Лекция № 4 Метрические пространства R

Лекция № 4
Метрические пространства
Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет
следующая
Теорема 1 (Бэр). Полное метрическое пространство R не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не
плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное. Пусть R   M n ,
n 1
где каждое из множеств M n нигде не плотно в R . Пусть S 0 – некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество M 1 , будучи нигде
не плотным, нигде не плотно в S 0 . Поэтому существует замкнутый шар
S1 радиуса меньше 1 2 , такой, что S1  S 0 и S1  M1  Ø . Поскольку
множество M 2 не плотно в S1 , то по той же причине в шаре S1 содержится замкнутый шар
S2
радиуса меньше
1 ,
3
для которого
S 2  M 2  Ø и т.д. Мы получаем последовательность вложенных друг
в друга замкнутых шаров { S n } , радиусы которых стремятся к нулю,

причем S n  M n  Ø . В силу теоремы 4 (лекция 3) пересечение  S n
n 1
содержит некоторую точку x . Эта точка по построению не принадлежит
ни одному из множеств M n , следовательно, x   M n , т.е. R   M n
n
n
в противоречие предположению. Теорема доказана.
В частности, всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком пространстве каждая точка нигде не плотна.
Пополнение метрических пространств. Если пространство R
не полно, то его всегда можно включить некоторым (и, по существу,
единственным) способом в полное пространство.
Определение 1. Пусть R – метрическое пространство. Полное
57
метрическое пространство R  называется пополнением пространства
R , если:

1) R является подпространством пространства R ;

2) R всюду плотно в R , т.е. [ R ]  R  .

(Здесь [ R ] означает замыкание R в метрике пространства R .)
Например, пространство всех действительных чисел является
пополнением пространства рациональных чисел.
Теорема 2. Каждое метрическое пространство R имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из R .
Доказательство. Единственность. Нам нужно доказать, что ес

ли R и R – два пополнения пространства R , то существует такое


взаимно однозначное отображение  пространства R на R , что
1) ( x )  x для всех x  R ;


2) если x  x  и y  y при соответствии  , то 1( x  , y  ) 
  2 ( x  , y  ) , где 1 – расстояние в R  , а  2 – расстояние в R  .
Отображение  : R   R  определим следующим образом.
Пусть x – произвольная точка из R . Тогда, по определению пополнения (см. определение 1), существует последовательность { x n } точек из

R , сходящаяся к x . Но точки { x n } входят и в R  . Так как простран

ство R полно, то последовательность { x n } сходится в метрике R
к некоторой точке x  . Ясно, что x  не зависит от выбора последова

тельности { x n } , сходящейся к x . Положим  ( x )  x . Отображе
ние  и есть искомое изометрическое отображение пространства R в

пространство R , оставляющие неподвижными точки из R .
Действительно, по построению ( x )  x для всех x  R . Далее, пусть последовательности { x n } и { y n } из R таковы, что
xn  x , yn  y  в R  и xn  x  , yn  y  в R  ;
тогда в силу непрерывности расстояния,
58
1( x , y  )  lim 1( xn , yn )  lim  ( xn , yn ) ,
n 
n 
и, аналогично,
 2 ( x , y  )  lim  2 ( xn , yn )  lim  ( xn , yn ) .
n 



n 

Следовательно, 1( x , y )   2 ( x , y ) . Таким образом, единственность пополнения с точностью до изометрии установлена.
Докажем теперь существование пополнения. Пусть R – произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные пос(Идея этого доказательства та же, что и в канторовой теории действительных чисел, и даже проще, так как там для вновь вводимых объектов – иррациональных
чисел – требуется еще определить все арифметические операции.)
ледовательности
{ x n ' } из R эквивалентными, т.е.
{ xn } ~ { xn' } , если lim  ( xn , xn ' )  0 . Необходимо убедиться в том,
{ xn }
и
n 
что это действительно рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение, т.е.
1) { xn } ~ { xn } для любой фундаментальной последовательности { x n } из R ,
2) если { xn } ~ { yn } , то { yn } ~ { xn } ,
3) если { xn } ~ { yn } и { yn } ~ { z n } , то { xn } ~ { z n } .
Эти три условия, очевидно, выполнены. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек
пространства R , распадаются на классы эквивалентных между собой

