V Олимпиада им. П.Л.Чебышёва 2015 5 класс

V Олимпиада им. П.Л.Чебышёва 2015
5 класс
1.
Вдоль реки расположены пристани А,Б,В,Г (именно в таком порядке). Из В в А
пароход плывет 1 час, из В в Г – тоже 1 час, из Б в Г пароход плывёт 2 часа. В
какую сторону течёт река – от А к Г, или наоборот?
Ответ. Наоборот.
Решение. Заметим, что из Б в В пароход плывёт за 1 час, а из В в А (большее
расстояние) – тоже за 1 час, значит из А в В – за большее время. То есть, река
течёт от Г к А.
2.
За круглым столом сидели лжецы (всегда лгут) и рыцари (всегда говорят правду), всего – девять человек. Каждый из них заявил: «МОИ СОСЕДИ – ЛИБО ОБА
ЛЖЕЦЫ, ЛИБО ОБА РЫЦАРИ». Сколько рыцарей могло быть за круглым столом?
Ответ. 3 рыцаря.
Решение. По условию задачи за столом сидит хотя бы один лжец. Рассмотрим
его. Он сказал: «МОИ СОСЕДИ – ЛИБО ОБА ЛЖЕЦЫ, ЛИБО ОБА РЫЦАРИ».
Значит, это неправда и один из его соседей лжец, а другой – рыцарь. Так как и
рыцарь сказал эту фразу, а один из его соседей лжец, то и другой – лжец. Продолжая эту схему, получим: Л, Р, Л, Л, Р, Л, Л, Р, Л. Так как они сидят по кругу,
то всё сходится.
Примечание. Если бы мы не знали, что за столом сидит хотя бы один лжец, то
условию задачи удовлетворяла ситуация, когда все 9 человек – рыцари.
3.
На плоскости нарисовано 5 прямых. Какое наибольшее количество точек пересечения может быть?
Ответ: 10.
Решение. Любые две прямые пересекаются не больше чем в одной точке. Значит, каждая из 5 прямых пересекается с 4 другими не более чем в 4 точках.
Итого,
точек. Но каждую точку мы посчитали 2 раза. Значит, максимальное количество точек пересечения –
. Пример построить нетрудно.
4.
Семь детей съели вместе 100 конфет. Какое наименьшее количество конфет
могли съесть три самых больших обжоры?
Ответ. 44.
Решение. Так как
то кто-то из "обжор" съест не меньше 15 конфет. Если 5 детей съедят по 14 конфет, а 2 – по 15, то три самых больших обжоры съедят 44 конфеты. Если же кто-то из первых 5 съест меньше хоть на
одну конфету, то она достанется обжорам и они съедят больше.
5.
В кружке кройки и шитья каждая девочка дружит ровно с двумя мальчиками
из этого кружка, а каждый мальчик – ровно с одной девочкой. Может ли всего
в кружке заниматься 16 детей?
Ответ. Нет.
Решение. Первый способ ("научный"). Пусть в кружке m мальчиков и d девочек.
Так как каждый мальчик дружит ровно с одной девочкой, то число дружб в
кружке равно m. Но так как каждая девочка дружит ровно с 2 мальчиками, то
число дружб в кружке равно 2d. Значит,
Тогда общее количество детей
в кружке
Таким образом, общее количество детей в кружке
делится на 3, а 16 на 3 не делится.
Второй способ ("детский"). Выберем любую девочку. Назовём её Патей. Она
дружит с какими-то двумя мальчиками. Каждый из этих мальчиков дружит
только с одной девочкой и этой девочкой является Патя (так как дружба может
быть только взаимной). Значит, Патя с двумя друзьями-мальчиками образуют
закрытую для других группу из трёх детей. И так каждая девочка. Значит, общее количество детей должно делиться на 3, а 16 на 3 не делится.
6.
Есть 13 мешков с новогодними подарками. За одно взвешивание можно взвесить любые два мешка. За сколько взвешиваний Дед Мороз сможет определить
общий вес всех тринадцати мешков?
Ответ. За 8 взвешиваний.
Решение. Очевидно, что за 7 взвешиваний определить общий вес невозможно.
Взвесив попарно первые 3 мешка, в сумме получим удвоенный вес этих трёх
мешков. За 5 взвешиваний можно определить общий вес остальных 10 мешков. Итого, 8 взвешиваний.
