Лекция № 7

Лекция № 7
Общая топология
Непрерывные отображения компактных пространств, в
частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств.
Теорема 1. Непрерывный образ компактного топологического
пространства есть компактное топологическое пространство.
Доказательство. Пусть X – компактное пространство и f –
его непрерывное отображение в топологическое пространство Y . Рассмотрим какое-то покрытие { V } образа f ( X ) открытыми в f ( X )
1
множествами. Положим U   f ( V ) . Множества U  открыты (как
прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства X . Из этого покрытия можно выбрать, в
силу компактности X , конечное подпокрытие U1 ,U 2 ,...,U n . Тогда
соответствующие V1 ,V 2 ,...,V n , где V i  f ( U i ) , покрывает весь
образ f ( X ) пространства X . Теорема доказана.
Теорема 2. Взаимно однозначное и непрерывное отображение
 компакта X в хаусдорфово пространство Y есть гомеоморфизм.
Доказательство. Нужно показать, что из условий теоремы вы1
текает непрерывность обратного отображения  . Пусть F – замкну-
тое множество в X , и P  ( F ) – его образ в Y . В силу теоремы 1 P
– компактно, т.е. компакт ( Y – хаусдорфово!); следовательно (см. теорему 6, лекция № 6) P замкнуто в Y . Таким образом, прообраз при
отображении  1 всякого замкнутого множества F  X замкнут. А
1
это и означает непрерывность  . Теорема доказана.
Выше шла речь о непрерывных отображениях компакта в хаусдорфово топологическое пространство. Частным случаем таких отображений являются отображения компактов в числовую прямую.
Числовые функции на компактах. Для таких функций сохраняются основные свойства, известные из математического анализа.
96
Теорема 3. Пусть T – компактное пространство, и f – непрерывная на нем функция. Тогда f ограничена на T и достигает на T
верхней и нижней граней.
Доказательство. Непрерывная функция есть непрерывное
отображение T в числовую прямую R 1 . Образ T в R 1 в силу общей
теоремы 1 компактен. Но, как известно из курса математического анализа, компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено,
и потому не только имеет верхнюю и нижнюю грани, но и содержит эти
грани. Теорема доказана.
Счетная компактность.
Определение 1. Топологическое пространство T называется
счетно-компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.
Ранее была доказана теорема: если T – компактное топологическое пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет
хотя бы одну предельную точку (см. теорему 4, лекция № 6). Отсюда
вывод, что всякое компактное пространство счетно-компактно. Но обратное, вообще говоря, не верно.
Теорема 4. Для того, чтобы топологическое пространство T
было счетно-компактным, необходимо и достаточно выполнение любого из следующих двух условий:
1) Каждое счетное открытое покрытие пространства T содержит конечное подпокрытие.
2) Каждая счетная центрированная система замкнутых множеств в T
имеет непустое пересечение.
Доказательство. Необходимость. Пусть пространство T счетно-компактно и { Fn } – счетная центрированная система замкнутых в
n
T множеств. Покажем, что  Fn   . Пусть Фn   Fk . Ясно, что все
k 1
n
Фn замкнуты, непусты (в силу центрированности системы множеств
{ Fn } ) и образуют невозрастающую систему
Ф1  Ф2  ...  Фn  ... .
n
n
k 1
k 1
Ясно также, что  Фk   Fk . Возможны два случая.
97
1) Начиная с некоторого номера n0 Фn0  Фn0 1  ... . Тогда, очевидно,
что  Фn  Фn0   .
n
2) Среди Фn имеется бесконечно много попарно различных. При этом
достаточно рассмотреть случай, когда все Фn различны между собой.
Пусть xn  Фn \ Фn 1 . Последовательность { x n } представляет собой
бесконечное множество различных точек из T , и (по определению
счетной компактности) должна иметь хотя бы одну предельную точку,
скажем x0 . Так как Фn содержит все точки xn , xn 1 ,..., то x0 – предельная точка для множества Фn , и в силу замкнутости Фn x0  Фn .
