Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

Задачи на нахождение площади
сечения многогранника
Подготовка к решению задач ЕГЭ
Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,
учитель математики,
МОУ «СОШ № 6» г. Луга
Найти площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины A, B и C1.
Построим
АС
= СВ; СС1плоскость
- общая сечения, проходящее
С1 через вершины A, B и C1.
Δ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум
А1
катетам)
Проведем высоту КC1.
Значит АС1 = ВС1
Èç  ÂÊÑ1 :
Δ Èç
АВС1- ÂÑÑ
равнобедренный
1:
2
2
2
ÊÑ

ÂÑ

ÂÊ
;
2
2
1
1
В1
2
BÑ1  BÑ  ÑÑ1 ;
BÑ1  12  12 ;
2
2
BÑ1  2;
2.
А
2
1
ÀÂ  ÊÑ1
2
1
7
7
 1 

2
2
4
S ÀÂÑ1 
В
2
2
С BÑ1 
К 1
ÊÑ1 
S ÀÂÑ1
 2    12  ;
 
3
ÊÑ1  1 ;
4
7
ÊÑ1 
.
2
2
Ответ.
2
2
7
4
Н – точка пересечения
ABCD – правильная треугольная
пирамидамедиан.
все ребра которой
Применим
медиан:
медианы
равны 1. Найти площадь
сечениясвойство
пирамиды
плоскостью,
треугольника
пересекаются
в
проходящей через точки
D, C и М, где
М – середина
стороны
отношении 2 к 1, считая от вершины
АВ.
Построим плоскость
проходящее через точки D, C и М.
СН : сечения,
НМ = 2 : 1.
Вся
медиана
СМ – это 3 части.
Δ АВС
- равносторонний
2 AB 3
3
2
1
ÑM=  СМ (2 
СН
части)
ÑÍ

CM

3 2
2
3
3
1
3
DH 2  DC 2  CÍ 2 ;
Èç = DÍC
НМ
СМ :(1 часть)
2
 1 
DH 2  12  
 ;
 3
2
DÍ 2  ;
3
Н
М
DÍ 
Ответ.
2
4
2
.
3
1
ÑM  DH
2
1 3 2
2
 


2 2
4
3
S DÑÌ 
S DÑÌ
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.
АКСпроходящее
Построим плоскость сечения,
через вершину A и точки К и М.
1М – параллелограмм
BD  AC 
 BD
 ( ACC1 )  BD  AC1
АС
КМ
=
BD
=
=
2
BD  CC1 
Èç
KM ÀÑÑ
BD 1 :KM  AC1
2
2
2
Çíà÷èò
ÀÊÑ
Ì

ÀÑ1  ÀÑ 1 ÑÑ1ðîìá
;
ÀÑ1 
2
 2  1 ;
ÀÑ1  5;
2
ÀÑ1  5 .
Ответ.
6
2
2
S ÀÊÑ1Ì
2
S ÀÊÑ1Ì
1
 ÀÑ1  ÊÌ
2
1
6
  3 2 
2
2
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на
ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E и C1F = 5В1F.
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.
Δ
ВEF - произвольный
2
2
 5   1  26
Èç  Â1 EF : EF  EB1  B1F       
 6   6  36
2
2
5
6
E
1
6
F
2
EF 
26
6
BF 
37
6
2
37
1
Èç  BÂ1F : BF  BB1  B1F  1    
36
6
2
2
2
2
2
61
61
5
Èç  BÂ1 E : BE  BB1  B1 E  1    
BE 
36
6
6
2
2
2
По теореме косинусов: BE  BF  EF  2 BF  FE  cos BFE
2
2
2
2
BF 2  EF 2  BE 2
1
cos BFE 

2 BF  EF
962
sin BFE  1  cos 2 BFE  1 
1
BF  EF  sin BEF
2
1 37 26 31
31
 



2 6
6
962 72
S BEF 
S BEF
31
Ответ. 72
1
31

962
962
Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой
равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.
KM CD  KM ( SCD)  KM PN
1
1
1
1
DC=
КР= МN= AS =
2
2  2
ëèíèÿ SCD
  2PN  ñðåäíÿÿ
КМ=PN
АВ =1,

