Примеры решений тригонометрических уравнений

ЕГЭ. Математика.
С1 для «чайников»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №2»
ЕГЭ. Математика.
С1 для «чайников»
(пособие для учащихся 10-11 классов)
Автор-составитель :
ТАИРОВА СВЕТЛАНА ЕВГЕНЬЕВНА,
учитель математики,
высшая квалификационная категория
г. Югорск, 2014 год
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Оглавление
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
46
 Актуальность пособия
3
 Цель пособия
3
 Практическая новизна и главная идея пособия
3
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10 – 11 КЛАССОВ
5
 Предисловие
6
 Примеры решений тригонометрических уравнений
8
 Задания для самостоятельного решения
44
 Перечень уравнений пособия
46
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
47
2
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Пояснительная записка
Актуальность пособия
ЕГЭ по математике — это очень важный экзамен для большинства старшеклассников,
результаты которого напрямую повлияют на их шансы поступления в желаемый ВУЗ, а значит
и на дальнейшую судьбу. Основная масса конкурентных баллов заложена во второй части ЕГЭ
по математике, обычно ее называют частью С («Це) ЕГЭ по математике. Во многом именно
процент выполнения этой части решает дальнейшую траекторию жизни школьника.
Проведенный мною анализ задач С1 ЕГЭ по математике помогает сделать следующий
вывод: задание С1 по математике никогда не бывает осложнено так, чтобы его невозможно
было решить стандартными подходами. Вывод: не надо бояться браться за решение задания С1
ЕГЭ по математике. Особенное если это тригонометрическое уравнение.
Но, согласно анализа ФИПИ1за 2012-2013 гг., к выполнению, к примеру, уравнения
15cos 𝑥 = 3cos 𝑥 ∙ 5sin 𝑥 приступило 72% выпускников, получили 2 балла – 34,5%, получили 1
балл –10,1%, 0 баллов – 27,4%, не приступали к решению – 28%. Если взять уравнение
3𝜋
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = √3𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 𝑥)к выполнению задания приступили 27%, 2 балла получили 10,1%, 1
балл – 6,8%, 0 баллов – 10,1%, не приступали к решению – 73%.(Хотя по технике исполнения
второе уравнение гораздо легче первого). Я выделила 1 балл потому что именно за решение С1
дается 1 балл. И это только первичный. Если смотреть по шкале перевода первичного балла, то
получение пятнадцатого первичного балла добавляет к результату три вторичных.
И ещё один момент- на сегодня в открытом банке заданий ЕГЭ размещено всего 17
тригонометрических уравнений. Получается, что как такового банка заданий пока не
существует. И выпуск этого пособия – возможность систематизировать материал по теме
«Решение тригонометрических уравнений».
Цель пособия
Целью выпуска данного учебного пособия является помощь школьникам в подготовке к
ЕГЭ по математике по разделу «Решение тригонометрических уравнений» и создание базы
данных заданий для подготовки к ЕГЭ по данной теме.
Практическая новизна и главная идея пособия
В данном пособии приводятся подробныерешения типовых задач по решению
тригонометрических уравнений, предлагаемых с 2007 года по 2013 год Московским институтом
Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания общеобразовательных предметов (на основе анализа
типичных затруднений выпускников при выполнении заданий ЕГЭ 2013). Математика. http://www.fipi.ru/view/sections/231/docs/666.html
1
3
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
открытого
образования
в
различных
контрольных,
диагностических,
тренировочных,
демонстрационных и экзаменационных работах по математике для школьников 10 и 11 классов
и размещенных в открытом банке заданий ФИПИ2. Изложение материала построено на
решении примеров и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими
сведениями.
Практическая
новизнапредставлена,во-первых,
тем,
что
сведения
предоставляются по ходу решения задач, чтобы было наглядно видно, как именно на данном
шаге можно применить конкретнуюформулу или правило. Предложенная форма подачи
материала позволяет систематизировать знания, облегчает понимание сложных понятий и
решений. Во-вторых, нет разбиения по способам решения. Каждый раз уравнение несет в себе
новый элемент: запись, способ решения, формулу и пр. Это заставляет, даже решая готовое,
думать и предполагать, какой шаг в данный момент можно предпринять. В-третьих, будет
собран материал из различных источников по подготовке к экзаменам: открытого банка
заданий, тренировочных и диагностических работ.
Успешность выполненной работы в основном зависит от знаний и опыта школьника. Но
в условиях стресса влияют и другие факторы. Часто забываешь о тонкостях, нюансах,
вариантах, частных случаях, различных методах. Поэтому главная идея пособия – научить
применять общие способы решения тригонометрических уравнений.
2
Открытый банк заданий ФИПИ. http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=
4
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2»
Таирова С.Е.
ЕГЭ. Математика.
С1 для «чайников»
Часть 1. Тригонометрические уравнения
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10 – 11 КЛАССОВ
г.Югорск 2014
5
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Предисловие
В
этой
части
пособия
для
«чайников»
будут
рассмотрены
подробные
решения
тригонометрических уравнений. Раздел получится довольно большим, ноне отказываться же изза этого от возможности заработать неплохой балл на ЕГЭ. Прежде чем приступить к
рассмотрению решений уравнений, запомните – тригонометрия очень проста, ну очень!
Сложности в ней не больше, чем в таблице умножения. Ну не буду сейчас это все
рекламировать – увидите сами. Задание С1 на решение тригонометрических уравнений состоит
из двух частей. За каждую начисляется по 1 баллу первичному, они же по три бала вторичных.
В этой части пособия мы рассмотрим пока только решение уравнений.
Что надо знать прежде всего?
1. Углы можно измерять в градусах, можно в радианах. Это как сахар можно покупать
килограммами, а можно мешками. Например, 𝐴 = 1800 = 3,14 радиан. Кстати 3,14
радиан принято заменять символом , а слово радиан не прописывать. Для того же угла
А запишем: 𝐴 = 1800 = 𝜋.
2. Градусы можно переводить в радианы и наоборот.
Таблица 1. Значения величины угла в градусах и радианах
градусы
0
30
45
60
90
180
270
360
радианы
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2

3𝜋
2
2π
Таблицу надо выучить. При этом помните, что вместо надо подставлять 1800:
300 ,
1800
4
= 450 ,
1800
3
= 600 ,
1800
2
= 900 ,
3∙1800
2
= 2700 , 2 ∙ 1800 = 3600
3. Значения тригонометрических функций для некоторых значений углов:
Таблица 2. Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для некоторых углов
градусы
0
30
45
60
90
180
270
360
радианы
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2

3𝜋
2
2π
6
1800
6
=
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
cинус sin
0
1
2
√2
2
√3
2
1
0
-1
0
косинусcos
1
√3
2
√2
2
1
2
0
-1
0
1
тангенсtg
0
√3
3
1
√3
-
0
-
0
котангенсctg
-
√3
1
√3
3
0
-
0
-
4. Существуют простейшие тригонометрические уравнения, решения к которым надо
запомнить:
Таблица 3. Запись решений для простейших тригонометрических уравнений
Уравнение простейшее
Решение
cos x = 0
𝑥=
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
cos x = 1
𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
cos x = - 1
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
sin x = 0
sin x = 1
sin x = - 1
5. Общие виды решений уравнений:
Таблица 4. Общие виды решений тригонометрических уравнений
Уравнение
Решение
Решений нет
cos x = a
𝑥 = ± arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
если |𝑎| > 1
sin x = a
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑎) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
если |𝑎| > 1
tg x = a
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
-
ctg x = a
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑎) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
-
7
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Примеры решений тригонометрических уравнений
𝜋
Пример 1. Решите уравнение 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 𝑥).
Решение:
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 - синус двойного аргумента
𝜋
𝑠𝑖𝑛 (2 + 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 - формула приведения
Подставим:
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = cos 𝑥
Перенесем в левую часть cosx, изменив знак:
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель cosx за скобки:
𝑐𝑜𝑠 𝑥(2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1) = 0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0
Частный случай. Запишем решение:
2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
𝜋
𝑥 = 2 +πn, n∈ 𝑍
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍,
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 6 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
Замечание:
1. В некоторых решебниках можно в качестве ответа на второе уравнение встретить
Это тоже правильный ответ. Просто мы записали в
общем виде.
1
2. Где брать arcsin 2 ?В таблице 2. Сообразили? Правильно!
𝜋
строке cинусsin. 6 - в соответствующем столбике.
8
1
2
ищем внутри таблицы в
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
3. Почему в первом случае k заменили на n? Ну вроде как положено – решения разные, в
одном решении записывается k, в другом n.
4. Что касается формул приведения. Выучить их наизусть невозможно, поэтому
познакомимся с ними поближе.
1) Надо знать знаки тригонометрических функций по четвертямкоординатной плоскости.
Правило простое – синус это у, косинус – это х, тангенс – отношение у к х, котангенс –
отношение х к у.
Таблица 6. Знаки тригонометрических функций
Знак х
Знак cos
Знак у
Знак sin
Знак tg
Знакctg
1 четверть
+
+
+
+
+
+
2 четверть
-
-
+
+
-
-
3 четверть
-
-
-
-
+
+
4 четверть
+
+
-
-
-
-
2) Формулы приведения – это формулы, в которых находятsin, cos, tg, ctgвыражений типа
𝜋
5𝜋
(𝜋 + 𝑥), (𝜋 − 𝑥), ( − 𝑥) , ( + 𝑥). Причем выражения в скобках приводятся к х.
2
2
3) Если в скобках целое число π, то sin, cos, tg, ctgприсутствуют в начальной формуле и
остаются в конечной формуле.
𝜋
4) Если в скобках целое число 2 , то в конечной формуле sinзаменяют на cos, cosна sin, tgна
ctg, ctgна tg.
5) В конечной формуле может поменяться знак. Это зависит от исходной функции.
Например,
а) находим sin(𝜋 + 𝑥). В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 1800. Угол π +
х попадает в 3 четверть. В третьей четверти синус отрицательный. Получаем sin(𝜋 + 𝑥) =
− sin 𝑥.
б) находим sin(𝜋 − 𝑥). В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 1800. Угол π хпопадает во 2 четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем sin(𝜋 − 𝑥) =
sin 𝑥.
𝜋
𝜋
в) 𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 𝑥). В формуле 2 . Значит синус поменяем на косинус.
𝜋
2
это 900.
𝜋
𝜋
2
+ 𝑥 попадает во
вторую четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем: 𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 𝑥) = cos 𝑥.
(В перечень примеров)
9
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
3𝜋
Пример 2. Решите уравнение 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (
2
− 𝑥)
Решение:
3𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( 2 − 𝑥) = − sin 𝑥 - формула приведения. Косинус меняем на синус.
3𝜋
2
= 270о .
𝑥возвращаемся в 3 четверть. В 3 четверти cosотрицательный.
Подставим:
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
Перенесем все в левую часть (не забываем при переносе менять знак):
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 (2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1) = 0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1 = 0
Частный случай. Запишем решение:
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −1
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Применим формулу:
arcsin(−𝑎) = − arcsin 𝑎
Значит:
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2
Получим:
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
(Умножили (−1)𝑘 ∙ (−1)1 = (−1)𝑘+1. При
умножении степеней показатели
складываются).
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
10
3𝜋
2
−
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
𝜋
Пример 33. Решите уравнение cos 2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 (2 − 𝑥)
Решение:
cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 - косинус двойного аргумента (УЧИТЬ)
𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( 2 − 𝑥) = sin 𝑥 - формула приведения. Косинус поменяется на синус.
𝜋
2
− 𝑥попадает в 1
четверть. В 1 четверти косинус положительный.
Подставим:
𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛2 = 1 − sin 𝑥
Из основного тригонометрического тождества 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 выразим 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Подставим и перенесем все в одну часть:
1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1 + sin 𝑥 = 0
Приведем подобные:
sin 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
sin 𝑥(1 − 2 sin 𝑥)=0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
sin 𝑥 = 0
1 − 2 sin 𝑥 = 0
Частный случай. Запишем решение:
1 = 2 sin 𝑥
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
3
Демоверсия 2013
11
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
(В перечень примеров)
3𝜋
Пример 4. Решите уравнение √2𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 𝑥) ∙ sin 𝑥 = cos 𝑥
Решение:
3𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 𝑥) = − cos 𝑥 - формула приведения. Синус поменяется на косинус.
3𝜋
2
−𝑥
возвращаемся в 3 четверть. Синус отрицательный.
Получаем:
√2 ∙ (− cos 𝑥) ∙ sin 𝑥 = cos 𝑥
Перенесем в одну часть:
−√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∙ sin 𝑥 − cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
− cos 𝑥(√2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1) = 0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
− cos 𝑥 = 0
√2 ∙ sin 𝑥 + 1 = 0
cos 𝑥 = 0
√2 ∙ sin 𝑥 = −1
Частный случай. Запишем решение:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
sin 𝑥 = −
1
√2
=−
√2
2
(Числитель и знаменатель
умножили на √2)
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin (−
√2
) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−arcsin
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ arcsin
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
(В перечень примеров)
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
12
√2
) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
√2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Пример 5. Решите уравнение 2𝑠𝑖𝑛 (
7𝜋
2
+ 𝑥) ∙ sin 𝑥 = √3 cos 𝑥
Решение:
7𝜋
7𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 𝑥) = − cos 𝑥 - формула приведения. Синус меняем на косинус. 2 + 𝑥попадаем в 4
четверть. Синус отрицательный.
Заменяем и переносим все в одну часть (часто повторяющаяся операция. Не знаешь что делать
– перенеси в одну часть все выражения. Или вынеси за скобки).
−2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − √3 cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
−cos(2 sin 𝑥 + √3) = 0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
− cos 𝑥 = 0
2 sin 𝑥 + √3 = 0
cos 𝑥 = 0
2 sin 𝑥 = −√3
Частный случай. Запишем решение:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
sin 𝑥 = −
√3
2
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin (−
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
√3
) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
(В перечень примеров)
𝜋
Пример 6. Решите уравнение cos 2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( 2 − 𝑥)
Решение:
cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 - косинус двойного аргумента.
𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( 2 − 𝑥) = sin 𝑥 - формула приведения. Косинус меняем на синус.
четверть. Косинус положительный.
Заменяем и переносим все в одну часть:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1 − sin 𝑥
13
𝜋
2
− 𝑥 попадает в 1
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1 + sin 𝑥 = 0
Из основного тригонометрического тождества 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 выразим 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 и
подставим:
1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1 + sin 𝑥 = 0
Приведем подобные:
−2𝑠𝑖𝑛2 + sin 𝑥 = 0
sin 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
sin 𝑥(1 − 2 sin 𝑥)=0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
sin 𝑥 = 0
1 − 2 sin 𝑥 = 0
Частный случай. Запишем решение:
1 = 2 sin 𝑥
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
Пример7. Решите уравнение √9 − 𝑥 2 cos 𝑥 = 0
Решение:
Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при
этом не теряет смысла. Получаем:
√9 − 𝑥 2 = 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
Обе части возведем в квадрат:
Частный случай. Запишем решение:
9 − 𝑥2 = 0
𝑥=
𝑥 = ±3
Надо записать решения с учетом ОДЗ.
Найдем ОДЗ:
Так как𝑛 ∈ 𝑍, будем брать различные значения до
𝜋
2
14
+ πn, n∈ 𝑍
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
тех пор, пока не выйдем за пределы ОДЗ.
9 − 𝑥2 ≥ 0
9 − 𝑥 2 = 0, квадратичная функция,
𝑛 = 0, 𝑥 =
графиком является парабола, a=-1,
𝜋
𝜋 3,14
+𝜋∙0= =
≈ 1,56
2
2
2
9 − 𝑥 2 ≥ 0 при −3 ≤ 𝑥 ≤ 3.
𝜋
∈ ОДЗ
2
𝜋
3𝜋 3 ∙ 3,14
𝑛 = 1, 𝑥 = + 𝜋 ∙ 1 =
=
≈ 4,71
2
2
2
3𝜋
𝑥=
непринадлежтОДЗ
2
ОДЗ: −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
Значения𝑥для𝑛 = 2; 3; .. явно не будут
ветви параболы направлены вниз. Точки
пересечения с осью ОХ
𝑥
.
𝑥=
принадлежать ОДЗ
𝑛 = −1, 𝑥 =
𝜋
𝜋
𝜋
3,14
+ 𝜋 ∙ (−1) = − 𝜋 = − = −
2
2
2
2
≈ −1,56
𝜋
∈ ОДЗ
2
𝜋
3𝜋
𝑛 = −2, 𝑥 = + 𝜋 ∙ (−2) = −
≈ −4,71
2
2
3𝜋
𝑥 = − непринадлежтОДЗ
2
𝑥=−
Значения𝑥для𝑛 = −3; −4; .. явно не будут
принадлежать ОДЗ
Ответ:
𝜋
𝑥 = ±3, 𝑥 = ± 2
(В перечень примеров)
Пример8. Решите уравнение (sin 𝑥 −
√3
)
2
∙ √3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0
Решение:
Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при
этом не теряет смысла. Получаем:
√3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0
sin 𝑥 −
√3
=0
2
sin 𝑥 =
√3
2
Обе части возведем в квадрат:
3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 49 − 48 = 1 > 0,
уравнение имеет два корня
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin
15
√3
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
−𝑏 ± √𝐷 7 ± 1
=
2𝑎
6
1
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 1
3
𝑥 = (−1)𝑘 ∙
Найдем ОДЗ:
значения до тех пор, пока не выйдем за
3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 ≥ 0
пределы ОДЗ.
𝑥1,2 =
Надо записать решения с учетом ОДЗ.
Так как 𝑘 ∈ 𝑍, будем брать различные
𝑦 = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 − квадратичная функция,
𝑘 = 0, 𝑥 = (−1)0 ∙
графиком является парабола, а=3>0, ветви
𝜋
𝜋 3,14
+𝜋∙0= ≈
3
3
3
параболы направлены вверх.
≈ 1,05; 1,05 непринадлежитОДЗ.
Точки пересечения с осью ОХ
𝑘 = 1, 𝑥 = (−1)1 ∙ 3 + 𝜋 ∙ 1 = − 3 + 𝜋 =
𝜋
1
2∙3,14
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 1 3.
3
1
𝜋
2𝜋
3
≈
≈ 2,1-принадлежит ОДЗ.И для k = 2, 3,
4… значения х будут принадлежать ОДЗ.
𝜋
𝑘 = −1, 𝑥 = (−1)−1 ∙ + 𝜋 ∙ (−1) =
3
3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 ≥ 0при 𝑥 ∈ (−∞; 1] ∪ [1 3 ; +∞)
𝜋
= −3−𝜋 = −
4𝜋
3
≈−
4∙3,14
3
≈ −4,2-
принадлежит ОДЗ. И для k = -2,- 3,- 4…
значения х будут принадлежать ОДЗ.
Решением будет
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, 𝑘 ≠ 0
3
1
𝜋
Ответ: 1; 1 3 ; 𝑥 = (−1)𝑘 ∙ 3 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, 𝑘 ≠ 0
(В перечень примеров)
3𝜋
Пример 9. Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠 ( 2 + 2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
Решение:
3𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( 2 + 2𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − формула приведения.Косинус меняем на синус.
четверть. Косинус положительный.
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 – синус двойного угла
Получаем:
2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1) = 0
cos 𝑥 = 0
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0
2 sin 𝑥 = 1
16
3𝜋
2
+ 2𝑥попадает в 4
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Частный случай. Запишем решение:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝑥 = (−1)𝑘
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
Пример 10. Решите уравнение: 6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 7 cos 𝑥 − 5 = 0
Решение:
Сделаем замену cos 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
6𝑡 2 − 7𝑡 − 5 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 49 − 4 ∙ 6 ∙ (−5) = 169 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 7 ± 13
=
2𝑎
12
5
1
𝑡1 = , 𝑡2 = −
3
2
𝑡1,2 =
cos 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
5
− не имеет решения, т. к.
3
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
Воспользуемся формулой 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝜋 −
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝛼
1
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
2𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
Ответ:
17
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑥=±
2𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 11. Решите уравнение: 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 12 sin 𝑥 + 5 = 0
Решение:
Сделаем замену sin 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
4𝑡 2 − 12𝑡 + 5 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 144 − 4 ∙ 4 ∙ 5 = 64 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 12 ± 8
=
2𝑎
8
5
1
𝑡1 = , 𝑥2 =
2
2
𝑡1,2 =
sin 𝑥 =
1
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
5
− не имеет решения, т. к.
2
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1
Ответ:
𝑥 = (−1)𝑘
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
3𝜋
Пример 12. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
Решение:
3𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2𝑥) = −𝑐𝑜𝑠2𝑥 − формула приведения. Синус меняем на косинус. Угол попадает в 3
четверть. Синус отрицательный.
cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − формула косинуса двойного угла
Получаем:
−(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − из основного тригонометрического тождества
−(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
18
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
−1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0
Сделаем замену sin 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
2𝑡 2 − 𝑡 − 1 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ∙ 2 ∙ (−1) = 9 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 1 ± 3
=
2𝑎
4
1
𝑡1 = 1, 𝑡2 = −
2
𝑡1,2 =
sin 𝑥 =1
Частный случай. Запишем решение:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝑠𝑖𝑛𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Применим формулу:
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−𝑎) = − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎
Значит:
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2
Получим:
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
(Умножили (−1)𝑘 ∙ (−1)1 = (−1)𝑘+1. При
умножении степеней показатели
складываются).
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
19
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
(В перечень примеров)
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
Пример 13. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2) (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑖𝑛 2) = 0
Решение:
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
(𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2) (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑠𝑖𝑛 2) = 𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑖𝑛2 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 ∙ 2 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − сначала применим
формулу разности квадратов, затем формулу косинуса двойного угла.
Получаем:
sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0
Разделим обе части уравнения на 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≠ 0 (эту фразу обязательно пишем, в смысл вдаваться
необязательно).
sin 𝑥 cos 𝑥
0
+
=
cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 + 1 = 0
𝑡𝑔 𝑥 = −1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
Воспользуемся формулой 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝛼) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝛼:
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
Ответ:
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
(В перечень примеров)
𝑥 2
𝑥
Пример 14. Решите уравнение: 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2) − 1
Решение:
𝑥
𝑥 2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
(𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2) = 𝑐𝑜𝑠 2 2 − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑠𝑖𝑛2 2 = 1 − 𝑠𝑖𝑛 2 ∙ 2 = 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥.
Сначала формула квадрата разности двух выражений. Затем основное тригонометрическое
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
тождество (𝑐𝑜𝑠 2 2 + 𝑠𝑖𝑛2 2 = 1) и синус двойного угла (2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 = sin 2 ∙ 2). Получаем:
cos 𝑥 = 1 − sin 𝑥 − 1
cos 𝑥 = − sin 𝑥
Разделим обе части уравнения на 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≠ 0 (эту фразу обязательно пишем)4.
cos 𝑥
sin 𝑥
=−
cos 𝑥
cos 𝑥
Уравнение вида 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 называются однородными уравнениями первой степени. Чтобы их решить, надо обе части разделить на
cos 𝑥 ≠ 0. Затем переходят к решению уравнения с tg.
4
20
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
1 = −𝑡𝑔 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 = −1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
Воспользуемся формулой 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝛼) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝛼:
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
Ответ:
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
(В перечень примеров)
Пример 15. Решите уравнение: 2 sin 2𝑥 = 4 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 1
Решение:
sin 2𝑥 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 - синус двойного угла.
2 ∙ 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 = 4 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1
4 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 4 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0
Группируем:
(4 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 4 cos 𝑥) + (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1) = 0
Выносим в первой скобке общий множитель:
4cos 𝑥 ∙ (sin 𝑥 − 1 ) +(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1) = 0
Ещё раз выносим общий множитель:
(sin 𝑥 − 1)(4 cos 𝑥 + 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0
4 cos 𝑥 + 1 = 0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1
4 cos 𝑥 = −1
Частный случай. Запишем решение:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
cos 𝑥 = −
1
4
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
1
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
21
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
(В перечень примеров)
Пример 16. Решите уравнение: sin 2𝑥 − 2√3𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 4 sin 𝑥 + 4√3 cos 𝑥 = 0.
Решение:
sin 2𝑥 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 - синус двойного угла.
2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 2√3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 4 sin 𝑥 + 4√3 cos 𝑥 = 0
Разделим каждое слагаемое на 2.
cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − √3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2√3 cos 𝑥 = 0
Группируем:
(cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 2 sin 𝑥) − (√3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 2√3 cos 𝑥) = 0
Выносим общие множители в каждой группе:
sin 𝑥(cos 𝑥 − 2) − √3 cos 𝑥(cos 𝑥 − 2) = 0
Выносим общий множитель:
(cos 𝑥 − 2)(sin 𝑥 − √3 cos 𝑥) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
cos 𝑥 − 2 = 0
sin 𝑥 − √3 cos 𝑥 = 0
cos 𝑥 = 2 - решений нет т.к. −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1
Однородное уравнение первой степени,
разделим обе части на cos 𝑥 ≠ 0:
sin 𝑥 √3 cos 𝑥
0
−
=
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 − √3 = 0
𝑡𝑔 𝑥 = √3
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √3 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 17. Решите уравнение: sin 2𝑥 − 2√3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 cos 𝑥 + 4√3 sin 𝑥 = 0.
Решение:
sin 2𝑥 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 - синус двойного угла.
2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 2√3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 cos 𝑥 + 4√3 sin 𝑥 = 0
22
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Разделим каждое слагаемое на 2.
cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − √3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 cos 𝑥 + 2√3 sin 𝑥 = 0
Группируем:
(cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 2 cos 𝑥) − (√3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2√3 sin 𝑥) = 0
Выносим общие множители в каждой группе:
cos 𝑥(sin 𝑥 − 2) − √3 sin 𝑥(sin 𝑥 − 2) = 0
Выносим общий множитель:
(sin 𝑥 − 2)(cos 𝑥 − √3 sin 𝑥) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
sin 𝑥 − 2 = 0
cos 𝑥 − √3 sin 𝑥 = 0
sin 𝑥 = 2 – решений нет, т.к. −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1
Однородное уравнение первой степени,
разделим обе части на cos 𝑥 ≠ 0:
cos 𝑥 √3 sin 𝑥
0
−
=
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
1 − √3𝑡𝑔 𝑥 = 0
1 = √3𝑡𝑔 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 =
1
√3
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥=
1
√3
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
𝑥
𝑥
Пример 18. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛2 2 − 𝑐𝑜𝑠 2 2 = cos 2𝑥.
Решение:
Преобразуем правую и левую части:
𝑥
𝑥
−𝑐𝑜𝑠 2 2 + 𝑠𝑖𝑛2 2 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥. В левой части просто поменяли местами, в правой применили
формулу для косинуса двойного угла. В левой части вынесем минус за скобки:
𝑥
𝑥
− (𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑖𝑛2 2) = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥. В левой части в скобках косинус двойного угла:
𝑥
− cos 2 ∙ 2 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥.
23
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
− cos 𝑥 = 2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥.
Перенесем в одну сторону:
2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель:
cos 𝑥(2 sin 𝑥 + 1) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cos 𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1 = 0
Частный случай. Запишем решение:
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −1
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Применим формулу:
arcsin(−𝑎) = − arcsin 𝑎
Значит:
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2
Получим:
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
(Умножили (−1)𝑘 ∙ (−1)1 = (−1)𝑘+1. При
умножении степеней показатели
складываются).
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
𝑥
𝑥
𝜋
Пример 19. Решите уравнение:𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑖𝑛2 2 = 𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2𝑥).
Решение:
24
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
В левой части косинус двойного угла, в правой части – формула приведения (синус меняем на
косинус. Угол попадает в 1 четверть. Синус положительный).
𝑥
cos 2 ∙ 2 = cos 2𝑥.
Теперь в правой части косинус двойного угла, в левой – сокращение.
cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Из основного тригонометрического тождества:
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 .
Получаем:
cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥).
Раскроем скобки,приведем подобные, перенесем все в одну часть:
cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
cos 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 − cos 𝑥 = 0
Сделаем замену cos 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
2𝑡 2 − 𝑡 − 1 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ∙ 2 ∙ (−1) = 9 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 1 ± 3
=
2𝑎
4
1
𝑡1 = 1, 𝑡2 = −
2
𝑡1,2 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − частный случай.
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
cos 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Воспользуемся формулой
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼
1
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
2𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
25
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Ответ:
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑥=±
2𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 20. Решите уравнение:sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 − cos 𝑥 + 1.
Решение:
В левой части синус двойного угла и перенесем все в одну часть:
2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1 = 0.
Сгруппируем:
(2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥) + (cos 𝑥 − 1) = 0
В первой скобке вынесем общий множитель за скобки:
2 sin 𝑥 (cos 𝑥 − 1) + (cos 𝑥 − 1) = 0
Ещё раз выносим общий множитель:
(cos 𝑥 − 1)(2 sin 𝑥 + 1) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cos 𝑥 − 1 = 0
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 1 = 0
cos 𝑥 = 1
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −1
Частный случай
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Применим формулу:
arcsin(−𝑎) = − arcsin 𝑎
Значит:
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2
Получим:
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
1
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
(Умножили (−1)𝑘 ∙ (−1)1 = (−1)𝑘+1. При
26
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
умножении степеней показатели
складываются).
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
(В перечень примеров)
Пример 21. Решите уравнение: 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2 sin 2𝑥 = 3.
Решение:
Используем формулу синус двойного угла и основное тригонометрическое тождество:
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2 ∙ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 3(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥).
Раскроем скобки, перенесем все в одну часть:
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0
Приведем подобные:
−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0
Умножим каждое выражение на (-1):
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 4 sin 𝑥 cos 𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0
Разделим каждое выражение на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ≠ 0. (Это предложение прописываем обязательно).
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 4 sin 𝑥 cos 𝑥 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
0
−
+
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
4 sin 𝑥
1−
+ 3𝑡𝑔2 𝑥 = 0
cos 𝑥
1 − 4𝑡𝑔 𝑥 + 3 𝑡𝑔2 𝑥 = 0
Сделаем замену tg 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
3𝑡 2 − 4𝑡 + 1 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 16 − 4 ∙ 3 ∙ 1 = 4 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 4 ± 2
=
2𝑎
6
1
𝑡1 = 1, 𝑡2 =
3
𝑡1,2 =
𝑡𝑔𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑡𝑔 𝑥 =
27
1
1
, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
3
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Ответ:
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 22. Решите уравнение: 6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + sin 2𝑥 = 2.
Решение:
Воспользуемся формулой синус двойного углаи основным тригонометрическим тождеством:
6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 0
Раскроем скобки:
6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
Приведем подобные:
4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
Разделим каждое выражение на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ≠ 0. (Это предложение прописываем обязательно).
4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2 sin 𝑥 cos 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
0
+
−
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
4 𝑡𝑔2 𝑥 + 2 𝑡𝑔 𝑥 − 2 = 0
Сделаем замену tg 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
4𝑡 2 + 2𝑡 − 2 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 4 − 4 ∙ 4 ∙ (−2) = 36 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 −2 ± 6
=
2𝑎
8
1
𝑡1 = −1, 𝑡2 =
2
𝑡1,2 =
𝑡𝑔 𝑥 = −1, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(− 1) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
Воспользуемся формулой
1
𝑡𝑔 𝑥 = ,
2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∝) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ∝
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖𝑍
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
4
Ответ:
28
1
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
4
1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
(В перечень примеров)
𝑥=−
𝜋
Пример 23. Решите уравнение: 4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 3 sin (𝑥 − 2 ) = 0.
Решение:
Преобразуем выражение
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
sin (𝑥 − ) = sin (− + 𝑥) = sin (− ( − 𝑥)) = − sin ( − 𝑥) = − cos 𝑥
2
2
2
2
Получаем уравнение
4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 3 ∙ (− cos 𝑥) = 0
4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
cos 𝑥(4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cos 𝑥 = 0
4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 = 0
Частный случай. Запишем решение:
4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 3
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
3
4
3
cos 𝑥 = ±√
4
cos 𝑥 = ±
√3
2
1. cos 𝑥 =
𝑥 = ± arccos
𝑥=±
√3
2
√3
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
2
𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
2. cos 𝑥 = −
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (−
29
√3
2
√3
) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
2
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
√3
) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
5𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
5𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
𝑥=±
(В перечень примеров)
Пример 24. Решите уравнение: sin 2𝑥 + √3 sin 𝑥 = 0.
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
2 sin 𝑥 cos 𝑥 + √3 sin 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель:
sin 𝑥(2 cos 𝑥 + √3) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
sin 𝑥 = 0
2 cos 𝑥 + √3 = 0
Частный случай. Запишем решение:
2 cos 𝑥 = −√3
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
cos 𝑥 = −
√3
2
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (−
√3
) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
2
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
√3
) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
5𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
30
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑥=±
5𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖 𝑍
6
(В перечень примеров)
Пример 25. Решите уравнение: cos 2𝑥 + 0,5 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.
Решение:
Используем формулу косинуса двойного угла:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 0,5 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
Приведем подобные:
−𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = −0,5
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =
1
2
1
sin 𝑥 = ±√
2
sin 𝑥 = ±
sin 𝑥 = ±
sin 𝑥 =
1
√2
√2
2
√2
2
sin 𝑥 = −
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥 = (−1)𝑛 ∙
√2
+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
√2
2
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
4
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ (−arcsin
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ arcsin
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙
Ответ:
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
4
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘+1 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
(В перечень примеров)
𝑥 = (−1)𝑛 ∙
𝜋
Пример 26. Решите уравнение: 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 ( 2 + 𝑥) − 1 = 0.
Решение:
31
√2
) + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
√2
) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
√2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Используем основное тригонометрическое тождество и формулы приведения:
4(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) − 4 sin 𝑥 − 1 = 0
4 − 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 sin 𝑥 − 1 = 0
−4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 sin 𝑥 + 3 = 0
Умножим обе части равенства на (-1):
4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 sin 𝑥 − 3 = 0
Сделаем замену sin 𝑥 = 𝑡 и подставим в уравнение:
4𝑡 2 + 4𝑡 − 3 = 0
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 16 − 4 ∙ 4 ∙ (−3) = 64 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 −4 ± 8
=
2𝑎
8
3
1
𝑡1 = − , 𝑡2 =
2
2
𝑡1,2 =
3
sin 𝑥 = − 2, корней нет, т.к. −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
Ответ:
𝑥 = (−1)𝑘 ∙
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
(В переченьпримеров)
Пример 27. Решите уравнение: 2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 2 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0.
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 2 cos 𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0.
Сгруппируеми вынесем общий множитель:
(2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 2 cos 𝑥) − (−1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 0
2 cos 𝑥(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1) − (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1) = 0
Вынесем общий множитель:
(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1)(2 cos 𝑥 − 1) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
32
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 = 0
2 cos 𝑥 − 1 = 0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
2 cos 𝑥 = 1
cos 𝑥 = ±1
1. cos 𝑥 = 1
𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2. cos 𝑥 = −1
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
cos 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
Ответ:
𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = ± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 28. Решите уравнение: 15cos 𝑥 = 3cos 𝑥 ∙ 5sin 𝑥 .
Решение:
(3 ∙ 5)cos 𝑥 = 3cos 𝑥 ∙ 5sin 𝑥
3cos 𝑥 ∙ 5cos 𝑥 = 3cos 𝑥 ∙ 5sin 𝑥 . Разделим обе части на 3cos 𝑥 . Получим:
5cos 𝑥 = 5sin 𝑥 . Основания равны, значит показатели тоже равны.
cos 𝑥 = sin 𝑥.
Перенесем в одну часть, получим однородное уравнение первой степени.
cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0
Разделим обе части уравнения на 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≠ 0 (эту фразу обязательно пишем).
cos 𝑥 sin 𝑥
0
−
=
cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥
1 − 𝑡𝑔 𝑥 = 0
𝑡𝑔 𝑥 = 1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
(В перечень примеров)
Пример 29.Решите уравнение √2𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 = cos 5𝑥.
33
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Решение:
Введем переменную t = 5x.
√2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = cos 𝑡
√2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − cos 𝑡 = 0
Вынесем общий множитель:
cos 𝑡(√2 cos 𝑡 − 1) = 0
cos 𝑡 = 0
√2 cos 𝑡 − 1 = 0
Частный случай
𝜋
𝑡 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
5𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋 𝜋𝑘
𝑥=
+
,𝑘 𝜖 𝑍
10 5
cos 𝑡 =
1
√2
=
𝑡 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√2
2
√2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
𝜋
5𝑥 = ± + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
𝜋 𝜋𝑘
𝑥=± +
,𝑘 𝜖 𝑍
20
5
𝑡=±
Ответ:
𝜋 𝜋𝑘
+
,𝑘 𝜖 𝑍
10 5
𝜋 𝜋𝑘
𝑥=± +
,𝑘 𝜖 𝑍
20
5
𝑥=
(В перечень примеров)
Пример 30. Решите уравнение 2 cos 4𝑥 + cos 2𝑥 − 1 = 0
Решение:
Введем переменную 2𝑥 = 𝑡.
2 cos 2𝑡 + cos 𝑡 − 1 = 0
cos 2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑡- косинус двойного угла.
2(𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑡) + cos 𝑡 − 1 = 0
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + cos 𝑡 − 1 = 0
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) + cos 𝑡 − 1 = 0
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 2 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + cos 𝑡 − 1 = 0
4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + cos 𝑡 − 3 = 0
Сделаем замену cos 𝑡 = 𝑚 и подставим в уравнение:
4𝑚2 + 𝑚 − 3 = 0
34
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Рассчитаем дискриминант :
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ∙ 4 ∙ (−3) = 49 > 0,
уравнение имеет два корня
−𝑏 ± √𝐷 −1 ± 7
=
2𝑎
8
3
𝑚1 = −1, 𝑡2 =
4
𝑚1,2 =
cos 𝑡 = −1
cos 𝑡 =
𝑡 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
3
4
3
𝑡 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
3
2𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
3
𝑥=
±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
3
𝑥=
±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
(В перечень примеров)
Пример 31. Решите уравнение √2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − √2 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 = 0
Решение:
(√2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − √2 sin 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 = 0
√2sin 𝑥(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
−√2sin 𝑥(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
−√2sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠 2 − √2 sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥(1 − √2 sin 𝑥) = 0
𝑐𝑜𝑠 2 = 0
1 − √2 ∙ sin 𝑥 = 0
cos 𝑥 = 0
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
√2 ∙ sin 𝑥 = 1
sin 𝑥 =
35
1
√2
=
√2
2
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
√2
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin ( ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝑥 = (−1)𝑘 ∙
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
4
(В перечень примеров)
Пример 32. Решите уравнение cos 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0,25
Решение:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0,25
25
100
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
4
1
cos 𝑥 = ±
2
𝑐𝑜𝑠 2 =
cos 𝑥 =
1
2
cos 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
1
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖
3
2𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
3
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
Ответ:
𝜋
𝑥 = ± + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
2𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
3
(В перечень примеров)
𝜋
Пример 33. Решите уравнение 2𝑠𝑖𝑛2 (2 + 𝑥) = −√3 cos 𝑥
Решение:
36
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝜋
𝑠𝑖𝑥 ( + 𝑥) = cos 𝑥. Синус меняем на косинус. Угол попадает во 2 четверть. Синус имеет знак
2
«+». Плюс возводим в квадрат.
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −√3 cos 𝑥.
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + √3 cos 𝑥 = 0
cos 𝑥(2 cos 𝑥 + √3) = 0
cos 𝑥 = 0
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
(2 cos 𝑥 + √3) = 0
2 cos 𝑥 = −√3
cos 𝑥 = −
√3
2
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−
√3
) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
Воспользуемся формулой 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝜋 −
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√3
) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
5𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
5𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
(В перечень примеров)
Пример 34. Решите уравнение cos 2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1,25
Решение:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2 = 1,25
1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2 = 1,25
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1,25 − 1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0,25
37
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
25
100
1
sin 𝑥 = ±
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
sin 𝑥 = −
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙ + 𝜋𝑛, 𝑘 𝜖 𝑍
6
Ответ:
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙ + 𝜋𝑛, 𝑘 𝜖 𝑍
6
𝑥 = (−1)𝑘 ∙
(В перечень примеров)
Пример 35. Решите уравнение 12sin 𝑥 = 4sin 𝑥 ∙ 3−√3 cos 𝑥
Решение:
12sin 𝑥 = 4sin 𝑥 ∙ 3−√3 cos 𝑥
(4 ∙ 3)sin 𝑥 = 4sin 𝑥 ∙ 3−√3 cos 𝑥
4sin 𝑥 ∙ 3sin 𝑥 = 4sin 𝑥 ∙ 3−√3 cos 𝑥
Разделим обе части на 4sin 𝑥 .
3sin 𝑥 = 3−√3 cos 𝑥
Основания равны, значит показатели равны:
sin 𝑥 = −√3 cos 𝑥
sin 𝑥 + √3 cos 𝑥 = 0
Разделим обе части на cos 𝑥 ≠ 0
sin 𝑥 √3 cos 𝑥
0
+
=
cos 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 + √3 = 0
𝑡𝑔 𝑥 = −√3
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−√3) + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √3 + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
38
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑥=−
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
Ответ:
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
3
(В перечень примеров)
Пример 365. Решите уравнение (25cos 𝑥 )sin 𝑥 = 5cos 𝑥
Решение:
При возведении степени в степень показатель перемножаются:
(52 )cos 𝑥∙sin 𝑥 = 5cos 𝑥
52 cos 𝑥∙sin 𝑥 = 5cos 𝑥
2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 = cos 𝑥
2 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥 − cos 𝑥 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
cos 𝑥(2 sin 𝑥 − 1) = 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0
Частный случай. Запишем решение:
2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = (−1)𝑘 arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
+ πn, n∈ 𝑍,
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 6 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
(В перечень примеров)
Пример 37.6 Решите уравнение 2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3 cos 2𝑥 + 1 = 0
Решение:
cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥–косинус двойного угла
2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) +1 = 0
2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 = 0
5
ЕГЭ-2014. Математика. Диагностическая работа. 24.09.2013
6
ЕГЭ-2014. Математика. Диагностическая работа. 12.12.2013
39
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 (из основного тригонометрического тождества)
2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 = 0
2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 = 0
2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4 = 0
Разделим каждое выражение на 2:
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 = 0
(𝑠𝑖𝑛2 𝑥)2 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 = 0
Введем переменную 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. Произведем замену:
𝑡 2 − 3𝑡 + 2 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 9 − 8 = 1 > 0,
уравнение имеет два корня
𝑡1,2 =
−𝑏 ± √𝐷 3 ± 1
=
2𝑎
2
𝑡1 = 2, 𝑡2 = 1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2, sin 𝑥 = ±√2 ≈ ±1,4, корней нет,
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1, sin 𝑥 = ±1
т. к. − 1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1
sin 𝑥 = 1
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
sin 𝑥 = 1
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
Ответ:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
(В перечень примеров)
Пример 38.7 Решите уравнение
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥−sin 𝑥
2 cos 𝑥−√3
=0
Решение:
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − sin 𝑥
2 cos 𝑥 − √3
=0
Дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.
1) 2 cos 𝑥 − √3 ≠ 0
2 cos 𝑥 ≠ √3
7
ЕГЭ-2014. Математика. Тренировочная работа. 28.01.2014
40
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
cos 𝑥 ≠
√3
2
𝑥 ≠ ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑥≠±
√3
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
2) 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − sin 𝑥 = 0
sin 𝑥(2 sin 𝑥 − 1) = 0
2 sin 𝑥 − 1 = 0
sin 𝑥 = 0 , 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍–входит в область
2 sin 𝑥 = 1
допустимых значений
sin 𝑥 =
1
2
В общем виде решением будет
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
Теперь здесь надо исключить значения
𝜋
𝑥 = ± 6 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍. 2𝜋𝑛 −это полный оборот,
независимо от значения числа n. Значит, надо
𝜋
исключить совпадение углов с ± 6 .
𝑘 = 0, 𝑥 =
𝜋
6
- исключаем
𝑘 = 1, 𝑥 = −
𝜋
5𝜋
+𝜋 =
6
6
𝜋
+ 2𝜋 − исключаем
6
𝜋
𝑘 = 3, 𝑥 = − + 3𝜋
6
𝑘 = 2, 𝑥 =
𝜋
𝑘 = 4, 𝑥 = 6 + 4𝜋 – исключаем
𝑘 = −1, 𝑥 = −
𝜋
7𝜋
−𝜋 =−
6
6
𝜋
𝑘 = −2, 𝑥 = 6 − 2𝜋 – исключаем
𝑘 = −3, 𝑥 = −
𝜋
− 3𝜋
6
Далее можно сделать вывод, что будут
41
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
исключены значения х, где |𝑘| – целое четное
число и 0.
Ответ:
sin 𝑥 = 0 , 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
𝜋
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ 6 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍, |𝑘| ≠ 0, 2,4,6,8, …,
(В перечень примеров)
𝜋
Пример 39.8 Решите уравнение cos 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 ( 2 − 𝑥) = −0,25
Решение:
cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 ( − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 ( − 𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( − 𝑥) = cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2
2
2
25
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −
100
1
−𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = −
4
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =
4
1
1
sin 𝑥 = ±√ = ±
4
2
sin 𝑥 =
1
2
sin 𝑥 = −
1
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ arcsin (− ) + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
2
π
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙ +𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
1
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ arcsin + 𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
π
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ +𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
Ответ:
π
𝑥 = (−1)𝑘 ∙ +𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
6
π
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙ +𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
6
(В перечень примеров)
1
Пример 40.9 Решите уравнение 7𝑡𝑔2 𝑥 − cos 𝑥 + 1 = 0
Решение:
7𝑡𝑔2 𝑥 −
8
9
1
2
1
+1 =0
cos 𝑥
ЕГЭ-2014. Математика. Диагностическаяработа. 22.09.2012
ЕГЭ-2014. Математика.Тренировочнаяработа. 22.11.2012
42
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
𝑡𝑔2 𝑥 + 1 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
. Но мешает число 7. Делаем следующее:
1
+7−6= 0
cos 𝑥
1
7𝑡𝑔2 𝑥 + 7 −
−6=0
cos 𝑥
1
7(𝑡𝑔2 𝑥 + 1) −
−6=0
cos 𝑥
1
1
7∙
−
−6 =0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 cos 𝑥
7𝑡𝑔2 𝑥 −
1 2
1
7∙(
) −
−6=0
cos 𝑥
cos 𝑥
1
Введем переменную 𝑡 = cos 𝑥
7𝑡 2 − 𝑡 − 6 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 4 ∙ 7 ∙ (−6) = 169 > 0; 2 корня
−𝑏 ± √𝐷 1 ± 13
=
2𝑎
14
12
6
𝑡1 = 1, 𝑡2 = −
=−
14
7
𝑡1,2 =
1
=1
cos 𝑥
1
6
=−
cos 𝑥
7
cos 𝑥 = 1
cos 𝑥 = − 6не имеет решений, −1 ≤ cos 𝑥 ≤ −1
7
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
Ответ:
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
(В перечень примеров)
𝜋
Пример 41.10Решите уравнение √2𝑠𝑖𝑛2 (2 + 𝑥) = − cos 𝑥
Решение:
𝜋
√2𝑠𝑖𝑛2 ( + 𝑥) = − cos 𝑥
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 ( + 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝑥) = cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2
2
2
√2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = − cos 𝑥
√2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + cos 𝑥 = 0
10
ЕГЭ-2014. Математика.Диагностическая работа. 18.12.2012
43
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
cos 𝑥(√2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1) = 0
cos 𝑥 = 0
√2 cos 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
√2 cos 𝑥 = −1
cos 𝑥 = −
1
√2
=−
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−
√2
2
√2
) + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
arccos(−∝) = 𝜋 − arccos 𝛼
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√2
) + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
2
𝜋
𝑥 = ± (𝜋 − ) + 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
3𝜋
𝑥=±
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑍
𝑥=±
3𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍
4
(В перечень примеров)
Задания для самостоятельного решения
1. 14cos 𝑥 = 2cos 𝑥 ∙ 7− sin 𝑥
𝜋
2. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ( − 𝑥)
2
3𝜋
3. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = √3𝑠𝑖𝑛 (
3𝜋
4. sin 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (
2
+ 𝑥)
+ 𝑥)
2
3𝜋
5. sin 2𝑥 = √3𝑠𝑖𝑛 (
2
− 𝑥)
𝜋
6. 3𝑐𝑜𝑠 ( + 𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2
44
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
7. 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1
8. 1 − sin 2𝑥 = cos 𝑥 − sin 𝑥
9. 4 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥 = 5
10.3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 0
11.cos 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0,75
3𝜋
12.2𝑠𝑖𝑛2 (
2
3𝜋
13.2𝑠𝑖𝑛2 (
2
− 𝑥) = cos 𝑥
+ 𝑥) = cos 𝑥
𝑥
𝑥
2
2
14.sin 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 = 𝑐𝑜𝑠 2
15.√3 sin 2𝑥 + 3 cos 2𝑥 = 0
3𝜋
16.√2𝑠𝑖𝑛2 (
2
3𝜋
17.2𝑠𝑖𝑛2 (
2
+ 𝑥) = − cos 𝑥
+ 𝑥) = √3 cos 𝑥
3𝜋
18.cos 2𝑥 = sin (
2
− 𝑥)
19.√2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − √2 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 = 0
20.4𝑡𝑔2 𝑥 +
3
cos 𝑥
+3=0
45
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Перечень уравнений пособия
𝜋
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝑥)
2
3𝜋
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑥)
2
𝜋
cos 2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑥)
2
3𝜋
√2𝑠𝑖𝑛 ( − 𝑥) ∙ sin 𝑥 = cos 𝑥
2
7𝜋
2𝑠𝑖𝑛 ( + 𝑥) ∙ sin 𝑥 = √3 cos 𝑥
2
𝜋
cos 2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑥)
2
2
 cos 2𝑥 + 0,5 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 (𝜋 + 𝑥) − 1 = 0

 2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 2 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0

 15cos 𝑥 = 3cos 𝑥 ∙ 5sin 𝑥

 √2𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 = cos 5𝑥

 2 cos 4𝑥 + cos 2𝑥 − 1 = 0

 √2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − √2 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 = 0

 cos 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0,25

 2𝑠𝑖𝑛2 (𝜋 + 𝑥) = −√3 cos 𝑥

6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 7 cos 𝑥 − 5 = 0
 cos 2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1,25

4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 12 sin 𝑥 + 5 = 0
 12sin 𝑥 = 4sin 𝑥 ∙ 3−√3 cos 𝑥

3𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( − 2𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 ) (𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 ) = 0
2
2
2
2
𝑥
𝑥 2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 ) − 1
2
2
 (25cos 𝑥 )sin 𝑥 = 5cos 𝑥



 2𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 3 cos 2𝑥 + 1 = 0

2 sin 2𝑥 = 4 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 1
 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − sin 𝑥

√9 − 𝑥 2 cos 𝑥 = 0
(sin 𝑥 −
𝑐𝑜𝑠 (
√3
) ∙ √3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0
2
3𝜋
+ 2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
2
2
2
2 cos 𝑥 − √3
=0
sin 2𝑥 − 2√3𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 4 sin 𝑥 + 4√3 cos 𝑥 = 0
 cos 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 (𝜋 − 𝑥) = −0,25

sin 2𝑥 − 2√3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4 cos 𝑥 + 4√3 sin 𝑥 = 0
 7𝑡𝑔2 𝑥 − 1 + 1 = 0

𝑥
𝑥
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛2 = 𝑠𝑖𝑛 ( − 2𝑥)
2
2
2
 sin 2𝑥 + √3 sin 𝑥 = 0

sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 − cos 𝑥 + 1
 4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 3 sin (𝑥 − 𝜋) = 0

 √2𝑠𝑖𝑛2 (𝜋 + 𝑥) = − cos 𝑥

2
cos 𝑥
2
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2 sin 2𝑥 = 3
2
46
С.Е.Таирова. ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = cos 2𝑥
6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + sin 2𝑥 = 2
2
2

Источники информации
1. Открытый банк заданий ЕГЭ
2. МИОО «СтатГрад»
3. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания
общеобразовательных
выпускников
при
предметов
(на
выполнении
основе
заданий
анализа
типичных
затруднений
2013).
Математика.
ЕГЭ
http://www.fipi.ru/view/sections/231/docs/666.html
4. Официальный информационный портал ЕГЭ. ЕГЭ по математике
47