Высшая математика. Глава 8. Дифференциальное исчисление

Высшая математика.
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§1.Метрические пространства. Примеры.
Как вы помните, дифференциальное исчисление опирается на теорию пределов, а
теория пределов – на понятие ε-окресности, а понятие ε-окресности – на расстояние между
точками. В связи с этим, прежде чем обобщать эти понятия, рассмотрим самое общее
определение расстояния или метрики.
Определение
метрическим пространством называется множество M  x, y, z... , на
котором введена неотрицательная функция двух переменных  .,. : M ×M  [0, ) , которая
удовлетворяет следующим свойствам:
1. x, y  M :   x, y   0  x  y
- обращается в ноль при совпадении двух
элементов
2. симметричность x, y  M :   x, y    ( y, x)
3. неравенство треугольника: x, y, z;   x, y     x, z     z, y 
 .,. называется метрикой (расстоянием)
Примеры:
10
Если M - множество вещественных чисел
  x, y   x  y или   x, y  
, то в качестве метрики можно взять
x y
1 x  y
20 Для M  Rn , x   x1 ,..., xn  ; y   y1,..., yn  обычно применяют три основных метрики:
n
1 ( x , y )   xi  yi , 2  x , y  
i 1
n
 (x  y )
i 1
i
i
2
и  ( x , y )  max xi  yi .
1i  n
Заметим, что 2  x , y  - Евклидова метрика (обычное расстояние).
Данное пространство является основным примером для дальнейших рассмотрений.
30 M  C  a, b (множество функций, непрерывных на отрезке [a,b])
На этом множестве обычно вводят одну из следующих трёх метрик: Для f , g  C  a, b
b
1 ( f , g )   ( f (t )  g (t )) dt ,  2 ( f , g ) 
a
b
 ( f (t )  g (t ))
a
2
dt ,  ( f , g )  max f (t )  g (t )
a t b
Замечание. Данное определение подходит как для вещественнозначных, так и для
комплекснозначных функций.
Упражнение. Проверить выполнение свойств метрики для метрик из 10- 30.
§2.Сходимость в метрическом пространстве.
Введённое в предыдущем параграфе понятие метрики (расстояние) позволяет ввести
для любого метрического пространства понятие ε-окресности.
Определение ε-окресность некоторой точки в метрическом пространстве это
множество
точек
этого
пространства,
удалённых
от
неё
менее
чем
на
ε:
V ( x)   y :  ( x, y)  ε
Для иллюстрации данного понятия рассмотрим в пространстве
2
множества V (0) с
центром в начале координат для каждой метрики из трёх рассмотренных выше.
Для метрики 1 данный «шар» будет определяться неравенством y1  y2   , для
метрики  2 - неравенством y12  y22   , а для  - неравенством max( y1 , y2 )   . Эти εокресности иллюстрируются следующим рисунком:
Упражнение. Попробуйте нарисовать ε-окресности нуля в C  0,1 относительно
каждой из трёх рассмотренных ранее метрик.
Теперь, опираясь на понятие ε-окресности, перейдём к определению предела
последовательности.
Первое определение предела последовательности. Говорят, что последовательность
x n в метрическом пространстве сходится к a, если за пределами любой ε-окресности точки a
находится только конечное число членов последовательности x n , при этом пишут x n  a
1
Например: sin t  0
n 
n
Второе определение предела последовательности:   0 N   :  n>N
т.е.   xn , a    .
Чем данные определения отличаются от приведённых в части 4?
Упражнение. Доказать эквивалентность определений.
xn  V  a ,
Так
как
в
метрическом
пространстве
у
любых
двух
точек
существуют
непересекающиеся ε-окресности, предел у сходящейся последовательности единственный.
Действительно, возьмём в пространстве две точки x  y , тогда ρ(x, y)>0. Очевидно,
можно взять  
 ( x, y )
если существует
2
. В силу неравенства треугольника окрестности не пересекаются:
 ( x, z )  
z:
и
 ( z , y )   , то
 ( x, y )   ( x, z )   ( z, y)   , что
противоречит предположению.
Опираясь на данный факт, в точности также как и в одномерном случае, доказывается,
что предел у сходящийся последовательности только один.
Пусть последовательность xn сходится, и к a , и к b . Если a  b , то у них найдутся
непересекающиеся ε-окресности. Так как
xn  a , то за рамками V (a ) может находиться
только конечное множество элементов последовательности xn , значит, внутрь V (b) попадает
тем более конечное множество членов последовательности. Т.е. b не может быть пределом,
т.к. иначе в V (b) попало бы бесконечное множество членов последовательности xn .
Чем данные рассуждения отличаются от одномерного случая?
Ещё
одно
эквивалентное
определение
предела:
xn  a (по
метрике)
если
  xn , a  
0
n
Упражнение. Доказать эквивалентность.
§3. Полнота, неполнота, пополнение (пространств)
Фундаментальной
последовательность
xn  ,
или
последовательностью
Коши
называют
такую
что   0 N   : n, m  N  ( xn , xm )   . Чем дальше номер
элемента последовательности, тем ближе они друг к другу.
Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нём любая
последовательность Коши имеет предел.
Теорема. Любая сходящаяся последовательность является последовательностью
Коши.
Доказательство. Пусть xn  a . По определению предела последовательности, можно найти

 
 
