Нелинейные динамические системы

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные динамические системы
Вып. 44
Межвузовский сборник научных трудов
2012
УДК 629.19
К.Н. Курская, В.В. Маланин
Е.Н. Остапенко, Н.А. Репьях
г. Пермь
Пермский государственный
национальный исследовательский университет
ДИНАМИКА БОЛЬШИХ ОРБИТАЛЬНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (БОКС)
Исследуются особенности движения больших орбитальных
космических систем (БОКС) – механических систем с голономными связями в центральном гравитационном поле. Эти
системы рассматриваются как системы пар и групп материальных точек, соединенных стержнями, имеющими
большие размеры. Математические модели движения
строятся в виде уравнений Лагранжа второго рода. Исследование динамики БОКС проводится на основе численного
интегрирования дифференциальных уравнений движения.
Введение
Построение и исследование математических моделей движения больших орбитальных космических систем (БОКС) представляет интерес по многим причинам. Во-первых, даже в предположении, что гравитационное поле, определяющее динамику системы, является центральным ньютоновским, ни траектория центра масс, ни траектории отдельных частей БОКС в режиме свободного неуправляемого движения не являются кеплеровскими [1,
2]. Во-вторых, вращательные движения шарнирно-сочлененных
частей БОКС будут хаотическими. В-третьих, все особенности
© Курская К.Н., Маланин В.В., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А., 2012
42
Курская К.Н., Маланин В.В. и др. Динамика БОКС
движения определяются структурой системы, в том числе ее размерами.
В работах авторов [4-7] большие орбитальные космические системы рассматриваются как системы пар и групп материальных точек, соединенных стержнями и имеющих достаточно большое число степеней свободы даже в случае плоского орбитального движения.
Ниже приведены примеры исследования двух видов БОКС.
1. Осциллятор
Построена математическая модель плоского движения механической системы, состоящей из четырех материальных точек на
невесомом жестком стержне, причем две точки A и B находятся
на концах стержня, а две другие C и D соединены между собой пружиной и свободно перемещаются вдоль стержня (рис.1).

T

gB

TgD
TgC
B

D

T gA
C

A

GB

rA



GD
GC
GA
O


Рис. 1. Осциллятор
Движение системы происходит в окрестности опорной
кеплеровой орбиты заданного эксцентриситета под действием
ньютоновских сил притяжения к гравитационному центру и тяговых сил двигателей. Предполагается, что двигателями оснащены все материальные точки рассматриваемой системы. Движение системы рассматривается в орбитальной плоскости O
орбитальной системы координат O (рис.2) [1].
43
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
На рис. 2 точка K – гравитационный центр. Точка O движется по кеплеровой орбите. Обозначим радиус-вектор точки O


через R . Вдоль R через точку O проходит ось  . В орбитальной
плоскости перпендикулярно оси 

строим ось  . Перпендикулярно осям


A
O r
 и  строим ось  ; r  OA – ради
ус-вектор произвольной точки БОКС

в орбитальной системе координат.


R
F
Рассматриваемая механическая
система
имеет пять степеней свободы.

A
Точка
с координатами ; ; 0
K
имеет массу m A , точка B – массу
Рис.2. Орбитальная
m B , точка С – массу m С , точка D –
система координат
массу m D . Движение стержня зада
дим радиус-вектором rA и углом поворота стержня  (  – угол
между стержнем AB и осью O ). Длина стержня AB определена l  const . Относительное движение точки С по стержню
определим координатой n и будем отсчитывать ее от точки A ,
относительное движение точки D по стержню определим координатой y , которую будем отсчитывать от ненапряженного положения пружины y 0 (т.е. y – удлинение пружины).
Будем учитывать следующие силы, действующие на рас



сматриваемую систему: G A , G B , G C , G D – Ньютоновские силы




притяжения; T gA , TgB , TgC , TgD – силы тяги, действующие на


точки A , B , С и D соответственно; FC и FD – силы упругости,


а Fтр1 и Fтр 2 – силы сопротивления в точках С и D .
Подставляя кинетическую энергию в уравнения Лагранжа
и считая обобщенные силы, приходим к уравнениям движения,
d T T

 Qi , (i  1,5) , которые представляют собой нелиdt q i qi
нейную, нестационарную систему пяти дифференциальных
уравнений второго порядка. Система уравнений содержит в ка44
Курская К.Н., Маланин В.В. и др. Динамика БОКС
честве параметров: e – эксцентриситет опорной орбиты, p – ее
фокальный параметр, а также   f M – гравитационный параметр Земли, равный произведению гравитационной постоянной на
массу Земли, l – длину стержня, массы точек – m А , m B , m C , m D ,
y 0 – длину нерастянутой пружины, c – коэффициент упругости,
 1 ,  2 – коэффициенты вязкого трения.
Дополним нормализованную систему одиннадцатым дифференциальным уравнением для  , соответствующим кеплерову движению опорной точки О по коническому сечению с эксцентриситетом e :

