: t0 = 10.
Ответ: 10 секунд.
Рассмотрим еще несколько задач.
Задача 8. Электропоезд проехал мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м
за 15 секунд. Какова длина электропоезда и его скорость?
Поезд, l м
Начало пути
Платформа,
150 м
Конец пути
Решение. В данной задаче следует учесть, что электропоезд имеет длину l.
Тогда скорость
l
150  l
поезда v с одной стороны равна
м/с, а с другой стороны v =
. Составим уравнение:
5
15
150  l l
= . Из полученного уравнения находим длину электропоезда l = 75 м и его скорость
15
5
v = 15 м/с (54 км/ч).
Ответ: 75 м; 15 м/с.
Задача 9. Часы показывают час дня. Найти ближайший момент времени, когда часовая и
минутная стрелки совпадут.
Решение. Иногда задачи с часами имеет смысл решать следующим образом. Разрежьте
мысленно циферблат и разверните его в линейку. Задача со стрелками становится похожей на
задачу по движению, в которой один объект догоняет другой. В нашей задаче - минутная
стрелка догоняет часовую. Тогда вопрос «через какое время стрелки совпадут?» можно
переформулировать так:«через какое время два объекта встретятся?». Для ответа на этот вопрос
нужно расстояние между ними Sо разделить на разность скоростей (vм – vч). Если стрелки не
S  S*
встречаются, то между ними остаётся какое-то расстояние S*, тогда 0
.
v м  vч
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
5