Следовательно
x0   Фn , т.е.  Фn   .
n
n
Так как  Fn   Фn , т.е. счетная центрированная система замкнутых
n
n
множеств в счетно-компактном пространстве имеет непустое пересечение. Необходимость условия 2) теоремы доказана.
Достаточность. Пусть теперь справедливо условие 2) теоремы.
Покажем, что тогда T – счетно-компактно в смысле определения 1. Если это не так, т.е. если T содержит бесконечное подмножество X , не
имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное
подмножество X 1  { x1 , x2 ,...,xn ,...} , также не имеющее ни одной предельной точки. Но тогда множества X n  { xn , xn 1 ,...} образуют, вопервых, центрированную систему, и во-вторых, замкнуты, так как если
точка прикосновения множества X n не принадлежит X n , то она есть
предельная точка, а в каждом X n нет предельных точек (по предполо
жению!). Но поскольку  X n   , мы пришли к противоречию. Достаn 1
точность условия 2) для счетной компактности установлена.
Замечание 1. Если множество M  T не имеет предельных точек, то любое
подмножество множества M также не имеет предельных точек.
Теперь осталось доказать эквивалентность условий 1) и 2). Это
выводится непосредственно из соотношений двойственности (см. лекцию № 1, Теория множеств).
Действительно, пусть выполнено условие 1) теоремы: из любого
98
счетного открытого покрытия пространства T можно выделить конечное подпокрытие, и пусть { Fn } – счетная центрированная система замкнутых в T множеств. Множества Gn  T \ Fn открыты. Так как
{ Fn } – центрирована, то отсюда следует, что никакая конечная система
множеств Gi  T \ Fi не покрывает всё T :
k
k
k
k
i 1
i 1
i 1
i 1
 Gi   T \ Fi T \  Fi и  Fi не пусто.
Но тогда и все { Gn } не образует покрытия T , откуда и следует, что

 Fn не пусто.
n 1
Теперь пусть выполнено условие 2) теоремы: каждая счетная
центрированная система замкнутых множеств в T имеет непустое пересечение. Докажем тогда, что выполнено условие 1). Действительно,
пусть { Gn } – счетное открытое покрытие пространства T . Положив

Fn  T \ Gn , получим, что  Fn   , откуда следует, что система заn 1
мкнутых множеств { Fn } не центрирована, т.е. существуют такие
n
F1 , F2 ,...,Fn , что  Fi   . Но тогда соответствующие открытые мноi 1
жества Gi  T \ Fi образуют конечное подпокрытие покрытия { Gn } .
Теорема полностью доказана.
Таким образом, и компактные и счетно-компактные топологические пространства характеризуются «поведением» своих открытых
покрытий: и в том и в другом случае из открытого покрытия можно выбрать конечное, но в первом случае речь идет о любых покрытиях, а во
втором – только о счетных.
В общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, но имеет место
Теорема 5. Для топологических пространств со счетной базой
понятие компактности и счетной компактности совпадают.
Доказательство. Действительно, из любого открытого покрытия пространства T , имеющего счетную базу, можно выбрать счетное
подпокрытие. Если к тому же T счетно-компактно, то из этого следует,
что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т.е. T компактно. Утверждение доказано.
99
Предкомпактные множества. Множество M  T называется
предкомпактным, если его замыкание [ M ] в T компактно.
Компактность в метрических пространствах. Поскольку метрические пространства – частный случай топологических пространств,
то все определения и факты, изложенные выше применительно к топологическим пространствам, остаются в силе.
В метрических пространствах компактность тесно связана с понятием полной ограниченности.
Определение 2. Пусть M – некоторое множество в метрическом пространстве R и  – некоторое положительное число. Множество A из R называется  – сетью для M , если для любой точки
x  M найдется хотя бы одна точка a  A такая, что
( x , a )   .
Множество A не обязано содержаться в M и может даже не иметь с
M ни одной общей точки. Однако, имея для M некоторую  – сеть
A , можно построить 2 – сеть B  M (т.е. 2 – сеть, состоящую из
точек множества M ).
Пример 1. Точки с целочисленными координатами образуют на
плоскости 1 2 – сеть.
Пример 2. Точки с рациональными координатами образуют на
плоскости  – сеть при любом   0 .