7.
Два червяка съедают яблоко за 12 дней. Первый червяк съедает за три дня
столько же, сколько второй за два дня. За сколько дней первый червяк съест
яблоко в одиночку?
Ответ. За 30 дней.
Решение. За 60 дней два червяка съели бы 5 яблок, причём два из них – первый, три яблока – второй. Значит, одно яблоко первый червяк съест в одиночку за 30 дней.
8.
После реформы ЕГЭ по чистописанию в нём осталось 33 задания. За правильный ответ за каждое задание школьник получает 7 баллов, за каждый неправильный ответ – с него снимается 12 баллов, за отсутствие ответа школьник
получает 0 баллов. Гаврила ошибся по крайней мере 1 раз, и получил в сумме 0
баллов. Сколько раз Гаврила ответил правильно?
Ответ. 12 раз.
Решение. Пусть Гаврила x раз ответил правильно, y раз неправильно. Тогда он
получил 7x баллов, с него сняли 12y баллов (ровно столько, сколько получил). То
есть,
Так как 7 и 12 взаимно простые числа, то x делится на 12, а y –
на 7. Так как
и всего заданий было 33, то x равен либо 12 либо
24. В первом случае
во втором случае
Значит, во втором случае
чего не может быть. Остаётся,
6 класс
1.
Двадцать чисел выписаны в ряд. Сумма любых трёх стоящих подряд больше
нуля. Обязательно ли сумма всех двадцати тоже больше нуля?
Ответ. Нет, необязательно.
Решение. Рассмотрим, например, следующий ряд:
-10, -29, 40, -10, -29, 40, -10, -29, … , 40, -10, -29.
Сумма любых трёх подряд стоящих чисел равна 1, а сумма всех двадцати равна
2.
Данила задумал целое число от 1 до 100. Гаврила может задавать ему вопросы,
на которые можно отвечать только «да» или «нет». Сможет ли Гаврила угадать
число, задав только 7 вопросов?
Ответ. Да.
Решение. Допустим даже, что число Данилы находится в пределах от 1 до
128=27.
Первым вопросом Гаврила спросит: "Верно ли, что твоё число больше 64?" Как
после ответа "да", так и после ответа "нет" Гавриле останется угадать задуманное число из 64 возможных вариантов, и второй вопрос Гаврилы для этих вариантов различен. После ответа "да" Гаврила может спросить: "Верно ли, что
твоё число больше 96?", а после ответа "нет": "Верно ли, что твоё число больше
32?" Таким образом, после второго вопроса Гавриле нужно угадать число из 32
вариантов, после третьего вопроса – из 16 вариантов, после четвёртого – из 8
вариантов, после пятого – из 4 вариантов, после шестого – из двух вариантов;
после седьмого вопроса остаётся одно единственное число. Его Гаврила и назовёт.
Так как на самом деле Данила задумал число от 1 до 100, то это число также
будет найдено.
3.
Можно ли квадрат 10×10 клеток разрезать на 16 фигурок вида
и 18 фигурок вида?
Ответ. Можно.
Решение. Существуют разные примеры. Например, см. рис.
4.
Семь детей съели вместе 98 конфет. Все семеро съели различное количество
конфет. Какое наименьшее количество конфет могли съесть три самых больших обжоры?
Ответ. 48.
Решение. Построим детей не по росту, а по количеству съеденных конфет от
меньшего числа к большему. Пусть первый в строе съел
конфет. Тогда 2-й
съел не меньше
3-й – не меньше
4-й – не меньше
5-й – не
меньше
6-й – не меньше
а 7-й – не меньше
Тогда все вместе
съели не меньше
конфет. Значит,
или
Если взять
то имеем
то есть трое больших обжор съели соответственно 15, 16 и 17, а
вместе 48 конфет. Если считать, что
то первые четверо съедят не больше
49, а последние трое – не меньше 49. Значит, наименьшее количество равно
48.
5.
Существует ли целое число, которое при делении на 31 имеет одинаковые оста-
ток и неполное частное?
Ответ. Существует.
Решение. По правилу деления с остатком,
или
где
При всех от 1 до 30 получим разные числа, удовлетворяющие условию задачи. Например, при
получим число 96, которое при делении на 31 имеет
остаток и неполное частное, равное 3.
Примечание. Ученику достаточно привести любой пример, не объясняя, как он
это получил.
