Домашнее задание на 8

Раздел 3. Элементы общей алгебры
Пусть M - произвольное множество.
Определение 3.1: Функцию типа : M n  M называется n - арной операцией, определенной на множестве М.
Определение 3.2: Совокупность множества M вместе
с определенным на нем множеством операций =<1,  2,...
.. k > называется алгеброй и обозначается A=<M; 1,  2,....
 k>. При этом  называется сигнатурой алгебры.
Пусть M  M и операции 1,  2,... 
k
замкнуты на
множестве M, тогда A = <M  ; 1, 2,...  k> есть подалгебра алгебры A.
Определение 3.3: Типом алгебры называется вектор
арностей входящих в нее операций.
Определение 3.4: Операция, отображающая любой
элемент в самого себя, называется тождественной.
Рассмотрим бинарную операцию  типа умножения,
определенную на множетве A.
Определение 3.5: Операция называется коммутативной, если a,bA ab=ba.
Определение 3.6: Операция называется ассоциативной, если a,b,cA a(bc)=(ab)c.
34
Определение 3.7: Пусть  элемент e, такой что
a ea=a. Тогда e называется левой единицей (или левым
единичным элементом) по отношению к операции . Если 
элемент e, такой что a ae=a, то e называется правой
единицей (или правым единичным элементом) по отношению
к операции . Если  элемент e, такой что a
ea=ea=a, то e называется двусторонней единицей или просто единицей (единичным элементом) по отношению к операции .
Определение 3.8: Пусть  - бинарная операция типа
умножения с единицей, определенная на множестве A
и
xy=e, где x,yA. Тогда x называют левым обратным элементом к y и обозначают y-1, а y называют правым обратным элементом к x и обозначают x-1. Если xy=yx=e, то x
называют обратным к y, а y называют обратным к x.
Определение
3.9:
Если
для
a,b,cA
abc=abac, то говорят, что операция  дистрибутивна по отношению к  слева. Если для a,b,cA
bca=baca, то говорят, что операция  дистрибутивна по отношению к  справа.
35
Определение 3.10: Алгебра вида <A, 2>, где 2 - бинарная операция, определенная на множестве A, называется
группоидом.
Определение 3.11: Группоид < А ;   называется
полугруппой, если относительно определенной на нем бинарной операции  имеет место ассоциативный закон, т.е.
 а,b,с  А
Определение 3.12:
а  ( b  с ) = (а  b)  с.
Если полугруппа обладает еди-
ницей,то ее называют моноидом.
Определение 3.13:
Если в полугруппе имеет место
коммутативный закон,то ее называют абелевой.
Определение 3.14:
Подстановкой n - ой степени
называется взаимно однозначное отображение множества А
из n элементов в себя.
Определение 3.15: Произведением двух подстановок
называется подстановка, получаемая в результате последовательного выполнения сначала 1 - ой, а затем 2 - ой из перемножаемых подстановок.
Пусть дан группоид < A,  >, рассмотрим уравнения
а  х = b и х  а = b где а,b  А. Эти уравнения могут быть
разрешимы или не разрешимы.
36
Определение 3.16: Если  с  А, а  с = b и с  а = b,
то говорят, что уравнения разрешимы.
Определение 3.17: Группоид < А, > называется квазигруппой, если уравнение
а  х = b и х  а = b имеют
единственное решение для  а,b  А.
Определение 3.18: Группой называется полугруппа <
A ;  >, если
