Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по

Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по
теме «Логика предикатов»
Необходимо расширение языка высказываний. Поэтому определим логику
предикатов (логику первого порядка).
х больше y: Больше (х, y),
Джон любит Мери: Любит (Джон, Мери).
х больше 3: больше(х, 3), где х – переменная, 3 – константа, больше – предикатный
символ.
x+y: плюс (х, y), где «плюс» - функциональный символ.
Предикат обобщает высказывание и, при этом имеет структуру и может содержать
переменные и даже функции, определенные над некоторой областью.
Больше (плюс(х, 1), 3) – истина если x > 2, ложь в остальных случаях.
Построение языка
Для построения языка воспользуемся следующими четырьмя типами символов:
1. константы – это обычно имена объектов такие, как Мери, 3 и так далее, то
есть константы из некоторых областей.
2. предметные переменные – малые латинские буквы: x, y, x1, x  … - принимают
значения из области.
3. функциональные символы – будем использовать малые латинские буквы: s, g,
h…, а так же такие слова, как плюс, минус и другие.
4. предикатные символы – большие латинские буквы или слова типа «любит»,
«больше».
5. (,).
Всякая функция будет использовать помимо функциональных символов
определенное число аргументов:
f(x,y), плюс(x,y), f – двухместный функциональный символ.
Всякий предикат будет использовать помимо предикатных символов- аргументы:
P (x, плюс (x, y)) –двухместный предикат.
Замечание
Допускаются двухместные предикаты Q, R – аналог пропозиционнальных
переменных, то есть принимающих значения истина или ложь.
Функциям и предикатам будут сопоставляться отображения.
Определим конструкции языка формул. Введем понятие терма
Определение:
1. константа – терм;
2. переменная – терм;
3. если f – n-мерный функциональный символ и t1, t2, …, tn - термы, то f (t1, t2,
…, tn) терм.
4. других термов нет.
Пример.
Плюс (х, 1) – двухместный;
плюс(Плюс (х, 1),y).
Предикат – это отображение списка констант в И и Л.
Определим атом логики предикатов.
Определение.
Если P – n-местный предикат символов и t1, t2, …, tn - термы, то P(t1, t2, …, tn) атом.
Теперь можно воспользоваться пятью логическими связками для построения
формул: , ,
, , , а так же двумя новыми для переменных:
 - квантор общности (все);
 - квантор существования (существует для некоторых).
(х) – для всех х, для каждого х, для всякого х.
(х) – существует х, для некоторых х, по крайней мере для одного х.
Примеры формул.
 Каждое рациональное число есть вещественное:
(х)(Q(x)R(x))
 Существует число, являющееся простым:
(х)P(x).
 Для каждого числа х существует такое число y, что x<y:
(x)(y) меньше(x, y).
Область действия квантора входящего в формулу – это подформула, к которой он
применяется.
(x)(y) МЕНЬШЕ (x, y).
,  - область действия МЕНЬШЕ(х, у).
(х) Р (х)Q(x): Р (х) – область действия;
(х) (Р(х)Q(x)): - (Р(х)Q(x)) – область действия.
Определение.
Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если x является
переменной входящего в эту формулу квантора или находится в некоторой области
действия этого квантора. Иначе вхождение называется свободным.
Например.
(х)Р(х, у)
х – связанное вхождение;
у – свободное вхождение.
(х) Р (х, у)(у) Q (у)

свободная

связанная
Определение:
Формулой логики предикатов(логики второго порядка) называется
1.атом (атомная формула);
2.если F и G формулы, то F , GF, GF, GF, FG – формулы;
3.если F формула и х свободная переменная, то (х)F и (х)F – формулы;
формулы только конечные.
Пример.
1. Каждый человек смертен. Конфуций человек. Следовательно, Конфуций смертен.
(х)(ЧЕЛОВЕК(х)СМЕРТЕН(х)ЧЕЛОВЕК(Конфуций)
СМЕРТЕН (Конфуций)).
Аксиомы натуральных чисел.

(х)(у)((у, f(x))(z)(E(z ,f(x))E(y, z)))
Для каждого числа существует одно и только одно число,
f(x) – следующее;
g(x) – предыдущее.
-
( x E0, f x  ) – нет числа, за которым непосредственно
следует ноль.
(х)( Ex,0  ((y)(E(y,g(x))(z)(E(z, g(x))E(y, z))))) – для
каждого числа, отличного от нуля, существует одно и только
одно непосредственно предшествующее ему число.
Определение: вхождение переменной х в формулу называется связанным тогда и
только тогда, когда на нее навешен квантор.
. Иначе вхождение называется свободным.
(х) Р(х,у), где х – связанное вхождение, а у – свободное вхождение;
(х) Р(х,у)  (у) Q(у), где в первом случае у – свободное вхождение, а во втором –
связанное
Определение: переменная свободная в формуле, если хотя бы одно её вхождение в
эту формулу свободно. Переменная связана в формуле, если хотя бы одно её вхождение в
эту формулу связано.
Определение:формулойлогики предикатов (логики II порядка) называется:
1) атом. (атомарная формула {P, Q(x),…}
2) если F и G – формулы, то F , FG, FG, FG, FG,…тоже формулы.
3) Если F – формула и х – свободная переменная, то (х) F и (х) F –
формулы.
4) Формулы только конечные.
Пример: 1) Каждый человек смертен. Конфуций – человек. Следовательно,
Конфуций смертен.
(х) (ЧЕЛОВЕК (х)  СМЕРТЕН (х))  ЧЕЛОВЕК (Конфуций) 
СМЕРТЕН (Конфуций).
2) Аксиомы натуральных чисел.
(х) (у) (Е(у, f(x))  (z) (E(z, f(x)) E(y, z))),
где f(x) – следующее число
g(x) – предыдущее.
Для каждого числа существует одно и только одно число,
непосредственно следующее за ним.
((x) E(0, f(x))) - нет числа, за которым непосредственно следует ноль.
(х) ( E(x,0)  ((у) (Е(у, g (х))  (х) (Е(z, g(x)) E(y, z))) – для каждого
числа, отличного от нуля, существует одно и только одно непосредственно
предшествующее ему число.