решение задач на нахождение объемов

Подготовка к ЕГЭ по математике
Открытый урок
по теме: «Решение задач на вычисление
объемов и площадей поверхностей тел».
(задачи В10, В13)
Учитель: Мартыненко П. А.
г. Зеленокумск
февраль 2014 г.
Цель урока: Закрепление навыков у учащихся на решение задач на нахождение
объемов и площадей поверхностей тел. Умение решать задачи на
комбинацию различных тел.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания:
№ 667 решение:
№ 690 решение:
𝑑 = 4мм = 0,4 см; 6,8 кг = 6800 г
𝑟 = 3 см; 𝑎6 = 𝑅.
𝑚 6800
1
𝑉= =
≈ 2615см3 .
Получим: 𝑅 2 = 9 + 𝑅 2 ; из уравнения
𝜌
2,6
2
𝑉 = 𝜋𝑟 𝑙 (𝑟 = 0,2;
𝑙 − длина провода)
2615 = 3,14 ∙ 0,04 ∙ 𝑙;
Получим, что 𝒍 ≈ 𝟐𝟎𝟖 м.
4
𝑅 = 𝑎6 = 2√3 см.
Высота боковой грани:
ℎгр = √169 − 3 = √166
Площадь боковой грани:
1
𝑆гр = ∙ 2√3 ∙ √166 = √498
2
Т. О. 𝑺бок = 𝟔√𝟒𝟗𝟖
𝐻пир = √169 − 12 = √157
1
𝑆осн = ∙ 12√3 ∙ 3 = 18√3
2
1
𝑉пир = ∙ 18√3 ∙ √157 = 𝟔√𝟒𝟕𝟏
3
3. Опрос учащихся:
I
Устная работа по готовым чертежам:
Найдите объем многогранника,
изображенного на рисунке (все
двугранные углы многогранника
прямые).
Ответ: 28
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Ответ: 7
Конус вписан в цилиндр. Объем
конуса равен 5. Найдите объем
цилиндра.
Ответ: 15
Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус
сферы.
Ответ: 3
II
Опрос учащихся у доски (решение задач по карточкам)
III Записать формулы объемов многогранников и тел вращения на
доске
4. Письменная работа с учащимися на доске и в тетрадях (решение
задач на закрепление изученной темы)
1. Диагональ куба равна √12 . Найдите его объем
Решение: Если ребро куба равно a, то
его диагональ равна
𝑎√3.Отсюда
следует, что если диагональ куба равна √12 , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8
Ответ: 8
2. Если каждое ребро куба увеличить
на 1, то его площадь поверхности
увеличится на 30. Найдите ребро куба
и его объем.
Решение: Если ребро куба равно x, то
площадь его поверхности равна 6x2.
Если ребро куба увеличить на 1, то
его площадь поверхности будет равна
6(x+1)2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение
6(x+1)2 = 6x2 + 30, решая которое,
находим x = 2. 𝑉 = 8.
Ответ: 2; 8
3. Гранью параллелепипеда является
ромб со стороной 1 и острым углом
60о. Одно из ребер параллелепипеда
составляет с этой гранью угол в 60о и
равно 2. Найдите объем параллелепипеда
Решение: Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со сто√3
роной 1 и острым углом 60о, равна .
2
Высота, опущенная на эту грань, равна √3. Объем параллелепипеда равен
1,5.
Ответ: 1,5
4. Через среднюю линию основания
треугольной призмы, объем которой
равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите
объем отсеченной треугольной призмы
Решение: Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы.
Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен
четверти объема исходной призмы,
т.е. равен 8
Ответ: 8
5. Стороны основания правильной
шестиугольной пирамиды равны 10,
боковые ребра равны 13. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой
грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360.
Ответ: 360
6. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием
является многоугольник, соседние
стороны которого перпендикулярны,
а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3
Решение: Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен
27.
Ответ: 27
7. Основанием пирамиды служит
прямоугольник, одна боковая грань
перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани
наклонены к плоскости основания
под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.
Решение: Треугольник SAD равносторонний со стороной 2√3 ,
AB = GH =√3. Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно,
объем пирамиды равен 6.
Ответ: 6
8. От треугольной пирамиды, объем
которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение:
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶
=
1
𝑆
3 𝐴𝐵𝐶
∙
𝐻. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑀𝑁𝐶 с коэффициентом
подобия, равным 2. Значит 𝑆𝑀𝑁𝐶 =
1
𝑆
. Так как пирамиды имеют оди4 𝐴𝐵𝐶
наковые высоты, а площадь основания отсеченной пирамиды в 4 раза
меньше площади основания данной
пирамиды, то и ее объем будет в 4 раза меньше объема данной. 𝑉𝑆𝑀𝑁𝐶 =
1
𝑉
= 3.
4 𝑆𝐴𝐵𝐶
Ответ: 3
9. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема
конуса, вписанного в эту пирамиду?
Решение: Радиус основания вписанного конуса будет равен половине
стороны основания пирамиды, т.е.
𝑎
1
𝑎2
1
𝑅вп = тогда 𝑉вп = 𝜋 ℎ = 𝜋𝑎2 ℎ.
2
3
4
12
Радиус основания описанного конуса
будет равен половине диагонали пирамиды,
т.е.
1
𝑎2
3
2
𝑉оп = 𝜋
зом,
𝑉оп
𝑉вп
=
𝑅оп =
𝑎 √2
1
2
тогда
ℎ = 𝜋𝑎2 ℎ. Таким обра6
1
𝜋𝑎2 ℎ
6
1
𝜋𝑎2 ℎ
12
= 2.
Ответ: 2
5. Подведение итогов урока
Вопросы учащимся
 Какова была тема и цель урока;
 Задачи какого типа решались на уроке
(задачи на нахождение объемов);
 Каково практическое применение данного типа задач;
 Имеют ли место данные задачи в материалах ЕГЭ.
6. Домашнее задание: (домашняя самостоятельная работа по
карточкам).