CDPN=
CN  1NS 
1 1 1
ÊÍ  ( KM  PS )  1   
 DP2 PS
2 2 4
KDP
Èç
 ÊÐÍ 
: MCN (ïî äâóì ñòîðîíàì
1
è óãëó
S KPSM   PS  KM   PH
2
2
ÐÍìåæäó
 ÊÐíèìè
 ÊÍ) 2
; KP  MN
2
2
2
11
 3
1
1




2
КPSМ
–
равнобедренная
трапеция
S


1


ÐÍ       ;
KPNM
22
 4
2 4
ÐÍ
1
2
1
4
2

ÐÍ 
3
;
16
S KPNM 
3 3
16
3
.
4
Ответ.
3 3
16
Найти площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и D1.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.
ÀÑD
AC 1F1 3 ïàðàëëåëîã ðàìì
ACÀFF
AF :
Èç
1  AC  ( AA1F )  AC  AF
AC2  AA1 2
2
ÀF1  ÀF  FF1 ;
Çíà÷èò ÀÑD1F1  ïðÿìîóãîëü íèê
ÀF1  12  12 ;
2
ÀF1  2;
2
ÀF1  2 .
S ÀÑD1F1  ÀÑ  AF1
S ÀÑD1F1  3  2  6
Ответ.
6
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на
ребре CC1, если C1M = 2CM.
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.
Сечением является параллелограмм BMD1K.
2
2
3
Èç  ÂMC : ÂÌ
2
Èç  MC 1 D1 : ÌD
2
3
 1  10
 BÑ  MC  1    
9
 3
2
2
2
BM 
10
3
MD1 
13
3
2
1
3
1
 2  13
 C1 D1  MÑ1  1    
9
3
2
2
2
По теореме косинусов: BD1  BM 2  MD1  2 BM  MD1  cos BMD1
2
cos BMD1  
2
2
130
sin BMD1  1  cos 2 BMD1  1 
S BMD1K  BM  MD1  sin BMD1
S BMD1K 
10 13 63
14



3
3
65
3
Ответ.
14
3
4
63

130
65
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.
Построим плоскость сечения,
проходящее
через
указанные точки.
Теорема
о площади
ортогональной
проекции
многоугольника:
Сечением является пятиугольник
EFGD1H.
Площадь
проекции
многоугольника
ADCFE
– ортогональной
проекция сечения
на плоскость
ABCD
на плоскость равна произведению его площади на
1 7 многоугольника
косинус
угла
между
плоскостью
1

 ; DR  3 DB  3 и2
SADCFE =SABCD - SBEF =
плоскостью проекции. 8 8
4
4
S Èç

S DRD cos

Èç  DRD1
ïð
ñå÷ 1 :
2
2
2
DR
3
RD
 DRìåæäó
 DD1 ;ïëîñêîñòüþ
ãäå
1 óãîë
COS DRD1 ñå÷åíèÿ


RD1
17
2
è ïëîñêîñòüþ
åãî
ïðîåêöèè


3 2
2
2
RD1  

1
;

D
C
4


34
2
RD1  ;
F
16
R
34
RD1 
.
4
А
E
B
По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника
S EFGD1H 
S ADCFE
7 17

COS DRD1
24
Ответ.
7 17
24
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершины A, B, C1.
Ответ.
.
2
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 ,
проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.
Ответ:
2
2
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.
Ответ.
5
.
2
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра
которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и
SC.
Ответ. 0,25.
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AA1, BB1, CC1.
Ответ. 0,5.
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины B, B1 и середину ребра AC.
Ответ.
.
3
2
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и C1.
Ответ.
.
3
1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2
плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на
ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.
Ответ.
6 11
7
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна
4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости
основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти
площадь сечения.
Ответ.
8 2
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину
ребра CC1.
Ответ.
6
2
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.
Ответ:
1
1
8
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра
которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину
ребра SC.
Ответ:
3 11
16
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AB, BC и CC1.
Ответ:
3 7
16
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, D и C1.
Ответ:
3 7
4
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.
Ответ:
3 21
16
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.
Ответ.
3 3
4
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, B и D1.
Ответ: 3
Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2
плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины
ребер A1D1 и CD.
Ответ.
3 21
4