6.
Можно ли прямоугольник 63×38 разрезать на прямоугольники 7×9?
Ответ. Нет.
Рассмотрим сторону длиной 38. На ней целое число раз должны уложиться несколько отрезков длиной 7 и 9, являющиеся сторонами прямоугольников 7×9.
Значит,
Нетрудно проверить, что нет неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих этому равенству.
7.
В некотором городе
часть семей, имеющих кошку, имеют и собаку, а ¼
часть семей, имеющих собаку, имеют и кошку. При этом, ¼ всех семей в городе не имеют ни кошки, ни собаки. Какая часть семей в городе имеют и кошку
и собаку?
Ответ. 1/8.
Решение. Пусть x семей в городе имеют и кошку и собаку. Тогда количество
семей, имеющих кошку, равна 3x, собаку – 4x, только кошку – 2x, только собаку – 3x. Значит,
семей в городе держат хотя бы одно из этих
животных. По условию задачи это составляет ¾ всех семей в городе. Отсюда
следует, что x составляет 1/8 всех семей.
8.
На встрече друзей каждый, кроме Данилы, пожал руку каждому другому. Данила был не в духе, некоторым руку не пожал. Всего на встрече было сделано
100 рукопожатий. Сколько друзей (включая Данилу) были на встрече?
Ответ. 15.
Решение. Оставим пока Данилу в сторонке. Остальные друзья пожали руки
всем другим. Пусть их было n. Значит, каждый пожал руку
человеку. Так
как это сделал каждый, то в произведении
каждое рукопожатие посчитано 2 раза. Поэтому количество рукопожатий равно
Пусть Данила
пожал руку k друзьям и тогда
Заметим, что при
получает-
ся
Если
получается перебор, так как без Данилы число рукопожатий больше 100. Если
то
то есть Данила пожал руку больше, чем
всего друзей, чего не может быть. Значит, вместе с Данилой на встрече было 15
друзей.
7 класс
1.
Расставить скобки в равенстве 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10 = 7 так, чтобы оно стало
верным.
Ответ. Например, так (1:2:3:4:5):(6:7:8:9:10) = 7.
Примечание. Произведение
и задача заключается в том, чтобы удачно распределить эти множители таким образом,
чтобы степени 2, 3 и 5 сократились, а число 7 оказалось в числителе.
2.
Можно ли все натуральные числа от 1 до 100 выписать в ряд так, чтобы любые два соседние числа отличались бы не менее, чем на 50?
Ответ. Можно.
Решение. Следующая последовательность удовлетворяет условию задачи:
Соседние числа отличаются друг от друга либо на 50, либо на 51.
Примечание. Если бы эти числа были расположены по кругу, то такого распределения не существовало бы.
3.
Семь детей съели вместе 100 конфет. Все семеро съели различное количество
конфет. Какое наименьшее количество конфет могли съесть три самых больших обжоры?
Ответ. 50.
Решение. Построим детей не по росту, а по количеству съеденных конфет от
меньшего числа к большему. Пусть первый в строе съел конфет. Тогда 2-й
съел не меньше
3-й – не меньше
4-й – не меньше
5-й – не
меньше
6-й – не меньше
а 7-й – не меньше
Тогда все вместе
съели не меньше
конфет. Значит,
или
Пусть
и найдём сумму восьми
последовательных натуральных чисел:
Так как на самом деле съедено 100 конфет, то ни у кого не было 16 конфет.
Значит, количество конфет в этом случае распределяется однозначно и трое
больших обжор съели
конфет. Если принять
то при
плотной упаковке
и ни одно из
этих чисел невозможно убрать, не увеличив последние слагаемые, иначе общая сумма конфет будет меньше 100. Если же увеличить последние три слагаемых хотя бы на 1 каждое (на самом деле больше), то количество съеденных
конфет тремя обжорами будет не меньше 50.
4.
Трёхзначное число
тоже делится на 37.
делится на 37. Доказать, что сумма чисел
и
Решение. Рассмотрим сумму всех трёх чисел
Она делится на 37. Значит, и
5.
делится на 37.
Существует ли шестиугольник, у которого все углы равны, а стороны равны
1,2,3,4,5,6 (не обязательно в таком порядке)?
Ответ. Существует.
