Планы практических занятий - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
САЛОВА Е.В.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 222900.62
«Нанотехнологии и микросистемная техника»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова
Е.В.
Дифференциальные
уравнения.
Учебно-
методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 222900.62 «Нанотехнологии и микросистемная техника», очная
форма обучения. Тюмень, 2011 г., 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического
моделирования, д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011
© Е.В. Салова, 2011
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью курса является изучение основ дифференциальных уравнений, необходимых для решения теоретических и практических задач
физики; привитие навыков самостоятельного изучения специальной литературы.
Основной задачей курса является обучение студентов методам
решения основных типов дифференциальных уравнений и систем уравнений.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» – это дисциплина,
которая входит в базовую часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический
анализ», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра».
Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо для написания выпускной квалификационной работы.
1.3.
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируе-
мые в результате освоения данной ООП ВПО
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
способностью использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10).
способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
● знать элементарные приемы интегрирования дифференциаль-
ных уравнений первого порядка, некоторые приближенные методы их
решения; методы решения дифференциальных уравнений высших порядков и систем уравнений; условия существования и единственности
решения задачи Коши; начальные понятия теории устойчивости; приемы
решения линейных уравнений в частных производных первого порядка.
● уметь применять полученные знания при решении прикладных
задач.
● владеть методами решения дифференциальных уравнений
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» читается в третьем
семестре. Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).
3. Тематический план
Таблица 1
№ Тема
1 2
3
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная работа
недели семестра
Виды учебной
работы и самостоятельная
работа, в час.
4
5
6
Из
них в
Итого инчасов теракпо
теме тивной
форме
Итого
количество
баллов
7
9
8
Модуль 1
Дифференциальные
1 уравнения первого
1-6
12
порядка
4
6
18
36
6
0-30
Всего
12
6
18
36
6
0-30
7-8
4
2
5
11
2
0-10
9-10
4
2
9
15
2
0-20
8
4
14
26
4
0-30
11-14
8
4
8
20
4
0-20
15-16
4
2
8
14
2
0-10
17-18
4
2
6
12
2
0-10
16
8
22
46
8
0-40
36
18
54
108
18
0-100
9
9
Модуль 2
Дифференциальные
2
уравнения, не разрешенные относительно
производной
Дифференциальные
3 уравнения высших
порядков
Всего
Модуль 3
Системы обыкновен4 ных дифференциальных уравнений
5 Теория устойчивости
Уравнения в частных
6 производных первого
порядка
Всего
Итого (часов, баллов):
из них в интерактивной форме
5
18
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
контрольная
работа
2
3
4
5
6
Итого количество
баллов
ответ на практическом занятии
1
решение задач
на практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
собеседование
Письменные работы
№ темы
Устный
опрос
7
Модуль 1
1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Всего
0-4
0-4
0-5
0-11
0-6
0-30
0-4
0-4
0-5
0-11
0-6
0-30
Модуль 2
2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные от-
0-1
0-1
0-3
0-3
0-5
0-3
0-10
0-6
0-3
0-20
носительно производной
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Всего
0-4
0-4
0-5
0-5
0-11
0-6
0-30
Модуль 3
4. Системы обыкновенных
дифференциальных уравне-
0-3
0-3
0-1
0-1
0-5
0-6
0-3
0-20
0-1
0-5
0-3
0-10
0-1
0-5
0-3
0-10
ний
5. Теория устойчивости
6. Уравнения в частных производных первого порядка
Всего
0-5
0-5
6
0-5
0-16
0-9
0-40
0-
Итого
0-13
13
0-15
0-38
0-21
0-100
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Не-
Объ
Кол-
обяза-
дополни-
деля
ем
во
тельные
тельные
се-
ча-
бал
мест-
сов
лов
18
0-9
18
0-9
7-8
5
0-2
9-10
9
0-7
ра
Модуль 1
1. Дифференциальные
работа
с подготовка
уравнения литерату-
первого порядка
рой,
ре-
шение
дом.
1-6
к контрольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 1
Модуль 2
2. Дифференциаль-
работа
с
ные уравнения, не литературазрешенные отно- рой,
сительно
ре-
произ- шение
водной
дом.
за-
дания
3. Дифференциальные
работа
с подготовка
уравнения литерату-
7
к кон-
высших порядков
рой,
ре-
шение
дом.
трольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 2
14
0-9
8
0-3
15-16
8
0-5
17-18
6
0-4
Всего по модулю 1
22
0-12
ИТОГО
54
0-30
Модуль 3
4.
Системы
обыкно- работа
с подготовка 11-14
венных дифферен- литератуциальных
уравне- рой,
ний
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
5.
Теория устойчиво- работа
сти
с
литературой,
ре-
шение
дом.
за-
дания
6.
Уравнения в част- работа
ных
с
производных литерату-
первого порядка
рой,
ре-
шение
дом.
за-
дания
8
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обеспечи-
Темы
п/п
ваемых (последующих)
мые для изучения обеспечива-
дисциплин
емых (последующих) дисциплин
1
Выпускная квалификационная работа
дисциплины
необходи-
1
2
3
+
+
+
5. Содержание курса
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия
и определения. Физические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическая
интерпретация дифференциальных уравнений. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение
методом Бернулли и методом вариации произвольной постоянной.
Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах.
Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Интегрирующий множитель. Геометрические и физические задачи.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
для дифференциальных уравнений первого порядка.
Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых.
9
Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка : метод изоклин, метод последовательных приближений, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта.
Тема 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Параметрический метод решения дифференциальных
уравнений. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия. Геометрическое и механическое истолкование
уравнения второго порядка и его решения. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача о второй
космической скорости.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, их свойства. Линейный дифференциальный оператор, его свойства.
Однородные линейные уравнения n-го порядка. Определитель
Вронского. Признак линейной независимости решения линейного однородного уравнения. Формула Остроградского - Лиувилля. Фундаментальная система решений и построение общего решения однородного
уравнения.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема
о структуре общего решения уравнения. Интегрирование неоднородных
линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера. Неоднородные
линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициен-
10
тами. Метод неопределенных коэффициентов. Геометрические и физические задачи. Уравнение Эйлера.
Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Краевые задачи.
Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные
системы. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения.
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом
исключения. Нахождение интегрируемых комбинаций.
Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Физические задачи. Построение общего решения однородной
линейной системы по фундаментальной системе решений. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений, метод вариации
произвольных постоянных. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
Тема 5. Теория устойчивости
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных
данных.
Устойчивость по Ляпунову, основные понятия и определения.
Исследование на устойчивость по линейному приближению. Метод
функций Ляпунова.
Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек
покоя (особых точек) для системы двух уравнений.
Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка
Уравнения в частных производных первого порядка, основные понятия и определения. Теорема существования и единственности реше-
11
ния уравнений. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
Планы практических занятий
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и
приводящиеся к ним.
2) Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к
ним.
3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
4) Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
5) Существование и единственность решения задачи Коши.
Тема 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
1) Уравнения, допускающие понижение порядка.
2)
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с по-
стоянными коэффициентами.
Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1)
Интегрирование системы дифференциальных уравнений ме-
тодом исключения.
2)
Нахождение интегрируемых комбинаций.
3)
Линейные системы дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами.
Тема 5. Теория устойчивости
Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка
12
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
6.1. Примерные задания для контрольной работы
Решить уравнения
1.
у   ( х  у  2) 2
у
у
2. ( х  у cos х ) dх  х cos х dу  0
3.
.
у 
 х  2 у 5
2х  у 4

y
dx  y 3  ln x dy  0
x
6.2.
Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1. Понятие дифференциального уравнения, его решения. Дифференциальные уравнения как математические модели физических процессов.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, их геометрическая
интерпретация. Построение дифференциального уравнения заданного
семейства кривых.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и
приводящиеся к ним.
4. Однородные дифференциальные уравнения.
5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом Бернулли.
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом вариации произвольной постоянной.
13
8. Уравнения Бернулли и Риккати.
9. Уравнение в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных
дифференциалах. Построение общего интеграла.
10. Интегрирующий множитель уравнения. Примеры.
11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
для дифференциальных уравнений первого порядка.
12. Нахождение особых решений уравнения. Огибающая семейства интегральных кривых.
13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Метод последовательных приближений. Метод
Эйлера.
14. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Параметрический метод решения уравнения.
15. Уравнения Лагранжа и Клеро.
16. Дифференциальные уравнения n-го порядка, его общее, частное и
особое решения. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.
17. Дифференциальные уравнения второго порядка, его геометрическое
и механическое истолкование.
18. Уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.
19. Однородные линейные уравнения n-го порядка, построение общего
решения по фундаментальной системе решений.
20. Неоднородные линейные уравнения n-го порядка, их решение методом вариации произвольных постоянных.
21. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера.
22. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Решение
14
уравнения
вида
y n  a1 y n1 ...an y  e ax  Pn  x cosbx  Qm  x sin bx методом неопределенных ко-
эффициентов.
23.Нормальная система дифференциальных уравнений, ее механическое истолкование. Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения.
24. Фундаментальная система решений и построение общего решения
однородной линейной системы дифференциальных уравнений.
25. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами, их
решение методом Эйлера.
26. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения
начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость по первому приближению.
27. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения
начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость методом функций Ляпунова.
28. Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек покоя (особых точек) для системы двух уравнений.
29. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
7. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных
видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Дифференци-
15
альные уравнения» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических
занятиях.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
8.1. Основная литература
1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление -М: УРСС, 2002-320 c.
2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М. : Просвещение,
1988. 256 с.
3. Тихонов А.И., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 2005. 232 с.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. :
Наука, 1983. 332 с.
6. Системы дифференциальных уравнений: Метод. указ. для студ. физич. фак-та. / Салова Е.В. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2002. 44 с.
7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
М.: Наука, 2008. 240 с.
8.2. Дополнительная литература
1.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1966.
16
2.
Камке Э. . Справочник по обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям. М.: Наука, 1976.
3.
В.Ф. Зайцев, Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
4.
Матвеев Н.М.Методы интегрирования обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений , СПб: Лань, 2003
5.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариаци-
онного исчисления – М: Лаборатория Базовых Знаний,2002, 344 с.
8.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-
математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва)
http://elibrary.ru
9. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием
17