последовательностей. Определим теперь метрическое пространство R .
За его точки мы примем всевозможные классы эквивалентных между
собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними
(классами эквивалентности!) зададим следующим образом. Пусть x и
y  – два таких класса.
Выберем в каждом из этих классов по одному представителю,
т.е. по некоторой фундаментальной последовательности { x n } и { y n }

и положим ( 1 – метрика в пространстве R !)
1( x , y  )  lim  ( xn , yn ) .
n 
(1)
Докажем корректность этого определения расстояния, т.е. докажем, что
59
этот предел существует и не зависит от выбора представителей
{ xn }  x  и { y n }  y  . Имеем неравенство
|  ( xn , yn )   ( xm , ym ) |  ( xn , xm )   ( yn , ym )
(2)
Докажем это неравенство. В силу аксиомы треугольника имеем:
 ( xm , y m )   ( xm , xn )   ( xn , y m )   ( xn , xm )   ( xn , y n )   ( y n , y m ) ,
откуда следует, что
 ( xn , xm )  ( y n , y m )  ( xn , y n )  ( xm , y m )
(3)
Далее,
 ( xn , y n )   ( xn , xm )   ( xm , y n )   ( xn , xm )   ( xm , y m )   ( y m , y n ) ,
откуда следует неравенство
 ( xn , y n )   ( xm , y m )   ( xn , xm )   ( y n , y m ) .
(4)
Неравенства (3) и (4) означают, что
|  ( xn , y n )   ( xm , y m ) |  ( xn , xm )   ( y n , y m ) ,
так как | a | b означает, что  b | a | b . Неравенство (2) доказано.
Поскольку последовательности { x n } и { y n } фундаментальны, то из
неравенства (2) получаем, что для всех достаточно больших n, m  N
|  ( xn , yn )   ( xm , ym ) |  ,
т.е. числовая последовательность sn   ( xn , yn ) удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Этот предел не зависит от


выбора представителей { xn }  x и { y n }  y . Действительно, пусть
{ xn },{ xn' }  x и { yn },{ yn ' }  y  . Как и выше, справедливо неравенство (докажите!)
|  ( xn , yn )   ( xn' , yn' ) |  ( xn , xn' )   ( yn , yn' ) .
Поскольку { xn } ~ { xn ' } и { y n } ~ { y n ' } , то отсюда следует, что
lim  ( xn , yn )  lim  ( xn' , yn' ) .
n 
n 
Таким образом, мы показали, что 1 , задаваемое равенством (1),
существует и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентностей.
Докажем теперь, что метрика 1 , определенная в пространстве
R  равенством (1), удовлетворяет аксиомам метрики.
60
1) 1( x , y  )  0 если и только если классы эквивалентности x и y 
совпали. Действительно, если 1( x , y  )  0 , то выбрав в классах эквивалентности x и y  по представителю { xn }  x  и { y n }  y  , получим
0  1( x , y  )  lim  ( xn , yn ) .
n 
Поэтому фундаментальные последовательности { x n } и { y n } эквивалентны, т.е. x   y  . Обратное утверждение очевидно: если x   y  , то
1( x , y  )  0 .
 
 
2) Симметрия: 1( x , y )  1( y , x ) . Это условие, очевидно, выполнено.
3) Аксиома треугольника. Так как в исходном пространстве R аксиома
треугольника выполнена, то для x , y  , z   R , выбрав по представителю { xn }  x  , { y n }  y  и { z n }  z  , имеем:
 ( xn , zn )   ( xn , yn )   ( yn , zn ) .
Переходя к пределу при n   , убеждаемся в справедливости аксиомы

 
 
 
треугольника в пространстве R : 1( x , z )  1( x , y )  1( y , z ) .
Покажем теперь, что R можно рассматривать как подпростран
ство пространства R . Каждой точке x  R отвечает некоторый класс
эквивалентных фундаментальных последовательностей, а именно совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке x . Этот класс
не пуст, так как содержит стационарную последовательность, все члены
которой равны x . При этом, если
x  lim xn и y  lim yn , то 1( x , y )  lim  ( xn , yn ) .
n 
n 
n 
Следовательно, соотнеся каждой точке x  R класс x сходящихся к
ней (фундаментальных!) последовательностей, мы изометрически отоб
разим R в подпространство R .
В дальнейшем мы можем не различать само пространство R и


