18. Космические скорости

Космические
скорости
𝐺𝑀з 𝑚
= 𝑚𝑎ц
2
(𝑅 + ℎ)
𝐺𝑀з
𝑣2
=
2
(𝑅 + ℎ)
𝑅+ℎ
𝐺𝑀з
𝑣 =
(𝑅 + ℎ)
2
ℎ
𝑅
Первая космическая скорость
Первая космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы вывести его на орбиту
Земли.
𝑣1 =
𝐺𝑀
𝑅
Для Земли:
𝑣1 = 7,9 км/с
Вторая космическая скорость
Вторая космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло покинуть
орбиту Земли.
𝑚𝑣2 2 𝐺𝑀𝑚
=
2
𝑅
𝑣2 =
2𝐺𝑀
𝑅
𝑣2 = 𝑣1 2
Для Земли:
𝑣2 = 11,2 км/с
Третья космическая скорость
Третья космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло покинуть
Солнечную систему.
𝑣3 =
( 2 − 1)2 𝑣 2 + 𝑣2 2
Вблизи Земли:
𝑣3 = 16,65 км/с
Четвертая космическая скорость
Четвертая космическая скорость — это минимальная
скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло
покинуть галактику Млечный Путь.
𝑣4 = 𝜑
Где 𝜑 — гравитационный потенциал.
Гравитационный потенциал может
меняться в зависимости от положения в
галактике и момента времени.
Вблизи Солнца: 𝑣4 = 550 км/с
Первая и вторая космические скорости
𝑣1 =
𝐺𝑀
𝑅
𝑣2 = 𝑣1 2
𝑣2 =
2𝐺𝑀
𝑅
Черные дыры
Черные дыры обладают
огромной плотностью:
ρ~2 × 1017 кг/м3
Космические скорости
черных дыр:
𝑣1 ≥ 𝑐
𝑣2 = 𝑣1 2 > 𝑐
Масса Меркурия равна 3,33
𝟑, 𝟑𝟑 ×
×𝟏𝟎
10𝟐𝟑23кг,
кга длина экватора составляет
15329км
15329 км. Какую минимальную скорость нужно сообщить телу, на
Меркурии, чтобы это тело стало искусственным спутником? Меркурий
можно считать идеальным шаром.
Дано:
𝑀 = 3,33 × 1023 кг
𝑙 = 15329 км
𝑙 = 2𝜋𝑅
𝑣1 − ?
𝑣1 =
𝑣1 =
2𝜋𝐺𝑀
=
𝑙
𝐺𝑀
𝑅
𝑙
𝑅=
2𝜋
2𝜋 × 6,67 × 10−11 × 3,33 × 1023
≈ 3 км/с
15329000
Находясь на неизвестной планете, команде космического корабля срочно
требуется ее покинуть. Произведя все расчёты, они выяснили, что им
необходимо достичь скорости, равной14
14 км/с
км/с, чтобы улететь с этой
планеты. Если масса планеты составляет 3
𝟑×
× 𝟏𝟎
10𝟐𝟓25кг,
кгто какова
плотность этой планеты? Принять планету за идеальный шар.
Дано:
𝑣2 = 14 км/с
𝑀 = 3 × 1025 кг
𝜌− ?
4 3
𝑉 = 𝜋𝑅
3
𝑀
𝜌=
𝑉
𝑣2 =
2𝐺𝑀
𝑅
2𝐺𝑀
𝑅=
𝑣2 2
3 𝑀3
8𝐺
𝑅3 =
𝑣2 6
Находясь на неизвестной планете, команде космического корабля срочно
требуется ее покинуть. Произведя все расчёты, они выяснили, что им
необходимо достичь скорости, равной 14 км/с, чтобы улететь с этой
планеты. Если масса планеты составляет 𝟑 × 𝟏𝟎𝟐𝟓 кг, то какова
плотность этой планеты? Принять планету за идеальный шар.
Дано:
𝑣2 = 14 км/с
𝑀 = 3 × 1025 кг
𝜌− ?
3 𝑀3
8𝐺
4 3
𝑅3 =
𝑉 = 𝜋𝑅
𝑣2 6
3
3𝑀𝑣2 6
3𝑣2 6
𝜌=
=
3
3
4𝜋 × 8𝐺 𝑀
32𝜋𝐺 3 𝑀2
𝑀
𝜌=
𝑉
3 × 140006
3
𝜌=
=
841
кг/м
32𝜋(6,67 × 10−11 )3 (3 × 1025 )2
Найдите массу и вторую космическую скорость звезды, для которой
первая космическая скорость равна300
300 км/с
км/с. Радиус звезды равен
57000
57000 км
километров.
Дано:
𝑣1 = 300 км/с
𝑅 = 57000 км
𝑣2 − ? 𝑀− ?
𝑣1 =
СИ
3 × 105 м/с
57 × 106 м
𝑣2 = 𝑣1 2
𝑣2 = 3 × 105 2
𝑣2 = 420 км/с
𝐺𝑀
𝑅𝑣1 2 57 × 106 × (3 × 105 )2
28 кг
⇒𝑀=
=
=
7,69
×
10
𝑅
𝐺
6,67 × 10−11
Основные выводы
 Первая космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным
спутником Земли.
𝑣1 =
𝐺𝑀
𝑅
 Вторая космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло покинуть
орбиту Земли.
𝑣2 =
2𝐺𝑀
𝑅
Основные выводы
 Третья космическая скорость — это минимальная скорость,
которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло покинуть
Солнечную систему.
𝑣3 =
( 2 − 1)2 𝑣 2 + 𝑣2 2
 Четвертая космическая скорость — это минимальная
скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно смогло
покинуть галактику Млечный Путь.
𝑣4 = 𝜑