1) для  а  А еА, такой что а  е = е  а = а
1) для  а  А  а-1А , такой что а  а-1= а-1  а = е,
т.е. существуют единичный и обратный элементы.
Определение 3.19 (2-е определение группы): Полугруппа называется группой, если она является квазигруппой.
Определение 3.20: Алгебра < M ;  ;> называется
кольцом, если :
1) <M ;  > - абелева группа,
2) <M;  > - полугруппа.
3) для  а,b,с M
а  (b  с) = (а  b)  (а  с)
(а  b)  с = (а  с)  (b  с)
Определение 3.21: Кольцо называется коммутативным, если относительно умножения  для  а,b M а  b
= b  а.
37
Определение 3.22: Если относительно умножения
() кольцо обладает единицей, т.е.  е  M
ае=еа
= а, то кольцо называется кольцом с единицей.
Определение 3.23: Если в кольце а  0 и b  0, но а 
b = 0, то кольцо называется кольцом с делителями нуля, а а,
b - делители нуля.
Определение 3.24: Коммутативное кольцо < M ; ,
 >, в котором существует хотя бы один элемент а  0, что
уравнение а  х = b имеет единственное решение, где а,b
M, называется полем ,т.е. выполняются следующие аксиомы
1) а  b = b  а
2) а  ( b  с) = (а  b)  с
3) а  0 = 0  а = а
4) а  ( - а ) = 0
5) аb = bа
6) а  (bс ) = ( аb )с
7) а(b  с) = аb  ас
8) уравнение ах = b,а  0 - разрешимо.
Определение 3.25: Для элементов а, b  М их верхней
гранью называется  с  М такой, что а  с, b  с , а их нижней гранью называется  d  М такой, что d  a, d  b.
38
Определение 3.26: Решеткой называется частично
упорядоченное множество, в котором для  а, b  их пересечение а  b = d - нижняя грань а и b такая, что любая другая
нижняя грань а, b меньше d, и а  b = c - верхняя грань а и b
такая, что любая другая верхняя грань а и b больше c.
Определение 3.27: Частично упорядоченное множество, в котором любое его
подмножество имеет наиболь-
шую нижнюю и наименьшую верхнюю грань, называется
полной решеткой.
Определение 3.28: Решетка называется дистрибутивной, если
А  (B  С) = (А  B)  (А  С)
А  (B  С) = (А  B)  (А  С)
Определение 3.29: Решетка называется решетка с
дополнением, если хM  x  M и х  x = 1 х  x = 0,
в этом случае x - дополнение х .
Практические задания
3.1. Определите, какие из операций - сложение, вычитание, умножение, деление - являются алгебраическими на
следующих подмножествах R; какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?
39
1) N;
2) 2N={2n|nN};
3) {2n+1| nN };
4) Z;
5) 2Z={2n|nZ};
6) Q;
7) R;
8) R\{0};
9) {xR|x>0};
10) R\Q;
11) {0};
12) {1};
13) {0,1}.
3.2. Определите, какие из следующих операций являются алгебраическими на подмножестве {xR|x>0} множества R; какие из алгебраических операций коммутативны,
ассоциативны?
1) a  b 
ab
;
2
2)
a  b  ab 2 ;
3)
a  b  ab ;
4)
a  b  max{ a , b} ;
40
5)
a  b  a  b 1 ;
6)
a  b  ab ;
7)
a  b  log b a ;
8)
ab  a b .
3.3. Докажите, что множество N со следующими опе-
рациями является полугруппой:
1) a  b  НОД(a , b) ;
2) a  b  min{ a , b};
3) a  b  НОК(a , b);
4) a  b  a;
5) a  b  1.
3.4. Укажите, какие из следующих подмножеств множества C с операцией — умножением - являются полугруппами:
1) {2n|nZ};
2) {2n|n=-2,-1,0,1,2};
3) {-1,1};
4) {-1,0,1};
5)
6)
a  b
a  b