его образ в R и рассматривать R как подпространство в R .
61
Покажем теперь, что R всюду плотно в R  . Действительно,
пусть x – некоторая точка из R и   0 произвольно. Выберем в x
представителя, т.е. некоторую фундаментальную последовательность
{ x n } . Пусть N таково, что  ( xn , xm )    n,m  N . Тогда имеем:

1( xn , x )  lim  ( xn , xm )    n  N ,
m 
т.е. произвольная окрестность точки x содержит некоторую точку из
R . Таким образом, R всюду плотно в R  .

Остается доказать полноту пространства R . По построению
R  любая фундаментальная последовательность x1 , x2 ,...,xn ,... точек
из R сходится в R к некоторой точке, а именно, к точке x  R ,
определяемой самой этой последовательностью. Далее, так как R всю

ду плотно в R , то для любой фундаментальной последовательности
x1 , x2 ,...,xn ,... точек из R  можно построить эквивалентную ей последовательность x1 , x2 ,...,xn ,... точек из R . Для этого достаточно в качеx n взять любую точку из R такую, что  ( xn , xn )  1 n .
Построенная последовательность { x n } фундаментальна в R и, по
стве
определению, сходится к некоторой точке x  R . Но тогда к x cхо
дится и последовательность { x n } . Теорема полностью доказана.
Принцип сжимающих отображений и его применения. Многие вопросы, связанные с существованием и единственностью решений
различных уравнений (дифференциальных, интегральных и т.д.), можно
свести к вопросу о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя.
Пусть R – метрическое пространство. Отображение A : R  R
пространства R в себя называется сжимающим отображением, или
сжатием, если существует такое положительное число   1 , что для
любых двух точек x , y  R выполняется неравенство
( Ax, Ay )  ( x , y ) .
62
(5)
Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно,
xn  x , т.е.  ( xn , x )  0 при n   , то в силу (5)
 ( Axn , Ax )  0 , т.е. Axn  Ax .
Точка x  R называется неподвижной точкой отображения
A : R  R пространства R в себя, если Ax  x . Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax  x .
если
Теорема 3 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства R в себя
имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть x0 – произвольная точка в R . Поло-
xn  Axn 1  An x0 ,
n  1,2,3,..... Покажем, что последовательность { x n } фундаментальна.
Действительно, считая для определенности m  n , имеем
 ( xn , xm )   ( An x0 , Am x0 )   n  ( x0 , xmn ) 
жим
x1  Ax0 ,
x2  Ax1  A2 x0 ,
и
т.д.,
  n {  ( x0 , x1 )   ( x1 , x 2 )  ...   ( xmn 1 , xmn )} 
  n  ( x0 , x1 ){ 1     2  ...   mn 1 }   n  ( x0 , x1 )
1
.
1
Так как   1 , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно
мала. В силу полноты пространства R последовательность { x n } , будучи фундаментальной, имеет предел. Положим
x  lim xn .
n 
Тогда в силу непрерывности отображения A
Ax  A lim xn  lim Axn  lim xn 1  x .
n 
n 
n 
Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее
единственность. Если
Ax  x , Ay  y ,
то неравенство (5) принимает вид
( x , y )  ( x , y ) ;
так как   1 , отсюда следует, что
( x , y )  0 , т.е. x  y .
Теорема доказана.
63
Применения принципа сжимающих отображений.
1) Рассмотрим линейное отображение A n -мерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений
yi   nj 1 aij x j  bi ,
i  1,2,...,n .
(6)
Если отображение A есть сжатие, то мы можем применить метод последовательных приближений к решению системы уравнений x  Ax .
Условие того, что A – сжатие, зависит от выбора метрики в пространстве. Рассмотрим три варианта.
