Гидродинамика флюидных систем и моделирование гидродинамических процессов Лекция № 7

Гидродинамика флюидных систем и
моделирование
гидродинамических процессов
Лекция № 7
Расчёт скважин в условиях
неограниченного
водоносного горизонта
Кафедра гидрогеологии, инженерной геологии и
гидрогеоэкологии ИПР ТПУ
доцент Кузеванов К.И.
Количественная оценка движения подземных вод в условиях
искусственных фильтрационных потоков
(водоприток к скважинам)
Типы водозаборных сооружений
вертикальные, горизонтальные скважины
совершенные, несовершенные скважины
ифильтрационные, фильтрационные водозаборы
одиночные, групповые (взаимодействующие) водозаборы
Элементы искусственного фильтрационного потока
понижение уровня, расход скважины, радиус влияния, радиус-вектор
Режимы водопритока к скважинам
неустановившийся (нестационарный)
квазиустановившийся (квазистационарный)
установившийся (стацонарный)
Уравнения водопритока
уравнение Тейса (неустановившийся режим),
уравнение Тейса-Джейкоба (квазиустановившийся режим),
уранение Дюпюи (установившийся режим)
Ограничения в применении базовых уравнений водопритока к скважинам
2
Задача № 1 (водоснабжение).
Оценить понижение уровня в скважине, вскрывшей напорный водоносный горизонт
мощностью 10 м, представленный среднезернистыми песками с коэффициентом
фильтрации 5 м/сут при радиусе влияния, равном 500 м. Проектный расход скважины
составляет 200 м3/сут.
Решение традиционное:
𝑆=
𝑄
𝑅
200
500
𝑙𝑛 =
𝑙𝑛
= 5,42 м;
2𝜋𝑘𝑚 𝑟 2 × 𝜋 × 5 × 10 0,1
3
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Зонирование поля таблицы для ввода переменных, участвующих в расчёте, их имен,
значений и размерности.
4
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Назначение имён из диапазона значений
Диапазон имен и
значений
переменных
5
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Имя переменной «расход скважины»
6
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Имя переменной «коэффициент фильтрации»
7
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Имя переменной «мощность водоносного горизонта»
8
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Имя переменной «радиус влияния скважины»
9
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Имя переменной «радиус скважины»
10
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчётная формула с использованием имен переменных, показанная в строке формул
11
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчётная формула с использованием имен переменных, показанная в строке формул и
в расчётной ячейке при редактировании её содержимого (F2)
12
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт понижения для расхода скважины 200 м3/сут.
13
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт понижения для расхода скважины 1000 м3/сут.
14
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт понижения для расхода скважины 2000 м3/сут.
15
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Результаты использования простейшей численно-аналитической модели откачки в режиме
установившейся фильтрации (вариант № 1) для исследования зависимости понижения
уровня от расхода.
3
Q, м /сут S, м
200
5.42
1000
27.11
2000
54.22
16
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Исследование зависимости понижения уровня от расстояния.
Доработка алгоритма расчёта понижения
заключается в использовании не
единственного значения радиус-вектора, а
массива таких значений, расположенных на
рабочем листе в столбце «радиус-вектор».
17
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Исследование зависимости понижения уровня от расстояния.
Формула для расчёта понижения ссылается
не на константу, а на текущее значение
расстояния.
Формула для расчёта понижения записана
(путем копирования в смежную ячейку) в
каждой строке столбца «Понижение»
18
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Исследование зависимости понижения уровня от расстояния.
Формула для расчёта понижения ссылается
не на константу, а на текущее значение
расстояния.
Формула для расчёта понижения записана
(путем копирования в смежную ячейку) в
каждой строке столбца «Понижение»
19
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Результаты использования простейшей численно-аналитической модели откачки в режиме