такой номер N   , что при всех n  N   выполняется неравенство   xn , a   , откуда
2
2
2
  xn, xm     xn , a     a, xm    , что и требовалось доказать.
Обратно не верно. Если последовательность фундаментальна, она не обязательно
будет
сходиться.
Действительно,
множество
M   0,1 с
расстоянием
def
  x, y   x  y является метрическим пространством, при этом последовательность
1
нём, где xn  , n 
n
xn  в
является фундаментальной, но не является сходящейся в M .
Упражнение. Убедиться.
В то же время множество
с метрикой
def
  x, y   x  y является полным
пространством, то же можно сказать о множестве точек отрезка [0,1] .
Упражнение. Объяснить, опираясь на результаты из части 4.
Для пространства
n
из сходимости по одной метрике следует сходимость по другой.
В этом смысле все три метрики эквивалентны. Доказательство следует из того, что εокресность в смысле одной из метрик вкладывается в ε-окресность той же точки в смысле
обеих других метрик.
Доказательство. Если 1 ( x , y )   , то
 ( x , y )  max xi  yi   .
При
1i  n
n
(x  y )
2 ( x , y ) 
i 1
i
i
2
n
x y
i 1
i
этом
i
  , откуда xi  yi   для всех i , т.е.
n
 (x  y )
i 1
i
2
i
 n 2 ,
следовательно
 n  1 , при этом  1 может быть сделано сколь угодно малым
выбором соответствующего  .
2 ( x , y )   ,
Если
n
 (x  y )
то
i 1
i
i
2
2 ,
откуда
xi  yi   для
всех
i,
т.е.
n
 ( x , y )  max xi  yi   . При этом , следовательно 1 ( x , y )   xi  yi  n   2 , при этом
1i  n
i 1
 2 может быть сделано сколь угодно малым выбором соответствующего  .
Если  ( x , y )   , то
2 ( x , y ) 
n
xi  yi   для всех i , т.е. 1 ( x , y )   xi  yi  n   2 и
i 1
n
n
i 1
i 1
 ( xi  yi )2  n  1 . При этом , следовательно 1 ( x , y )   xi  yi  n   2 ,
при этом  1 и  2 могут быть сделаны сколь угодно малыми выбором соответствующего  .
Для расстояний в пространстве функций C[a, b] это уже не так. Убедимся в этом на
примере пространства C[0,1] . Шар с центром в нуле 1 ( f , 0)   состоит из функций, для
1
которых  f (t ) dt   (1  0)   , а шар  ( f , 0)   - из функций, у которых max f (t )   .
0t 1
0
Легко видно, что второй шар вкладывается в первый, но не наоборот, так как для любого
 0 и n 
1

 1 выполняется неравенство 1 (t n , 0)   , но при этом  (t n , 0)  1 .
Теорема. Пространство
k
является полным относительно любой из трёх метрик.
Доказательство.
Проведём
последовательность векторов
доказательство
xn 
для
из пространства
первой
k
метрики.
Рассмотрим
. Обозначим через xn( i ) - i -ю
координату вектора xn . Если последовательность  xn  фундаментальна, то для достаточно
больших
n выполняется
1 ( xn , xm )   ,
неравенство
k
т.е.  xn(i )  xm(i )   ,
откуда
i 1
xn(i )  xm( i )   для всех i .
Таким
образом,
x 
( i ) 
n
n 1
последовательность
для
каждой
координаты
является
последовательностью Коши, поэтому у неё существует предел x ( i ) . Из определения предела
числовой последовательности для любого   0 и любого i :1  i  k существует такое
N ( , i ) , что при всех n  N ( , i ) выполняется
неравенство xn(i )  x ( i )   / n . Следовательно, для всех n  N ( )  max N  , i  выполняется
1i  k
неравенство
k
x
i 1
(i )
n
 x (i )   , откуда xn  x , где x - вектор с координатами x ( i ) .
Таким образом, пространство
k
- полное относительно первой метрики.
Аналогично проводится доказательство для второй и третьей метрики.
Упражнение. Провести.
Для функциональных пространств это не всегда так.
Теорема. Пространство C[a, b] является полным в смысле метрики  .
Доказательство. Пусть f n (t )  C[a, b] - фундаментальная последовательность функций,
докажем, что она сходится. Из определения фундаментальной последовательности следует,
что для   0 N ( ) : n, m  N   выполняется неравенство  ( f n (t ), f m (t ))   , т.е. для
всех t  a, b выполняется неравенство
последовательность
f n (t )  f (t ) .
 fn (t ) является
Переходя
к
пределу
f n (t )  f m (t )   . При каждом фиксированном
фундаментальной,
при
m   ,
следовательно
получаем
она
t
сходится
f n (t )  f (t )   ,
т.е.
последовательность f n (t ) сходится к f (t ) равномерно на  a, b . Так как все функции f n (t )
являются непрерывными на  a, b , функция f (t ) тоже должна быть непрерывной. Теорема
доказана.
В смысле метрик 1 и  2 пространство C[a, b] является неполным.
Теорема. Пространство C  a, b не является полным относительно метрик 1 и  2 .
Доказательство проведём для метрики
аналогичное.
1 , для метрики
2
доказательство
Построим в C  1,1 последовательность, которая является фундаментальной и не сходится к
непрерывной функции (для произвольного промежутка  a, b рассуждения аналогичны. В
качестве такой последовательности возьмём
при t  1/n
1

f n (t )  t при  1/n<t<1/n
1
при t  1/n

fn(t)
1
t
1/n
1/m
1
1
Из графика видно, что 1 ( f n (t )), f m (t ))  2  f n (t )  f m (t ) dt  (
0
данная последовательность
1 1
1
 )  , поэтому
m n
N
фундаментальна. Пусть она сходится
f n (t )  f (t )
к
непрерывной функции f (t )  C  1,1 . Докажем, что для 0  t  1 f (t )  1 . Пусть это не так.
Фиксируем t0  0 . Предположим, что f (t0 )  1. Тогда найдётся такая окрестность данной
точки t0    t  t0   , что для неё будет выполнено неравенство f (t )  1 
f (t0 )  1
2
f  t0 
Тогда 1 ( f n (t ); f (t )) 
t0 

