итичеÑ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Р. Б. Лапшина
Типовая расчетная работа по теме: «Аналитическая геометрия»
и методические рекомендации к ней
для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ТР Аналитическая геометрия
Теоретические вопросы:
1.
Уравнения прямой на плоскости.
2.
Условия параллельности и перпендикулярности 2х прямых.
3.
Кривые второго порядка.
4.
Плоскость. Уравнение плоскости.
5.
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения
прямой и плоскости.
Расчетные задания
Задание 1. Даны вершины треугольника ABC . Найти: 1) длину стороны
AB ; 2) уравнение стороны AB ; 3) уравнение высоты CH ; 4) уравнение медианы
AM ; 5) точку пересечения медианы AM с высотой CH ; 6) уравнение прямой,
проходящей через вершину C параллельную стороне AB ; 7) расстояние от точки C до прямой AB .
1.1 A  4, 4 , B  6, 2  , C  1,8 .
1.2 A 1, 6 , B  3, 4  , C  3,3 .
1.3 A  4, 2 , B 8, 6  , C  2,6  .
1.4 A  3, 2 , B 14, 4 , C  6,8 .
1.5 A  2,5 , B  3,1 , C  0, 4  .
1.6 A  4, 2 , B  6,6  , C  6, 2  .
1.7 A  4, 3 , B  7,3 , C 1,10  .
1.8 A  2, 4 , B  3,1 , C 10,7  .
1.9 A  2, 3 , B 1,6  , C  6,1 .
1.10 A  3, 1 , B  4, 5 , C 8,1 .
1.11 A 1, 2 , B  7,1 , C  3,7  .
1.12 A  3, 1 , B 11,3 , C  6, 2 .
1.13 A  3,8 , B  6, 2  , C  0, 5 .
1.14 A 10, 2  , B  4, 5 , C  3,1 .
1.15 A  0, 2 , B  7, 4 , C  3, 2  .
1.16 A  7, 2 , B  7, 4 , C  5, 5 .
1.17 A 1, 3 , B  0,7  , C  2, 4 .
1.18 A  7,0 , B 1, 4 , C  8, 4 .
1.19 A 1,0 , B  1, 4  , C  9,5 .
1.20 A  7, 2 , B  3, 8 , C  4,6 .
1.21 A  4, 2 , B  6, 4  , C  4,10  .
1.22 A  4,1 , B  3, 1 , C  7, 3 .
1.23 A  5, 2 , B  0, 4  , C  5,7  .
1.24 A 1,7  , B  3, 1 , C 11, 3 .
1.25 A  2, 6 , B  3,5 , C  4,0  .
1.26 A  1, 4 , B  9,6  , C  5, 4 .
1.27 A  4, 4 , B 8, 2  , C  3,8 .
1.28 A  3, 3 , B  5, 7  , C  7,7  .
1.29 A  5,1 , B 8, 2 , C 1, 4 .
1.30 A  6, 9 , B 10, 1 , C  4,1 .
Задание 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы;
в) параболы ( A, B - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось,  - эксцентриситет; y   kx уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние).
2.1 а)   , A  0,8 ;
б) A  6, 0  , B  2 2,1 ; в) D : y  0 .
2.2 а) b  15 , F  10,0 ;
б) a  13 ,  
2.3 а) b  2 , F  4 2,0  ;
б) a  7 ,  
3
5

5
2.4 а) A  3, 0  , B  2,  ;
 3 
3
4
14
;
13
85
;
7
5
4
б) k  ,   ;
в) D : x  4 .
в) D : x  5 .
в) D : y  2 .
2.5 а)  
21
, A  5,0 ;
5
2.6 а) b  15 ,  
10
;
25
б) A  80,3 , B  4 6,3 2  ;в) D : y  1 .
3
4
б) k  , 2a  16 ;
в) ось симметрии
2.7 а) a  4 , F  3,0  ;
б) b  2 10 , F  11,0  ;
в) D : x  2 .
2.8 а) b  4 , F  9,0  ;
б) a  5 ,   ;
OX , A  4, 8 .
7
5
 14 
,1 ;
3


2.9 а) A  0, 3  , B 
7
8
2.10 а)   , A 8,0  ;
22
;
6
2.11 а) 2a  24 ,  
б) k 
21
11
, ;
10
10

б) A  3, 

в) D : x  6 .
в) D : y  4 .
 13 
3
, 6  ; в) D : y  4 .
 , B 
5
5


б) k 
2
, 2c  10 ;
3
в) ось симметрии
б) k 
12
, 2a  26 ;
13
в) ось симметрии
OX и B  7, 7  .
2.12 а) b  2 ,  
5 29
;
29
OX и A  5,15 .
2.13 а) a  6 , F  4,0 ;
3
5
2.14 а) 2a  50 ,   ;
б) b  3 , F  7,0 ;
б) k 
29
, 2c  30 ;
14
в) D : x  7 .
в) ось симметрии
OY и A  4,1 .
2.15 а) b  7 , F  5,0  ;