a) Пространство R0n , где  ( x , y )  max | xi  yi | . Пусть y'  Ax' ,
1i  n
y' '  Ax' ' . Тогда
 ( y' , y' ' )  max | yi '  yi ' ' | max |  j aij x j '   j aij x j ' ' |
1 i  n
i
 max |  j aij ( x j '  x j ' ' ) | max(  j | aij |  | x j '  x j ' ' |) 
i
i
 ( max  j | aij | )  ( max | x j '  x j ' ' |)  ( max  j | aij |)   ( x' , x' ' ).
i
Отсюда
j
условие
i
сжатости
отображения
A:
 j 1| aij |   1 ,
n
i  1,2,...,n .
b) Пространство
R1n , где  ( x , y )   j 1| x j  y j | . В этом случае
n
 ( y' , y' ' )  i | yi '  yi ' ' |  i |  j aij x j '   j aij x j ' ' | 
 i |  j aij ( x j '  x j ' ' ) |  i  j | aij |  | x j '  x j ' ' | 
  j i | aij |  | x j '  x j ' ' |  max i | aij |  j | x j '  x j ' ' | 
j
 ( max i | aij | )   ( x' , x' ' ).
j
Отсюда
условие
сжатости
отображения
A : in1| aij |    1 ,
j  1,2,...,n .
n
c) Пространство R , где
используется
( x , y )  in1 ( xi  yi )2
неравенство
Коши-Буняковского:
 ( k a k2 )  ( k bk2 ) .
64
. Для оценок
( k ak bk )2 
 ( y' , y' ' )  i ( yi '  yi ' ' )2  i (  j aij x j '   j aij x j ' ' )2 
  i (  j aij ( x j '  x j ' ' ))2   i  j aij2  j ( x j '  x j ' ' )2 
 (  ij aij2 )   2 ( x' , x' ' ).
Отсюда условие сжатости:
ij aij2    1 .
Более существенны применения принципа сжимающих отображений в бесконечномерных функциональных пространствах.
2) Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим дифференциальное уравнение
dy
 f ( x, y )
dx
(7)
y ( x0 )  y 0 .
(8)
с начальным условием
Предполагается, что числовая функция двух переменных f ( x , y ) определена и непрерывна в некоторой открытой области на плоскости G ,
содержащей точку ( x0 , y0 ) и удовлетворяет в этой области условию
Липшица по аргументу y , т.е.
| f ( x , y1 )  f ( x , y 2 ) | M | y1  y 2 | .
(9)
Докажем, что тогда на некотором отрезке | x  x0 | d существует, и при
том только одно решение y   ( x ) уравнения (7), удовлетворяющее
начальному условию (8).
Задачу (7)-(8), т.е. нахождение решения дифференциального
уравнения (7), удовлетворяющего начальному условию (8), принято
называть задачей Коши.
Уравнение (7) с начальным условием (8) эквивалентно интегральному уравнению
x
 ( x )  y0   f ( t , ( t ))dt .
x0
(10)
Действительно, если y   ( x ) есть решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию (8), то интегрируя равенство
d ( x )
 f ( x , ( x ))
dx
65
в промежутке от x0 до x , убеждаемся в том, что y   ( x ) есть реше-
ние интегрального уравнения (10). Обратно, если y   ( x ) есть решение интегрального уравнения (10), то дифференцируя равенство (10),
получаем, что y   ( x ) есть решение уравнения (7). Полагая в (10)
x  x0 , убеждаемся в том, что начальное условие (8) выполнено.
Наша задача свелась к доказательству того, что на некотором
отрезке | x  x0 | d существует и единственно решение y   ( x ) интегрального уравнения (10). В силу непрерывности функции f ( x , y ) в
области
G имеем:
| f ( x , y ) | K
(11)
G'  G , содержащей точку ( x0 , y0 ) . Рассмотрим
отображение   A в пространстве непрерывных на отрезке
| x  x0 | d функций, задаваемое формулой
в некоторой области
x
 ( x )  y0   f ( t , ( t ))dt .
x0
Имеем следующие оценки:
x
x
x0
x0
| ( x )  y0 ||  f ( t , ( t ))dt |  | f ( t , ( t )) | dt  Kd ,
| 1 ( x )   2 ( x ) |
x
x
x
x0
x0
|  f ( t , 1 ( t ))dt   f ( t , 2 ( t ))dt |  | f ( t , 1 ( t ))  f ( t , 2 ( t )) | dt 
x0
x
 M  | 1( t )   2 ( t ) | dt M max | 1( x )   2 ( x ) | d .
| x  x | d
x0
0
Пусть теперь d таково, что M  d  1 . Рассмотрим в пространстве непрерывных на отрезке | x  x0 | d функций подпространство
C   {  ( x ) : |  ( x )  y0 | Kd } .