t0 
f n (t )  f (t ) dt 
f (t0 )  1
2 
 0.
n 
2
Это противоречит предположению, что
f n (t )  f (t ) , таким образом, должно
выполняться условие f (t )  1 . Аналогично доказывается, что для 1  t  0 f (t )  1 .
1
-1
-1/n
1
1/n
-1
Такая функция не будет непрерывной, следовательно, пространство не является
полным относительно данной метрики.
Теорема доказана.
Для того, чтобы пространство сделать полным, применяем процедуру пополнения,
которая является обобщением процедуры пополнения из части 4. Опишем эту процедуру
кратко.
Пусть пространство М с метрикой  не является полным. Рассматриваем множество
всех
последовательностей
Коши
xn
в
нём.
Две
последовательности
считаются
эквивалентными, если расстояние между их элементами  0: {xn } { yn } если  ( xn , yn )  o .
n 
Класс эквивалентности это множество эквивалентных последовательностей. Из
неравенства треугольника следует,
что
если
{xn } { yn } и
{ yn } {zn } то
{xn } {zn } .
Действительно, расстояние между xn и zn не превосходит суммы расстояний между от xn до
yn и от yn до zn , а они стремятся к о, значит и расстояние между xn и zn стремится к 0.
Теперь надо ввести на этом множестве расстояние: D({xn },{ yn }) = lim  ( xn , yn )
n 
Надо доказать, что этот предел существует, т.е. что последовательность { ( xn , yn )}
фундаментальна.
Мы это доказываем, пользуясь неравенством треугольника и тем, что последовательности
{xn } и
{ yn } фундаментальны:
 ( xn , yn )   ( xn , xm )   ( xm , ym )   ( yn , ym ) ,
откуда
 ( xn , yn )   ( xm , ym )   ( xn , xm )   ( yn , ym ) . Аналогично доказывается обратное неравенство
 ( xm , ym )   ( xn , yn )   ( xn , xm )   ( yn , ym ) ,
что
даёт
 ( xn , yn )   ( xm , ym )   ( xn , xm )   ( yn , ym ) .
Последовательности {xn } и { yn } фундаментальны, поэтому для них можно записать
требуемое неравенство. Таким образом, последовательность фундаментальна { ( xn , yn )} ,
значит, она имеет предел. Остаётся доказать, что данный предел зависит не от самих
последовательностей, а от их классов эквивалентности, т.е., если {xn } {xn } и { yn } { yn } , то
D ({xn },{ yn })  D({xn },{ yn }) . Доказывается этот факт с помощью оценок, аналогичных
проведённым выше. Также доказывается, что D удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Аналогичными
рассуждениями
доказывается,
что
множество
классов
*
D,
эквивалентностей образуют метрическое пространство М относительно метрики
причем исходное пространство М
можно в него вложить, если каждому элементу
сопоставить постоянную последовательность x, x, x,
Остаётся доказать, что пространство М * является полным. Пусть {xk (n)}n 1
-
последовательность фундаментальных последовательностей. Она будет фундаментальна,
если для   0 N ( ) : k , m  N выполняется условие D ({xk (n)},{xm (n)})   . Последний
шаг
состоит
в
доказательстве
того,
что
эта
последовательность
сходится
к
последовательности {xn (n)}n 1 , точнее говоря, доказывается, что она фундаментальна и что
исходная последовательность последовательностей к ней сходится в смысле расстояния D.
Упражнение на 5. Восполнить опущенные выше детали.
Обозначение для пополнения: L1  a, b для пополнения в смысле метрики 1 и
L2  a, b для пополнения в смысле метрики  2 . Элементы соответствующих функциональных
пространств называются функциями, интегрируемыми по Лебегу, а продолжения оператора
взятия интеграла на эти пространства – интегралом Лебега. Но данная теория остаётся за
рамками курса.
§4. Функции. Принцип сжимающихся отображений
Рассмотрим
функции
(однозначные
отображения
из
одного
метрического
f
пространства в другое): М 1  М 2 , т.е. каждому элементу из М 1 соответствует единственный
элемент из М 2 .
Можно ввести понятие предела функции.
Определение. A  lim f ( x) , когда для   0  ( ) такое, что если x  V  (a) то
x a
f ( x) V ( A) . Напомним, что V  (a ) (проколотая окрестность точки a ) это V (a) без самой
точки a .
Чем это определение отличается от одномерного случая?
Определение. Отображение функции называется непрерывным если lim f ( x)  f (a) .
x a
Упражнение. Какие результаты из одномерной теории пределов функций и теории
непрерывных функций переносятся на случай отображений метрических пространств?
Для решения уравнений в метрических пространствах и для других разделов,
например, для теории дифференциальных уравнений, важной является теорема о
сжимающем отображении.
f
Определение. Отображение М 1  М 2 из одного метрического пространства в другое
называется сжимающим, если существует такое число c  1 , что для любых x, y  M1
выполняется неравенство  ( f ( x), f ( y))  c  x, y  .
Определение. Неподвижная точка отображения f множества в себя это точка x * ,
для которой выполнено равенство x*  f ( x*) .
Теорема. Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет
единственную неподвижную точку.
f
Доказательство. Пусть M - полное метрическое пространство, М  М - сжимающее
отображение. Возьмём x0  M . Построим последовательность
f
 xn n 0

в M с помощью
f
рекуррентного соотношения xn  f ( xn1 ) , т.е. x0  x1  x2  ...
Надо доказать, что данная последовательность будет сходящейся и что её предел
будет неподвижной точкой отображения f .
Существование предела докажем, опираясь на полноту пространства, т.е. нужно
доказать, что последовательность является фундаментальной. Оценим  ( xn , xn  p ) .
По неравенству треугольника можно записать:
 ( x n , xn  p )   ( xn , xn 1 )   ( xn 1 , xn  2 )  ...   ( x n  p 1 , xn  p )
Воспользуемся тем, что отображение сжимающее.
 ( x1 , x2 )   ( f ( x0 ), f ( x1 ))  c  ( x0 , x1 ) ,  ( x2 , x3 )   ( f ( x1 ), f ( x2 ))  c  ( x1 , x2 )  c 2  ( x0 , x1 ) ,…
 ( x k , xk 1 )  c k  ( x0 , x1 ) ,…, откуда
 ( x n , xn p )  cn  ( x0 , x1 )  cn1 ( x0 , x1 )  ...  cn p  ( x0 , x1 ) 
Таким
образом,
для
любого
n  N   выполняется неравенство
 ( x0 , x1 )
c n (1  c p 1 )
 ( x0 , x1 )  c n
.
1 c
1 c
  0 существует такое
N ( ) ,
что
 ( x n , xn  p )   , т.е. последовательность
для
всех
 xn n 0

