Белорукова Архангельск

Белорукова М.В.
1
• Белорукова Марина Васильевна
Фото с уроков : Меньшиков Сергей Александрович <s.menshikov@narfu.ru>
Белорукова М.В.
2
• Разработать
дидактические материалы
для организации этапа
систематизация знаний и
умений учащихся по теме
«Многоугольники» с
использованием ИГС.
Белорукова М.В.
3
9 кл.
Определения
•Правильный
•Равноугольный
•Равносторонний
• С помощью
циркуля и
линейки
Построение
• Только циркулем
• в ИГС GeoGebra
Применение
• Вывод формул
длины окружности
и площади круга
• Решение задач
Исторический • Правильные
многоугольники
экскурс
в искусстве
Белорукова М.В.
4
• Использование
инструмента
• Определение
свойств
Белорукова М.В.
5
Цифровой образовательный
ресурс
Белорукова М.В.
6
Белорукова М.В.
7
Без использования
инструмента
С использованием
построения:
• Окружности
• Прямых
• Угла заданной
величины
• Середины или
центра
Белорукова М.В.
8
Задача 1 [11]
1.Выясните, какой
многоугольник
получится, если
соединить
последовательно точки
окружности,
отделённые дугами в
30°; 40°; 80°; 100°.
2. Определите, через
какую дугу соединены
точки окружности в
звездчатых
многоугольниках.
Белорукова М.В.
9
Задача 2
[№ 1146 (б), 2]
Около данной
окружности описать
правильный
шестиугольник.
Белорукова М.В.
10
Задача 3А [11]
Дана окружность с центром О и точка А, лежащая на ней. С
помощью инструментов
постройте:
• диаметр АВ,
• перпендикулярный к нему диаметр CD,
• точку Е – середину отрезка ОС,
• окружность с центром в точке Е радиусом ЕО, пересекающую
АЕ в точке М,
• окружность с центром А радиусом АМ, которая пересекает дугу
АС в точке N.
Белорукова М.В.
11
Задача 3В [11]
Определите, стороной
какого правильного
вписанного n-угольника
является AN.
Задача 3С [11]
Постройте правильный
пятиугольник,
вписанный в данную
окружность.
Белорукова М.В.
12
•  AOE – прямоугольный; 𝐴𝐸
𝐴𝐸 =
𝑅 5
2
2
; AM=AE – ME; 𝐴𝑀 =
2 1 2
=𝑅 + 𝑅
4
𝑅 5
2
𝑅
2
− =
5 2
= 𝑅
4
;
𝑅( 5−1)
;
2
𝑅( 5−1)
AM=AN= 2 ;
 AON: AO=NO=R. По теореме косинусов
cos( 𝐴𝑂𝑁) =
1+ 5
4
;  𝐴𝑂𝑁 = 36°.
Тогда 𝐴𝑁 составляет десятую часть окружности.
Белорукова М.В.
13
Задача 4 [11]
• Постройте правильный
шестиугольник и шесть
квадратов на его сторонах
вне шестиугольника.
Исследуйте вопрос о виде
многоугольника,
образованного вершинами
квадратов, не
совпадающих с вершинами
многоугольника.
Белорукова М.В.
14
• Получится ли тот же
результат, если
шестиугольник заменить
на произвольный
правильный
многоугольник?
• Нет.
• Построим контрпример.
Белорукова М.В.
15
Задача 5 [11]
• В правильном многоугольнике стороны разделены в одном и том же
отношении в одном направлении обхода. Из этих точек проведены
перпендикуляры одинаковой длины к внешней стороне многоугольника.
Исследуйте вид получившегося многоугольника.
Белорукова М.В.
16
Задача 6 [2, №1136]
• Квадрат А1 А2 А3 А4
вписан в окружность
радиуса R. На его сторонах
отмечены восемь точек так,
что
𝐴1 𝐵1 = 𝐴2 𝐵2 = 𝐴3 𝐵3 =
𝐴4 𝐵 4 = 𝐴1 𝐶1 =
𝐴4 𝐶2 =𝐴3 𝐶3 =𝐴2 𝐶4 =R
Исследуйте вид
восьмиугольника
𝐵1 𝐶3 𝐵2 𝐶2 𝐵3 𝐶1 𝐵4 𝐶4 .
Белорукова М.В.
17
• 𝐴1 𝐵1 𝐶3 𝐴3 − равнобедренная трапеция.
