ТОЭ

ТОЭ
Задача 1
Осциллограмма тока
Построить вектор в комплексной плоскости для t=0 и t=t1, при котором t1=/4.
Определить мгновенное значение тока для t=t1.
Переменный ток
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
Im – амплитуда, А
 – угловая частота, рад/с
t+0 – фаза, рад
0 – начальная фаза, рад
Амплитуда
Im=20 A, i0=i(t=0)=10 A
Начальная фаза
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑖0 = 𝐼𝑚 sin 𝜑0
sin 𝜑0
𝑖0 10
=
=
= 0.5
𝐼𝑚 20
𝜋
𝜑0 = = 300
6
Уравнение изменения тока
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑖 𝑡 = 20 ∙ sin 𝜔𝑡 + 30
0
Мгновенное значение тока для t=t1
𝑖 𝑡 = 20 ∙ sin 𝜔𝑡 +
𝑖 𝑡1 = 20 ∙ sin
0
45
0
30
+
𝑖 𝑡1 = 19,3 А
0
30
Комплексная плоскость
Комплексные числа
Мгновенный комплекс
𝐼 𝑡 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑0 )
Формула Эйлера
𝑒 𝑗𝑥 = cos 𝑥 + 𝑗 ∙ sin 𝑥
𝑗(𝜔𝑡+𝜑0 )
= 𝐈𝐦
𝐼 𝑡 = 𝐼𝑚 𝑒
=
𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎 ) + 𝒋 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎 )
Комплексная амплитуда
𝑗𝜑0
𝑗300
𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 𝑒
= 20𝑒
=
0
0
= 20 𝑐𝑜𝑠(30 ) + 𝑗 ∙ 𝑠𝑖𝑛(30 ) =
17,3 + 𝑗10, 𝐴
Вектор в точке t=t1
𝑗(𝜔𝑡+𝜑0 )
𝑗(450 +300 )
𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 𝑒
= 20𝑒
=
0
0
= 20 𝑐𝑜𝑠(75 ) + 𝑗 ∙ 𝑠𝑖𝑛(75 ) =
5,2 + 𝑗19,3 𝐴
Переменный ток и
напряжение
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑢(𝑡) = 𝑖 𝑡 𝑍 = 𝑍𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
Задача 2
Комплексы
действующих
приемника равны:
напряжения
и
тока
𝑈 = 20 + 𝑗40, В
𝐼 = 5 + 𝑗3, А
Найти напряжение и ток и записать уравнения для
их мгновенных значений.
Аргумент и модуль комплексного
числа
Начальные фазы
40
𝜑𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 1.107 рад
20
3
𝜑𝑖 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 0.54 рад
5
Действующие значения
𝑈=
202 + 402 = 2000 = 44.721 В
𝐼=
52 + 32 = 34 = 5.831 𝐴
Действующее значение
напряжения (тока)
𝐼=
𝑈=
𝐼𝑚
2
𝑈𝑚
2
Комплексы амплитуд
𝑈𝑚 = 2𝑈𝑒
𝐼𝑚 =
𝑗𝜑𝑢
𝑗𝜑
2𝐼𝑒 𝑖
= 63.3𝑒
=
𝑗1,107
𝑗0,54
8.25𝑒
Мгновенные значения
𝑢 𝑡 = 𝐼𝑚 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐼𝑚 63.3𝑒 𝑗1,107 𝑒 𝑗𝜔𝑡
= 𝐼𝑚 63.3𝑒 𝑗(1,107+𝜔𝑡)
= 63.3 ∙ sin 𝜔𝑡 + 1,107
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐼𝑚 8,25𝑒 𝑗0,54 𝑒 𝑗𝜔𝑡
= 𝐼𝑚 8,25𝑒 𝑗(0,54+𝜔𝑡) = 8,25 ∙ sin 𝜔𝑡 + 0,54
Задача 3
В сеть с синусоидальным напряжением U=200 В и
частотой f=50 Гц включен конденсатор емкостью C=79.5
мкФ
Определить ток. Построить векторную диаграмму
напряжения и тока. Записать выражение для мгновенных
значений напряжения и тока, приняв начальную фазу
синусоиды напряжения равной нулю.
Конденсатор
𝑑𝑈𝑐
𝑖𝑐 = 𝐶 ∙
𝑑𝑡
1
𝑈𝐶 =
𝐶
𝟏
𝑿𝑪 =
𝝎𝑪
𝑡
𝑖𝐶 𝑑𝑡
−∞
𝟏
𝒁𝑪 =
𝒋𝝎𝑪
Циклическая частота и период
𝟏
𝑻= 𝒄
𝒇
𝟏
𝒇 = Гц
𝑻
рад
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇
𝒄
Ток
Комплекс амплитуд
Мгновенные значения
Векторные диаграммы
Индуктивность
𝑑𝑖𝐿
𝑈𝐿 = 𝐿 ∙
𝑑𝑡
1
𝑖𝐿 =
𝐿
𝑡
𝑈𝐿 𝑑𝑡
−∞
𝒁𝑳 = 𝒋𝝎𝑳
𝑿𝑳 = 𝝎𝑳