1. При движении малого шарика на него в горизонтальном направлении

1. При движении малого шарика на него в горизонтальном направлении


действует сила F и сила F k . Если шарик имеет массу m1, то согласно
второму закону Ньютона
F  Fk  m1 a (1)
На второй, большой шарик массой m2 по горизонтали действует только
сила Fk, поэтому
Fk=m2a (2)
Заряженные шарики можно считать точечными зарядами, т.к. расстояние
между ними во много раз больше их размеров. Сила притяжения между
ними будет в этом случае достаточно точно удовлетворять заколу Кулона:
Fk 
q1 q 2

4 0 l 2
n2e2
4 0 l 2
(3)
Поскольку q1  q2  ne
Массы шариков можно выразить через их плотность и радиусы:
m1  V1  r 3 и m2  V2  r 3 (4)
Число атомов, находящихся в малом шарике, равно:
N
m1
N a (5)
M
где Na – число Авогадро.
Число электронов, взятых у малого шарика и переданных большему равно:
n
N
z
(6)
Уравнениями (1)(6) условия задачи исчерпываются полностью. В этих
условиях неизвестными остаются F, m1, m2, a, N и n. Решая их совместно
относительно искомой силы F и подставляя числовые значения, получим:
4  eNR 
2
2
F

 R  r ; F≈735 Н.
q 0  zMl 
2


Чтобы нить натянулась нужно к шарику меньшей массы приложить силу
F min  F .
2. Если длина конденсатора l и расстояние между пластинами d, то проекции
перемещения электрона за время прохождения поля конденсатора на эти
направления равны соответственно:
2
l   0 t и d  at
2
2
(1)

Сила, сообщающая электрону массой m ускорение a , по второму закону


Ньютона равна F  ma . Представим уравнение второго закона в развёрнутом
виде, выразив силу, действующую на заряженную частицу, через


характеристики поля. Поскольку F  qE , а E  U , где
d

E - напряженность
поля между пластинами конденсатора и U – разность потенциалов, то F  qU .
d
Тогда основное уравнение динамики можно записать в скалярной форме так:
qU
 ma
d
(2)
Если ускоряющее поле совершает над частицей с массой m и зарядом й
работу А=qU0, то частица приобретает кинетическую энергию Wk 
mv02
.
2
mv02
Согласно закону сохранения и превращения энергии qU 0 
.
2
Откуда
v0 
2qU 0
m
(3)
Решая уравнения перемещения (или скорости) вместе с уравнениями (2) и (3)
относительно искомой разности потенциалов на пластинах конденсатора и
подставляя числовые значения, получим:
2d 2
U  2 U 0 ; U=1,8 кВ
l
3. а) Закон сохранения и превращения механической энергии:
A=W2-W1
Работа внешних сил над протоном – работа сил поля равна:
А  q(1   2 )
(здесь  1 - потенциал поля ядра в той точке, где протон обладал кинетической
энергией W1 
mv02
;  2 - потенциал поля в точке, где протон остановился,
2
W2=0). Если расстояние от ядра до указанных точек поля равно r и R, то,
учитывая, что по условию задачи заряд ядра равен 2q и   1 , для
потенциалов поля в этих точках получим:
1 
2q
4 0 R
и 2 
2q
4 0 R
С учётом этих выражений для работы сил поля будем иметь:
A
так как в данном случае
q2  1 1
q2
,
   , или A  
2 0  R r 
2 0 r
R r .
Подставляя выражения для работы сил поля и кинетических энергий протона
в исходную формулу закона сохранения и превращения энергии, мы получим
окончательное уравнение для определения минимального расстояния r, на
которое протон приближается к неподвижному ядру гелия:
q2
2 0 r

mv02
2
Решая это уравнение относительно r и подставляя числовые значения,
находим:
r
q2
 0 r
; r  3,45  10 10 м.
б) По закону сохранения импульса:
mv0  mv1  4mv1 , откуда v1 
v0
5
(1)
Переходим теперь к составлению уравнения закона сохранения и
превращения механической энергии. Кинетическая энергия системы протон –
ядро в первом состоянии равна W1 
mv02
5mv12
, во втором W2 
. При переходе
2
2
системы из первого состояния во второе силы поля совершают работу
A
q2
2 0 r
(такую же, как и в первом случае!).
Согласно закону сохранения энергии:
5mv12 mv02



