Document 5118465

Цель: найти методические
приёмы, которые удовлетворяли
бы требованиям научности
изложения но, вместе с тем,
имели бы элементы большей
наглядности и простаты подачи
материала.
• Площадь – одна из основных
математических величин,
Единицы измерения
характеризующая
площади.
геометрические фигуры
1м
(реальные тела, объекты и
1м
т.п.). В простейших случаях
1м
площадь измеряется числом
заполняющих плоскую
Для измерения больших
фигуру единичных квадратов
площадей (поверхности озёр,
морей, территорий государств и
со стороной, равной единице
т.д.) используют более крупную
длины. Квадрат со стороной 1
единицу 1 м площади –
м является основной
квадратный километр (км2).
единицей измерения
Малые поверхности
(площади) измеряются
площади. Эта единица
квадратными сантиметрами
называется квадратный метр
(см2).
(м2).
2
Нахождение площади
прямоугольника.
A
B
С
D
• Определение:
Прямоугольник – это
четырёхугольник, у
которого все углы
прямые, а
противоположные
стороны равны
SABCD = Sпрямоуг. = ab
Вывод: площадь прямоугольника равна произведению его
длины на ширину.
Площадь квадрата.
А
C
B
• Определение: квадрат –
это прямоугольник, у
которого все стороны
равны
D
SABCD = Sквадр. = аа = а2
Вывод: площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
Площадь
прямоугольного
треугольника.
А
B
C
𝟏
SABC = SBCD = 𝟐SABCD
• Определение: треугольник –
это замкнутая плоская
фигура, образованная тремя
точками, не лежащими на
одной прямой, и тремя
отрезками, соединяющими
эти точки. Треугольник, у
которого один из углов
прямой, называется
прямоугольным.
Вывод:площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
Площадь произвольного • Первый вариант
треугольника.
Пусть дан не прямоугольный
разносторонний треугольник ABC со
B
сторонами a, b, c (рис. 5). Опустим из
b
c

вершины B на основание AC = a высоту BD
h
= h. Высота BD разбивает треугольник на
A
C
D
a
рис. 5
два прямоугольных треугольника ABD и
B B
BCD. Известно, что площадь фигуры равна
сумме площадей частей, из которых она
h
состоит. Следовательно, площадь
треугольника ABC можно представить как
SABC = SABD+ SBCD
сумму площадей треугольников ABD и BCD.
𝟏
𝟐
S = ah
Вывод:площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.
Площадь произвольного
треугольника.
B
b
h

A
D
𝟏
𝟐
a
S = ab𝐬𝐢𝐧 𝜶.
C
• Второй вариант
Высота h в треугольнике ABC и сторона AB = b
являются соответственно катетом и гипотенузой в
прямоугольном треугольнике ABD.
Обозначим угол при вершине A буквой .
Отношение катета h, лежащего против угла , к
гипотенузе b есть синус угла :
ℎ
= sin 𝛼.
𝑏
Выразим из этого равенства величину h:
h = bsin 𝛼.
Произведение bsin 𝛼., определяющее вершину h,
𝟏
подставим в формулу S = 𝟐ah
площади разностороннего треугольника:
𝟏
S = 𝟐ab𝐬𝐢𝐧 𝜶.
Вывод: площадь треугольника равна половине
произведения двух любых его сторон на синус угла между
ними.
Площадь
параллелограмма.
• Определение:
Параллелограмм – это
четырёхугольник, у
которого противолежащие
стороны параллельны.
Sпарал. = SABCD = 2SDBC
𝟏
𝟐
Sпарал. = ah
𝟏
𝟐
Sпарал. =2 ah = ah
Sпарал. =ah
Вывод:площадь параллелограмма равна
произведению основания параллелограмма на его
высоту.
Площадь ромба.
1.
a
a
h
a
a
2.
d1
d2
Вывод: площадь ромба равна половине
произведения его диагоналей.
Площадь трапеции
B
b
C
h
A
F
a
D
SABCD = SABD + SBCD
1
• Определение: трапецией
называется
четырёхугольник, у
которого только две
противоположные
стороны параллельны.
1
SABC = 2 ah; SBCD = 2bh.
1
1
1
SABCD = 2 ah + 2bh = 2 (a + b)h
илиSтрап=
𝐚+𝐛
h
𝟐
Вывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы
оснований на высоту.
Площадь круга.
A
O 
B
При каком числе сторон n площадь правильного вписанного многоугольника
можно отождествлять с площадью круга?
n – число сторон
вписанного
многоугольника
𝜑 = 𝑛 – центральный
угол треугольника
Числовое значение
12
300
3,00000…
50
7,20
3,13333…
100
3,60
3,13952…
150
2,40
3,14067…≈ 3,14…
300
1,20
3,14136…≈ 3,14…
500
0,720
3,14150…≈ 3,14…
2000
0,180
3,14158…≈ 3,14…
10000
0,0360
3,14159…≈ 3,14…
360 °
𝑛
2
sin
360 °
𝑛
Число 3,14… обозначают буквой греческого алфавита 𝜋 (пи). Заменяя
произведение
круга:
𝑛
2
360°
sin 𝑛
буквой 𝜋 в равенстве (), получим формулу площади
Sкр= 𝜋R2 .
SABCD = Sпрямоуг. = ab
SABCD = Sквадр. = аа = а2
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
S = ab𝐬𝐢𝐧 𝜶.
SABC = SBCD = SABCD S = ah
Sпарал. = ah
𝟏
𝟐
Sромба = d1d2
Sтрап =
𝐚+𝐛
𝟐
h
Sкр= 𝝅R2 .