фундаментальна, поэтому должна сходится к некоторой точке x*  M .
Осталось доказать, что это неподвижная точка. Используем неравенство треугольника
 ( x* , f ( x* ))   ( x n , x* )   ( xn , f ( xn ))   ( f ( xn ), f ( x* )) . Первое слагаемое стремится к нулю,
так как x * - предел последовательности  xn  , второе – так как  ( xn , f ( xn ))   ( xn , xn1 ) , а для
последнего имеем неравенство  ( f ( xn ), f ( x* ))  c  ( x n , x* ) , поэтому оно тоже стремиться к
нулю. Таким образом, число  ( x* , f ( x* ) должно стремиться к 0 при n   , но оно не
зависит от n , поэтому должно равняться нулю, откуда x*  f ( x*) , т.е. x * - неподвижная
точка.
Докажем, что эта точка единственная. Предположим, что существуют две
неподвижные точки: x и y. Из свойства сжимаемости мы имеем  ( f ( x ), f (y )) c (x ,y, )но
f ( x)  x ,
f ( y )  y , так как эти точки – неподвижные, поэтому должно выполняться
неравенство  ( x, y )  c  ( x, y ) , откуда  ( x, y)  0 , т.е. x  y . Теорема доказана.
Неподвижная точка в практических применениях даёт решение уравнения f ( x)  x .
Напрмер, если идёт речь о дифференцируемой функции одного переменного, можно
записать неравенство
промежутке
f ( x )  f ( y )  f ( ) x  y . Таким образом, если на некотором
выполняется
неравенство
f ( )  c  1,
и
если
f ( x ) отображает
этот
промежуток в себя,
то существует неподвижная точка y этого отображения, при этом она единственная и может
быть найдена методом последовательных приближений.
Пример: Рассмотрим функцию f ( x)  cos x на промежутке [1,1] . Легко видеть, что
данная функция отображает промежуток в себя и на нём f ( x)   sin x , откуда следует, что
отображение сжимающее с c  sin1  1. Следовательно, применима теорема, т.е. на данном
промежутке существует единственное решение уравнения решения x  cos x , которое может
быть сколь угодно приближено с помощью последовательных приближений
x0  0 ,
x1  cos 0  1 , x2  cos1 , x3  cos cos1 и т.д.
Упражнение. Оценить точность n -го приближения.
§5. Дифференцируемость
Напомним, что дифференцируемость нелинейной функции в одномерном случае
заключалась в существовании для неё локального приближения линейной функцией.
f
Хотелось бы получить обобщения этого понятия на случай отображений U V ,
рассматривавшихся в предыдущих параграфах.
Запишем формулу, аналогичную определению дифференцируемости в части 5
f ( x  x )  f ( x )  Ax  o(x )
A
При этом отображение U  V должно быть линейным, поэтому U и V должны быть
векторными пространствами (поэтому здесь используются векторные обозначения). Кроме
того, для определения
o( x ) необходимо определить малость векторов, для этого
необходимо определить их длину. Формально это выражается в требовании, что
пространства U и V должны быть нормируемые.
Определение. Говорят, в векторном пространстве задана норма, когда каждому
вектору сопоставлено неотрицательное число x  x  0 , удовлетворяющее следующим
свойствам:
1.
x 0  x  0.
2.
x   x
3.
xy  x  y
Понятие нормы позволяет определить, что такое 0 малое:  ( x )  o( x ) , если
x 0
(x )
x
 0.
x 0
В нормированном пространстве естественным образом определяется метрика расстояние между двумя точками  ( x , y )  x  y . В дальнейшем будем предполагать, что
пространство не только нормируемое, но еще и полное. Полное нормируемое пространство
называется Банаховым пространством.
Основным примером такого пространства будет
n
- тот факт, что это нормируемое
пространство виден из введённых метрик, а полнота была доказана выше.
Упражнение. Выписать нормы, соответствующие 1 ,  2 и  в пространствах
n
и
C[ a , b ] .
Для функции одной переменной было доказано, что дифференцируемая функция
непрерывна. Желание сохранить справедливым этот факт требует, чтобы оператор A был
ограниченным.
A
Определение. Линейный оператор U  V называется ограниченным, если существует
конечное число A  sup
u U
Au
. Очевидно A  sup Au .
u
u 1
Примером не ограниченного линейного оператора может служить оператор
d
.
dx
Данный оператор действует из пространства непрерывно дифференцируемых функций на
промежутке
a, b
в
пространство
непрерывных
функций
d
dx
на
C1  a, b  C  a, b . Рассмотрим случай  a, b  0,1 . Тогда x n  nx n 1 ,
поэтому для A 
d
получаем
dx
угодно большим, sup
u U
A  sup
Au
  , т.е.
u
является неограниченным.
u U
промежутке
a, b :
x n  1 , nx n 1  n ,
Au
 n , но, так как n может быть взято сколь
u
A не существует, другими словами, оператор
d
dx
Если
оператор
является
A
ограниченным,
Ax  A x 
0
x 0
то
f ( x  x ) 
 f ( x ) , т.е. функция
x 0
o(x ) 
 0 , следовательно
x 0
f (x )
и
является
непрерывной в точках дифференцируемости.
Так как основным примером векторных пространств является
представляет вычисление нормы оператора
n
A

m
n
, особый интерес
через элементы его матрицы в
каноническом базисе. Очевидно, данное число зависит от выбранных норм в пространствах
n
и
m
.
n
Запишем действие оператора y  Ax через координаты yi   aij x j .
j 1
Для случая, когда в пространствах
m
m
n
m
i 1
i 1
j 1
i 1 j 1
n
и
m
n
выбрана норма, соответствующая 1
m
n
i 1
j 1
m
y   yi    aij x j   aij x j  max  aij  x j  max  aij x , поэтому
получаем
j
j
i 1
m
A  max  aij . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является равенством.
j
i 1
m
Пусть j  - значение индекса j , для которого реализуется max  aij . Выберем x j   1 , а
j
x 1 и
остальные координаты – нулевыми, тогда
i 1
m
y   aij  , откуда следует, что
i 1
m
A  max  aij .
j
i 1
Для случая, когда в пространствах
получаем
поэтому
y  max yi  max
i
i
n
и
n
m
выбрана норма, соответствующая 
n
n
n
 aij x j  max  aij x j  max  aij max x j  max  aij x ,
i
j 1
j 1
i
j 1
j
i
j 1
n
A  max  aij . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является
i
j 1
n
равенством. Пусть i - значение индекса i , для которого реализуется max  aij . Выберем
i
x j  sign(aij ) , тогда x и y  yi 
n
n
j 1
j 1
j 1
n
 aij x j   aij , откуда следует, что A  max  aij .
i
j 1
Для нормы, соответствующей  2 такого простого результата получить не удаётся,
поэтому данный случай мы рассматривать не будем.
§6. Градиент. Производная по направлению. Необходимые условия локального
экстремума
Для начала, рассмотрим дифференцируемость скалярной функции векторного
аргумента
n
f