Решение. Первый способ. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 11 и по углам отрежем от него три равносторонних треугольника со сторонами 6, 4 и 2. В результате получим шести угольник с данными сторонами,
а все его углы равны 120⁰.
Второй способ. Возьмём параллелограмм со сторонами 7 и 5 и острым углом
60⁰. От острых углов отрежем два равносторонних треугольника со сторонами
1 и 2. Получится тот же шестиугольник, какой в первом способе.
6.
Из прямоугольников 1×6 сложили прямоугольник. Доказать, что одна из его
сторон делится на 6.
Решение. Если одна из сторон делится на 6, то построение очевидно. Разобьем
данный прямоугольник на прямоугольники со стороной 6 (по стороне, кратной
6) и упакуем их плотно прямоугольниками 1×6. Допустим теперь, что ни одна
сторона не делится на 6. Заметим, что площадь составленного прямоугольника
кратна 6, а именно равна 6k, где k – количество прямоугольников 1×6. Поэтому
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
одна из сторон шестиугольника кратна 3. Количество клеток по горизонтали кратно 3, но не кратно 6. Раскрасим составленный шестиугольник в 6
цветов так, как показано на примере на рисунке.
Заметим, что как бы на этом рисунке не расположился прямоугольник 1×6, он будет раскрашен
во все 6 цветов. Значит, клеток каждого цвета
должно быть поровну. Если количество строк
кратно 6, то так и будет. На рисунке в "синем"
прямоугольнике всё хорошо. А в "красном" прямоугольнике и в любом количестве её строк от 1
до 5 количество клеток не всех цветов одинаково.
Доказано.
7.
Существует ли число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на
три даёт остаток 2, при делении на 4 даёт остаток 3, при делении на 5 даёт
остаток 4, при делении на 6 даёт остаток 5, при делении на 7 даёт остаток 6?
Ответ. Существует, например 419.
Решение. Если a – искомое число, то
делится на каждое из чисел 2, 3, 4,
5, 6 и 7. Значит,
общее кратное этих чисел. НОК этих чисел равно 420.
Значит,
и
. В частности, при
8.
В треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку ЕС, АС=2АВ. Найти угол
АВС.
Ответ. 90⁰.
Решение. Пусть D – середина AC. Тогда
а
медиана и высота
равнобедренного треугольника AEC. Треугольник ABD также равнобедренный и
её биссектриса AO является медианой и высотой. Отсюда следует, что прямая
AE – серединный перпендикуляр к отрезку BD. Значит,
и
то есть катет равен половине гипотенузы и
и
8 класс
1.
Шестизначное число A делится на 17, а число, полученное вычеркиванием его
последней цифры, делится на 13. Найти наибольшее A, удовлетворяющее этим
требованиям..
Ответ. 999838.
Решение. Наибольшее пятизначное число, кратное 13, равно 99996. Но среди
чисел от 999960 до 999969 нет кратных 17. Следующее кратное 13 пятизначное число – 99983, а 999838 делится на 17.
2.
Сколькими способами можно расставить 8 ладей на чёрных клетках шахматной доски размером 8 8 так, чтобы они не били друг друга?
Ответ. 242 = 576. Решение.
Раскрасим все чёрные клетки в синий и красный цвет, как на рисунке. На синих клетках стоят четыре ладьи, и на красных клетках стоят 4
ладьи.
c
Если вырезать все столбцы и все строки с
синими клетками, то получится красный квадрат 4×4, в котором необходимо расставить 4
ладьи – по одной в каждой строке и в каждом
столбце. То же – для синего квадрата 4×4, что
c
c
к
c
c
к
c
к
c
c
c
к
к
к
c
к
c
к
к
c
c
c
к
к
к
к
c
к
c
к
к
и приводит к ответу. Действительно, четыре ладьи на доске 4 × 4 можно поставить 4 3 2 1 = 24 = 4! способами, чтобы они не били друг друга. Тогда
всего будет 24 24 = 576 способов.
3.
Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причём в
каждую следующую банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?
Ответ. 16 жуков.
Решение. Пусть в первой банке x жуков, тогда во второй банке – не меньше,
чем x + 1 жук, в третьей – не меньше, чем x + 2 жука, и так далее. Таким образом, в десятой банке не меньше, чем x + 9 жуков. Следовательно, общее количество жуков не меньше, чем 10x + 45. Учитывая, что всего рассаживали 150
жуков, получим: x
10.