В силу последних двух оценок имеем: отображение A переводит C в
A( C  )  C  , и является сжатием, так как M  d  1 . Тогда в

силу принципа сжатия в C существует единственная неподвижная
себя, т.е.
66
точка отображения A , которая и является решением интегрального
уравнения (10), а следовательно и решением задачи Коши (7) – (8).

Замечание 1. Необходимо доказать, что подпространство C замкнуто. Тогда
замкнутое подпространство полного метрического пространства также является полным
метрическим пространством, в котором и верен принцип сжатия.
3) Задача Коши для систем дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему уравнений
dyi
 fi ( x , y1 ,..., yn ) , i  1,2,...,n ,
dx
(12)
yi ( x0 )  y0i , i  1,2,...,n ,
(13)
с начальными условиями
где функции f i определены и непрерывны в некоторой области G проn 1
странства R
, содержащей точку ( x0 , y01 ,..., y0 n ) , и удовлетворяют в
ней условию Липшица
| f i ( x , y1( 1 ) ,..., yn( 1 ) )  f i ( x , y1( 2 ) ,..., yn( 2 ) ) | M max | yi( 1 )  yi( 2 ) | .
1 i  n
Нам надо доказать, что на некотором отрезке | x  x0 | d существует
одно и только одно решение задачи (12), (13). Так же как и в одномерном случае, система (12) с начальными условиями (13) эквивалентна
системе интегральных уравнений
 i ( x )  y0i 
x
 f i ( t ,1( t ),..., n ( t ))dt , i  1,2,...,n .
x0
В силу непрерывности функций f i они ограничены в некоторой области G'  G , содержащей точку ( x0 , y01 ,..., y0 n ) , т.е. существует константа K такая, что
| f i ( x , y1 ,..., yn ) | K в области G' , i  1,2,...,n .
По аналогии с обыкновенным дифференциальным уравнением подбираем постоянную d  0 так, чтобы выполнялись условия
1) ( x , y1 ,..., yn )  G' , если | x  x0 | d , | yi  y0i | Kd , i  1,2,...,n ,
2) Md  1 .

Рассмотрим пространство C n , элементами которого являются вектор-
функции  ( x )  ( 1( x ),..., n ( x )) , определенные и непрерывные на
67
отрезке | x  x0 | d и такие, что | i ( x )  y0i | Kd . Определим метрику формулой
 (  , )  max max | i ( x )  i ( x ) | .
i
| x  x0 | d
Это – полное метрическое пространство. Отображение   A , задаваемое формулой
x
 i ( x )  y0i   f i ( t , 1 ( t ),..., n ( t ))dt , i  1,2,...,n ,
x0
есть сжимающее отображение полного метрического пространства C n в
себя. Действительно,
x
 i( 1 ) ( x )  i( 2 ) ( x )   [ f i ( t , 1( 1 ) ( t ),..., n( 1 ) ( t )) 
x0
 f i ( t , 1( 2 ) ( t ),..., n( 2 ) ( t ))] dt ,
и следовательно
max | i( 1 ) ( x )  i( 2 ) ( x ) | Md  max |  i( 1 ) ( x )   i( 2 ) ( x ) | .
x ,i
x ,i
Поэтому отображение A – сжимающее, поскольку Md  1 . Отсюда
вытекает, что операторное уравнение   A имеет одно и только одно