2.16 A  

 21 1 
17 
,  ;
 , B 
3 
 2 2
2.17 а) 2a  22 ,  
10
;
11
б) a  11 ,  
12
;
11
в) D : x  10 .
1
2
5
;
2
в) D : y  1 .
б) k  ,  
11
, 2c  12 ; в) ось симметрии OX и
5
б) k 
A  7,5 .
2.18 а) b  5 ,  
OY и A  9,6 .
12
;
13
1
3
б) k  , 2a  6 ;
в) ось симметрии
2.19 а) a  9 , F  7,0 ;
б) b  6 , F 12,0  ;
2.20 а) b  5 , F  10,0 ;
б) a  9 ,   ;
 15

,1 ;
2.21 а) A  0, 2 , B 
 2

б) k 
1
4
в) D : x   .
4
3
в) D : x  12 .
2 10
11
, ;
9
9
в) D : y  5 .
 20

2.22 а)   , A  6,0  ;
, 2  ; в) D : y  1 .
б) A  8, 0  , B 
 3

2.23 а) a  13 , F  5,0 ;
б) b  44 , F  7,0 ;
в) D : x   .
2.24 а) b  7 , F 13,0  ;
б) b  4 , F  11,0  ;
в) D : x  13 .
2
3

40 
15
2
,
;
3
3
2.25 A  3,0 , B 1,
;
3 

б) k 
2.26 а)   , A  0,  11  ;
,1 , B  8, 0  ;
б) A 
 3 
5
6
2.27 а) 2a  30 ,  
 32 
3
8
в) D : y  4 .
в) D : y  3 .
17
;
15
б) k 
17
, 2c  18 ;
8
в) ось симметрии
7
9
б) k 
2
, 2a  12 ;
2
в) ось симметрии
OY и A  4, 10 .
2.28 а) b  2 2 ,   ;
OY и A  45,15 .
2.29 а) 2a  22 ,  
57
;
11
2
3
в) ось симметрии
5
6
в) ось симметрии
б) k  , 2c  10 13 ;
OX и A  27,9 .
7
8
2.30 b  2 15 ,   ;

б) k  , 2a  12 ;