Определение 3. Множество M из метрического пространства
R называется вполне ограниченным, если для него при любом   0
существует конечная  – сеть (т.е.  – сеть, состоящая из конечного
числа точек).
Ясно, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено как объединение конечного числа ограниченных множеств. Обратное, вообще говоря, не верно, как показывает пример 4 (см. ниже).
Задача 1. Доказать, что если множество M из метрического
пространства R вполне ограничено, то и его замыкание [ M ] также
вполне ограничено.
Из определения полной ограниченности сразу же следует, что
если само метрическое пространство R вполне ограничено, то оно сепарабельно. Действительно, построим для каждого натурального n в R
конечную 1 n – сеть. Объединение их по всем n представляет собой
счетное всюду плотное в R множество.
100
Поскольку сепарабельное метрическое пространство имеет
счетную базу, то мы получаем, что всякое вполне ограниченное метрическое пространство имеет счетную базу.
Пример 3. В n – мерном евклидовом пространстве полная
ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, т.е. с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если разбить этот куб на кубики с ребром  , то вершины этих
кубиков образуют ( n 2 )   – сеть в исходном кубе, а значит и в исходном множестве.
Пример 4. Единичная сфера S в пространстве l 2 дает пример
ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Действительно,
рассмотрим в S точки
e1  ( 1,0 ,...,0 ,...)
e2  ( 0 ,1,...,0 ,...)
...........
en  ( 0 ,0 ,...,1,...)
...........
Расстояние между любыми двумя точками en и em , если
n  m , равно
2 . Отсюда видно, что в S не может быть конечной
 –
сети ни при каком   2 2 .
Пример 5. Рассмотрим в пространстве l 2 множество
  { x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) : | xn | 1 2 n1 ,n  1,2,3,...} .
Это множество называется основным параллелепипедом («гильбертовым кирпичом») пространства l 2 . Множество  служит примером бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для
доказательства этого утверждения поступим следующим образом.
Пусть   0 задано. Выберем n так, чтобы 1 2 n  1   2 . Каждой точке
x  ( x1 , x2 ,...,xn , xn 1 ,...)
(1)
из  сопоставим точку
x  ( x1 , x2 ,...,xn ,0,0,...)
из того же множества  . При этом имеем:
101
(2)
( x ,x ) 

2
 xk 
k  n 1

k 1 2
( 1 2 ) 
k  n 1

i 1
( 1 4 ) 
k  n 1

k
( 1 4 ) 
k n
 1 ( 3  4 n 1 )  1 2 n 1   2 .
Множество   точек вида (2) из  вполне ограничено как ограниченное множество в n – мерном пространстве. Выберем в   конечную  2 – сеть. Тогда эта сеть будет  – сетью во всем  .
Компактность и полная ограниченность.
Теорема 6. Если метрическое пространство R счетнокомпактно, то оно вполне ограничено.
Доказательство. Предположим, что R не вполне ограничено.
Это значит, что при некотором  0  0 в R не существует конечной  0
– сети. Возьмем в R произвольную точку a1 . Тогда в R найдется хотя
бы одна точка a 2 такая, что  ( a1 , a2 )   0 , так как в противном случае
точка a1 была бы  0 – сетью для R . Далее, в R найдется такая точка
a3 , что  ( a1 , a3 )   0 и  ( a2 , a3 )   0 ; иначе пара точек a1 , a 2 была
бы  0 – сетью. Если точки a1 ,…, a k уже фиксированы так, что
( ai , a j )   0 , если i  j ,
то в R найдется точка a k 1  R такая, что
 ( ai ,ak 1 )   0 , i  1,2,...,k ,
иначе точки a1 ,…, a k были бы  0 – сетью в R . Продолжая таким образом, мы получим бесконечную последовательность a1 ,…, a k ,…, которая не имеет ни одной предельной точки, поскольку  ( ai , a j )   0 при
i  j . Но тогда пространство R не счетно-компактно. Теорема доказана.