• 𝐵1 𝐴1 𝐴3 = 45°.
• Тогда 𝐴1 𝐵1 𝐶3 = 𝐵1 𝐶3 𝐴3 = 135°.
• 𝐶4 𝐵1 = 𝑅 2 − 2 .
•  𝐵4 𝐴1 𝐶4 - прямоугольный;
• 𝐶4 𝐵4 = 𝑅 2 − 2 .
• 𝐶4 𝐵4 = 𝐶4 𝐵1 = 𝑅 2 − 2 .
• 𝐵1 𝐶3 𝐵2 𝐶2 𝐵3 𝐶1 𝐵4 𝐶4 - правильный восьмиугольник
Белорукова М.В.
18
Задача 7 [8]
На сторонах квадрата
постройте внутренним
образом правильные
треугольники.
Исследуйте многоугольник,
с вершинами,
являющимися серединами
сторон треугольников, не
являющихся сторонами
квадрата, и серединами
сторон четырехугольника
EFGH.
Белорукова М.В.
19
• Пусть O – центр квадрата и AB = 2.
• Введём систему координат, OGH.
• Обозначим середины отрезков CG, BE, GH через M, R, K
соответственно.
• Достаточно доказать, что OM=OR=OK, MR=RK.
M(−1 +
3 1
, ),
2 2
R(1 −
3 1
, ),
2 2
K(
3 −1
2
,
3 −1
2
)
OM=OR=OK= 2 − 3 , MR=RK= 7 − 4 3 .
• MOR: по теореме косинусов получаем: cos( 𝑀𝑂𝑅) =
Тогда  𝑀𝑂𝑅 = 30°.
• Значит, полученный многоугольник является
двенадцатиугольником.
Белорукова М.В.
3
2
20
Задача 8 [11]
• Постройте в ИГС
правильный
шестиугольник со
стороной a .
• Каждую его сторону
продолжите на длину
n∙a.
• Исследуйте
получившийся
шестиугольник.
• Найдите отношение
площади полученного
шестиугольника к
площади данного.
Белорукова М.В.
21
Решение
𝑆кр =
3𝑎2 3
2
По теореме косинусов:
(𝐻𝐼)2 =𝑎2 ∙ (𝑛2 + 𝑛 + 1)
𝑆син
3𝑎2 ∙ (𝑛2 + 𝑛 + 1) 3
=
2
,
𝑆син
= 𝑛2 + 𝑛 + 1
𝑆кр
Белорукова М.В.
22
• Задача 9А [11]
• Докажите, что из всех
треугольников,
вписанных в данную
окружность и имеющих
одно и то же основание,
наибольшую площадь
имеет равнобедренный
треугольник
Белорукова М.В.
23
• Доказательство
производится с помощью
динамической модели.
Белорукова М.В.
24
• Задача 9Б [11]
• Докажите, что из всех
треугольников,
вписанных в данную
окружность, наибольшую
площадь имеет
правильный треугольник
Белорукова М.В.
25
• Задача 10А [11]
• Установите, все ли правильно в
следующих рассуждениях:
«Определим, какой четырёхугольник
из вписанных в данную окружность
имеет наибольшую площадь.  FDG
вписан в эту окружность. Площадь
его будет наибольшей, когда  FDG
будет правильным. У  FGC основание
фиксировано. Его площадь будет
наибольшей, когда FC=GC.
Следовательно, из всех
четырехугольников, вписанных
в данную окружность, наибольшую
площадь имеет четырехугольник,
составленный из правильного
треугольника и равнобедренного
с углом 120 при вершине».
Белорукова М.В.
26
Белорукова М.В.
27
• Задача 10Б [11]
• Выясните, какой из
четырёхугольников,
вписанных в данную
окружность, имеет
наибольшую
площадь.
Белорукова М.В.
28
Задача 11 [1]
Дана окружность, причём указан её центр О. С помощью только одного
циркуля отметьте на окружности вершины какого-нибудь правильного
вписанного: шестиугольника, треугольника. Объясните построение.
Ограничиваем
доступ к
инструментам,
оставляя:
Инструменты 
Настройка
Белорукова М.В.
29
Подсказка
Задача 12 [1]
Дана сторона а квадрата. С помощью
только одного циркуля восстановите
все вершины квадрата. Объясните
построение.
Задача 13 [1]
Дана окружность с заданным
центром. С помощью только одного
циркуля постройте четыре вершины
какого-нибудь вписанного в неё
квадрата.