OY и A 2,3 2 .
Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка M которой удовлетворяет заданным условиям:
3.1 Отстоит от точки A  4,1 на расстоянии, в четыре раза больше, чем от
точки B  2, 1 .
3.2 Отстоит от прямой x  2 на расстоянии, в пять раза больше, чем от
точки A  4, 3 .
3.3 Отношение расстояний от точки M до точек A  3, 5 и B  4,1 равно
1
.
4
3.4 Отстоит от точки A 1,5 на расстоянии, в четыре раза меньше, чем от
прямой x  1 .
3.5 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  1, 2  и B  3, 1
равно18,5.
3.6 Отстоит от прямой x  7 на расстоянии, в три раза меньше, чем от
точки A  3,1 .
3.7 Отстоит от точки A  5, 7  на расстоянии, в четыре раза больше, чем от
точки B  2,1 .
3.8 Отстоит от точки A 3, 4 на расстоянии, в три раза больше, чем от
прямой x  5 .
3.9 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  5,3 и B  2, 4
равно 65.
3.10 Отношение расстояний от точки M до точек A  3, 2 и B  4, 6 равно
3
.
5
3.11 Отстоит от прямой x  14 на расстоянии, в два раза меньше, чем от
точки A  2,3 .
3.12 Отстоит от прямой x  7 на расстоянии, в три раза меньше, чем от
точки A 1, 4 .
3.13 Отстоит от точки A  4, 2 на расстоянии, в два раза меньше, чем от
точки B 1,6 .
3.14 Отстоит от точки A  0, 5 на расстоянии, в два раза меньше, чем от
прямой x  3 .
3.15 Отстоит от прямой x  5 на расстоянии, в три раза больше, чем от
точки A  6,1 .
3.16 Отстоит от прямой x  8 на расстоянии, в два раза больше, чем от
точки A  1,7  .
3.17 Отстоит от точки A  3,3 на расстоянии, в три раза больше, чем от
точки B  5,1 .
3.18 Отстоит от точки A  2,1 на расстоянии, в три раза больше, чем от
прямой x  5 .
3.19 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  5, 1 и B  3, 2
равно 40,5.
3.20 Отношение расстояний от точки M до точек A  3,5 и B  4, 2 равно
1
.
3
3.21 Отстоит от прямой y  7 на расстоянии, в пять раз больше, чем от
точки A  4, 3 .
3.22 Отстоит от точки A 1,0 на расстоянии, в пять раз меньше, чем от
прямой x  8 .
3.23 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  4,0 и B  2, 2
равно 28.
3.24 Отношение расстояний от точки M до точек A  2,3 и B  1, 2 равно
3
.
4
3.25 Отстоит от прямой y  2 на расстоянии, в три раза больше, чем от
точки A  5, 0  .
3.26 Отстоит от прямой x  2 на расстоянии, в два раз больше, чем от
точки A  4,0 .
3.27 Отстоит от прямой x  6 на расстоянии, в два раза больше, чем от
точки A 1,3 .
3.28 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  3,3 и B  4,1
равно 31.
3.29 Сумма квадратов расстояний от точки M до точек A  5,3 и B  2, 4
равно 65.
3.30 Отношение расстояний от точки M до точек A  2, 4 и B  3,5 равно
2
.
3
Задание 4. Даны четыре точки
A  x1 , y1 , z1  ,
B  x2 , y2 , z2  ,
C  x3 , y3 , z3  ,
D  x4 , y4 , z4  . Составить уравнения: 1) плоскости ABC ; 2) прямой AB ; 3) прямой
CN параллельной прямой AB ; 4) прямой DM перпендикулярной плоскости
ABC ; 5) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB .
Найти расстояние от точки D до плоскости ABC ; координаты точки пересечения прямой DM с плоскостью ABC .
4.1 A  3, 2,5 , B  4,0,6 , C  2,6,5 , D  6, 4, 1 .
4.2 A  4,3,5 , B 1,9,7  , C  0, 2,0 , D  5,3,10  .
4.3 A  5,3,7  , B  2,3,5 , C  4, 2,10  , D 1, 2,7  .
4.4 A  6,8, 2 , B  5, 4,7  , C  2, 4,7  , D  7,3,7  .
4.5 A  7,5,3 , B  9, 4, 4 , C  4,5,7  , D  7,9,6  .
4.6 A  9,5,5 , B  3,7,1 , C  5,7,8 , D  6,9, 2  .
4.7 A  2,3,5 , B  5,3, 7  , C 1, 2,7  , D  4, 2,0  .
4.8 A  5,5, 4 , B 1, 1, 4 , C  3,5,1 , D 5,8, 1 .
4.9 A  3, 1, 2 , B  1,0,1 , C 1,7,3 ,
D 8,5,8  .
4.10 A  6,1,1 , B  4,6,6 , C  4, 2,0 , D 1, 2,6  .
4.11 A  4, 2,5 , B  0,7,1 , C  0, 2,7  , D 1,5,0  .
4.12 A  6,6,5 , B  4,9,5 , C  4,6,11 , D  6,9,3 .
4.13 A 1,8, 2 , B  5, 2,6  , C  5,7, 4  , D  4,10,9  .
4.14 A  4, 4,10 , B  7,10, 2  , C  2,8, 4 , D  9,6,9  .
4.15 A  4,6,5 , B  6,9, 4  , C  2,10,10  , D  7,5,9  .
4.16 A  3,1, 4 , B  1,6,1 , C  1,1,6  , D  0, 4, 1 .
4.17 A 10,9,6 , B  2,8, 2  , C  9,8,9  , D  7,10,3 .
4.18 A  3,5, 4 , B 8,7, 4  , C  5,10, 4  , D  4,7,8 .
4.19 A  7, 2, 2 , B  5,7, 7  , C  5, 3,1 , D  2,3,7  .
4.20 A  2,1,7  , B  3,3,6  , C  2, 3,9  , D 1, 2,5 .
4.21 A  2,1,6  , B 1, 4,9  , C  2, 5,8 , D  5, 4, 2  .
4.22 A  3,5, 4 , B  5,8,3 , C 1, 2, 2  , D  1,0, 2  .
4.23 A  2, 1,7  , B  6,3,1 , C  3, 2,8 , D  2, 3,7  .
4.24 A  0, 4,5 , B  3, 2,1 , C  4,5,6 , D  3,3, 2 .
4.25 A  2,3,5 , B  5,3, 7  , C 1, 2,7  , D  4, 2,0  .
4.26 A  4, 2,10 , B 1, 2,0  , C  3,5,7  , D  2, 3,5 .
4.27 A 1, 2,7  , B  4, 2,10  , C  2,3,5 , D  5,3,7  .
4.28 A 1, 1,3 , B  6,5,8 , C  3,5,8 , D 8, 4,1 .
4.29 A  2, 4,3 , B 1,1,5 , C  4,9,3 , D  3,6,7  .
4.30 A 8, 6, 4 , B 10,5, 5 , C 5,6, 8 , D 8,10,7  .
Методические рекомендации к выполнению ТР
При выполнении данных заданий используются формулы:
1)
x  x1
y  y1