3 | a, b  Q, a 2  b 2  0;
3 | a, b  Z, a 2  b 2  0 ;
41
7) {z| |z|>2};
8) {z| |z|=2};
9) {z| |z|<2};
10) {z| |z|2};
11) {z| |z|2};
12) {z| |z|>1};
13) {z| |z|=1};
14) {z| |z|<1};
15) {z| |z|1};
16) {z| |z|1};
17) {z| |z|=
1
};
2
18) {z| |z|<
1
};
2
19) {z| |z|
1
}.
2
3.5. Пусть Х—множество, содержащее более, двух
элементов, В(X) — множество всех бинарных отношений на
X. Докажите, что следующие подмножества множества В(Х),
с операцией - умножением (композицией) бинарных отношений - являются полугруппами;
1) В(Х);
2) множество всех рефлексивных отношений на X;
42
3) множество всех преобразований X;
4)множество всех взаимно-однозначных
преобразо-
ваний X;
5)
максимальное
множество
всех
попарно-
множество
всех
попарно-
коммутирующих отношений;
6)
максимальное
коммутирующих симметричных отношений;
7)
максимальное
множество
всех
попарно-
коммутирующих отношений эквивалентности.
3.6.
Укажите, какие из следующих подмножеств
множества действительных функций, определенных на R, с
операцией - композицией преобразований - являются полугруппами:
1) множество всех непрерывных функций;
2) множество всех четных функций;
3) множество всех нечетных функций;
4) множество всех ограниченных функций;
5) множество всех таких функций f, что f(0) = 1;
6) множество всех таких функций f что f(0) = 0;
7) множество всех дифференцируемых функций;
8) множество всех интегрируемых функций;
9) множество всех многочленов.
43
3.7. Пусть Р - семейство всех подмножеств данного
непустого множества U. Образует ли множество Р полугруппу, если операция на нем:
1) пересечение;
2) объединение;
3) разность?
3.8. Какие из полугрупп задач 3.4 являются группами?
3.9. Докажите, что следующие подмножества из C являют мультипликативными группами:
1) Q* = Q\{0};
2) {xQ|x>0};
3) R* = R\{0};
4) {xR|x > 0);
5) С* = C\{0};
6) {zС | |z| = 1};
7) {а + b 3 | а, bQ, а2 + b2 > 0};
8) {а + bi 3 | а, bQ, а2 + b2 > 0};
9) множество Rn всех корней n-ой стпени из единицы.
3.10. Докажите, что следующие множества чисел являются аддитивными группами:
1) Z;
2) 2Z;
3) Q;
4) R;
44
5) С;
6) {
a
7k
| a  Z, k  N};
7) {а + bi| а, bZ};
8) {а + bi 3 | а, bZ}.
3.11. Докажите, что следующие множества преобразований с операцией - композицией преобразований - являются группами, и определите, какие из этих групп абелевы:
1) множество всех взаимно-однозначных отображений непустого множества Х на себя;
2) полугруппа взаимно-однозначных отображений множества Х на себя, которая вместе с каждым отображением содержит обратное ему;
3) множество всех вращений (поворотов) плоскости вокруг
фиксированной точки О;
4) множество всех вращений плоскости вокруг фиксированной точки О и всех отражений плоскости относительно всех
прямых, проходящих через точку О;
5) множество, состоящее из п вращений плоскости вокруг
фиксированной точки О на углы 2k/n, k=0,1,2, …, n-1 (эта
группа
называется
группой
вращений
угольника).
45
правильного
п-
3.12. Составьте таблицы для закона композиции на
следующих группах вращений (поворотов) плоскости, совмещающих с собой:
-
1) правильный треугольник;
2) квадрат;
3) правильный пятиугольник;
4) правильный шестиугольник.
3.13. Составьте таблицы для закона композиции на
следующих множествах движений и отражений плоскости,
совмещающих c собой:
1) ромб (но не квадрат) ABCD;
2) правильный треугольник АВС;
3) квадрат АВСD.
Докажите, что каждое из этих множеств преобразований есть группа.
3.14. Докажите, что каждое из следующих множеств с
законом композиций, заданным таблицей, является группой:
1) {е, а},
e a
e e a
b a e
2) {е, а, b}.
e
e e
a a
b b
a
a
b
e
b
b
e
a
46
3.15. Докажите, что следующие множества квадратных матриц 2-го порядка являются мультипликативными
группами:
a - b