решение в пространстве C n , т.е. задача Коши (12), (13) для системы
дифференциальных уравнений по крайней мере локально имеет одно и
только одно решение.
4) Интегральное уравнение Фредгольма. Рассмотрим неоднородное интегральное уравнение второго рода вида
b
f ( x )    K ( x , y ) f ( y )dy   ( x ) ,
(14)
a
где функция двух переменных K ( x , y ) задана и непрерывна в области
a  x  b , a  y  b (квадрат на плоскости), а функция  ( x ) непрерывна при a  x  b .
Функция K ( x , y ) называется ядром интегрального уравнения,
а  – произвольный числовой параметр.
Рассмотрим отображение g  Af полного метрического пространства непрерывных функций C [ a ,b ] в себя, задаваемого формулой
68
b
g( x )    K ( x , y ) f ( y )dy   ( x ) .
a
В силу непрерывности ядра K ( x , y ) имеем: | K ( x , y ) | M . Поэтому
справедлива оценка
b
 ( g1 , g 2 )  max | g1 ( x )  g 2 ( x ) | max |   K ( x , y )[ f 1 ( y )  f 2 ( y )] dy | 
x
x
a
|  | M ( b  a )  max | f1 ( x )  f 2 ( x ) ||  | M ( b  a )   ( f1 , f 2 ) .
x
Тогда при всех  таких, что |  | 1
M(b  a )
, отображение A – сжи-
мающее, т.е. при таких  уравнение Фредгольма имеет единственное
непрерывное решение.
Последовательные
приближения
к
этому
решению
f 0 , f 1 ,..., f n ,... имеют вид
b
f n ( x )    K ( x , y ) f n 1 ( y )dy   ( x ) , n  1,2,3,...,
a
где в качестве f 0 ( x ) можно взять любую непрерывную на отрезке
[ a ,b ] функцию.
5) Интегральное уравнение Вольтерра. Рассмотрим теперь
интегральное уравнение вида
x
f ( x )    K ( x , y ) f ( y )dy   ( x ) .
(15)
a
Отличие от уравнения Фредгольма состоит в том, что верхний предел в
интеграле – переменная величина. Формально это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив
ядро K ( x , y ) равенством K ( x , y )  0 при y  x . В случае уравнения
Фредгольма мы были вынуждены ограничиться малыми значениями
параметра  , а к уравнению Вольтерра принцип сжимающих отображений (точнее, его обобщение) применим при всех значениях параметра
.
Теорема 4. Пусть A – такое непрерывное отображение полного
n
метрического пространства R в себя, что некоторая его степень B  A
является сжатием; тогда уравнение
Ax  x
имеет одно и только одно решение.
69
Доказательство. Так как отображение B – сжатие, то у него
существует единственная неподвижная точка x : Bx  x . Тогда при
любом k
Ax  ABx  AB k x  B k Ax  B k x0 , где x0  Ax .
В
силу
сжатости
отображения
B
(16)
последовательность
Bx 0 , B x0 ,..., B x0 ,... для любого x0  R сходится к неподвижной
2
k
точке x отображения B . Если в равенстве (16) k   , то имеем
Ax  x , т.е. неподвижная точка отображения B является неподвижной
и для A . В силу того, что любая неподвижная отображения A является
неподвижной точкой и для отображения A  B , и так как B – сжатие, то она единственна. Теорема доказана.
Вернемся теперь к интегральному уравнению Вольтерра и рассмотрим отображение
n
x
Af ( x )    K ( x , y ) f ( y )dy   ( x ) .
a
Покажем, что некоторая степень этого отображения является сжатием.
Пусть f 1 и f 2 – две непрерывные на отрезке [ a ,b ] функции. Тогда
x
| Af1 ( x )  Af 2 ( x ) ||  |  |  K ( x , y )[ f 1 ( y )  f 2 ( y )] dy 
a
|  | M ( x  a )  max | f1( y )  f 2 ( y ) | ,
x
где M  max | K ( x , y ) | . Поэтому
x
| A2 f 1 ( x )  A2 f 2 ( x ) ||  |2 M 2
( x  a )2
max | f 1 ( x )  f 2 ( x ) | ,
x
2
и так далее,
| An f 1 ( x )  An f 2 ( x ) ||  |n M n
( x  a )n
max | f 1 ( x )  f 2 ( x ) |
x
n!
( b  a )n
max | f 1 ( x )  f 2 ( x ) | .
x
n!
n
n
n (ba)
 1 . Тогда
Очевидно, что существует n такое, что |  | M
n!
|  |n M n
n
отображение A есть сжатие. Следовательно уравнение Вольтерра при
любом  имеет решение, и при том единственное.
70