. Данный частный случай рассматривается в большинстве учебников по
математическому анализу.
В
данном
случае,
условие
дифференцируемости
f ( x  x )  f ( x )  Ax  o(x ) , где Ax - линейный функционал
n
имеет
A

вид
. Из части 3
известно, что линейный функционал можно представить в виде Ax  a  x . Считая, что
вектора в
n
заданы координатами в стандартном базисе x ( x1 , x2 ,..., xn ) , x (x1 , x2 ,..., xn ) ,
запишем последнее равенство в координатах a  x  a1x1  a2 x2  ...  an xn .
Для определения смысла ai фиксируем все координаты вектора x кроме xi . Тогда
условие
дифференцируемости
примет
вид
f ( x1 , x2 ,..., xi  xi ,..., xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )  ai xi  o( xi ) , откуда видно, что
ai
является
производной функции f по переменной xi при фиксированных остальных переменных.
Такая производная называется частной и обозначается ai 
f
. При этом вектор a
xi
называется градиентом функции f в точке x ( x1 , x2 ,..., xn ) и обозначается f . Координатами
этого вектора являются частные производные (
f f
f
;
;...;
).
x1 x2
xn
Введём понятие производной по направлению. Пусть x  tl , тогда условие
дифференцируемости
принимает
вид
f ( x  tl )  f ( x )  tf  l  O(t ) .
Таким
образом
f
 f  l . Заметим, что эта производная зависит не только от направления вектора l , но и
t
от его длины. Чтобы избавится от зависимости от длины, разделим на неё. В результате
получается формула, которая является определением производной по направлению
f
l
 f 
.
l
l
Заметим, что частная производная является производной функции по направлению
соответствующей координатной оси.
Понятие экстремума практически без изменения переносится на многомерный случай.
Определение. Говорят, что функция f ( x ) достигает в точке x локального экстремума
(максимума или минимума), если для всех достаточно малых x выполняется одно из
неравенств:
f ( x  x )  f ( x )
соответственно.
для
максимума
и
f ( x  x )  f ( x )
для
минимума
f ( x )  max
f (x )
f ( x )  min
Очевидно, что если функция достигает локального экстремума в данной точке, то она
достигает его по любому направлению, исходящему из этой точки, следовательно, в случае,
если функция дифференцируема, применяя необходимое условие экстремума, получаем
f  l  0 при любом l , откуда f  0 . Записывая это равенства покоординатно, получаем,
что необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является
равенство нулю всех частных производных
f
0.
xi
Рассмотренная выше координатная запись оператора A легко переносится на
многомерный случай. Действительно, каждая координата отображения
n
f

m
является
скалярной функцией и для неё можно записать из определения дифференцируемости
n
f j ( x  x )  fi ( x )   aij x j  O(x ) . Таким образом, оператору A соответствует матрица,
j 1
элементы которой являются частными производными координат f по координатам вектора
x : aij 
fi
, а главная часть приращения Ax может быть записана в матричном виде
x j
 a11 a11

a
a22
Ax   21
 .
.

 am1 am 2
. a1n  x1 


. a2 n  x2 
. .  . 


. amn  xn 
§7.Производная сложной функции
В силу того, что частная производная является производной по одной переменной,
основные свойства производных непосредственно переносятся на многомерный случай.
Более того, такие свойства, как линейность выводятся из определения дифференцируемости
для общего случая отображений нормированных пространств.
Упражнение. Вспомнить свойства производных от функций одной переменной. Какие
из них переносятся на многомерный случай? Провести подробные рассуждения.
Некоторые свойства требуют отдельного рассмотрения. В частности, таким свойством
является формула дифференцирования сложной функции. Под сложной функцией, как и
g
f
ранее, будем понимать композицию отображений f ( g ( x )) : U V W .
Считая, что рассматриваемые отображения являются дифференцируемыми, запишем
соответствующие равенства:
g ( x  x )  g ( x )  Bx  o(x ) ,
f ( y  y )  f ( y )  Ay  o(y ) ,
y  g (x ) ,
где
y  g ( x  x )  g ( x ) . Из первого равенства следует, что y  Bx  o(x ) . Подставляя одно
равенство в другое, получаем
f ( g ( x  x ))  f ( g ( x )  y )  f ( g ( x ))  Ay  o(y )  f ( g ( x ))  ABx  Ao(x )  o(y ) . Для
доказательство того, что производной сложной функции является оператор AB осталось
доказать, что последние два слагаемых являются o( x ) .
Для первого слагаемого Ao(x )  A o(x )  o(x ) .
Для второго слагаемого
o(y )
o(y ) y

. Но
x
y
x
o(y )
 0 по определению, а
y
y
B x
o(x )


, откуда и следует требуемое утверждение.
x
x
x
Запишем полученное равенство в координатах, считая рассматриваемые пространства
конечномерными. Пусть y j  g j ( x ) , zi  fi ( y ) , тогда
m
zi
z y j
 i
. Эта формула обычно
xk i 1 y j xk
и используется в приложениях.
§8. Дифференциал. Касательная плоскость. Нормаль поверхности.
Для дифференцируемого отображения, т.е. отображения, для которого выполняется
равенство
f ( x  x )  f ( x )  Ax  o(x )
вводится
понятие
дифференциала.
Для
независимой переменной дифференциалом называется приращение x  dx . Для функции
дифференциалом
называется
главная
часть
f ( x )  f ( x  x )  f ( x )  Ax  o(x )  Ax ,
выполняется неравенство Ax
приращения
так
как
при
df  Ax .
Действительно,
достаточно
малых
x
o(x ) .
Для скалярной функции df  f  x 
f
f
f
x1 
x2  ... 
xn .
x1
x2
xn
Упражнение. Какие свойства дифференциала функций одной переменной переносятся
на многомерный случай?
В одномерном дифференциальном исчислении производной придавался простой
геометрический смысл – она равна тангенсу угла наклона касательной. Похожий смысл
можно придать производным функции двух переменных.
Пусть z  z ( x, y ) . Данной функции соответствует некоторая поверхность в пространстве.
Возьмем на ней некоторую точку z0  z ( x0 , y0 ) . Предположим, что в данной точке функция
дифференцируема. Тогда
z ( x, y )
z  z0 
z
z
( x  x0 )  ( y  y0 )  o(x, y ) . Отбрасывая
x
y
величины более высокого порядка малости, чем первый, получаем уравнение плоскости
z  z0 
z
z
( x  x0 )  ( y  y0 ) ,
x
y
которая
называется
касательной
плоскостью
к
рассматриваемой поверхности в точке M ( x0 , y0 , z0 ) .
Переписав уравнение касательной плоскости в виде
находим координаты вектора нормали: n (
записать уравнение нормали:
z
z
( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )  0 ,
x
y
z z
, , 1) . Знание этих координат позволяет
x y
x  x0
y  y0
z  z0
.


