Лекция_4 - WordPress.com
advertisement
Основы НИР Лекция 4 (Проблемы научного пронгозирования) Проф. Кудряшова О.Б. 2016 Лапласовский детерминизм ―Я не нашел в вашей книге Бога? ― Я не нуждаюсь в этой гипотезе. «Ум достаточно мощный, чтобы принять во внимание скорости и положения всех частиц во Вселенной, сможет заглянуть как угодно далеко в прошлое и как угодно далеко в будущее» Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) Наполеон (1769-1821) 2 Сложные системы Сложные проблемы всегда имеют простые, легкие для понимания неправильные решения. Из законов Мерфи Простейший непериодический маятник, демонстрирующий динамический хаос. Чтобы скомпенсировать трение, маятник снабжен магнитиками, а в основание игрушки помещены катушка и батарейка, создающие электромагнитное поле 3 Наблюдения за этим маятником показывают, что с вероятностью 95% его колебания будут непериодическими, с вероятностью 5% мы увидим периодическое движение. Результат зависит от импульса, который мы придадим маятнику вначале. Запустим его и посмотрим, что получится. Какие бывают системы Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой промежуток времени, что для него становится невозможным сделать предсказания. И этот промежуток (и в этом вся соль) не так уж велик. "Фейнмановские лекции по физике" • До 60-х годов предполагалось, что есть два класса процессов. • Первые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым. Они, как думали раньше, полностью предсказуемы. Великий Лаплас, имея в виду такие системы, говорил (если перевести его слова на современный язык), что, располагая достаточно мощными компьютерами, мы сможем заглянуть как угодно далеко в будущее и как угодно далеко в прошлое. • Ко второму классу относятся процессы, где будущее не зависит от прошлого. Мы бросаем игральную кость и выпадает случайная величина, никак не связанная с тем, что выпадало раньше. 4 Третий класс систем • В 70-е годы было понято, что существует третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, как маятник на рисунке, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. А дальше исследователи будут вынуждены иметь дело со статистикой. • Для нашего маятника можно создать простую линейную модель, которая позволит нам предсказать, в каком положении, например, окажутся маленькие шарики через пять колебаний большого шарика внизу (естественный временной промежуток здесь - период колебаний большого шарика). • Используя современные информационные технологии, можно предсказать, в каком положении окажутся они через двадцать колебаний нижнего шарика. Однако никакими силами нельзя предсказать их положения через шестьдесят промежутков времени. 5 Динамический хаос • В 1963 г. Р. Брэдбери опубликовал фантастический рассказ, в котором фактически сформулировал идею динамического хаоса. • В этом рассказе один из организаторов предвыборной кампании после победы своего кандидата отправляется в путешествие во времени. Фирма, организующая такую поездку, предлагает охоту на динозавров, которым в ближайшее время суждено умереть. • Чтобы не нарушить сложную ткань причинно-следственных связей и не изменить будущее, следует двигаться по специальным тропам. Однако герой не смог выполнить этого условия и нечаянно раздавил золотистую бабочку. Возвратившись назад, он видит, что изменились состав атмосферы, правила правописания и итог предвыборной кампании. «Эффект бабочки» 6 Чувствительность к начальным данным • Едва заметное движение повалило маленькие костяшки домино, те повалили костяшки побольше, и, наконец, падение гигантских костяшек привело к катастрофе. • Отклонения от исходной траектории, вызванные гибелью бабочки, стремительно нарастали (смотри рисунок). • Малые причины имели большие последствия. • Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным. 7 Расходимость фазовых траекторий в системах с динамическим хаосом. Любая динамическая система определяет в фазовом пространстве траекторию, например X(t). Динамический хаос обусловлен тем, что соседние траектории удаляются от нее. Из-за этого малые причины могут иметь большие следствия «Бог не играет в кости» • В том же 1963 г. мысль о принципиальной ограниченности нашей способности предсказывать даже в мире, который идеально описывается классической механикой, была высказана лауреатом Нобелевской премии Р. Фейнманом. • Для существования горизонта прогноза не нужно, чтобы "Бог играл в кости", добавляя в уравнения, описывающие нашу реальность, какие-то случайные члены. Не надо опускаться на уровень микромира, на котором квантовая механика дает вероятностное описание Вселенной. • Объекты, поведение которых мы не может предсказывать на достаточно большие времена, могут быть очень простыми, например, такими, как наш маятник. 