Итак, для метрических пространств счетная компактность влечет полную ограниченность (т.е. наличие конечной  – сети при любом
  0 ), а это в свою очередь влечет наличие счетной базы. В силу теоремы 5 отсюда получаем важное
Следствие 1. Всякое счетно-компактное метрическое пространство компактно.
102
Мы показали, что полная ограниченность есть необходимое
условие компактности метрического пространства. Но это условие не
достаточно.
Пример 6. Совокупность рациональных точек отрезка [0,1] с
обычным определением расстояния между ними есть вполне ограниченное, но не компактное пространство: последовательность точек этого
пространства
0; 0,4; 0,41; 0,414; 0,4142; . . .
2  1 , не
т.е. последовательность десятичных приближений числа
имеет в нем предельной точки. Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 7. Для того чтобы метрическое пространство R было
компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно:
(1) вполне ограниченным,
(2) полным.
Доказательство. Необходимость полной ограниченности уже
отмечалась. Необходимость полноты очевидна: если { x n } – фундаментальная последовательность, не имеющая в R предела, то она не имеет
в R ни одной предельной точки.
Теперь установим достаточность условий (1) и (2) для компактности R . В силу следствия 1 теоремы 6 для этого достаточно установить, что R – счетно-компактно, т.е. что всякая последовательность
{ x n } точек из R имеет хотя бы одну предельную точку.
Построим вокруг каждой из точек, образующих конечную 1 –
сеть в R , замкнутый шар радиуса 1. Так как эти шары покрывают всё
R , а число их конечно, то по крайней мере один из них, например B1 ,
содержит некоторую бесконечную подпоследовательность x1( 1 ) , x2( 1 ) ,...
..., xn( 1 ) ,... последовательности { x n } . Далее, выберем ½ – сеть в B1 и
вокруг каждой из точек этой сети построим замкнутый шар радиуса ½.
По крайней мере один из этих шаров, например B2 , содержит беско(2)
нечную подпоследовательность x1
, x2( 2 ) ,...,xn( 2 ) ,... последовательно-
(1)
сти { x n } . Продолжая таким образом, найдем замкнутый шар B3 с
центром в B2 радиуса
ность
¼, содержащий бесконечную подпоследователь-
x1( 3 ) , x2( 3 ) ,...,xn( 3 ) ,...
(2)
последовательности { xn } , и т.д. Рассмот-
103
рим теперь наряду с шарами Bn замкнутые шары An с теми же центрами, но в два раза большими радиусами соответственно. Легко убедиться в том, что шары An вложены друг в друга, и их радиусы
стремятся к нулю при n   . В силу полноты пространства R пересечение их непусто и состоит из одной точки x   An . Эта точка x –
n
предельная для исходной последовательности { x n } , так как каждая ее
окрестность содержит некоторый шар Bk , а значит и бесконечную подпоследовательность { x n( k ) } последовательности { x n( k ) } . Теорема доказана.
Предкомпактность в метрических пространствах. Понятие
предкомпактности, введенное для подмножеств топологического пространства, применимо, в частности, к подмножествам метрического
пространства. При этом очевидно, понятие счетной предкомпактности
совпадает здесь с понятием предкомпактности.
Теорема 8. Для того чтобы множество M , лежащее в полном
метрическом пространстве R , было предкомпактным, необходимо и
достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.
Доказательство сразу же следует из теоремы 7 и того очевидного факта, что замкнутое подмножество полного метрического пространства само полно.
Теорема Арцела. Для множеств в конкретных пространствах
полезно иметь специальные критерии компактности. В конечномерных
пространствах предкомпактность множеств равносильна их ограниченности. Однако для более общих метрических пространств это уже неверно.
Одним из важнейших в функциональном анализе метрических
пространств является пространство C [ a ,b ] непрерывных на отрезке
[ a ,b ] функций. Для его подмножеств важный и часто используемый
критерий предкомпактности – это теорема Арцела. Необходимо ввести
некоторые понятия.
Определение 4. Семейство Ф функций  , определенных на
некотором отрезке [ a ,b ] , называется равномерно ограниченным, если
существует такое число K , что
| ( x ) | K для всех x  [ a ,b ] и всех   Ф .