; y  kx  b - уравнения прямой на плоскости;
x2  x1 y2  y1
2) k1  k2 , k1  k2  1 - условия параллельности перпендикулярности двух прямых
на плоскости;
3) уравнения плоскости: а) A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 ;
x  x1
б) x2  x1
x3  x1
4)
y  y1
z  z1
y2  y1
y3  y1
z2  z1  0 ;
z3  z1
x  x0 y  y0 z  z0


- каноническое уравнение прямой в пространстве;
m
n
p
Ax0  By0  Cz0  D
5) d 
A2  B 2  C 2
- расстояние от точки до плоскости.
Пример 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось
которого равна 5, а фокус находится в точке F  3,0 ; б) гиперболы с мнимой
осью b  3 и  
13
; в) параболы, имеющей директрису x  3 .
2
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2 y 2

 1 . По условию заa 2 b2
дачи большая полуось a  5 , c  3 . Для эллипса выполняется равенство
b 2  a 2  c 2 . Подставив значения a и c , найдем b 2  16 . Искомое уравнение эл-
липса:
x2 y 2

1.
25 16
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 y 2

 1 . По условию
a 2 b2
13
. Для гиперболы справед2
задачи мнимая полуось b  3 , эксцентриситет  
c
a
ливо равенство b2  c 2  a 2 и, учитывая, что   , находим a 2  16 . Искомое
уравнение гиперболы:
x2 y 2

1.
25 9
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y 2  2 px ,
p
2
p
2
а уравнение ее директрисы x   . По условию x  3 , следовательно, 3   ,
p  6 , уравнение параболы имеет вид y 2  12 x .
Пример
2.
Даны
координаты
вершин
пирамиды
ABCD : A  2,1,0 , B  3, 1, 2 , C 13,3,10  , D  0,1, 4  . Найти 1) угол между ребрами AB и
AD ; 2) уравнение плоскости ABC ; 3) угол между ребром AD и гранью ABC ; 4)
площадь грани ABC ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из
вершины AD на грань ABC .
D(0,1,4)
C(13,3,10)
M
B(3,-1,2)
A(2,1,0)
1)
Угол между ребрами AB и
AD вычисляем по формуле:
cos  
a b
ab
,
где
a  AB  3  2, 1  1, 2  0  1, 2, 2 , b  AD  0  2,1  1, 4  0  2,0, 4
a  b  AB  AD  1  2    2   0  2  4  6.
a  AB  12   2   22  3; b  AD 
2
cos 
2)
 2 
2
 42  20  2 5;
5
6
1

;   arccos .
5
3 2 5
5
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет
вид:
xx
1
x x
2 1
x x
3 1
y y
zz
1
1
y  y z  z  0.
2 1 2 1
y y z z
3 1 3 1
Подставляя в данное уравнение координаты точек A, B и C , получим:
x2
3 2
13  2
y 1
1 1
3 1
z 0
x2
2  0  0;
1
10  0
11
y 1
2
2
z
2  0;
10
Разложив определитель по элементам первой строки, получим:
 x  2 
2 2
1 2
1 2
  y  1 
 z
 0;
2 10
11 10
11 2
Отсюда находим искомое уравнение плоскости ABC :
2x  y  2z  3 .
3)
Угол между ребром AD и гранью ABC вычисляем по формуле:
sin  
sN
sN
,
где s  2,0, 4 - направляющий вектор ребра AD , N  2, 1, 2 - нормальный
вектор грани ABC.
sin  
4)
 2   2  4   2   2 ;   arcsin  

20  9

5
2 
.
5
Площадь грани ABC вычисляется по формуле:
1
S   a b .
2
S ABC 
1
 AB  AC .
2
AC  11, 2,10 , AB  1, 2, 2 .
i
j k
AB  AC  1 2 2  24i  12 j  24k.
11 2 10
Окончательно имеем
S
5)
ABC

1
2
2
 24 122  242  18  кв.ед.
Объем пирамиды вычисляем по формуле:


1
V   AB, AC, AD .
6

1 2 2
AB, AC , AD  11 2 10  144.
2 0 4

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).
6)
Уравнение высоты DM , опущенной из вершины D на грань ABC
составляет по формуле
xx
y y
zz
0
0
0,
n
m
p


где x , y , z - координаты точки D , s  n, m, p - координаты направляюще0 0 0
го вектора прямой DM . Т. к. DM  ABC , то в качестве направляющего вектора
s можно взять нормальный вектор N  2, 1, 2. Уравнение прямой запишется
в виде:
x y 1 z  4


.
2 1
2