Определители
advertisement
308813495 1 Определители Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде: a11 x1 a12 x2 b1 . a21 x1 a22 x2 b2 Найдем x1 следующим образом: чтобы исключить x2, умножим первое уравнение на a22 и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a12: a11a22 a12 a21 x1 b1a22 b2 a12 . (1) Обозначим = a11a22 – a12a21, 1 = b1a22 – b2a12. Для определения x2 поступим так: умножим второе уравнение на a11 и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a21: (a11a22 – a12a21)x2 = a11b2 – a21b1. (2) Обозначим 2 = a11b2 – a21b1. Из (1) и (2) видно, что если 0, то система имеет единственное решение1, определяемое формулой (3) xi i ,i 1,2 . Величина называется определителем матрицы второго порядка a11 a12 . a 21 a 22 Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка 12 11 12 называется число, которое обозначается 11 и равно произ 21 22 21 22 ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: 1122 – 1221. Если говорить строго, то из (1) и (2) следует, что если решение существует, то оно единственным образом выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Чтобы доказать существование, надо подставить две формулы (3) в систему и убедиться в том, что оба уравнения обращаются в верные равенства. 1 308813495 Например, 2 3 4 2 5 15 8 23 . Из сказанного следует, что величины 1 и 2 в (3) тоже являются определителями: b 1 1 b2 Рассмотрим неизвестными: теперь a12 a b ; 2 11 1 . a22 a21 b2 систему трех линейных a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 . a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2 уравнений с тремя (4) Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего c11 c12 порядка c21 c22 c 31 c32 c13 c23 называется сумма шести слагаемых, каждое из которых c33 представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников берутся со знаком "", а три произведения элементов, стоящих на второй 308813495 3 диагонали и в вершинах двух других треугольников берутся со знаком "". Определитель третьего порядка обозначается так: c11 c12 c21 c22 c31 c32 c13 c23 . c33 Например, 2 3 5 1 2 3 2 4 9 2 2 9 3 3 2 1 4 5 2 2 5 1 3 9 4 3 2 36 18 20 20 27 24 15 Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3, (5) где a11 a12 a21 a22 a31 a32 a11 b1 2 a21 b2 a31 b3 a13 b1 a12 a13 a23 ; 1 b2 a22 a23 ; a33 b3 a32 a33 a13 a11 a12 a23 ; 3 a21 a22 a33 a31 a32 b1 b2 . b3 Из формул (5) видно, что если 0, то единственным образом определяется решение системы (с оговоркой, которая приведена в сноске на стр. 1): xi i ,i 1,2,3 . 308813495 4 Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5). Дадим определение определителя a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1n a2n (6) a nn квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.) Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA. Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя2 . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится знак "" или "". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед произведением. Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так: a1ia2ja3kans. Здесь i, j, k, , s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, , s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, , s – различные. Попробуйте доказать сами, что таких произведений, отличающихся одно от другого набором элементов существует ровно n! 2 308813495 5 Из индексов этого произведения можно составить подстановку 2, n 1, , , 2 n 1 Теперь можно сформулировать правило: произведение a11 a2 2 a n n берется со знаком "", если подстановка из индексов сомножителей четная, и со знаком "", если эта подстановка нечетная. Из определения определителя можно вывести следующие его свойства. 1. Определитель не меняется при транспонировании. Доказательство. Если транспонировать определитель (6), то получим an1 a n2 a11 a12 a21 a22 a1n a2n ann (7) Каждый член определителя (6) имеет вид a11 a2 2 an n , (8) где вторые индексы составляют перестановку из чисел 1,2,,п. Однако, все множители произведения (8) в определителе (6) остаются в разных строках и разных столбцах, то есть произведение (8) служит слагаемым и для определителя (7). Очевидно, верно и обратное, и поэтому определители (6) и (7) состоят из одних и тех же слагаемых. Знак произведения (8) в определителе (6) определяется чётностью подстановки 2, n 1, 1 , 2 , n (9) В определителе (7) первые индексы указывают на номер столбца, вторые – на номер строки, поэтому произведению (8) в определителе (7) соответствует подстановка 308813495 6 1, 2, , n 1 , 2 , , n (10) Подстановки (9) и (10) различные, но имеют одну чётность, поэтому произведение (8) имеет в обоих определителях один и тот же знак. Таким образом, определители (6) и (7) являются суммами одинаковых произведений, взятых с одинаковыми знаками, то есть равны друг другу. Из этого свойства вытекает, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов и обратно, то есть в определителе строки и столбцы равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будут формулироваться и доказываться для строк определителя. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Это очевидный факт, и доказательство его приводить не будем. 3. Если поменять местами две строки определителя, то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на 1 . Доказательство. Пусть определитель 11 12 1n j1 j 2 jn i1 i2 (11) in n1 n 2 nn получен из определителя (6) путём транспозиции i-й и j-й строк. Если (9) есть одно из слагаемых, составляющих определитель (6), то (9) является одним из слагаемых, составляющих определитель (11), так как в этом произведении все сомножители стоят в разных строках и разных строках. Произведению (9) в определителе (6) соответствует подстановка 308813495 7 1, 2, i , 1 2 i j, j n , n (12) n n (13) а в определителе (11) – 1, 2, j , i , 1 2 i j Последняя подстановка получается из предыдущей транспозицией в верхней строке, и, следовательно, имеет противоположную чётность. Из сказанного следует, что все произведения, составляющие определитель (6), входят и в определитель (11), но с противоположными знаками, и свойство 3. можно считать доказанным. 4. Определитель, имеющий две равных строки, равен нулю. Это следует из того что, поменяв местами две равных строки в определителе, по предыдущему свойству мы должны получить новый определитель, равный исходному с противоположным знаком. Однако, такое преобразование, очевидно, не должно изменить исходный определитель, то есть, если исходный определитель равен d, то мы приходим к уравнению d = – d с единственным корнем d = 0. 5. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число. Справедливость этого положения непосредственно следует из определения определителя. 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. Это сразу следует из двух предыдущих свойств. 7. Если в определителе все элементы i-й строки являются суммами двух слагаемых: 308813495 8 a ij b j c j , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же как в заданном определителе, а i-я строка в одном из них состоит из элементов b j , в другом – из элементов c j . Для доказательства этого свойства достаточно выписать в общем виде произведение, составляющее исходный определитель: a11 a 2 2 aii a n n a11 a 2 2 bi c i a n n a11 a 2 2 b i a n n a11 a 2 2 c i a n n Прежде чем перейти к следующему свойству, введём определение. Пусть имеются объекты (ими могут быть, например, матрицы, вектора, функции и др.) , 1, 2,, п. Будем говорить, что является линейной комбинацией 1, 2,, п, если существует такой набор чисел c1 , c 2 , , c n , что c11 c 2 2 c n n . 8. Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю. Это свойство следует из свойств 6 и 7. 9. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и линейной комбинации других строк, то полученный новый определитель будет равен исходному. Это следует из свойств 6 и 8.