8 Конечный горизонт прогноза в системе Лоренца То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 г. американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных (на две-три недели вперед) прогнозов погоды? Лоренц предложил простейшую модель конвекции воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). Эта модель описывается внешне очень простыми уравнениями: где переменная х характеризует поле скоростей, у - поле температур жидкости. Здесь r = R/Rc, где R - число Рэлея, a Rc - его критическое значение; σ - число Прандтля; b - постоянная, связанная с геометрией задачи. Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату: динамический хаос, то есть непериодическое движение в детерминированных системах, где будущее однозначно определяется прошлым, имеет конечный горизонт прогноза. 9 Фазовое пространство • • • С точки зрения математики, любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в фазовом пространстве. Важнейшая характеристика этого пространства его размерность, или, попросту говоря, число величин, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения, не так уж и важно, что это за величины - число рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий, например, такой, как показан на рисунке. Здесь размерность фазового пространства всего три (это 10 пространство х, у, z). Аттрактор Лоренца. Такая картина, полученная на компьютере (расчет проводился при r = 28, σ = 10, b= 8/3), убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явление - динамический хаос. Этот клубок траекторий, называемый сейчас аттрактором Лоренца, описывает непериодическое движение с конечным горизонтом прогноза Программа Пуанкаре – исследование нелинейности • Анализ нелинейных уравнений L(u1 u2 ) L(u1 ) L(u2 ) • Исследование аттракторов • • • • x(t ) f ( x), x(0) x0 , t Качественная теория Асимптотический анализ Исследование бифуркаций Анализ фазового пространства (топология) Анри Пуанкаре (1854—1912) В нелинейных системах существуют аттракторы – области в фазовом пространстве, к которым стремятся все траектории при времени, стремящемся к бесконечности. Вид аттракторов зависит от параметров самой системы. 11 Странный аттрактор • Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 г. предложили название странный аттрактор. • Пророчество А. Пуанкаре о том, что в будущем можно будет предсказывать новые физические явления, исходя из общей математической структуры описывающих эти явления уравнений, компьютерные эксперименты превратили в реальность. 12 Система Лоренца имеет конечный горизонт прогноза. Дело в том, что если мы вновь возьмем две близкие траектории, показанные на рисунке, то они расходятся. Скорость расходимости определяется так называемым ляпуновским показателем, и от этой величины зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз. Можно сказать, что для каждой системы есть свой горизонт прогноза Конец иллюзиям • Развитие науки показывает, что каждая фундаментальная теория не только открывала новые возможности, но и лишала нас иллюзий. • Классическая механика лишила иллюзии, что можно построить вечный двигатель первого рода, термодинамика - второго, квантовая механика - что мы можем одновременно сколь угодно точно измерять координату микрочастицы и ее импульс, теория относительности - что удастся передавать информацию в вакууме со сверхсветовой скоростью. • Сегодня нелинейная динамика развеяла иллюзию глобальной предсказуемости: мы не можем предсказать, начиная с какого-то горизонта прогноза, поведение многих достаточно простых систем и, в частности, нашего маятника. 13 Горизонт прогноза x(t ) Чувствительность к начальным данным d (t ) x(t ) x(t ) x f ( x ), x ( x1 , , x p ) x(t ) А.М. Ляпунов (1857-1918) d (t ) ~ et , 1 ( x0 , ) lim ln d (t ) . t t Эргодические теоремы: Для почти всех x0 мы имеем один и тот же набор ляпуновских показателей (λ1,…, λp) Горизонт прогноза 14 T 1/ Некоторые горизонты прогноза Войны и террористические акты 1 день – неделя Изменение мнений избирателей полгода Экономические реформы 2-3 года Образовательные реформы 5-7 лет Создание новых технологий 10 лет Изменение смыслов и ценностей 20 лет Изменений системы международных отношений Изменение технологического уклада Смена исторических эпох 20-30 лет 50 лет более 100 лет Рождение и распространение мировых религий Этногенез 500 лет 1200 лет 15 Прогноз редких катастрофических событий Да, человек смертен, но это было бы еще полбеды. Плохо то, что он иногда внезапно смертен, вот в чем фокус! М.А. Булгаков "Мастер и Маргарита" • В области научных исследований, связанных с прогнозом, в центре внимания сейчас находятся описание и предсказание редких катастрофических событий. • В свое время один из создателей современной химии и первый лауреат Нобелевской премии по химии Я. Вант-Гофф говорил: "Я убрал из своих трудов все то, что трудно наблюдать, и то, что происходит достаточно редко". • Возможности, которые дают нам сегодня информационные технологии, позволяют обратиться к анализу и прогнозу редких катастрофических событий. 