Document 5025272

Повторим
теорию
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя
полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью
пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости
называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая –
ребром двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в
результате пересечения данного двугранного угла и какой-нибудь
плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2).
Величиной двугранного угла называется величина его линейного
угла.
Разминка
В кубе AВСDА1В1С1D1 найдите угол
между плоскостями ABC и CDD1.
Ответ: 90o.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1,
все ребра которой равны 1, найдите угол
между плоскостями ACC1 и BCC1.
Ответ: 60o.
В кубе AВСDА1В1С1D1 найдите угол
между плоскостями ABC и CDA1.
Ответ: 45o.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две пересекающиеся плоскости
называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90°.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПЛОСКОСТЕЙ :
Если одна из двух плоскостей
проходит через прямую,
перпендикулярную к другой
плоскости, то такие плоскости
перпендикулярны
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
Плоскость, перпендикулярная к
прямой, по которой пересекаются две
данные плоскости, перпендикулярна к
каждой из этих плоскостей
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПЛОСКОСТЕЙ
Дано: АВ  a , АВ ^ b
Доказать: a ^ b
Доказательство:
1) Плоскости a и b пересекаются по некоторой прямой
АС, причем АВ ^ АС, так как по условию АВ^ b, т.е.
прямая АВ перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в плоскости b.
2) Проведём в плоскости прямую АD,
перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD -линейный угол двугранного угла, образованного при
пересечении плоскостей a и b. Но
 BAD=90 (так как АВ ^ b ). Следовательно, угол
между плоскостями a и b равен 90, т.е. a ^ b .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) АВ ^ b, АС  b => АВ ^ АС (a  b = АС)
2) АВ ^ b, АD  b => АВ ^ АD (АD ^ AC)
3) (a ; b) =  BAD = 90 => a ^ b
В кубе AВСDА1В1С1D1 найдите угол
между плоскостями ABC и CDD1.
Ответ: 90o.
Решение задач
Решение
задач
В кубе AВСDА1В1С1D1 найдите угол между
плоскостями ABC и BC1D.
Решение: Обозначим O середину
BD. Искомым линейным углом
будет угол COC1. В
прямоугольном треугольнике
COC1 имеем
CC1 = 1; CO =
2
.
2
Следовательно,
tg  = 2.
В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите
угол между плоскостями ABC и BCD.
Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом 
является угол AED. В треугольнике AED имеем:
AD = 1, AE = DE =
3
.
2
По теореме косинусов находим
1
.
Ответ: cos  =
3
1
cos  = .
3
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите двугранный угол, образованный
гранями SAB и SBC.
Решение: Пусть E – середина ребра SB. Искомым линейным
углом
является угол AEC. В треугольнике AEC имеем:
AC =
2 , AE = CE = 3 .
По теореме косинусов находим
2
Ответ: cos  =  1 .
3

1
cos  =  .
3
В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые
ребра которой равны 2, а ребра основания – 1,
найдите угол между плоскостями ABC и SBC.
Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым
линейным углом  является угол SGO.
3 , SG = 15
.
2
2
5
Ответ: cos  =
.
5
В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG =
Следовательно,
cos  =
5
.
5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все
ребра которой равны 1, найдите угол между
плоскостями
ABC и ACB1.
Решение: Обозначим O середину ребра AC. Искомым
линейным углом будет угол BOB1.
В прямоугольном треугольнике
BOB1 имеем
3
.
2
Следовательно,
BB1 = 1; BO =
2 3
tg  =
.
3
Через сторону АD ромба ABCD
проведена плоскость ADM так, что
двугранный угол BADM равен
600.Найти сторону ромба, если угол
BAD равен 450 и расстояние от точки
В до плоскости ADM равно 4 3