2
  3 / 2 1  e cos  ,
p
и выражением для радиуса R , которое определяет движение
точки O по Кеплеровой орбите:
p
.
1  e cos 
В итоге получаем замкнутую систему уравнений, численный анализ которых позволяет исследовать влияние отдельных
параметров на динамику БОКС «осциллятор» [6].
Найдены вектора сил тяг двигателей, приложенные к каждой точке и необходимые для совершения движения системы по
заданному интегральному многообразию [3]. Исследовалось
движение системы при различных значениях масс материальных точек, различных коэффициентах упругости пружины и коэффициентах вязкого трения. Так же был смоделирован случай
удара материальных точек, соединенных пружиной. Получены
соотношения, определяющие динамические реакции стержня в
местах расположения материальных точек.
R
2. Динамика трехточечной стержневой системы
В работах авторов настоящей статьи рассмотрены вопросы
динамики двух-, трех- и четырех-, пятиточечных систем материальных точек в центральном гравитационном поле. При этом
45
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
приняты разные виды моделей стержневых соединений точек.
Так, для случая трехточетной системы взяты:
 модель прямолинейного расположения точек с фиксированным, неизменяемым относительным расстоянием на одном
невесомом стержне;
 модель прямолинейного расположения точек на невесомом стержне в предположении, что расстояние между двумя
точками переменное;
 модель попарного соединения точек двумя шарнирно
сочлененными стержнями.
Причем движение трехточечной системы в последнем
случае изучено [4] в предположении, что центр масс системы
движется по кеплеровой траектории, а сама система находится в
вертикальной плоскости орбитальной системы координат, начало которой совпадает с центром масс.
Как уже отмечено выше, для достаточно протяженных систем материальных точек в центральном ньютоновском поле
предположение о кеплеровом характере движения центра масс
не выполняется, поэтому построение математической модели
движения с применением орбитальной системы координат с
началом в центре масс требует дополнительного обоснования. В
этих условиях целесообразно исследовать динамику системы
материальных точек относительно одной из них – опорной точки – с применением любой системы координат, для описания
движения каждой точки не привлекая понятие центра масс.
В качестве примера [5] рассмотрим динамику трехточечной стержневой системы, состоящей из трех материальных точек, две пары которых связаны между собой невесомыми
стержнями фиксированной длины, и движущейся в гравитационном поле Земли. Стержни AB и AC в точке А имеют шарнирно-упругое соединение (рис.3).
Точка A имеет массу m A , точка B – массу m B , точка C
– массу m С . Длина стержня AB  l1 , BC  l 2 . Предполагается,
что система движется в орбитальной плоскости и имеет четыре
степени свободы.
Система координат Oxy – абсолютная с началом в притягивающем центре.
46
Курская К.Н., Маланин В.В. и др. Динамика БОКС
Движение этой стержневой системы определяется полярными координатами опорной точки A : расстоянием t   OA и
углами  ,  и  , где  – угол между полярной осью Ox и ра

диус-вектором (t ) ,  – угол между радиус-вектором (t ) и
стержнем AB ,  – угол между стержнями AB и BC . На рис.3



векторы G A , G B и G C обозначают ньютоновские силы притя

жения, FB и FC – силы упругости, действующие на точки B и C
как следствие упругого сочленения стержней в точке А, точка О
– гравитационный центр.
y

FB
B

GC

GB
t 
O

GA

C

FC


A
x
Рис. 3. Трехточечная стержневая система
Математическая модель движения строится в виде уравd T T
нений Лагранжа второго рода

 Qi , (i  1, 4) , где Т
dt q i qi
– сумма кинетических энергий точек А, В и С, q1  , q 2   ,
q 3   , q 4   – обобщенные координаты, Q i – обобщенные
 rk
силы, вычисляемые по формуле  Fk
 Qi .
qi
k

Здесь Fk – все силы, действующие на точку с номером k


( k  1, 2, 3 ), rk – радиус вектор k -ой точки. Силы упругости FB
47
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012

и FC линейно зависят от угла  , причем положение статического
равновесия системы определяется углом  * без учета гравитационных сил из условия FB  0 и FC  0 ,  * – параметр задачи.
Проведен анализ поведения основных кинематических и динамических величин, включая реакции связей. Результаты численного исследования динамики этой БОКС приведены в работе [5].
Заключение
Математические модели БОКС, описанные в данной работе,
могут быть использованы для дальнейшего анализа больших
космических систем. Исследование последней из рассмотренных
авторами моделей – 5-массовой БОКС цепочечной структуры в
транспортирующей системе координат – приведено в работе [7].
Библиографический список
1. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. –
М.: URSS: Изд-во ЛКИ, 2009. – 426 с.
2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и
методы. – М.: Физматгиз, 1963. – 800 с.
3. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. – М.: Наука,
1981. – 144 с.
4. Репьях Н.А., Журавлева М.А. О вертикальных движениях трехточечного КА // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм.
ун-т. – Пермь, 2004. – Вып.36. – С.46-51.
5. Курская К.Н., Репьях Н.А. О движении трехточечной
стержневой системы // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм.
ун-т. – Пермь, 2006. – Вып.38. – С.8-13.
6. Курская К.Н., Краснянская О.А., Репьях Н.А. Исследование орбитального движения одного вида осциллятора // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. – Пермь, 2007. –
Вып.39. – С.46-57.
48
Курская К.Н., Маланин В.В. и др. Динамика БОКС
7. Вертипрахов И.А., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Динамика стрежневой большой орбитальной космической системы
цепочечной структуры // Вестник Перм. ун-та. Сер. Математика.
Механика. Информатика. – Пермь, 2012. – Вып.4(12). – С. 42-47.
49