установившейся фильтрации (вариант № 2) для исследования зависимости понижения
уровня от расстояния.
Зависимость понижения уровня от расстояния
60.00
Понижение, м
50.00
40.00
30.00
Понижение
20.00
10.00
0.00
0
100
200
300
Расстояние, м
400
500
600
№
r, м
S, м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.1
1
5
10
20
50
100
150
200
250
300
350
400
500
54.22
39.56
29.32
24.90
20.49
14.66
10.25
7.66
5.83
4.41
3.25
2.27
1.42
0.00
20
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт величины динамического напора, на основе значений понижения уровня.
21
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт (путем копирования формулы в соседние ячейки) величины динамического напора,
на основе значений понижения уровня.
Показана типичная ошибка при копировании
формул с применением относительной
адресации ячеек.
Подавляет появление подобной ошибки
использование абсолютного адреса строки, в
которой расположена ячейка с величиной
естественного напора «E$10»
22
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Расчёт (путем копирования формулы в соседние ячейки c использованием абсолютной
адресации) величины динамического напора, на основе значений понижения уровня.
В столбце «напор» вычитание производится с
использованием абсолютного
адреса строки, в которой расположена ячейка
с величиной естественного напора «E$10».
При копировании расчётной формулы
динамического напора адрес ячейки
естественного напора не изменяется
23
Автоматизация решения задачи № 1 в среде электронных таблиц.
Результаты использования простейшей численно-аналитической модели откачки в режиме
установившейся фильтрации (вариант № 2) для исследования зависимости величины
динамического напора от расстояния.
№
r, м
He, м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.1
1
5
10
20
50
100
150
200
250
300
350
400
500
45.78
60.44
70.68
75.10
79.51
85.34
89.75
92.34
94.17
95.59
96.75
97.73
98.58
100.00
24
Задача № 1 (осушение).
Оценить производительность скважины , вскрывшей напорный водоносный горизонт
мощностью 10 м, представленный среднезернистыми песками с коэффициентом
фильтрации 5 м/сут при радиусе влияния, равном 500 м. Проектное понижение уровня
подземных вод составляет 10 м.
Решение традиционное:
𝑄=
2𝜋𝑘𝑚𝑆 2 × 𝜋 × 5 × 10 × 10
=
≅ 370 м;
𝑅
500
𝑙𝑛 𝑟
𝑙𝑛 0,1
25
Задача № 1 (осушение).
Решение методом подбора:
Символ
Q
k
m
R
r
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Значение
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус влияния скважины
радиус скважины
Q_s
K_f
m_vg
R_v
r_s
S
Символ
Q
k
m
R
r
Размерность
Символ
200
5
10
500
0.1
м3/сут
м/сут
м
м
м
Q
k
m
R
r
5.42
м
S
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Значение
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус влияния скважины
радиус скважины
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Значение
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус влияния скважины
радиус скважины
Q_s
K_f
m_vg
R_v
r_s
S
Символ
Q
k
m
R
r
S
Q_s
K_f
m_vg
R_v
r_s
Размерность
300
5
10
500
0.1
м3/сут
м/сут
м
м
м
8.13
м
Размерность
400
5
10
500
0.1
м3/сут
м/сут
м
м
м
10.84
м
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Значение
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус влияния скважины
радиус скважины
Q_s
K_f
m_vg
R_v
r_s
Размерность
370
5
10
500
0.1
м3/сут
м/сут
м
м
м
10.03
м
26
Задача № 2.
Оценить понижение уровня в скважине через сутки после начала откачки, из напорного
водоносного горизонта мощностью 10 м, представленного среднезернистыми песками с
коэффициентом фильтрации 5 м/сут и упругой водоотдачей 0,002. Проектный расход
скважины составляет 200 м3/сут.
Решение традиционное:
5 × 10
2.25 × 0.002 × 1
𝑄
2,25 × 𝑎 × 𝑡
200
𝑆=
𝑙𝑛
=
𝑙𝑛
= 5,42 м;
4𝜋𝑘𝑚
𝑟2
4 × 𝜋 × 5 × 10
0.12
27
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Зонирование поля таблицы для ввода переменных, участвующих в расчёте, их имен,
значений и размерности.
28
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Выбор команды присвоения имени переменной из соседней ячейки.
29
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Расчётная формула понижения в скважине по уравнению Тейса_Джейкоба.
Уравнение показано в строке формул и в расчётной ячейке при редактировании её
содержимого (F2)
30
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Расчёт понижения в скважине с расходом 200 м3/сут через сутки после начала откачки.
31
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Символ
Q
k
m
r
μ
t
H
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус скважины
упругая водоотдача
время расчётное
напор естественный
S
Q_s
K_f
m_vg
r_s
m_u
t_r
H_e
Значение
Размерность
200
5
10
0.1
0.002
1
100
м3/сут
м/сут
м
м
д.е.
сут
м
4.95
м
Область отрицательных значений находится за
пределами радиуса влияния скважины.
При автоматизации вычислений требуется
подавить появление физически
неправдоподобных величин.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Радиус-вектор Понижение
r, м
S, м
0.1
4.95
1
3.48
5
2.46
10
2.02
20
1.57
50
0.99
100
0.55
150
0.29
200
0.11
250
-0.03
300
-0.15
350
-0.25
400
-0.33
500
-0.47
32
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Вывод физически неправдоподобных
величин в результатах расчётов подавлен с
использованием функции «ЕСЛИ».
33
Синтаксис
ЕСЛИ(лог_выражение, [значение_если_истина], [значение_если_ложь])
Лог_выражение — обязательный аргумент.
Любое значение или выражение, дающее в результате значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, A10=100 — логическое
выражение; если значение в ячейке A10 равно 100, это выражение принимает значение ИСТИНА, в противном случае —
значение ЛОЖЬ.
Значение_если_истина — необязательный аргумент.
Значение, которое возвращается, если аргумент лог_выражение соответствует значению ИСТИНА.
Значение_если_ложь — необязательный аргумент.
Значение, которое возвращается, если аргумент лог_выражение соответствует значению ЛОЖЬ.
34
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Символ
Q
k
m
r
μ
t
H
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус скважины
упругая водоотдача
время расчётное
напор естественный
S
Q_s
K_f
m_vg
r_s
m_u
t_r
H_e
Значение
Размерность
200
5
10
0.1
0.002
1
100
м3/сут
м/сут
м
м
д.е.
сут
м
4.95
м
35
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Исходные данные (переменные)
Содержание
Имя
Символ
Q
k
m
r
μ
t
H
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус скважины
упругая водоотдача
время расчётное
напор естественный
S
Q_s
K_f
m_vg
r_s
m_u
t_r
H_e
Значение
Размерность
200
5
10
0.1
0.002
1
100
м3/сут
м/сут
м
м
д.е.
сут
м
4.95
м
36
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Исходные данные (переменные)
Символ
Q
k
m
r
μ
t
H
Содержание
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус скважины
упругая водоотдача
время расчётное
напор естественный
S
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Радиус-вектор
r, м
0.1
1
5
10
20
50
100
150
200
250
300
350
400
500
1
4.95
3.48
2.46
2.02
1.57
0.99
0.55
0.29
0.11
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Имя
Значение
Размерность
Q_s
K_f
m_vg
r_s
m_u
t_r
H_e
200
5
10
0.1
0.002
1
100
м3/сут
м/сут
м
м
д.е.
сут
м
4.95
м
Время, сут
10
100
1000
Понижение, м
5.68
6.41
7.15
4.21
4.95
5.68
3.19
3.92
4.66
2.75
3.48
4.21
2.31
3.04
3.77
1.72
2.46
3.19
1.28
2.02
2.75
1.02
1.76
2.49
0.84
1.57
2.31
0.70
1.43
2.17
0.58
1.32
2.05
0.49
1.22
1.95
0.40
1.13
1.87
0.26
0.99
1.72
10000
7.88
6.41
5.39
4.95
4.51
3.92
3.48
3.22
3.04
2.90
2.78
2.68
2.60
2.46
37
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Исходные данные (переменные)
Символ
Q
k
m
r
μ
t
H
Содержание
расход скважины
коэффициент фильтрации
мощность водоносного горизонта
радиус скважины
упругая водоотдача
время расчётное
напор естественный
S
Имя
Значение
Размерность
Q_s
K_f
m_vg
r_s
m_u
t_r
H_e
200
5
10
0.1
0.002
1
100
м3/сут
м/сут
м
м
д.е.
сут
м
4.95
м
38
Автоматизация решения задачи № 2 в среде электронных таблиц.
Численно-аналитическая модель одиночной откачки в условиях квазиустановившегося
водопритока.
Развитие депрессионной воронки во времени
101.00
100.00
Понижение, м
99.00
98.00
97.00
1 сут
96.00
10 сут
95.00
100 сут
1000 сут
94.00
10000 сут
93.00
92.00
91.00
0
100
200
300
400
500
600
Расстояние, м
39
Расчёт систем взаимодействующих скважин
выполняется с использованием принципа
суперпозиции
(принципа сложения течений)
40
Уравнение Лапласа стационарной фильтрации
d 2H y
d 2H x
d 2H z
Tx
 Ty
 TZ
 0;
2
2
2
dx
dy
dz
Уравнение Фурье нестационарной фильтрации
d 2H y
d 2H x
d 2H z
dH
Tx

T

T

W


*
y
Z
dx 2
dy 2
dz 2
dt
d 2H y
d 2H x
d 2H z
1 dH
Tx

T

T

W

y
Z
dx 2
dy 2
dz 2
a dt
где
* 
*


1 
(   )
коэффициент упругоёмкости породы
коэффициент упругоёмкости породы
объемный вес воды

коэффициент пористости горной породы


коэффициент сжимаемости воды
коэффициент сжимаемости горной породы

коэффициент пьезопроводности
Принцип суперпозиции:
Любая комбинация частных решений
уравнения Лапласа
является одновременно и его решением
нарушенный
Фильтрационные потоки
=
+
естественный
искусственный
Карта гидроизогипс и объемная диаграмма
естественного потока
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Карта и объемная диаграмма поверхности искусственного потока
(депрессионной воронки)
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Карта и объемная диаграмма поверхности
нарушенного потока
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Схема размещения взаимодействующих скважин
Y
1
эксплутационные
3
2
наблюдательная
X
Развитие депрессионной воронки скважины №1
1
понижение
2
3
срезки уровней
Развитие депрессионной воронки скважины №3
1
2
срезки уровней
3
понижение
Результат взаимодействия скважин
1
2
3
Расчет собственного понижения скважины №1

S1
0
Q
1
4km
ln
Радиус-вектор равен расстоянию
от оси скважины №1 до стенки ее фильтра
2.25a t1
2
rскв1
Система обозначения переменных,
принятая при расчётах взаимодействующих скважин
S – понижение уровня
∆S – дополнительное понижение уровня, срезка уровня
S0 – собственное понижение уровня в центральной скважине, т.е. на нулевом
расстоянии от скважины, равном радиусу фильтра скважины
Нижний индекс – показывает номер скважины к которой относится переменная
Двойной нижний индекс – первый показывает номер скважины в
которой определяется срезка уровня, индекс указывает номер
влияющей скважины
Расчет срезки уровня в скважине №1
от работы соседней эксплуатационной скважины №3

S13
Q
3
4km
Радиус-вектор равен расстоянию
от оси скважины №1 до оси соседней
эксплуатационной скважины №3
ln
2.25a t 3
2
rскв13
Расчет расстояний между скважинами в системе Декартовых координат.
Пространственное положение точки А, однозначно
определяется
в системе полярных координат длиною радиусвектора r и углом его поворота α
Расстояние между точками О-А рассчитывается
c использованием их координат Оx, Аx и Оу и Аy
x=Ax-Ox и y=Ay-Oy.
Общее решение для оценки взаимодействия двух эксплуатационных скважин
 S

S S S

S S  S

S1 S1
0
2
21
0
3
13
3
Решение можно найти для каждой
эксплуатационной скважины
и произвольной точки (наблюдательной скважины)
23
31
Y
Y2
I
2
Схема взаимодействующих скважин
А
3
S 1  S 1   S 12   S 13 ;
0
X2
1
S 2  S 2   S 21   S 23 ;
0
I
X
а)
1
2
А
S 3  S 3   S 31   S 32 ;
0
3
S
А
  S А1   S А2   S А3 ;
б)
а - план расположения взаимодействующих скважин;
б - гидрогеологический разрез
Расчеты одиночных и групповых водозаборов могут использоваться для подсчёта эксплуатационных
запасов подземных вод и обоснования вертикального дренажа в условиях неограниченных
водоносных горизонтов.
Расчёт систем взаимодействующих скважин в режиме численно-аналитических моделей позволяет
решать задачи оптимизации схем и режимов эксплуатации водозаборов с использованием
компьютера.
Результаты прогнозных расчётов доступны для визуализации сторонними программными средствами.
Использование автоматизации расчётов позволяет решать задачи осушения без изменения исходных
уравнений для прогноза понижения методом подбора.
57