применение неравенств между средними

Неравенства между средними и следствия из них
a1  a2  ...  ak
называется их средним
k
a1  a2  ...  ak — средним геометрическим, число
Если даны числа a1,...,ak, то число
арифметическим, число
k
a12  a22  ...  ak2
k
— средним квадратическим, а число
— средним
1 1
1
k
  ... 
a1 a2
ak
гармоническим. Классические неравенства между средними выглядят так: для
положительных чисел a1 ,..., ak
a  a  ...  ak
a12  a22  ...  ak2
 1 2

k
k
k
a1  a2  ...  ak 
k
1 1
1
  ... 
a1 a2
ak
,
причём равенство во всех трёх случаях достигается только когда a1 = ... = ak.
1. Докажите неравенства между средними.
2. Пусть b1, b2, …, bn произвольная перестановка положительных чисел a1, a2, …, an.
Докажите, что a1/b1 + a2/b2 +a3/b3 + …+an/bn n . Установите, когда достигается равенство.
3. Докажите, что если числа a1, …, an неотрицательны, то
 a  2a2  3a3  4a4 
a1  a22  a33  a44   1
 .
10


10
4. Докажите, что если числа a1, …, an неотрицательны, а S – их сумма, то выполнено
неравенство
S
S
S
n2

 ... 

.
S  a1 S  a2
S  an n  1
5. В арифметической и геометрической прогрессиях, составленных из положительных
чисел, поровну членов, а первые и последние члены соответственно равны. Докажите, что
любой из остальных членов геометрической прогрессии не превосходит
соответствующего члена арифметической прогрессии.
6. Докажите, что при любых натуральных n и m
m n
m2  n2
m n 
.
mn
m
n
Для самостоятельного решения.
7. Докажите, что (1+x2+…+x100)(1+x102)102x101.
 a2  b2  c2 

8. Докажите, что a b c  

a

b

c


a b c
a b  c
при любых натуральных a, b и c.