16 Что общего у редких катастроф? Тектонический разлом – и фондовый рынок – перед катастрофой Самые разные катастрофические события могут развиваться по одним законам. 17 Что общего у редких катастроф? Характерный вид зависимости, возникающей перед катастрофами в сложных системах. а - зависимость от времени логарифма индекса Доу-Джонса (этот индекс определяется ценой самого эффективного пакета акций 30 ведущих компаний Соединенных Штатов) перед Великой депрессией; б - зависимость от времени логарифма концентрации ионов хлора в родниках перед катастрофическим землетрясением в Кобе (Япония) в 1995 г. Точки - это точные данные, сплошная кривая – сглаженная зависимость, построенная по ним Графики поведения характеристик, описывающих две сложно организованные иерархические системы – фондовый рынок и тектонический разлом – незадолго перед катастрофой, демонстрируют быстрый катастрофический рост, на который накладываются ускоряющиеся колебания. Сглаженная кривая отлично описывается формулой 18 Что общего у редких катастроф? Таким образом, мы имеем одно и то же решение уравнений, которых пока не знаем. Следует обратить внимание на то, что асимптотикой таких процессов перед катастрофой является так называемый режим с обострением (когда одна или несколько величин, характеризующих систему, за конечное время вырастают до бесконечности). В свое время Д. фон Нейман заявил: "Я не верю, что можно найти общие закономерности в поведении сложных систем. Это то же самое, что построить теорию не слонов". Развитие нелинейной динамики опровергло это утверждение. Нелинейная динамика позволила установить универсальные сценарии возникновения хаоса из упорядоченного состояния. То, что происходит сейчас в науке, показывает, что в ряде случаев можно говорить и о неких универсальных сценариях возникновения катастроф. 19 Статистика редких событий Типичный вид нормального (1) и степенного (2) распределений. В соответствии с нормальным, гауссовым, распределением большие отклонения настолько редки, что ими можно пренебречь. Однако многие бедствия, аварии, катастрофы порождают статистику со степенным распределением, которое убывает медленнее, чем нормальное распределение, поэтому катастрофическими событиями пренебречь нельзя. В логарифмическом масштабе (внизу) степенные зависимости приобретают вид прямых линий. В начале XIX в. К. Гаусс установил, что сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин подчиняется вполне определенному закону. Соответствующая ему кривая, получающаяся после нормировки, показана на рисунке. Видно, что она очень быстро убывает, большие отклонения, в соответствии с этим законом, очень редки. Настолько редки, что ими можно пренебречь. 20 Правило трех сигм Гауссово распределение лежит в основе множества инженерных расчетов и технических норм. Все инженеры знают, что есть "правило трех сигм". Это правило говорит о том, что вероятность отклонения случайной величины от среднего значения более, чем на три "сигмы", составляет менее 0.001 (см. рисунок). "Сигма" здесь среднеквадратичное отклонение. Простой пример: по закону Гаусса распределен рост людей, поэтому вероятностью встречи с трехметровым гигантом с легким сердцем можно пренебречь. Но есть и другой класс законов, которые называют степенными. "Хвост" этого распределения убывает гораздо медленнее, поэтому такие законы часто называют "распределениями с тяжелыми хвостами". В этом случае большими отклонениями пренебречь нельзя. Если бы по такому закону был распределен рост, то это был бы уже мир восточных сказок с тридцатиметровыми джиннами, ифритами, дэвами, которые вполне могли встретиться в жизни простых смертных. Именно в мире восточных сказок мы обычно и оказываемся, сталкиваясь с бедствиями, катастрофами, авариями. 21 Статистика катастроф Распределение торнадо (7), наводнений (2), ураганов (3) и землетрясений (4) по количеству погибших в них в США в XX в. По оси абсцисс отложена фатальность F стихийного бедствия, измеряемая логарифмом числа погибших, по оси ординат - логарифм числа бедствий N, имеющих фатальность не меньше данной. Идеальным степенным законам соответствуют прямые. Видно, что эти законы являются хорошим приближением для реальной статистики бедствий и катастроф Такова статистика землетрясений, наводнений, ураганов, инцидентов с хранением ядерного оружия, биржевых крахов, ущерба от утечки конфиденциальной информации, многих других невзгод. Приведем американскую статистику торнадо, землетрясений, наводнений, ураганов за прошедший век (рисунок). Видим, что данные наблюдений с достаточно хорошей точностью ложатся на прямые, которые соответствуют идеальной степенной статистике. 