ЛЕКЦИЯ 3. ПОНЯТИЕ НАДЕЖНОСТИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕСТОВ Курс лекций проф. А. А. Алексеева по психометрике 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿 𝒆 Charles Edward Spearman 10 September 1863 –17 September 1945 КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИСТИННОГО БАЛЛА Наблюдаемый балл как случайная величина = 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 , где 𝑿𝒐 - наблюдаемый балл, 𝑿𝒕 - истинный балл, 𝑿𝒆 - ошибка измерения. 𝑿𝒐 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Истинный балл как математическое ожидание случайной величины 𝑿𝒐 𝑿𝒕 ИСТИННОГО БАЛЛА = 𝑬𝑿 𝒐 Для дискретных случайных величин: 𝑵 𝑬𝑿 = 𝒙𝒊 𝒑𝒊 𝒊=𝟏 Для непрерывных случайных величин: ∞ 𝑬𝑿 = 𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙 −∞ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБКИ Ошибка измерения как случайная величина 𝑿𝒆 = 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕 Среднее значение распределения ошибок 𝑿𝒆 = 𝑬𝑿𝒆 = 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕 𝑿𝒆 = 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑬 𝑿𝒕 𝑿𝒆 = 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕 Так как 𝑬 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 , то 𝑿𝒆 = 𝑿𝒕 − 𝑿𝒕 = 𝟎. АКСИОМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИСТИННОГО БАЛЛА 1. Среднее значение ошибок измерения в генеральной совокупности испытуемых равно нулю (𝑿𝒆 = 0). 2. Корреляция между истинным баллом и его ошибочным компонентом в генеральной совокупности испытуемых равна нулю (𝒓𝑻𝑬 = 0). 3. Когда испытуемые выполняют два отдельных теста и баллы каждого испытуемого по двум тестам предполагаются случайно выбранными из двух независимых распределений возможных наблюдаемых баллов, корреляция между ошибочными компонентами баллов по этим двум тестированиям равна нулю (𝒓𝑬𝟏𝑬𝟐 = 0). Таблица 3.1а ОТВЕТЫ НА ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ОПРОСНИК САМООЦЕНКИ Испытуемый (Xo) (Xt) (Xe) Наблюдаемый Истинный Ошибка балл балл Эшли 120 = 130 + –10 Боб 145 = 120 + 25 Карл 95 = 110 + –15 Дениза 85 = 100 + –15 Эрик 115 = 90 + 25 Фелиция 70 = 80 + –10 Среднее 105 105 0 Дисперсия 608,33 291,67 316,67 Стандартное 24,66 17,08 17,80 отклонение Надежность 0,48 rot = 0,69 roe 0,72 = RXX = = Rte = 0,000 rot2 0,48 roe2 0,52 = = ДИСПЕРСИЯ НАБЛЮДАЕМЫХ БАЛЛОВ 𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆 𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆 + 𝟐𝒓𝒕𝒆 𝑺𝒕 𝑺𝒆 𝒓𝒕𝒆 = 𝟎 𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆 НАДЕЖНОСТЬ КАК ОТНОШЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ИСТИННОГО И НАБЛЮДАЕМОГО БАЛЛОВ (КОЭФФИЦИЕНТ RXX 2 t 2 o НАДЕЖНОСТИ) s 291,67 0,48. s 608,33 Таблица 3.1б ОТВЕТЫ НА ПЕРЕРАБОТАННЫЙ ОПРОСНИК САМООЦЕНКИ Испытуемый (Xo) (Xt) (Xe) Наблюдаемый Истинный Ошибка балл балл Эшли 135 = 130 + 5 Боб 130 = 120 + 10 Карл 95 = 110 + –15 Дениза 85 = 100 + –15 Эрик 100 = 90 + 10 Фелиция 85 = 80 + 5 Среднее 105 105 0 Дисперсия 408,33 291,67 116,67 Стандартное 20,21 17,08 10,80 отклонение Надежность 0,71 rot = 0,84 roe 0,53 = RXX = = Rte = 0,000 rot2 0,71 roe2 0,29 = = НАДЕЖНОСТЬ КАК ОТСУТСТВИЕ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ НАДЕЖНОСТЬ КАК КВАДРАТ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ НАБЛЮДАЕМЫМИ И ИСТИННЫМИ БАЛЛАМИ НАДЕЖНОСТЬ КАК НУЛЕВОЙ КВАДРАТ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ НАБЛЮДАЕМЫМИ БАЛЛАМИ И ОШИБКОЙ 𝑹𝑿𝑿 =𝟏− 𝒓𝟐𝒐𝒆 ; Докажем, что 𝒓𝟐 𝒐𝒆 𝒄𝒐𝒆 ; 𝒄𝒐𝒆 𝒔𝒐 𝒔𝒆 𝑿𝒐 −𝑿𝒐 𝑿𝒆 −𝑿𝒆 𝑵 𝒓𝒐𝒆 = 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 ; 𝑿𝒆 = 𝟎; 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 ; 𝒄𝒐𝒆 = 𝒓𝒐𝒆 = = = 𝑿𝒕 +𝑿𝒆 −𝑿𝒕 𝑿𝒆 −𝑿𝒆 𝑵 𝒄𝒐𝒆 𝒔𝒐 𝒔𝒆 𝑹𝑿𝑿 = 𝟏 = 𝒔𝟐𝒆 𝒔𝒐 𝒔𝒆 − 𝒓𝟐𝒐𝒆 = 𝒔𝒆 ; 𝒔𝒐 =𝟏− ; ; 𝒄𝒐𝒆 = 𝒔𝟐𝒆 ; 𝒓𝟐𝒐𝒆 = 𝒔𝟐𝒆 𝒔𝟐𝒐 𝒔𝟐𝒆 . 𝒔𝟐𝒐 . 𝒔𝟐𝒆 ; 𝟐 𝒔𝒐 СТАНДАРТНАЯ 𝒔𝒆𝒎 ОШИБКА ИЗМЕРЕНИЯ = 𝒔𝒆 ; 𝒔𝒆𝒎 = 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 𝑹𝑿𝑿 = 𝒔𝟐𝒕 𝒔𝟐𝒐 =𝟏− 𝒔𝟐𝒆 ; 𝒔𝟐𝒐 𝒔𝟐𝒆 𝟐 = 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 ; 𝒔𝒐 𝟐 𝟐 𝒔𝒆 = 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 𝒔𝒆 ; = 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 . ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕСТЫ (X И Y) Условия параллельности тестов: 𝑿𝒕 = 𝒀𝒕 ; 𝒔𝑿𝒆 = 𝒔𝒀𝒆 . Докажем, что 𝒓𝒙𝒚 = 𝑹𝑿𝑿 . Если 𝒔𝑿𝒆 = 𝒔𝒀𝒆 , то 𝒔𝑿𝒐 = 𝒔𝒀𝒐 = 𝒔𝒐; 𝒓𝒙𝒚 𝒓𝒙𝒚 = = 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒆 𝒄𝒙𝒚 = 𝒄𝒙𝒚 = 𝒄𝒙𝒚 . Т.к. 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 , то 𝒔𝒙 𝒔𝒚 𝒔𝒐 𝒔𝒐 𝒔𝟐𝒐 𝑪𝑿𝒕𝒀𝒕 +𝑪𝑿𝒕𝒀𝒆 +𝑪𝑿𝒆𝒀𝒕 +𝑪𝑿𝒆𝒀𝒆 𝒔𝟐𝒐 = 𝑪𝑿𝒕𝒀𝒕 𝒔𝟐𝒐 т.к. = 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒆 = 𝒄𝑿𝒆𝒀𝒆 = 𝟎 по определению. Т.к. 𝑿𝒕 = 𝒀𝒕 , то 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒕 = 𝒔𝟐𝒕 и 𝒓𝒙𝒚 = 𝒔𝟐𝒕 𝒔𝟐𝒐 = 𝑹𝑿𝑿