С другой стороны, в десятой банке должно быть не больше, чем 2x жуков, в
девятой – не больше, чем 2x – 1 жук, и так далее. Это означает, что в первой
банке не больше, чем 2x – 9 жуков, а всего жуков не больше, чем 20x – 45. Так
как всего рассаживали 150 жуков, то x 10.
Таким образом, в первой банке ровно 10 жуков, а в последней банке – 19 или
20. Найдём сумму 11 последовательных чисел, начиная с десяти: 10 + 11 + … +
19 + 20 = 165. Так как всего должно быть 150 жуков, то отсутствует банка, в
которой 15 жуков. Следовательно, рассадка определяется однозначно: 10, 11,
12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 жуков с первой по десятую банку соответственно.
Значит, в шестой банке – 16 жуков.
Доказав, что x
10, можно продолжить рассуждения иначе. Так как в десятой банке не меньше, чем x + 9 жуков, причём x + 9 2x, то x 9. Затем рассмотреть два случая: x = 9 и x = 10, оценивая количество жуков в десятой
банке.
4.
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.
Ответ. Наименьшая разность равна 1, например, между числами 49999 и
50000.
Решение. Разность различных натуральных чисел меньше 1 быть не может.
5.
Длины сторон треугольника АВС – последовательные натуральные числа, а
медиана, проведенная из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В.
Найдите длины сторон треугольника АВС.
Ответ. AB = 2, AC = 3, BC = 4.
Решение. Пусть AD – медиана, BK -- биссектриса треугольника АВС, P – точка их пересечения
(см. рис.). Из условия следует, что в треугольнике
ABD отрезок BP является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный: AB =
BD = BC. Но длины AB и BC – это два числа из
трёх последовательных чисел. Поэтому либо AB =
1, BC = 2, либо AB = 2, BC = 4. В обоих случаях
AC = 3. Но первый случай невозможен, так как
тогда AC = AB + BC. Треугольник со сторонами 2,
3 и 4 существует.
6.
Из прямоугольников 1×6 сложили прямоугольник. Доказать, что одна из его
сторон делится на 6.
Решение. Если одна из сторон делится на 6, то построение очевидно. Разобьем
данный прямоугольник на прямоугольники со стороной 6 (по стороне, кратной
6) и упакуем их плотно прямоугольниками 1×6. Допустим теперь, что ни одна
сторона не делится на 6. Заметим, что площадь составленного прямоугольника
кратна 6, а именно равна 6k, где k – количество прямоугольников 1×6. Поэтому
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
Доказано.
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
одна из сторон шестиугольника кратна 3. Количество клеток по горизонтали кратно 3, но не кратно 6. Раскрасим составленный шестиугольник в 6
цветов так, как показано на примере на рисунке.
Заметим, что как бы на этом рисунке не расположился прямоугольник 1×6, он будет раскрашен
во все 6 цветов. Значит, клеток каждого цвета
должно быть поровну. Если количество строк
кратно 6, то так и будет. На рисунке в "синем"
прямоугольнике всё хорошо. А в "красном" прямоугольнике и в любом количестве её строк от 1
до 5 количество клеток не всех цветов одинаково.
7.
На доске записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа a + 2b и b + 2a.
Может ли получиться так, что в результате нескольких операций на доске будут
записаны 10 одинаковых чисел?
Ответ. Не может.
Решение. Предположим, от противного, что после некоторого числа операций
на доске оказались все равные числа. Заметим, что при любой операции четность чисел не меняется (т.к. a + 2b имеет ту же четность, что a, и, аналогично,
b + 2a имеет ту же четность, что b). Вначале было 5 четных и 5 нечетных чисел,
поэтому и в конце должно быть 5 четных и 5 нечетных чисел, а у нас оказались
все 10 чисел одинаковой четности). Противоречие.
8.
На координатной плоскости есть точки, координаты (x; y) которых удовлетворяют уравнению
Например, одна из них – точка с координатами (-1; 0). Изобразите все точки, координаты (x; y) которых удовлетворяют
этому уравнению.
Ответ. См. рисунок.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Отсюда
или
Таким образом,
все точки с координатами, удовлетворяющими уравнению, представляют собой совокупность двух прямых: прямой, параллельной оси ординат и проходящей через
точку (1; 0) и прямой, являющейся графиком функции
(см. рисунок).