104
Определение 5. Семейство Ф функций  , определенных на
некотором отрезке [ a ,b ] , называется равностепенно непрерывным,
если для каждого   0 найдется такое   0 , что
|  ( x1 )   ( x2 ) |  для всех x1 , x2  [ a , b ] таких, что | x1  x2 | 
и для всех   Ф .
Теорема 9 (Арцела). Для того чтобы семейство Ф непрерывных на отрезке [ a ,b ] функций было предкомпактно в метрическом
пространстве C [ a ,b ] , необходимо и достаточно, чтобы это семейство
было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Доказательство. Необходимость. Пусть семейство Ф предкомпактно в C [ a ,b ] . Тогда по теореме 8 для каждого   0 в семействе Ф существует конечная  3 – сеть 1 , 2 ,..., k . Каждая из
функций  i , как непрерывная на отрезке функция, ограничена:
|  i ( x ) | K i , i  1,2,...,k .
Положим K  max K i   3 . По определению  3 – сети,
   Ф имеем, что хотя бы для одного  i
 (  , i )  max |  ( x )   i ( x ) |  3 .
x
Следовательно,
|  ( x ) ||  i ( x ) |  |  ( x )   i ( x ) | K i   3  K .
Итак, Ф равномерно ограничено.
Далее, так как каждая из функций  i , образующих конечную
 3 – сеть для Ф , непрерывна, а следовательно и равномерно непрерывна на [ a ,b ] , то для данного  3 существует  i  0 такое, что
|  i ( x1 )   i ( x2 ) |  3 , если | x1  x2 |  i .
Положим   min  i . Для произвольной функции   Ф выберем  i так, чтобы  (  , i )   3 ; тогда при | x1  x2 |  будем иметь:
|  ( x1 )   ( x 2 ) ||  ( x1 )   i ( x1 ) |  |  i ( x1 )   i ( x 2 ) | 
 |  i ( x2 )   ( x2 ) | 3   3  
Равностепенная непрерывность Ф также доказана.
Достаточность. Пусть Ф – равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. Согласно теореме 8 мы
105
установим его предкомпактность в C [ a ,b ] , если покажем, что при любом   0 для него в C [ a ,b ] существует конечная

– сеть. Пусть
| ( x ) | K
для всех   Ф и пусть   0 выбрано так, что
|  ( x1 )   ( x2 ) |  5 при | x1  x2 |  i для всех   Ф .
Разобьем отрезок [ a ,b ] на оси x точками a  x0  x1  x2  ... 
 ...  xn  b на интервалы длины меньше  и проведем через эти точки вертикальные прямые. Отрезок [  K , K ] на оси y разобьем точками  K  y0  y1  y2  ...  ym  K на промежутки длины меньше
 5 и проведем через точки деления горизонтальные прямые. Таким
образом, прямоугольник a  x  b ,  K  y  K разобьется на ячейки с
горизонтальной стороной меньше  и вертикальной стороной меньше
 5 . Сопоставим теперь каждой функции   Ф ломаную  ( x ) с
вершинами в точках ( xk , yl ) (т.е. в узлах построенной сетки), уклоняющуюся в точках x k от функции  ( x ) меньше чем на  5 . Существование такой ломаной очевидно.
Поскольку по построению
|  ( xk )   ( xk ) |  5,
|  ( xk 1 )   ( xk 1 ) |  5,
|  ( xk )   ( xk 1 ) |  5,
то
| ( xk )   ( xk 1 ) | 3   5 .
Так как между точками x k и xk 1 функция  ( x ) линейна, то
| ( xk )   ( x ) | 3   5 для всех x  [ xk , xk 1 ] .
Пусть теперь x – произвольная точка отрезка [ a ,b ] и x k – ближайшая к x слева из выбранных нами точек деления. Тогда
|  ( x )   ( x ) ||  ( x )   ( xk ) |  |  ( xk )   ( xk ) |  | ( xk )   ( x ) |  .
Следовательно, ломаные  ( x ) по отношению к Ф образуют
 – сеть. Число их очевидно, конечно. Таким образом, Ф вполне ограничено, а следовательно предкомпактно. Теорема доказана.
106