с-2

1.
1.В правильной
четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите
расстояние между
прямыми SA и BC.
Решение:
С-2(2)
В правильной
шестиугольной призме
А…F1, все ребра которой
равны 1, найдите
расстояние от точки А до
плоскости BFE1.
С-2(3)
Все ребра правильной
шестиугольной призмы А…F1
равны 1. Найдите косинус угла
между прямыми АВ1 и ВС1.
С-2(4)
 В правильной шестиугольной
призме А…F1 все ребра
которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми
АВ1 и ВD1
Вершины четырехугольной
пирамиды
Дана правильная
четырехугольная пирамида SABC
D, в основании которой лежит
квадрат со стороной 1. Боковое
ребро BS = 3. Найдите
координаты точки S.
Решение:
 Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y =






0,5. Это следует из двух фактов:
Проекция точки S на плоскость OXY — это точка H;
Одновременно точка H —
центр квадрата ABCD, все стороны которого равны 1.
Осталось найти
координату точки S. Рассмотрим треугольник AHS. Он пр
ямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH —
половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам
потребуется его длина:
Теорема Пифагора для 2
2
2
треугольника AHS: AH + SH = AS . Имеем:
Итак, координаты точки S:
Ответ
Угол между двумя прямыми:
Задача.
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены
точки E и F — середины
ребер A1B1 и B1C1соответственно.
Найдите угол между прямыми
AE и BF.
Решение:
положим AB = 1. Введем стандартную
систему координат: начало в точке A,
A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1).
B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1),
т.к. F — середина отрезка B1C1.
Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) =
(0; 0,5; 1).
Ответ: arccos 0,8
2.
. В правильной трехгранной
призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, отмечены
точки D и E — середины
ребер A1B1 и B1C1 соответствен
но. Найдите угол между
прямыми AD и BE.
Решение:
Введем систему координат:
Ответ: arccos 0,7
Задача. В правильной
шестигранной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все
ребра которой равны 1, отмечены
точки K и L — середины
ребер A1B1 и B1C1соответственно.
Найдите угол между прямыми
AK и BL
Решение
 . Введем стандартную для призмы систему
координат: начало координат поместим
в центр нижнего основания, ось x направим
вдоль FC, ось y — через середины отрезков
AB и DE, а ось z — вертикально вверх.
Единичный отрезок снова равен AB = 1.
Выпишем координаты интересующих нас
точек:
координаты направляющих
векторов AK и BL:
 Точки K и L — середины
отрезков A1B1 и B1C1 соответственно,
поэтому их координаты находятся через
среднее арифметическое. Зная точки,
найдем координаты направляющих
векторов AK и BL:
Теперь найдем косинус угла:
Ответ: arccos 0,9