Системы линейных уравнений (СЛУ)

Системы линейных уравнений
(СЛУ)
Основные определения
СЛУ называется система вида
a11 x1+ … + a1nxn=b1
a21x1+ … + a2nxn=b2
. . . . . . .
(1)
am1x1 + … + amnxn=bm
Числа aij, , называемые коэффициентами системы (1), образуют
прямоугольную числовую таблицу (2), которая называется
основной матрицей системы (1).
a11a12…а1n
a21 a22… a2n
. . . . .
am1am2….amn
(2)
a11a12…a1n
b1
a21a22…a2n
b2
(3)
. . . . ..
am1am2….amn
b3
Решением системы линейных уравнений называется
упорядоченный набор чисел (α1,…,αn) при подстановке
которых в СЛУ (1) вместо неизвестных x1, … , xn
соответственно, каждое из уравнений в СЛУ (1)
обращается в верное числовое равенство.
Решить систему – это значит найти множество всех ее
решений.
Cистема линейных уравнений (1) называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение и называется
несовместной, если у нее решений нет.
СЛУ называется однородной, если все ее свободные члены
bi =0
Пример 1 Матрица
является расширенной матрицей системы
Неизвестная переменная xi в СЛУ называется базисной,
если она встречается в единственном уравнении системы и
имеет коэффициент единица.
В нашем примере x1, x3, x4- базисные переменные.
Переменным x2 и x5 придадим произвольные значения, а из СЛУ
однозначно найдем значения базисных переменных x1, x4, x3
Пусть x2=α, x5=β, тогда x1=3-2α+β, x4=5-α+2β, x3=7+3α.
Общий вид решения СЛУ будет таким:
3 − 2𝛼 + 𝛽; 𝛼; 7 + 3𝛼; 5 − 𝛼 + 2𝛽; 𝛽 : 𝛼, 𝛽єℝ общее решение.
При конкретных значениях α и β получаются конкретные
решения. Они называются частными решениями.
Например, при α=β=0 получим (3;0;7;5;0).
Алгоритм решения СЛУ в базисном виде
В СЛУ базисного вида выберем по одной базисной
переменной в уравнении, остальные переменные, которые
будем называть свободными переменными, перенесем
вправо от знака равенства.
Для нахождения общего решения СЛУ базисного вида
нужно свободным переменным придать произвольные
значения, а значения базисных переменных однозначно
выразить из уравнений системы.
Пример. Решить СЛУ
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9
2𝑥1 − 𝑥3 + 𝑥4 = 2
𝑥3 + 𝑥5 = 7
𝑥3 + 𝑥6 = 0
Решение:


𝑥1 = 𝛼
𝑥3 = 𝛽
𝑥2 = 9 − 2𝛼 − 𝛽
𝑥4 = 2 − 2𝛼 + 𝛽
𝑥5 = 7 − 𝛽
𝑥6 = −𝛽
Ответ: 𝛼; 9 − 2𝛼 − 𝛽; 𝛽; 2 − 2𝛼 + 𝛽; 7 −
Преобразование произвольной СЛУ к базисному виду.
Метод Жордана-Гаусса (Ж-Г)
Определение. Две СЛУ называются равносильными, если
множества их решений совпадают.
Преобразования, при которых СЛУ преобразуется в
равносильную, называются элементарными.
Элементарные преобразования:
а) умножение на число λ≠0 правой и левой частей i-ого
уравнения системы;
б) прибавление к левой и правой частям i-ого уравнения
соответствующих частей j-ого уравнения умноженных на число
λ;
в) перестановка местами i-ого и j-ого уравнений;
г) удаление из системы нулевого уравнения 0ˑx1+0ˑx2+…+0ˑxn=0
Теорема. При элементарных преобразованиях система
линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему.
Преобразование Ж-Г представляет собой цепочку элементарных
преобразований, после которых выбранная переменная становится
базисной в выбранном уравнении.
Допустим, что мы хотим сделать переменную xq базисной
переменной в р-ом уравнении системы:
Число apq должно быть отлично от нуля. Разделим на число apq p-ое
уравнение системы.
𝑎𝑝1
𝑎𝑝𝑞
x1+…+xq+…+
𝑎𝑝𝑖
𝑎𝑝𝑞
𝑎𝑝𝑛
xj+…+
𝑎𝑝𝑞
xn=
𝑏𝑝
𝑎𝑝𝑞
(2)
Число apq должно быть отлично от нуля. Разделим на
число apq p-ое уравнение системы.
𝑎𝑝1
𝑎𝑝𝑖
𝑎𝑝𝑛
𝑏𝑝
x +…+xq+…+ xj+…+ xn=
𝑎𝑝𝑞 1
𝑎𝑝𝑞
𝑎𝑝𝑞
𝑎𝑝𝑞
(2)
Получим уравнение:
𝑎𝑝1
𝑎𝑝𝑗
𝑎𝑝𝑛
𝑏𝑝
a )x +…+0ˑxq+…+(aij- aiq)xj+…+(ain- aiq)xn=bi- aiq
𝑎𝑝𝑞 iq 1
𝑎𝑝𝑞
𝑎𝑝𝑞
𝑎𝑝𝑞
(ai1-
Элемент apq называется разрешающим элементом, р-ое
уравнение разрешающим уравнением, q-ый столбецразрешающим столбцом.
Переменная xq исключается аналогичным способом и
из остальных уравнений.
Элементы матрицы СЛУ при преобразовании Ж-Г преобразуются по
следующим правилам:
1.
Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.
2.
Разрешающий столбец заполняется нулями (кроме 1 в разрешающей
строке).
3.
Остальные элементы матрицы преобразуются по схеме:
aij → aij-
𝑎𝑝𝑖
a =
𝑎𝑝𝑞 iq
𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑝𝑞 −𝑎𝑝𝑗 𝑎𝑖𝑞
𝑎𝑝𝑞
Эту схему называют схемой прямоугольника
Замечание: по схеме прямоугольника изменяются также и
свободные члены системы.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений


2431 3
0 0 1 1 -5
0 0 1 1 -5
0 -5 0 1 -12
1 2 1 0 4 ~ 1 2 1 0 4 ~ 1 2 1 0 4 ~ 1 -3 0 0 -3
3120 5
0 -5 -1 0 -7
0510 7
05 10 7
В каждом уравнении системы есть базисная переменная. Значит, СЛУ в
базисном виде.
Полагая x2=𝛼 (свободная переменная), находим:
х1=-3-3𝜶; x3=7-5𝜶; x4=-12+5𝜶.
{(-3-3𝛼 ; 𝛼; 7-5𝛼; -12+5𝛼; ): 𝛼 ∈ ℝ}
В результате решения СЛУ возможны 3 ситуации:
1. СЛУ имеет бесконечное множество решений. Это
случается если после преобразования СЛУ к
базисному виду число неизвестных n>r числа
уравнений.
2. СЛУ имеет одно решение, если n=r.
3. CЛУ несовместна . Это случается, если в
процессе преобразований мы получим уравнение
вида 0ˑx1+0ˑx1+…+0ˑxn=b≠0.
Арифметические векторы
Арифметическим вектором размерности n называется
упорядоченный набор n чисел (𝛼1,… , 𝛼𝑛 ).
Множество всех n-мерных векторов обозначают ℝ𝑛 =
ℝ × ℝ × ⋯× ℝ
Решения СЛУ являются арифметическими векторами.
Определение. Суммой двух n-мерных векторов
ā = ( a1, …, an ) и b̄ = (b1,…, bn) называется вектор
ā + b̄ = ( a1+b1,…, an+bn)
Произведением вектора ā на число λ называется
вектор λ ā =(λа1,…,λаn)
Разность векторов а̄ и b̄=ā+(-1)b̄=(a1-b1,…, an-bn)
Операции сложения (вычитания) векторов и
умножения вектора на число называют линейными
операциями над векторами.