z
z

1
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
x
y
§9. Условие Коши-Римана
Так как комплексное число взаимно однозначно связано с парой вещественных чисел
(вещественной и мнимой частями), функцию одного комплексного можно рассматривать как
функцию двух вещественных переменных. В данном параграфе мы рассмотрим вопрос о
том, что следует из такого сопоставления в смысле определения дифференцируемости и
соотношения между соответствующими производными.
Рассмотрим
w

отображение
.
Запишем
для
него
определение
дифференцируемости
w( z0  z )  w( z0 )  w '( z0 )z  o(z ) . Пусть z  x  iy; соответственно z0  x0  iy0 . Выделим у
функции w вещественную и мнимую части w  u  iv , при этом u  u ( x, y ) , v  v( x, y ) .
Если
эти
u ( x, y )  u ( x0 , y0 ) 
функции
дифференцируемы,
u
u
x  y  o(z ) ,
x
y
v( x, y )  v( x0 , y0 ) 
то
можно
v
u
x  y  o(z ) ,
x
y
z  x2  y 2 . Подставляя и сравнивая главные части приращений, получаем
w  z0  z 
записать
u
u
v
v
x  y  i x  i y
x
y
x
y
Пусть w '( z0 )  a  ib  w  z0  z  (a  ib)(x  iy) = ax  ib  aiy  by , т.е.
где
u
a
x
u
 b
y
v
b
x
v
a.
y
В результате получаем равенства
u v

x y
u
v

y
x
Эти равенства называются условиями Коши-Римана. В учебниках по функциям
комплексной переменной доказывается, что они являются необходимым и достаточным
условием
дифференцируемости
функции
комплексной
переменной,
но
мы
это
доказательство опускаем, тем более что его несложно провести, опираясь на проведённые
выше рассуждения.
§10. Достаточные условия дифференцируемости
Рассматривая одномерный случай, мы видели, что дифференцируемость эквивалентна
существованию
производной.
 1 при y  x 2 , x  0

f ( x, y )   0 при y  x 2
0 при x  y  0

В
Легко
многомерном
видеть,
что
случае
в
это
точке
не
так.
Пусть
x  y  0 существуют
f f

 0 , но в данной точке функция не только не дифференцируема, но и не является
x y
непрерывной, потому что в любой окрестности начала координат существуют точки, в
которых она равно
«0» и «1» (в нуле не имеет предела). Более того, в данной точке
существует производная по любому направлению, равная 0.
Однако, немного усилив требования к функции, можно получить условие,
гарантирующее дифференцируемость.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет
непрерывные частные производные в этой точке, то она дифференцируема в ней.
Доказываем
для
функции
трёх
переменных.
Надо
доказать,
что
f ( x0  x, y0  y, z0  z )  f ( x0 , y0 , z0 ) 
f
f
f
( x0 , y0 , z0 )x  ( x0 , y0 , z0 ) y  ( x0 , y0 , z0 ) z  o( x, y
x
y
z
Преобразуем левую часть к виду
f ( x0  x, y0  y, z0  z )  f ( x0 , y0 , z0 )  f ( x0 , y0 , z0  z )  f ( x0 , y0 , z0 )  f ( x0 , y0  y, z0  z ) 
 f ( x0 , y0 , z0  z )  f ( x0  x, y0  y, z0  z )  f ( x0 , y0  y, z0  z ) 
 1)
(используем непрерывность частных производных в окрестности точки, здесь 0  
1, 2,3
 f ( x0 , y0 , z0 )  f z '( x0 , y0 , z0  1z )z  f y '( x0 , y0   2 y, z0  z )  f x '( x0  3x, y0  y, z0  z ) 
f
f
f
( x0 , y0 , z0 )x  ( x0 , y0 , z0 ) y  ( x0 , y0 , z0 ) z  o( x, y, z )
x
y
z
Очевидно, что такие рассуждения можно провести для любого числа аргументов. Теорема
 f ( x0 , y0 , z0 ) 
доказана.
§11. Производные и дифференциалы высших порядков
f
 V . Если оно дифференцируемо, то f ( x0 )  L(U ,V ) .
Рассмотрим отображение U 
Будем считать, что производная задана не в отдельной точки, а на всём U или в некоторой
его подобласти. Учитывая изменение производной от точки к точке, получаем отображение
U  L(U ,V ) . Данное отображение, в свою очередь, тоже может быть дифференцируемым,
его производная называется второй производной исходного отображения, при этом
f ( x0 )  L(U , L(U ,V )) .
Такую
процедуру
можно
продолжить
и
получить
f ( n ) ( x0 )  L(U , L(U , L(U ,...., L(U , V )))) .
Рассмотрим случай скалярной функции нескольких переменных
дифференцируемости
её
производной
n
f


запишется
. Условие
виде
f ( x0  x )x  f ( x0 )x  f ( x0 )(x, x)  .... , при этом второе слагаемое называется вторым
дифференциалом
f ( x0 )(x, x)  d 2 f . Он является величиной более высокого порядка
малости, чем первое f ( x0 )x  f  x .
Вспомним,
что df 
f
f
f
( x0  dx ) 
( x0 )  
 dx  ... ,
xi
xi
xi
(
f
f
f
dx1 
dx2  ... 
dxn ,
x1
x2
xn
где
вектор

