Как узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая

Как узнать, делится ли одно
число на другое, не прибегая
к традиционному делению
«уголком» и помощи
калькулятора?
Тема:
«Признаки делимости»
Выполнила Громова
Ксения, 10 класс, МБОУ
СОШ №1,х. Маяк.
2013г.
Цель работы:
«Найти, изучить и
систематизировать
признаки
делимости».
Задачи:
1.Собрать научную математическую
литературу, содержащую материал на
тему: «Признаки делимости».
2.Изучить, систематизировать
информацию о признаках делимости.
3. Исследовать возможности
использования правил при решении
практических задач.
4. Создать справочник: «Школьникам о
признаках делимости».
Гипотеза
Чтобы
избежать
нудных
делений
уголком,
полезно знать
признаки
делимости
признак делимости
Признак делимости —
алгоритм, позволяющий
сравнительно быстро
определить, является ли
число кратным заранее
заданному числу.
Признаки делимости на 2,5,10,3,9,4, 25
Число делится
На:
Если:
Пример
2
оно
оканчивается
цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.
5
оно оканчивается цифрой 0 95 оканчивается цифрой 5; оно
или 5.
делится на5.
10
оно оканчивается цифрой 0.
3
сумма цифр
делится на3.
этого
числа 285 делится на 3, т.к. сумма
цифр 2+8+5= 15, делится на3.
9
сумма цифр
делится на 9.
этого
числа 351 делится на 9, т.к. сумма
цифр 3+5+1 = 9, делится на9.
4
две последние цифры этого 3164; две последние цифры
числа
образуют
число, составляют число 64, оно
делящееся на 4.
делится на 4; число 3164
делится на 4.
25
оно оканчивается на 00, 25, 50 7325 оканчивается на25; оно
или 75.
делится на 25.
чётной 26
оканчивается
чётной
цифрой 6; оно делится на 2.
2500 оканчивается цифрой 0;
оно делится на 10.
Признак делимости на 8:
Число n делится на 8, если
на 8 делится трёхзначное
число, образованное из трёх
последних цифр числа n.
Пример. Число 199 619 971 998 на 8 не
делится, т.к. трёхзначное число 998,
образованное из трёх последних цифр числа,
на 8 не делится.
Теорема Паскаля
Натуральное число а разделится на
другое натуральное число b только в
том случае, если сумма
произведений цифр числа а на
соответствующие остатки,
получаемые при делении
разрядных единиц на число b,
делится на это число.
Пример: число 2814 делится на 7, так как
2∙6+8∙2+1∙3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток
отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3остаток от деления 10 на 7).
Блез Паскаль
(1623–1662)
французский
религиозный
мыслитель,
математик и
физик внёс
большой вклад в
изучение
признаков
делимости
чисел.
Признак делимости на 13
Число n делится на 13 в том и только в том случае, когда
на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием
последней цифры и прибавлением к полученному числу
учетверённого значения зачёркнутой цифры.
Например, число n = 52 делится на 13, так как число 5 + 4 ∙ 2 = 13
делится на 13.
Доказательство:
Представим число в виде: n= 10a + b = 10( а + 4b )-39b. Отсюда следует, что
числа n и исходное на 13 делятся или не делятся одновременно зависит от
суммы а + 4b, а это и есть число, полученное n зачёркиванием последней цифры
и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой
цифры.
Применим правило для числа 2002:
2002
(20+2∙4)= 208
(20+8∙4) =52
(5+2∙4) =13.
Значит, число 2002 делится на 13.
Признаки делимости 7, 11, 13, 19.
Пример
На: Правило
число делится на 7 в том и только в том случае, если 1999 не
7
делится на 7,
на 7 делится число
поскольку на 7 не
р = n0 + 3n1 + 2n2 - (n3 + Зn4 + 2n5) + ….
делится число
n0 n1 n2 ... - цифры единиц, десятков, сотен ... числа р=9+З·9+2∙ 9-1=53.
n.
11
число делится на 11 в том и только в том случае, 1969 делится на 11,
если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, потому что
(9+9)отличается от суммы цифр, стоящих на чётных (1+6)=18-7=11, делится на
местах, на величину, кратную 11.
11.