Задача 14 [1]
Дана окружность с заданным
центром. С помощью только одного
циркуля постройте четыре вершины
какого-нибудь описанного около неё
квадрата.
Белорукова
М.В.
30
Решение задачи 12
Анимация построения вершин квадрата
Белорукова М.В.
31
Задание
• Свойства n-угольника
• Построения n-угольника с помощью циркуля и линейки
• Исследование построений в ИГС GeoGebra
• Множество звездчатых n-угольников
• n-угольник природе, архитектуре, искусстве …
Белорукова М.В.
32
• Угол правильного
семиугольника примерно
равен 128,57°
• Можно провести 14
диагоналей
• В правильном
семиугольнике 2 группы
равных диагоналей
Белорукова М.В.
33
Белорукова М.В.
34
•
•
•
•
•
Построить правильный 7-угольник точно с помощью циркуля и
линейки невозможно. Поэтому уже древние греки стали заниматься
получением приближённых способов построения этих фигур.
Делением окружности на семь равных частей занимался Архимед.
Различные способы точного решения задачи о построении
правильного семиугольника на основе теории конических сечений
были предложены в трудах целого ряда средневековых арабских
математиков (ас-Сагани, ал-Кухи, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсам, Абу-лДжуд и др.).
В восточных трактатах были найдены и приближённые построения
семиугольника (Абу-л-Вафа ал-Бузджани). Появление такого рода
построений объясняется необходимостью использования в практике
простых и удобных построений, для которых точность не является
главным требованием.
Альбрехт Дюрер разработал удобный и приближённый метод
решения задачи: в качестве стороны правильного вписанного
семиугольника он предложил взять половину стороны
равностороннего треугольника, вписанного в окружность.
Белорукова М.В.
35
Математиками Карлом Гауссом и Пьером Ванцелем было доказано, что
правильный
семиугольник
невозможно
построить
с помощью циркуля и линейки. Проверьте в ИГС GeoGebra, какое из
приближённых построений правильного семиугольника является более
точным.
Анимация способа построения
правильного семиугольника.
Демонстрация построения
правильного семиугольника
методом Дюрера.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_семиугольник
Белорукова М.В.
Демонстрация приёма Биона
построения стороны
правильного многоугольника
с любым числом сторон.
Евсикова Д., Новикова О., 9 «Б»
• Решение задачи 4
Белорукова М.В.
• 𝛿1 =
128,68−128,57
128,57
= 0,09%
• 𝛿2 =
128,48−128,57
128,57
= 0,07%
• 𝛿3 =
128,68−128,57
128,57
= 0,09%
37
• Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы).
• Методы их построения аналогичны построению обычного
семиугольника, только вершины нужно соединять через одну или через
две.
Семиугольная звезда 7/3
Белорукова М.В.
Семиугольная звезда 7/2
38
• Семиугольные монеты
Великобритании:
– 50 пенсов и 20 пенсов
• Форма монет – криволинейный
семиугольник, образующий кривую
постоянной ширины, чтобы монеты
плавно входили в автоматы.
• Доллар Барбадоса
• 5 тхебе, Ботсвана
Белорукова М.В.
39
• Семиугольная звезда
7/2 являлась
национальным
символом Грузии и
применялась, как
элемент герба Грузии, в
том числе и в
советское время.
• В настоящее время не
применяется.
• %
Белорукова М.В.
40
• Семиугольная звезда 7/3
является эмблемой
компании A.P. Moller-Maersk
Group.
• Датская компания,
оперирующая в различных
секторах экономики:
– транспорт,
– добыча нефти и природного
газа,
– судостроение,
– торговля,
– почтовые услуги
• %
Белорукова М.В.
41
• Седмичник (Trientalis) — род
растений семейства
первоцветных. Многолетние
низкорослые травы с тонкими
ползучими корневищами.
Существует 3—4 вида в
умеренном и холодном поясе
Северного полушария.
• Печёночница благородная —
многолетнее травянистое растен
ие, достигает в высоту 5—15 см.
Белорукова М.В.
42
Белорукова М.В.
43
Если бумажную ленту постоянной ширины завязать простым
узлом и затем стянуть так, чтобы угол был плоским, то узел
будет иметь форму правильного пятиугольника. Проверьте.
Белорукова М.В.
44
• Феодария
Белорукова М.В.
45
Белорукова М.В.