f
xi
имеет
тогда
координаты
n
2 f
2 f
2 f
2 f
2 f
dxi dx j . Как мы далее
;
;...; 2 ;...;
) , таким образом, d 2 f  
xi x1 x1x2
xi
xi xn
i , j 1 xi x j
увидим, при достаточно естественных предположениях, эта квадратичная форма является
симметричной.
Теорема. Если в некоторой точке существуют непрерывные смешанные производные,
то они не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство. Проведём доказательство для второй производной функции двух
переменных
f ( x, y ) . В дальнейших выкладках использован тот факт, что существование вторых
производных влечёт непрерывность первых в некоторой окрестности рассматриваемой
точки.
A  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0  y)  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )   (1)   (0) ,
Пусть
 (t )  f ( x0  x, y0  t y)  f ( x0 , y0  t y) .
Тогда,
по
теореме
Лагранжа,
f
f
2 f
( x0  x, y0  1y)  ( x0 , y0  1y)y 
( x0  2 x, y0  1y)xy ,
y
y
yx
A   (1 ) 
где
где
0  1,2  1 .
В то же время, A  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )   (1)  (0) ,
где
 (t )  f ( x0  t x, y0  y)  f ( x0  t x, y0 ) .
Тогда,
по
теореме
Лагранжа,
2 f
A
( x0  3x, y0  4 y)yx , где 0  1,2  1 .
xy
Т.к. число A - одинаковое в обоих случаях, мы получаем равенство
2 f
2 f
2 f
2 f
.
( x0  2 x, y0  1y)xy 
( x0  3x, y0  4y)yx 

yx
xy
yx xy
Случай производных произвольного порядка вытекает из приведённых выше
рассуждений и определения производных высших порядков.
§12. Теорема о конечном приращении
Для
дальнейшего,
хотелось
бы
получить
аналог
формулы
Лагранжа f (b)  f (a)  f (c)(b  a) , но его в многомерном случае получить не удаётся.
Однако, удаётся получить обобщение его следствия.
Теорема о конечном приращении. Пусть во всех точках отрезка [a , b ] в банаховом
F
 V , причём во всех точках
пространстве задано дифференцируемое отображение U 
данного отрезка выполняется неравенство F ( x )  M , тогда F (b )  F (a )  M b  a .
F (b )  F (a )  M b  a , тогда, для достаточно малого 
Доказательство. Пусть
будет выполняться неравенство
как
F (b )  F (a )  F (b )  F (
для которой
F (b1 )  F (a1 )
b a
F (b )  F (a )
b a
 M   . Разделим отрезок [a , b ] пополам. Так
b a
b a
)  F(
)  F (a ) , найдётся такая половина отрезка,
2
2
 ( M   ) / 2 , т.е.
F (b1 )  F (a1 )
b1  a1
 M  .
Продолжая эту процедуру, получаем последовательность вложенных друг в друга
отрезков
[an , bn ] ,
F (bn )  F (an )
bn  an
для
 M  .
которых
an  bn  a  b / 2n
и
выполняется
неравенство
Расстояние между bn и an - стремится к нулю, следовательно, в силу замкнутости отрезка
[a , b ] an , bn  c  [a , b ] . В силу дифференцируемости отображения в точке c , можем




F (bn )  F (c )  F (c )(bn  c )  o bn  c ,

F (bn )  F (an )  F (c )(bn  an )  o bn  an ,
откуда


F (an )  F (c )  F (c )(an  c )  o  an  c  ,
записать
так
как

O bn  c , O  an  c   O bn  an в силу того, что c  [an , bn ] . Таким образом, должно
выполняться
F (bn )  F (an )
(bn  an )

 F (c ) 

F (bn )  F (an )  F (c ) (bn  an )  0 bn  an ,
неравенство

o bn  an
(bn  an )
  M 
для достаточно больших
откуда
n . Получилось
противоречие из которого и следует требуемое утверждение. Теорема доказана.
§13. Ряд и формула Тейлора.
Вспомним, что разложение в ряд Тейлора для функции одной переменной имел вид:

d n f  f ( n ) ( x)(dx)n

n!
n 0 n !
n 0
f ( x  dx)  ed f ( x)  
Для
многомерного
случая
эта
формула
записывается
аналогично:

d n f  f ( n ) ( x )(dx )n
, где использовано обозначение

n!
n 0 n !
n 0
f ( x  dx )  ed f ( x )  
Bh n  B(h , h ,...., h )  B(v1 , v2 , v3 ,..., vn )
v1 v2 v3 ...vn  h
.
Формула Тейлора, по аналогии с одномерным случаем, запишется в виде:
N
f ( x  dx )  
n 0
f ( n ) ( x )(dx )n
 O((dx ) N ) .
n!
Введём обозначение h  dx , тогда последнюю формулу можно записать в виде
f ( x  h )  f ( x)  f ( x)h 
оператора Bh n :
n
f ( x)  h , h 
f ( n ) ( x) h n
 ... 
 O( h ) Вычислим
2!
n!
производную
n
n
( Bh n )
B vi
u 
|vi h u   B(h ,..., u ,..., h )  nB(h ,..., h , u )  nBh n 1u .
h
i 1 vi h
i 1
Здесь мы воспользовались симметричностью оператора производной.
Для
доказательства
f ( x  h )  ( f ( x )  f ( x )h  ... 
формулы
Тейлора
 .
f ( n ) ( x )h n
) o h
n!
n
надо
доказать,
что
Доказательство проведём по методу
математической индукции. База индукции следует из непрерывности отображения f . Пусть
 ( x , h )  f ( x  h )  f ( x)h  ... 
f ( n ) ( x )h n
, тогда норма, которую нужно оценить, равна
n!
 ( x , h )   ( x , 0) . Но h ( x , h )  f ( x  h )  f ( x)  ... 
f ( n ) ( x )h n
 o( h
n!
n 1
) по индуктивному
предположению. Применяя его к  ( x , h )   ( x , 0) =  h ( x ,  h );0    1 , получаем требуемую
оценку.
§14. Экстремум функций многих переменных
Начнём с того, что получим многомерное обобщение теоремы Вейерштрасса.
Определение. Замкнутое ограниченное подмножество
n
называется компактом.
Определение.  -сетью множества M называется такое множество K , что в  окрестности любой точки M найдётся точка K .
Лемма. Любой компакт для любого   0 содержит конечную  -сеть.
Доказательство. Обозначим компакт E . Так как компакт по определению является
ограниченным множеством, его можно включить в некоторый гиперкуб. Данный гиперкуб
можно разрезать на конечное множество S гиперкубов, имеющих диаметр (расстояние
между наиболее удалёнными вершинами) меньше  . Выберем те гиперкубы из S , которые
содержат точки E и в каждом из них выберем точку E . Очевидно, эти точки образуют
требуемую  -сеть. Лемма доказана.
Теорема Вейерштрасса для функций многих переменных. Непрерывная на компакте
функция достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения.
Пусть
E -компакт,
f  x   f  x1;; xn  : E 
- непрерывная функция. Пусть
A  inf f ( x ) , B  sup f ( x ) . Надо доказать, что A и B - ограничены и существуют такие
x E
x E
точки xmin , xmax  E , что f  xmin   A и f  xmax   B . Доказательство проведём для B , для A
оно проводится аналогично. Пусть K1
- конечная 1-сеть для E , K 2 - её дополнение до
конечной 1/ 2 - сети, …, K n - конечная 1/ n -сеть, включающая K n 1 (очевидно, объединение
нескольких конечных множеств является конечным множеством).
Пусть xn - точка из K n , в которой f ( x ) достигает максимума. Последовательность
{xn } ограничена, поэтому из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность
xnk  x0 , причём x0  E в силу замкнутости множества E . Заметим, что последовательность
{ f ( xn )} монотонно возрастает, поэтому f ( xn )  f ( x0 ) . Если B  f ( x0 ) ( сюда включается
случай B   ), то можно найти точку y  E , для которой
f ( y )  f ( x0 )   , где  -
фиксированное положительное число. В силу непрерывности функции f  x  для выбранного
 найдётся  : x  y    f ( x )  f ( y )   . Возьмём n  1/  , тогда на множестве K n
найдётся точка xn для которой f ( xn )  f ( y )   , откуда f ( xn )  f  x0  . Но f ( xn )  f  xn 
по
правилу
построения
последовательности
{xn } ,
что
противоречит
неравенству
f ( xn )  f ( x0 ) . Полученное противоречие доказывает, что B  f ( x0 ) , т.е. можно взять
xmax  x0 . Теорема доказана.
Теорема Вейерштрасса гарантирует существование экстремума, но не даёт способа
его нахождения. Выше было приведено необходимое условие локального экстремума для
дифференцируемой функции – равенство нулю градиента (всех частных производных).
Формула Тейлора позволяет получить достаточное условие локального экстремума,
обобщающее условие для функции одной переменной.
f