22 Простой способ вычисления риска Когда мы определяем, браться ли нам за какой-то технический проект или не браться, то есть несколько подходов. Первый подход был реализован и доведен до совершенства еще во времена Колумба: определяются все возможные исходы N, их вероятности pi, умножается на соответствующие выигрыши или проигрыши xi и суммируется: В зависимости от того, какая величина получится, мы беремся за этот проект или не беремся. • Следует отметить, что единственной экспедицией, которая пошла за государственный счет в Новый Свет, была экспедиция Колумба. А после этого в Испании торговые дома начали заниматься страхованием и перестрахованием таких проектов, потому что финансовый риск для отдельного торгового дома был слишком велик. Но зато и выигрыш был очень велик. • Исторический анекдот: Ф. Дрейк после своей экспедиции в Новый Свет преподнес английской королеве подарок, который равнялся двум годовым бюджетам Англии. И королева расплатилась со всеми долгами. • Итак, в нашем мире действительно есть много очень опасных, но и очень выгодных проектов. И на этой основе, заложенной еще во времена Колумба, до 50-х годов XX в. оценивались очень многие технические инициативы. 23 Парадигма сложности Откуда берется степенная статистика? Ответ на этот вопрос дает новая парадигма нелинейной динамики - парадигма сложности и построенная в ее рамках теория самоорганизованной критичности Степенные зависимости характерны для многих сложных систем • разломов земной коры (знаменитый закон Рихтера-Гутенберга), • фондовых рынков, • биосферы на временах, на которых происходит эволюция. Они типичны для движения по автобанам, трафика через компьютерные сети, многих других систем. Для всех них общим является возникновение длинных причинно-следственных связей. Одно событие может повлечь другое, третье, лавину изменений, затрагивающих всю систему. Например, мутация, с течением времени меняющая облик биологического вида, влияет на его экологическую нишу. Изменение экологической ниши этого вида, естественно, сказывается на экологических нишах других видов. Им приходится приспосабливаться. Окончание "лавины изменений" - переход к новому состоянию равновесия - может произойти нескоро. 24 Кромка хаоса Простейшая физическая модель, демонстрирующая такое поведение, - это куча песка. Представим следующую картину. Мы бросаем песчинку на самый верх кучи песка. Она либо останется на ней, либо скатится вниз, вызывая лавину. В лавине может быть одна или две песчинки, а может быть очень много. Статистика для кучи песка оказывается степенной, как для ряда бедствий и катастроф. Она очень похожа на ту статистику, которую мы имеем, скажем, для землетрясений, то есть опасность находится на грани между детерминированным и вероятностным поведением или, как сейчас говорят, на кромке хаоса. 25 Природа, чем она ни будь, Но черт ее соавтор Вот в чем суть. И. Гёте "Фауст" Русла и джокеры Простой пример. Допустим, у нас есть небольшой банк. И дела день ото дня идут все хуже. Да и как может быть иначе в эпоху кризиса? Пора принимать решение. 1. Первое, наиболее естественное (оно принимается с вероятностью p1, при этом система скачком переходит в точку фазового пространства a1 ) – организовать презентацию в "Хилтоне". Шумиха, журналисты, новые клиенты и возможности. 2. Второе – поступить как честные люди и объявить о банкротстве (вероятность p2 и соответственно точка a2). 3. Наконец, можно подумать о семье и близких друзьях и улизнуть, прихватив всю оставшуюся наличность, чтобы с другого берега океана поучать местных реформаторов (вероятность p3, и точка a3). Видим, что у нас вновь и вновь возникает симбиоз динамики, предопределенности и случайности. 26 Система с руслами и джокерами. Картинка, возникающая в задаче в разорением банка. Небольшая область внутри окружности соответствует области джокера, в которой надо принимать серьезные меры Теория русел и джокеров «Все управляют порядком, но надо управлять хаосом» Одним из ее авторов является известный финансист Дж. Сорос. В своей "Алхимии финансов" он выдвинул идею "информационной", или "рефлексивной" экономики. В соответствии с ней такие переменные, как "уровень доверия", "ожидаемые прибыли" и многие другие играют ключевую роль в современной экономике. Именно они позволяют строить, а затем уничтожать величественные финансовые пирамиды. Именно эти переменные могут меняться скачком. В фазовом пространстве многих объектов, с которыми мы имеем дело в жизни, есть места, называемые областями джокеров, в которых случайность или игровой элемент либо фактор, не имеющий никакого значения в другой ситуации, может оказаться решающим и не только повлиять на судьбу системы, но и скачком перевести ее в другую точку фазового пространства. Иначе их называют точками бифуркации. Правило, по которому совершается этот скачок, называется джокером. Название пришло из карточной игры. Джокер – карта, которой можно присвоить статус любой карты по желанию играющего. Понятно, что это резко увеличивает число вариантов и степень неопределенности. 27 Д. Сорос (1930) Черные лебеди «Чёрный лебедь» – теория, рассматривающая труднопрогнозируемые и редкие события, которые имеют значительные последствия. Автором теории является Нассим Николас Талеб, который в своей книге «Чёрный лебедь. Под знаком непредсказуемости» ввёл термин «события типа чёрный лебедь». Согласно критериям, предложенным автором теории: • Событие является неожиданным (для эксперта) • Событие производит значительные последствия • После наступления, в ретроспективе, событие имеет рационалистическое объяснение, как если бы событие было ожидаемым. С точки зрения автора практически все значимые научные открытия, исторические и политические события, достижения искусства и культуры – это Чёрные лебеди. Примерами Чёрных лебедей являются развитие и внедрение Интернета, Первая мировая война, развал Советского Союза и атака 11 сентября. Талеб также отмечает, что человечество неспособно успешно прогнозировать своё будущее, а уверенность в своих знаниях опережает сами знания. 28 Николас Талеб (1960) Русла Итак, в нашем фазовом пространстве есть джокеры. От них одни стараются держаться подальше, а другие активно использовать. В них неопределенность резко возрастает, а возможности предсказывать дальнейшее уменьшаются. Следовательно, должны быть и другие области, в которых многое или хотя бы самое существенное можно предсказать. Возможно, умение их быстро и точно находить и является главным козырем нашей нервной системы. Такие области мы будем называть руслами. Название ясно из картинки 7. Близкие траектории как бы притягиваются к некоторому пучку, трубке и далее следуют вместе. Значит, зная детально одну траекторию, можно многое сказать и о других. Можно предположить, что эра сверхспециализации, рождения наук на стыке разных дисциплин, уходит в прошлое. Ей на смену идет эра синтеза. Если в XX веке доскональное углубленное изучение одного русла и некоторой любимой проекции считалось почетным и благородным занятием, то в XXI веке у профессионалов будут спрашивать, как перейти от одного русла к другому и где на этом пути могут встретиться коварные джокеры. Методы анализа одних проекций могут оказаться полезными для других. 29 Эффект колеи Точка бифуркации (джокер) Траектории развития стран – ВВП на душу населения 30 А. Аузан (1954) Самоорганизация Самоорганизация возможна в открытых системах в состоянии, далеком от равновесия. И при наличии достаточного числа степеней свободы. Здесь показаны результаты моделирования некоторой химической реакции. Или структуры, возникающие в некоторых полупроводниках, плотность популяций для некоторых хищников и многое другое. Показаны распределения концентраций (количество зайцев и лис и др.) в различные моменты времени. Начальные данные имеют очень сложный вид, для их описания нужно очень много чисел (труднее всего описывать «мусор»). Но затем, как по мановению волшебной палочки, картина упрощается и возникают замечательные структуры. Распределения становятся похожи на синусоиды, а их-то описывать совсем легко. Роль волшебной палочки в образовании структур играют диссипативные процессы — вязкость, теплопроводность, диффузия (от английского to dissipate — рассеивать). Чтобы подчеркнуть этот факт, И. Пригожин назвал структуры, возникающие при самоорганизации, диссипативными. 31 Выводы • • • • • • Теория сложных систем установила наличие горизонта прогноза и позволила его вычислить. Есть системы, поведение которых не зависит от начальных условий, но имеет определенные сценарии развития во времени, которые определяются параметрами самой системы. Существуют точки в фазовом пространстве (точки бифуркации), при которых ничтожная причина может породить непредсказуемые последствия. Правило, по которому происходит скачкообразное изменение состояния системы, называется джокером. Существуют другие области в фазовом пространстве, при которых система становится нечувствительной к изменению параметров. Такие области называются руслами. В этих областях мы можем успешно предсказывать будущее системы. С другой стороны, в таких областях состояния систем их, практически, невозможно «выбить из колеи». Это устойчивые состояния равновесия. В неравновесном же состоянии открытые системы могут образовывать так называемые «диссипативные структуры». Необходимыми (но недостаточными) условиями самоорганизации являются: открытость системы, состояние, далекое от равновесие и наличие степеней свободы. Источники: http://spkurdyumov.ru/introduction/dzhokery-rusla/ http://vivovoco.astronet.ru/VV/JOURNAL/VRAN/GREF/GREF.HTM http://postnauka.ru/longreads/35754 Википедия 32