13
Число делится на 13 в том и только в том случае, число n=676 делится на
когда на 13 делится число, полученное из него 13,так как число 67+6 ∙
зачёркиванием последней цифры и прибавлением к 4=91, 9+1∙4 =13
полученному
числу
учетверённого
значения
зачёркнутой цифры.
19
число делится без остатка на 19 тогда и только Число 608 делится на 19,
тогда, когда число его десятков, сложенное с так как число 60+2 ∙
удвоенным числом единиц, кратно 19.
8=76, 7+2∙6 =19.
Признаки делимости на 23, 99, 59,101.
На
Правило
Пример
23
число делится на 23 тогда и только тогда, когда
число его сотен, сложенное с утроенным числом
десятков, кратно 23.
число делится на 99 тогда и только тогда, когда
сумма групп чисел делится на 99 (в каждой
группе по два числа, деление на группы
начинается справа налево)
число делится на 59 тогда и только тогда, когда на
него делится число, полученное путём
зачёркивания последней цифры и прибавлением к
оставшемуся числу ушестерённой вычеркнутой
цифры.
28842 делится на 23, так как 288 + (3 ∙ 42) =
414, продолжаем 4 + (3 ∙ 14) = 46, очевидно
делится на 23.
1584 делится на 99, так как 15+84=99, очевидно
делится на 99.
99
59
728355 делится на 59, так как 728355 + 6 ∙ 5=
72865,
7286 + 6 ∙ 5= 7316,
731 + 6 ∙ 6= 767,
76 + 6 ∙ 7= 118,
101 Разобьем число на группы по 2 цифры справа
налево (в самой левой группе может быть одна
цифра) и найдем сумму этих групп с
переменными знаками, считая их двузначными
числами. Эта сумма делится на 101 тогда и
только тогда, когда само число делится на 101.
11 + 6 ∙ 8= 59.
Пример,
590547 делится на 101, так как 59-05+47=101
делится на 101.
.
КАК ЗАПОМНИТЬ?
№п/ Признак делимости на:
п
1.
99
Количество
голосов в %
40
2.
101
35
3.
11
14
4.
13 и 59
7
5.
17,19.23.79
4
6.
7
0
7.
Остальные признаки
0
«напоминалка»
№п\п
Схожие действия
К каким числам
применить
Группа цифр на конце числа…
4, 8,2n,5n
2.
Сумма цифр…
3.9
3.
Сумма числа десятков
и единиц, 19,29,79,23
увеличенных в несколько раз…
4.
Зачёркивание последней цифры…
13,59
5.
Разность или модуль разности …
11,31,41
6.
Цифры
числа
группы…
1.
разбиваются
на 99, 101
Задача
Предположим, вы купили в
магазине 3 ластика, 6
карандашей и 9 одинаковых
тетрадей, а продавец говорит:
«С вас за покупку десять
рублей».
Как сразу обнаружить ошибку
продавца?
Олимпиадная задача
Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3
при любом натуральном n.
Решение:
представим многочлен в виде суммы двух слагаемых:
n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=n(n
+1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение
трех последовательных натуральных чисел, одно из
которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое
содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся
сумма делится на 3.
Результаты работы
1.Я создала справочник: «Школьникам о
признаках делимости».
2.Составила «Напоминалку» для
облегчения запоминания многочисленных
признаков.
3.Мой кругозор о числах расширился.
4 Мои вычислительные навыки
повысились.
5.«Признаки делимости можно
использовать на занятиях кружка, для
решения олимпиадных заданий.
Литература
1.http://www.onlinedics.ru/slovar/fil/p/priznak.html
2. М Аксёнова, В. Володин. Энциклопедия для детей. Т. 11.
Математика. М. : Аванта+, 2004.
3.http://www.math.com.ua/articles/criterion_of_divisibility.ht
ml
4.
Я.
И.
Перельман
«Занимательная
алгебра.
Занимательная геометрия» «Ростов-на-Дону», 2005.
5.Большой Российский энциклопедический словарь. – М
:Большая Российская энциклопедия, 2005.
6.И.К. Выгодский Справочник по математике. –М:
Просвещение, 1998.
7.Г.В. Дорофеев. ЕГЭ. Математика. Супер репетитор.– М.:
Эксмо,2006.
8.Г.Г. Левитас. Нестандартные задачи по математике в 711 классах. –М.:Илекса, 2007.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