Пусть отображение U 
тогда
его
можно
разложить
f ( x  h )  f ( x )  f ( x )  h 
в
дважды непрерывно дифференцируемо в точке x ,
окрестности
этой
точки
по
формуле
2
f ( x )(h , h )
 o( h ) . Считаем, что в точке
2!
x
Тейлора
выполнены
необходимые условия экстремума f ( x )  0 . Докажем, что если существует такие   0 и
2
  0 , что при всех h : 0  h   выполняется условие f ( x )(h , h )   h , то в точке x
2
функция f ( x ) достигает локального минимума, а если f ( x )(h , h )   h , то – максимума.
Действительно, в первом случае, в достаточно малой окрестности точки x можно записать
 h
2
f ( x )(h , h )
f (x  h )  f (x ) 
 o( h )  
 2
2!

 h

 2

2
2
o( h )  2
 h . При достаточно малых h

2

h

2
o( h ) 
  0  f (x  h )  f (x ) .

2

h

2
В случае U 
которую
можно
n
слагаемое
линейной
f ( x )(h , h )
является квадратичной формой
2!
заменой
переменных
привести
к
сумме
n
b hh
i , j 1
ij i
j
,
квадратов
1 y12   2 y22  ...   n yn2 . Здесь 1 ,  2 ,...,  n - собственные числа матрицы с элементами bij .
Применяя
приведённые
выше
рассуждения,
получаем,
что
если
все
1 ,  2 ,...,  n
положительны, то в рассматриваемой точке минимум, а если отрицательны – то максимум.
Если часть из них положительна, а другая часть отрицательна, то экстремума нет.
Упражнение. Доказать последнее утверждение.
Если хотя бы одно из чисел 1 ,  2 ,...,  n равно нулю, то требуется отдельное
исследование.
Сформулируем порядок исследования на экстремум функции двух переменных.
 f
 x  0
1. Находим частные производные первого порядка, и приравниваем к нулю 
 f  0
 y
Из этой системы находим стационарные точки.
В каждой стационарной точке находим частные производные второго порядка
2 f
2 f
2 f
,
,

A

B
 C . Обозначим ∆= AC - B2
x 2
xy
y 2
Рассмотрим возможные случаи ∆:
1) ∆ > 0 экстремум существует.
a) A < 0 – max
b) A > 0 – min
2) ∆ < 0 экстремум не существует.
3) ∆ = 0 – требуется дополнительное исследование.
§15. Условный экстремум
Постановка задачи условного экстремума включает в себя помимо функции, которую
надо минимизировать F ( x )  max, min , дополнительные условия f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x )  0 ,
сужающие множества функций, на которых ищется минимум. Будем считать, что
F , f1 , f 2 ,..., f m - дифференцируемые функции. Ограничимся рассмотрением случая x 
n
,
mn.
Необходимое условие безусловного экстремума записывалось в виде F  h  0 для
любого вектора h , откуда F  0 . В случае условного экстремума вектор h не любой, он
должен удовлетворять условиям f i ( x  h )  0 , но fi ( x  h )  f i ( x )  f i  h  o( h ) , откуда,
учитывая условие fi ( x )  0 и пренебрегая величинами более высокого порядка малости, чем
первый, получаем f i  h  0 .
Таким образом, в точке экстремума должно выполняться условие F  h , но не для
всех h , а для тех, которые удовлетворяют условию h  f i . Это означает, что вектор F
m
должен быть линейной комбинацией векторов f i , т.е. F   i f i . Данное равенство
i 1
m
m


можно записать в виде   F   i fi   0 или L  0 , где L  F   i f i . Функцию L
i 1
i 1


называют функцией Лагранжа, а числа i - множителями Лагранжа. Так как множители
Лагранжа заранее не фиксированы, а находятся в процессе решения задачи, обычно их берут
m
с обратным знаком, т.е. функцию Лагранжа записывают в виде L  F   i f i .
i 1
В результате, для определения n координат вектора x и m переменных
i
получается n уравнений L  0 и m уравнений f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x )  0 .
Достаточные условия имеют тот же вид, что и в предыдущем параграфе, только в
квадратичной форме F ( x )(h , h ) исключают m координат вектора h , используя условия
f i  h  0 .