46
Белорукова М.В.
47
Белорукова М.В.
48
Белорукова М.В.
49
Белорукова М.В.
50
Белорукова М.В.
51
Белорукова М.В.
52
Белорукова М.В.
53
Белорукова М.В.
54
Белорукова М.В.
55
Белорукова М.В.
56
Белорукова М.В.
57
Задание
• Свойства n-угольника
• Из каких правильных многоугольников одного вида
можно сложить паркет, заполняющий всю плоскость?
• Какое количество различных правильных
многоугольников
(с одинаковыми длинами сторон) в паркете может
находиться вокруг каждой точки?
• Из каких правильных многоугольников разного вида
можно сложить паркет, заполняющий всю плоскость?
• Построение паркетов в ИГС.
Белорукова М.В.
58
• Из каких правильных
многоугольников одного
вида можно сложить
паркет, заполняющий всю
плоскость?
• Сложите паркеты из
правильных:
• Можно ли сложить паркет
из правильных:
– восьмиугольников
и квадратов?
– двенадцатиугольников
и треугольников?
Белорукова М.В.
– треугольников
и четырехугольников,
– треугольников
и шестиугольников,
– треугольников,
четырехугольников
и шестиугольников,
– четырехугольников,
шестиугольников
и двенадцатиугольников.
59
Задача. Из каких правильных многоугольников одного вида можно
сложить паркет, заполняющий всю плоскость?
Сумма углов правильного n- угольника равна 180°·(n-2).
Все углы правильного n-угольника равны.
Следовательно, каждый из них равен
180°·(𝑛−2)
𝑛
В каждой вершине паркета сходится целое число углов.
2·180° должно быть целым кратным числа
Получаем
2𝑛
𝑛−2
=
2 𝑛−2 +4
𝑛−2
= 2+
4
𝑛−2
180°·(𝑛−2)
𝑛
Тогда n = 3; 4; 6.
Значит, можно получить паркеты из правильных треугольников,
квадратов и шестиугольников.
Белорукова М.В.
60
Задача. Какое количество различных правильных многоугольников
(с одинаковыми длинами сторон) в паркете может находиться вокруг
каждой точки.
Величина угла правильного многоугольника должна находиться
в интервале от 60° до 180° (не включая). Следовательно, число
многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть
больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).
Задача. Из каких правильных многоугольников разного вида можно
сложить паркет, заполняющий всю плоскость?
Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями
правильных многоугольников:
(3,12,12), (4,6,12), (6,6,6);
(3,3,6,6), (3,4,4,6), (4,4,4,4);
(3,3,3,4,4), (3,3,3,3,6);
(3,3,3,3,3,3).
Белорукова М.В.
61
Белорукова М.В.
62
Белорукова М.В.
63
Белорукова М.В.
64
Белорукова М.В.
65
Белорукова М.В.
66
•
Алексеев В.Б., Галкин В.Я., Парфёнов В.С. Геометрия. 9 кл.: Рабочая тетрадь к учебнику И.Ф.
Шарыгина «Геометрия 7-9». В 2 ч. Ч. 1 / Под. Ред. И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 2000. 112 с.
•
Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 кл. для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение,
2007.
•
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику
9 класса. М.: Вита-Пресс, 2002.
•
Иванов С.Г., Рыжик В.И. Исследовательские и проектные задания по планиметрии с
использованием среды «Живая математика». М.: Просвещение, 2013.
•
Интересные места Гугл Мапс. URL: http://mestagugla.ru/
•
Карпушина Н. В поисках семицветика // Математика для школьников. 2013. № 1. С.51-56.
•
Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. 1970. № 3. С. 24-25.
•
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, ч. I. М.: Наука, 1986.
•
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи: Учеб.
пособие для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2004. 148 с.
•
Савченко Е.М. Паркеты // Сайт учителя математики. URL: http://le-savchen.ucoz.ru/
•
Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9
класса. М.: Просвещение, 2000.
•
Шабанова М.В., Безумова О.Л., Ерилова Е.Н., Котова С.Н., Ларин С.В., Овчинникова Р.П.,
Патронова Н.Н., Павлова М.А., Томилова А.Е., Троицкая О.Н., Форкунова Л.В., Ширикова
Т.С. Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra. М.: Издательство
Перо, 2013.
•
Правильный семиугольник. URL: http://ru.wikipedia.org
Белорукова М.В.
67
Белорукова М.В.
68