случайные величины

Теория вероятностей
Случайная величина
• - величина, которая в результате опыта со
случайным исходом принимает то или иное
значение.
• - все возможные значения случайной
величины образуют множество
возможных значений.
Пример 1
• Бросание игральной кости. Случайная
величина – количество выпавших очков.
Пример 2
• Бросание трех монет. Случайная величина –
количество выпавших гербов.
Пример 3
• Работа электроприбора. Случайная
величина – время наработки до первого
отказа.
Пример 4
• Проведение измерения характеристики
прибора двумя различными студентами.
Случайная величина – разность результатов
измерения.
Случайные величины
Дискретные
Непрерывные
Закон распределения
• - правило (таблица, функция), позволяющее
находить вероятности всевозможных
событий, связанных со случайной
величиной (например что она примет
какое-то значение или попадет в какой то
интервал).
Ряд распределения
• - таблица, в верхней строке которой
перечислены в порядке возрастания все
возможные значения случайной величины,
а в нижней – вероятности этих значений.
Пример 2 (продолжение)
Х 0 1 2 3
Р 1/8 3/8 3/8 1/8
Функция распределения
• - вероятность того, что случайная величина
Х примет значение меньше заданного х.
• F(x) = P{X<x}
•
•
•
•
F(x) – неубывающая функция;
F(-∞) = 0
F(+∞) = 1
P{a≤X<b} = F(b) – F(a)
Пример 2 (продолжение)
F(x)
1
0
1
2
3
x
Непрерывная случайная величина
• Х – непрерывная, если ее функция
распределения не только непрерывна в
любой точке, но и дифференцируема
всюду, кроме, может быть, отдельных точек
где она терпит излом.
• P{X=a} = 0 для любого a
Плотность распределения
• Плотностью распределения непрерывной
случайной величины Х в точке х называется
производная ее функции распределения в
этой точке.
Плотность распределения (свойства)
•f(x)≥0
Кривая распределения
Пример 5
Случайная величина задана функцией распределения:
Найти:
1) Коэффициент а
2) Плотность распределения
3) Вероятность того, что в результате опыта случайная величина
примет значение от 0,25 до 0,5
Пример 5 (продолжение)
• Так как F(x) непрерывна, то F(1)=1,
следовательно а=1.
• Плотность распределения имеет вид:
• P{ 0,25 < X <0,5 } = F(0,5)-F(0,25) = 0,250,0625 =0,1875
Пример 5 (продолжение)
• Спасибо за внимание.
• Дополнительные вопросы Вы всегда можете задать на
учебном форуме ФДО fdo.tusur.ru/forum в ветке
• «Теория вероятностей и математическая статистика»