2 0 r
2
2
q2
(2)
Из уравнения (2) с учётом соотношения (1) получаем, что минимальное
расстояние, на которое сближаются частицы при столкновении, равно:
r
5 q2
; r  4,3  10 10 м.
2
4  0 mv0
4. В начальный момент времени:
ma 
q2
4 0 l
3
1
 mg
2
2
2
Из закона сохранения энергии:
q2
4 0 l
 2mgl
q2
3
mv 2

2
2
4 0 l
2
Из этих уравнений:
3
l 2a  5 g   0,66 м/c.
6
v
5. Ёмкость двух последовательно соединённых конденсаторов равна:
С ПС 
С1С 2
С1  С 2
Подставляя в эту формулу выражения для
С1 
2  S
2 0  1 S
и С2  0 2
d
d
для общей ёмкости получим:
С ПС 
где С 0 
0S
d
2 0  1 2 S 2 1 2 С 0

 1   2 d  1   2
(1)
- ёмкость воздушного конденсатора до внесения диэлектриков.
Ёмкость двух конденсаторов, соединенных параллельно, равна: С ПР  C1  C2 .
Но С1 
 0 1 S
2d
; С 2 
 0 2 S
2d
, поэтому
С ПР 
 0 ( 1   2 )S
2d

 1   2 С0
2
(3)
Из выражений для С СП и С ПР видно, что ёмкости системы в первом и втором
случаях отличаются друг от друга в число раз, равное
С ПС
4 1 2

.
С ПР  1   2 2
При последовательном соединении конденсаторов ёмкостями С1 и С2
подаваемое на них напряжение U равно сумме напряжений на первом и
втором слоях диэлектриков: U=U1+U2. Поскольку поля в диэлектриках
однородные, то U 1  E1
d
d
; U 2  E 2 , и, следовательно:
2
2
U  E1  E 2 
d
2
(3)
При наложении на диэлектрики внешнего поля напряжённостью E0
напряжённость а каждой среде уменьшиться соответственно в  1 и  2 раз, т.е.
E1 
E0
1
и E2 
E0
2
, откуда:
 1 E1   2 E2 (4)
Из уравнений (3), (4) находим:
E1 
2 2U
2 1U
и E2 
 1   2 d
 1   2 d
Если слои диэлектриков перпендикулярны пластинам, то напряжение на
каждом из образовавшихся конденсаторов ёмкостями С1 и С2 одинаково и
равно U, поэтому E1 
U
U
, E1  .
d
d
Напряжённости полей в первой и второй среде при указанном расположении
слоёв диэлектриков относятся друг к другу как
E1
2 2
E
2 1
и 2
.

E1  1   2
E 2  1   2
U
, напряжённость поля в первой среде будет
d
E
U
ослаблена в  1 раз и будет равна E1  0 
. Это поле является
 1  1 d 

результатом наложения двух полей : поля напряжённостью E0 и поля

напряжённостью E C , создаваемого связанными зарядами и направленного
Напряжённость поля равна E 0 
навстречу полю пластин, т.е.
E1  E0  EC , или иначе:
U
U
  EC
 1d d
(5)
Напряжённость поля , созданного двумя параллельными заряженными
пластинами EC 
1
.
0
Подставив Ес в уравнение (5), получим окончательную формулу для
определения искомой плотности связанных зарядов:
   1U
U
U 
.
  1 , отсюда  1  0 1
 1d d  0
 1d
Аналогично для второго слоя диэлектрика будем иметь:
2 
 0  1  1U
 2d
6. Пусть к моменту, когда через источник протек заряд q на конденсаторе
установилось напряжение U.
Из закона сохранения энергии:
Здесь
. Т.к. соединения параллельны , то
Таким образом: