Закон Пуазейля

Буковская К.С.
Ламинарное течение Ньютоновской жидкости через канал в виде двух
параллельных плоскостей или прямого кругового цилиндра .
𝜕𝑢
τ=𝜇
𝜕𝑦
τ— касательное напряжение, вызываемое жидкостью [Па]
𝜇— динамический коэффициент вязкости — коэффициент
пропорциональности [Па·с]
𝜕𝑢
— производная скорости в направлении, перпендикулярном
𝜕𝑦
направлению сдвига [с−1].
Течение Пуазейля — одно из самых простых точных решений уравнений
Навье — Стокса.
Течение Пуазейля
𝑣=
𝜌1 −𝜌1
(1
4𝜇𝑙
− 𝑟2)
v — скорость жидкости вдоль трубопровода, м/с;
r — расстояние от оси трубопровода, м;
p1 − p2 — разность давлений на входе и на выходе из трубы,
Па;
μ — вязкость жидкости, Н·с/м²;
l — длина трубы, м.
-В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость
вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.
Уравне́ния Навье́ — Сто́кса
система дифференциальных уравнений в
частных производных, описывающая
движение вязкой ньютоновской жидкости.
-для несжимаемой жидкости
Вывод закона Пуазейля
Если предположить ,что только в направлении х ,то ур. НС сводится к простому скалярному уравнению
1 𝑑𝑝
2
𝛻 ∙𝑢 = ∙
𝜇 𝑑𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
=
∆𝑝
−
проинтегрировав уравнение с граничными
𝜇𝑙
условиями u=0, y=0,y=h , получим
∆𝑝
U= ∙ 𝑦(ℎ − 𝑦)
2𝜇𝑙
Течение с параболическим распределением скоростей известно, как плоское
течение Пуазёйля
ℎ3 ∆𝑝
Q=
, в случае цилиндрической симметрии
12𝜇𝑙
1 𝑑
𝑑𝑢
∆𝑝
r
= − , после интегрирования получаем
𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝜇𝑙
∆𝑝 2
𝑢 = − 𝑟 + 𝑎𝑙𝑛𝑟 + 𝑏
𝜇𝑙
При r = 𝑟1 => 𝑢 =
∆𝑝
(𝑟1 2
4𝜇𝑙
− 𝑟2)
Это течение известно как течение Пуазёйля –Хагена
𝑟1
𝑄 = 2𝜋
0
𝜋 ∙ 𝑟 4 ∙ (𝜌1− 𝜌2 )
𝑟𝑢𝑑𝑟=
8∙𝜇∙𝑙
Выражает закон Пуазейля для ламинарного течения (в круговой
трубе)
Закон Пуазейля (Хагена — Пуазёйля)
Q=
𝜋∙𝑑 4 ∙(𝜌1− 𝜌2 ) 𝜋∙𝑟 4 ∙(𝜌1− 𝜌2 )
=
128∙𝜇∙𝑙
8∙𝜇∙𝑙
Q — расход жидкости в трубопроводе, м³/с;
d — диаметр трубопровода, м;
r — радиус трубопровода, м;
p1 − p2 — разность давлений на входе и на выходе из трубы,
Па;
μ — вязкость жидкости, Н·с/м²;
l — длина трубы, м.
Закон Пуазейля примени́м только при ламинарном течении и
при условии, что длина трубки превышает так называемую
длину начального участка, необходимую для развития
ламинарного течения в трубке.
ANSYS Fluent программного обеспечения
содержит широкие возможности физического
моделирования необходимые для описания
течения, турбулентности, теплообмена, и
взаимодействия жидкости и твердого тела.
Уравнения Эйлера.
Для всех потоков Fluent решает уравнение баланса массы и
уравнение баланса количества движения. Для турбулентного
потока считаются дополнительные уравнения переноса.
Уравнение баланса массы, или уравнение неразрывности,
можно записать как
𝜕𝜌
+ 𝛻 ⋅ 𝜌𝑣 = 𝑆𝑚
𝜕𝑡
где 𝜌 – плотность потока, 𝑡 – время, 𝑣 - скорость, 𝑆𝑚 источниковый член.
Данное уравнение - это общая форма уравнения баланса массы
и справедливо как для сжимаемых, так и для несжимаемых
потоков. Источниковый член 𝑆𝑚 - это масса, добавляемая к
непрерывной фазе от диспергированной второй среды.
Уравнением баланса количества движение
в инерционной системе отсчета имеет следующий вид
𝜕
𝜌𝑣 + 𝑣 𝛻 ⋅ 𝜌𝑣 = −𝛻𝑝 + 𝛻 ⋅ 𝜏 + 𝜌𝑔 + 𝐹
𝜕𝑡
где 𝑝 - статическое давление, 𝜏 – тензор напряжений,
и 𝜌𝑔 и 𝐹 - гравитационная массовая сила и внешняя
массовая сила соответственно.
Тензор напряжений имеет вид:
2
𝜏 = 𝜇 𝛻𝑣 + 𝛻𝑣 − 𝛻 ⋅ 𝑣𝐼
3
где 𝜇 - вязкость, 𝐼 – единичный тензор. Последнее
𝑇
слагаемое в выражении для 𝜏 отвечает за объемное
расширение.
Метод конечных объемов.
Решение в пакете Fluent основано на применении
метода конечных объемов. Метод конечных
объемов (МКО) тесно связан с методом конечных
разностей (МКР) и зачастую может быть
интерпретирован как некоторое приближение МКР
в дискретизации дифференциальных уравнений.
Однако, МКО получен на основе интегральных
законов сохранения, что обеспечивает множество
преимуществ при решении задач.
ANSYS Fluent
EDEM Coupling
Расчет течения Пуазейля во FLUENT
Рассматривается цилиндрическая трубка с диаметром основания 10мм
,длиной 30мм. В качестве жидкости было выбрано подобие воды с вязкостью в
20 раз больше воды (0.2 кг/(м*с)). Граничные условия:на входе давление 1000
Па,на выходе 0 Па. Сходимость решения достигалась за 70 итераций.
график показателей скорости
график показателей давления
Расчет Coupling Module EDEM
Была выбрана трубка тех же геометрических размеров,параметры жидкости
неизменные.Граничные условия на входе скорость 1.5 м/с ,на выходе 0 Па.
Количество частиц 5% от объема цилиндра (28125 частиц) размер : 1*10e-4,
плотность 2500 кг/м^3. размеры частиц rad.0.0003 m, mass 2.82743e-07
kg,volume 1.13097e-10 m^3,velocity 1*10e-4 заданы периодические граничные
условия
график показателей
скорости с частицами
график показателей
давления с частицами
Применимость на практике
Для расчета бытовых водопроводов расчет по
формуле Пуазейля дает ошибку в разы,
потому что течение в них обычно не
ламинарное, а турбулентное и не учитывает
шершавость стенок. Лучше использовать
специальные калькуляторы.