1) 
| a, b  R, a 2  b 2  0;

 b a 

2)
a 3b

| a, b  Q, a 2  b 2  0;


 b a 

3)
a - 3b

2
2
|
a,
b

Q
,
a

b

0

;

 b a 

4)
5)
cos  - sin  

|   R ;


sin  cos



2k
2k 
cos n - sin n 

|
k

0,1,...,
n
1



.
2
k

2
k



 sin

cos


n
n 
12345678 
12345678 
 , g  
 . Вычис3.16. Пусть f  
23481576
81273456




лите: f2, g2, fg, gf, f100, g100.
3.17. Решите уравнение fx=g, где:
123456 
123456 

 , g  
1) f  
 351642 
 251643 
47
123456 
123456 

 , g  
2) f  
 421365 
 645321
3.18. При тех же f и g, что и в задаче 15, решите уравнение xf=g.
3.19. Решите уравнение fxg=h, где:
1)
12345 
12345 
12345 
 , g  
 , h  
 ;
f  
 53124 
 42513 
 54321
2)
1234567 
1234567 
1234567 
 , g  
 , h  
 .
f  
 7321654 
 3127456 
 5136472 
3.20. Составьте таблицу для закона композиции в
группе подстановок третьей степени.
3.21. Докажите, что для множества подстановок с
операцией композиции преобразований является группой.
123456 
123456 
123456 
123456 
 , f  
 , g  
 , h  
 .
e  
123456 
 642531
154326 
 635241
3.22. Докажите, что каждое из следующих числовых
множеств с обычным сложением и умножением является
кольцом:
1) Z;
2) 2Z (множество четных чисел);
3) mZ (множество целых чисел, кратных т);
4) Q;
48
5) {а + b 3 | а, bZ};
6) {а + b 3 | а, b2Z};
7) {а + b 3 | а, bQ};
8) {а + bi| а, bZ};
9) {а + bi| а, b2Z};
10) {а + bi| а, bQ}.
11) {а + bi 3 | а, bQ};
12) {а + bi 3 | а, bZ}.
Какие из этих колец содержат единицу? В таких кольцах укажите обратимые элементы. Укажите пары колец, из
которых одно является подкольцом другого.
3.23. Докажите, что каждое из следующих множеств
матриц с обычным сложением и умножением является кольцом:
1) Mn(Z) (множество квадратных матриц n-го порядка, элементы которых - целые числа);
2) Mn(Q);
3) Mn(R);
4) Mn(C);
49
a 3b

5) 
|
a,
b

Z
;

 b a 

a 3b

6) 
| a, b  2Z ;

b a 

a 3b

7) 
| a, b  Q ;

 b a 

a - b

8) 
| a, b  Z ;

 b a 

a - b

9) 
| a, b  3Z ;

b a 

a - b

10) 
| a, b  Q ;

 b a 

a - 3b

11) 
| a, b  Z ;

b a 

a - 3b

12) 
| a, b  Q ;

 b a 

 1
a

 2
13) 
 1 b

 2

3 
- b

2 | a, b - целые числа одинаковой четности

;
1 

a

2 

50
a b

14) 
|
a,
b

Z
;

 b a 

a 0

15) 
| a, b  Z ;

0 b

 a b с 




16) 0 a b  | a, b, c  Z .
 0 0 a 




Какие из этих колец коммутативны? Какие содержат
единицу? В таких кольцах укажите обратимые элементы. В
кольцах с делителями нуля найдите все делители нуля. Укажите пары колец, из которых одно является подкольцом другого.
3.24. Докажите, что каждое из следующих множеств
действительных функций на отрезке [-1, 1] с поточечным
сложением и умножением является коммутативным кольцом
с единицей:
1) множество всех непрерывных функций;
2) множество всех четных функций;
3) множество всех многочленов;
4) множество всех многочленов, степень которых меньше
или равна n;
5) множество всех дифференцируемых функций;
51
6) множество всех ограниченных функций.
Укажите в этих кольцах обратимые элементы. В каких
из этих колец есть делители нуля? Укажите пары колец, из
которых одно является подкольцом другого.
3.25. Докажите, что множество ZxZ со следующими
операциями является коммутативным кольцом с единицей:
1) (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+ a2,b1+ b2),
(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,b1b2);
2) (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2),
(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2+b1b2,a1b2+a2b1);
3) (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2),
(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2+3b1b2,a1b2+ a2b1);
4) (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2),
(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2-b1b2,a1b2+a2b1).
Укажите в каждом из этих колец обратимые элементы. В кольцах с делителями нуля найдите все делители нуля.
3.26. Пусть А - аддитивная абелева группа. Определим на А операцию умножения: ab=0 для любых a,bA. Докажите, что множество A с этими двумя операциями есть
кольцо.
3.27. Какие из колец задач 3.22 - 3.25 являются полями?
52